Convecção-Introdução-Mecanismos-Físicos-e-Cálculos

Capítulo 6 Introdução à Convecção Até agora focalizamos nossa atenção na transferência de calor por condução e consideramos a convecção somente como uma possível condição de contorno para problemas de condução Na Seção 122 usamos o termo convecção para descrever a transferência de energia entre uma superfície e um fluido em movimento sobre essa superfície A convecção inclui transferência de energia pelo movimento global do fluido advecção e pelo movimento aleatório das moléculas do fluido condução ou difusão Em nossa análise da convecção temos dois objetivos principais Além de adquirir uma compreensão dos mecanismos físicos que embasam a transferência por convecção desejamos desenvolver os meios para executar cálculos envolvendo a transferência por convecção Este capítulo e o material complementar do Apêndice D são dedicados principalmente à realização do primeiro objetivo Origens físicas são discutidas e parâmetros adimensionais relevantes assim como importantes analogias são desenvolvidas Uma característica especial deste capítulo é a forma pela qual os efeitos da transferência de massa por convecção são introduzidos por analogia com aqueles da transferência de calor por convecção Na transferência de massa por convecção o movimento global do fluido se combina com a difusão para promover o transporte de uma espécie da qual existe um gradiente de concentração Neste texto focamonos na transferência de massa por convecção que ocorre na superfície de um sólido ou líquido volátil devido ao movimento de um gás sobre a superfície Com os fundamentos conceituais estabelecidos os capítulos subseqüentes são usados para desenvolver ferramentas úteis para a qualificação dos efeitos convectivos Os Capítulos 7 e 8 apresentam métodos para o cálculo dos coeficientes associados à convecção forçada em escoamentos de configurações externas e internas respectivamente O Capítulo 9 descreve métodos para determinar esses coeficientes na convecção natural e o Capítulo 10 analisa o problema da convecção com mudança de fase ebulição e condensação O Capítulo 11 desenvolve métodos para projetar e avaliar o desempenho de trocadores de calor equipamentos que são amplamente utilizados na prática de engenharia para efetuar a transferência de calor entre fluidos Assim iniciamos pelo desenvolvimento de nossa compreensão da natureza da convecção 61 As CamadasLimite da Convecção O conceito de camadaslimite é crucial para o entendimento das transferências de calor e de massa por convecção entre uma superfície e um fluido em escoamento em contato com esta superfície Nesta seção as camadaslimite de velocidade térmica e de concentração são descritas e as suas relações com o coeficiente de atrito com o coeficiente de transferência de calor por convecção e com o coeficiente de transferência de massa por convecção são apresentadas 611 A CamadaLimite de Velocidade Para apresentar o conceito de uma camada limite considere o escoamento sobre a placa plana da Figura 61 Quando partículas do fluido entram em contato com a superfície elas passam a ter velocidade igual a zero Essas partículas atuam então no retardamento do movimento das partículas na camada de fluido adjacente que atuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente até que a uma distância y δ da superfície o efeito se torna desprezível Esse retardamento do movimento do fluido está associado às tensões de cisalhamento τ que atuam em planos que são paralelos à velocidade do fluido Figura 61 Com o aumento da distância y da superfície o componente x da velocidade do fluido u deve então aumentar até atingir o valor na corrente livre u O subscrito é usado para designar condições na corrente livre fora da camadalimite A grandeza δ é chamada de espessura da camadalimite e é tipicamente definida como o valor de y para o qual u 099u O perfil de velocidades na camadalimite se refere à maneira como u varia com y através da camadalimite Dessa forma o escoamento do fluido é caracterizado pela existência de duas regiões distintas uma fina camada de fluido a camadalimite na qual gradientes de velocidade e tensões cisalhantes são grandes e uma região fora da camadalimite na qual gradientes de velocidade e tensões cisalhantes são desprezíveis Como o aumento da distância da aresta frontal da placa os efeitos da viscosidade penetram cada vez mais na corrente livre e a camadalimite aumenta δ aumenta com x Como está relacionada à velocidade do fluido a camadalimite descrita anteriormente pode ser chamada de camadalimite de velocidade Ela se desenvolve sempre que há escoamento de FIGURA 61 Desenvolvimento da