Slide Mudança de Variaveis em Integral Tripla-2022 1

C´alculo diferencial e integral de varias vari´aveis Juan Carlos Vila Bravo Universidade Federal do Paran´a UFPR CM202 Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla Parte I Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla UFPR CM202 Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla Para mudar das coordenadas (x, y, z) para (u, v, w), usando a fun¸c˜ao bijectiva UFPR CM202 Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla Teorema Considere T uma aplica¸c˜ao definida por: T(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) onde x, y e z s˜ao fun¸c˜oes de classe C 1 num subconjunto aberto U ⊂ R3. Seja R um subconjunto limitado e fechado contido em U tal que: T ´e injetora em R Suponhamos que o jacobiano de T, JT(u, v, w) seja diferente de 0 em S, isto ´e, J = JT(u, v, w) = ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) = Det   ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w   3×3 ̸= 0 UFPR CM202 w z T f , | EEE, a <-> -—™s™ / i l R Vy x=x(u,v,w) s ff. (uw) | 0% y=y(u,v,w) (x,y,2)=T(4,v,w) /w=fxy,z) j ; z=z(u,v,w) as / Jo rot ae 0 / ; ) / fv / fa 4 Se f é integravel em S = T(R) entdo | [| Fosx2) dx dy de= [ff #(T(uv.w))J) du dv dw S R Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla Observa¸c˜ao Pelo teorema da fun¸c˜ao inversa, o jacobiano de T −1 ´e dado por JT −1(x, y, z) = ∂(u, v, w) ∂(x, y, z) = Det   ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z   = 1 JT(u, v) Observa¸c˜ao O resultado do teorema acima ainda ´e v´alida se ∂(x,y,z) ∂(u,v,w) = 0 ou T deixa de ser injetora em subconjuntos de R de volume nulo. UFPR CM202 Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla CASOS ESPECIAIS DE MUDANC¸A DE VARI´AVEIS (i) Mudan¸ca em coordenadas cilindricas. UFPR CM202 Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla Tem-se assim a seguinte transforma¸c˜ao entre coordenadas cilindricas (r, θ, z) e as coordenadas cartesianas (x, y, z). UFPR CM202 onde o jacobiano da transformacao é: Ox Ox 9x Or 00 Oz j= 26N:2) _ pep | ax oy ow | =, Or, 6, z) Or 00 Oz Oz Oz Oz or 00 Oz Se f continua em S, entao: /// f(x, y,Z)dxdydz = /I/ f(rcos0, rsinO, z)r drd@dz S R Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla (ii) Mudan¸ca em coordenadas esfericas. UFPR CM202 Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla Tem-se assim a seguinte transforma¸c˜ao entre coordenadas cilindricas (r, θ, z) e as coordenadas cartesianas (x, y, z). UFPR CM202 onde o jacobiano da transformacao é: Ox Ox Ox Or 060 dY O(x, y,Z) a a a 26: 1= 9(r.,2) OF) a a Je | =P sinyg Oz Oz Oz Or O00 AY Se f continua em S, entao: /I/ f(x, y,z)dxdydz = /// f(T(r,0y))r’ siny drdédy S R onde: T(r,9,~) = (rsiny cos@,rsiny sind, rcosy). Mudan¸ca de variaveis em Integral tripla (iii) Mudan¸ca em coordenadas esfericas. UFPR CM202 onde o jacobiano da transformacao é: Ox Ox Ox Or 00 dy O(x, y,Z) o o o 26 1 = 5070.2) =Det| 5 Be = abcr* sin Oz Oz dz Or 00 dy Se f continua em S, entao: /// f(x, y,z)dxdydz = /I/ f(T(r, 0, y)aber* sin» drdody S R onde: T(r,0,~) = (rcos@sin y, rsin sin y, rcos vy). NV eee CREE eR Um Geer tcl) Exercicios: @ Use coordenadas cilindricas e calcule as seguinte integrais triplas 1 pr/1—y2 \/4—x2—y2 @ / / / z dz dx dy 0 0 0 V2 prf/2—x2 pl e@ / / / x dz dy dx 1 0 0 2 af 2x —x2 x2 $y? 9 9 o/ / | (x* + y°) dz dy dx 0 —/2x—x2 JO @ Use coordenadas esféricas e calcule as seguinte integral tripla 2 V4—x? \/8—x?-y? / / / (x? + y? + 27) dz dy dx —2 J—V4—x? Jy/x2+y?