camadalimite de velocidade sobre uma placa plana um fluido sobre uma superfície e é de fundamental importância em problemas que envolvem transporte convectivo Na mecânica dos fluidos sua importância para o engenheiro está baseada na sua relação com a tensão de cisalhamento na superfície τs e portanto com os efeitos do atrito na superfície Para os escoamentos externos ela fornece a base para a determinação do coeficiente de atrito local Cf τs ρu²2 61 que é um parâmetro adimensional chave a partir do qual o arrasto viscoso na superfície pode ser determinado Supondo um fluido newtoniano a tensão cisalhante na superfície pode ser determinada a partir do conhecimento do gradiente de velocidade na superfície τs μ dudyy0 62 onde μ é uma propriedade do fluido conhecida como viscosidade de dinâmica Em uma camadalimite de velocidade o gradiente de velocidade na superfície depende da distância x da aresta frontal da placa Conseqüentemente a tensão cisalhante na superfície e o coeficiente de atrito também dependem de x 612 A CamadaLimite Térmica Da mesma forma que uma camadalimite de velocidade se forma quando há o escoamento de um fluido sobre uma superfície uma camadalimite térmica deve se desenvolver se houver diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e da superfície Seja o escoamento sobre uma placa plana isotérmica Figura 62 Na aresta frontal o perfil de temperaturas é uniforme com Ty T Contudo as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o equilíbrio térmico na temperatura da superfície da placa Por sua vez essas partículas trocam energia com as da camada de fluido adjacente e há o desenvolvimento de gradientes de temperatura no fluido A região do fluido na qual há esses gradientes de temperatura é a camadalimite térmica e a sua espessura δt é definida tipicamente como o valor de y no qual a razão T TT Ts 099 Com o aumento da distância da aresta frontal os efeitos da transferência de calor penetram cada vez mais na corrente livre e a camadalimite térmica cresce A relação entre as condições nessa camadalimite e o coeficiente de transferência de calor por convecção pode ser facilmente demonstrada A qualquer distância x da aresta frontal o fluxo térmico na superfície local pode ser obtido utilizandose a lei de Fourier no fluido em y 0 Isto é qs kf Tyy0 63 O subscrito s foi usado para enfatizar que esse é o fluxo térmico na superfície mas ele será retirado nas próximas seções Essa expressão é apropriada porque na superfície não há movimento de fluido e a transferência de energia se dá unicamente por condução Lembrando da lei do resfriamento de Newton vemos que qs hTs T 64 e combinando essa equação com a Equação 63 obtemos h kf Ty y0 Ts T 65 Assim as condições no interior da camadalimite térmica que influenciam fortemente o gradiente de temperatura na superfície Tyy0 determinam a taxa de transferência de calor através da camada limite Como Ts T é uma constante independente de x enquanto δt cresce com o aumento de x os gradientes de temperatura na camada limite devem diminuir com o aumento de x Desta forma o valor de Tyy0 diminui com o aumento de x e temse que qs e h diminuem com o aumento de x 613 A CamadaLimite de Concentração Se ar movimentase ao longo da superfície de uma porção de água a água líquida irá evaporar e vapor dágua será transferido para dentro da corrente de ar Isto é um exemplo de transferência de massa por convecção De uma forma mais geral considere uma mistura binária que escoa sobre uma superfície Figura 63 A concentração molar kmolm³ da espécie A na superfície é CAs e na corrente livre é CA Se CAs é diferente de CA irá ocorrer transferência da espécie A por convecção Por exemplo a espécie A poderia ser um vapor que é transferido para dentro da corrente gasosa espécie B devido à evaporação em uma superfície líquida como no exemplo da água ou à sublimação em uma superfície sólida Nesta situação uma camadalimite de concentração que é similar às camadaslimite de velocidade e térmica irá se desenvolver A camadalimite de concentração é FIGURA 62 Desenvolvimento da camadalimite térmica sobre uma placa plana isotérmica FIGURA 63 Desenvolvimento da camadalimite de concentração de uma espécie sobre uma placa plana a região do fluido na qual existem gradientes de concentração e a sua espessura δc é tipicamente definida como o valor de y no qual CAs CACAs CA 099 Com o aumento da distância da aresta frontal os efeitos da transferência da espécie penetram cada vez mais na corrente livre e a camadalimite de concentração cresce A transferência de espécies por convecção entre a superfície e a corrente livre de fluido é determinada pelas condições na camadalimite e nós estamos interessados na determinação da taxa na qual essa transferência ocorre Em particular estamos interessados no fluxo molar da espécie A NAA kmolsm² É útil lembrar que o fluxo molar associado à transferência de uma espécie por difusão é determinado por uma expressão análoga à lei de Fourier Para as condições de interesse neste capítulo a expressão que é chamada de lei de Fick tem a forma NAA DAB CAy 66 onde DAB é uma propriedade da mistura binária conhecida por coeficiente de difusão binária Em qualquer ponto correspondente a y 0 no interior da camadalimite de concentração da Figura 63 a transferência de uma espécie é devida ao movimento global do fluido advecção e à difusão Entretanto em y 0 não há movimento do fluido desprezando a freqüentemente pequena velocidade normal à superfície causada pelo próprio processo de transferência da espécie como discutito no Capítulo 14 e assim a transferência da espécie ocorre somente por difusão Aplicando a lei de Fick em y 0 vimos que o fluxo molar na espécie a qualquer distância da aresta frontal é então NAAs DAB CAyy0 67 O subscrito s foi usado para enfatizar que esse é o fluxo molar na superfície mas ele será retirado nas próximas seções Analogamente à lei do resfriamento de Newton uma equação pode ser escrita relacionandose o fluxo molar com a diferença de concentrações através da camadalimite como NAAs hmCAs CA 68 onde hmms é o coeficiente de transferência de massa por convecção análogo ao coeficiente de transferência de calor por convecção Combinando as Equações 67 e 68 temse que hm DAB CAyy0 CAs CA 69 Conseqüentemente as condições na camadalimite de concentração que influenciam fortemente o gradiente de concentração na superfície CAyy0 também influenciam o coeficiente de transferência de massa por convecção e assim a taxa de transferência de massa da espécie no interior da camadalimite 614 Significado das CamadasLimite Para o escoamento sobre qualquer superfície existirá sempre uma camada limite de velocidade e portanto atrito na superfície Da mesma forma uma camadalimite térmica e assim transferência de calor por convecção estarão sempre presentes se houver diferença entre as temperaturas na superfície e na corrente livre Analogamente uma camadalimite de concentração e transferência de massa por convecção existirão se a concentração de uma espécie na superfície for diferente da sua concentração na corrente livre A camadalimite de velocidade tem uma extensão δx e é caracterizada pela presença de gradientes de velocidade e de tensões cisalhantes A camadalimite térmica apresenta uma espessura δtx e é caracterizada por gradientes de temperatura e pela transferência de calor Finalmente a camadalimite de concentração tem espessura δcx e é caracterizada por gradientes de concentração e pela transferência da espécie Podem ocorrer situações nas quais as três camadaslimite estão presentes Nesses casos raramente as camadaslimite crescem na mesma taxa e os valores de δ δt e δc em uma dada posição não são os mesmos Para o engenheiro as principais manifestações das três camadaslimite são respectivamente o atrito superficial a transferência de calor por convecção e a transferência de massa por convecção Os parâmetroschave das camadaslimite são então o coeficiente de atrito Cf e os coeficientes de transferência de calor e de massa por convecção h e hm respectivamente Voltamos nossa atenção agora para o exame desses três parâmetroschave que são importantes para a análise de problemas de transferência de calor e de massa por convecção 62 Coeficientes Convectivos Local e Médio 621 Transferência de Calor Considere as condições da Figura 64a Um fluido com velocidade V e a temperatura T escoa sobre uma superfície de forma arbitrária e área superficial As Presumese que a superfície se encontre a uma temperatura uniforme Ts e se Ts T sabemos que irá ocorrer transferência de calor por convecção Da Seção onde 1 Essa expressão é uma aproximação de uma forma mais geral da lei de Fick da difusão Seção 1413 quando a concentração molar total da mistura C CA CB é uma constante DEF FIGURA 64 Transferência de calor por convecção local e total a Superfície com forma arbitrária b Placa plana Definindo um coeficiente convectivo médio h para toda a superfície a taxa de transferência de calor total também pode ser escrita na forma q h As Ts T 612 Igualando as Equações 611 e 612 temse que os coeficientes convectivos médio e local estão relacionados por uma expressão que tem a forma h 1As As hdAs 613 Note que para o caso particular do escoamento sobre uma placa plana Figura 64b h varia somente com a distância x da aresta frontal e a Equação 613 se reduz a h 1L 0L h dx 614 622 Transferência de Massa Resultados análogos podem ser obtidos para a transferência de massa por convecção Se um fluido com uma concentração molar de uma espécie CA escoa sobre uma superfície na qual a concentração dessa espécie é mantida em algum valor uniforme CAs CA Figura 65a transferência dessa espécie por convecção irá ocorrer Da Seção 613 sabemos que o fluxo molar na superfície e o coeficiente de transferência de massa convectivo variam ao longo da superfície A taxa total de transferência molar NA kmols pode então ser representada por NA hm As CAs CA 615 onde os coeficientes de transferência de massa por convecção médio e local estão relacionados por uma equação na forma hm 1As As hmdAs 616 Para a placa plana da Figura 65b seguese que hm 1L 0L hmdx 617 A transferência de uma espécie também pode ser expressa como um fluxo mássico nA kgsm² ou como uma taxa de transferência de massa nA kgs pela multiplicação de ambos os lados das Equações 68 e 615 respectivamente pela massa molar MA kgkmol da espécie A Dessa forma nA hmρAs ρA 618 e nA hm As ρAs ρA 619 onde ρA kgm3 é a concentração mássica da espécie A2 Podemos também escrever a lei de Fick em uma base mássic a multiplicando a Equação 67 por MA o que fornece nAs DAB ρAyy0 620 Além disso a multiplicação do numerador e do denominador da Equação 69 por MA fornece uma expressão alternativa para hm hm DAB ρAyy0 ρAs ρA 621 Para executar um cálculo de transferência de massa por convecção é necessário determinar o valor de CAs ou ρAs Tal determinação pode ser efetuada supondose equilíbrio termodinâmico na interface entre o gás e a fase líquida ou sólida Uma implicação do equilíbrio é que a temperatura do vapor na interface é igual à temperatura da superfície Ts Uma segunda implicação é que o vapor se encontra em um estado saturado estado no qual as tabelas termodinâmicas como a Tabela A6 para a água podem ser usadas para obter a sua densidade a partir do conhecimento de Ts Com uma boa aproximação a concentração molar do vapor na superfície também pode ser determinada a partir da pressão de vapor através da utilização da equação de estado para um gás ideal Isto é 2 Embora a nomenclatura anterior seja adequada para caracterizar processos de transferência de massa de interesse deste texto não há uma nomenclatura padrão e freqüentemente é difícil reconciliar os resultados de diferentes publicações Uma revisão das diferentes formas nas quais potenciais motriz es fluxos e coeficientes convectivos podem ser formulados é apresentada em Webb 1 C As PsatTs RT 622 onde ℜ é a constante universal dos gases e psatTs é a pressão de vapor correspondente à saturação a uma temperatura Ts Note que a concentração mássica e a concentração molar do vapor estão relacionadas pela expressão ρA MA CA 623 O Problema da Convecção O fluxo local eou a taxa de transferência total são de capital importância em qualquer problema de convecção Essas grandezas podem ser determinadas pelas equações das taxas Equações 64 68 612 e 615 que dependem do conhecimento dos coeficientes convectivos local h ou hm e médio h e hm É por esse motivo que a determinação desses coeficientes é vista como o problema da convecção Contudo o problema não é simples pois além de dependerem de numerosas propriedades do fluido tais como densidade viscosidade condutividade térmica e calor específico os coeficientes são funções da geometria da superfície e das condições do escoamento Essa multiplicidade de variáveis independentes resulta do fato de que a transferência por convecção é influenciada pelas camadaslimite que se desenvolvem sobre a superfície EXEMPLO 61 Foi determinado que os resultados experimentais para o coeficiente de transferência de calor local hx para o escoamento sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa seguem a seguinte relação hxx ax01 onde a é um coeficiente Wm19K e xm é a distância da aresta frontal da placa 1 Desenvolva uma expressão para a razão entre o coeficiente de transferência de calor médio hx em uma placa com comprimento x e o coeficiente de transferência de calor local hx em x 2 Mostre de forma qualitativa a variação de hx e hx em função de x SOLUÇÃO Dados Variação do coeficiente de transferência de calor local hxx Achar 1 A razão entre o coeficiente de transferência de calor médio hxx e o coeficiente local hxx 2 Esboço das variações de hx e hx com x Esquema Comentários O desenvolvimento da camadalimite causa a diminuição dos coeficientes local e médio com o aumento da distância para a aresta frontal O coeficiente médio até x deve portanto ser superior ao valor local em x EXEMPLO 62 Um longo cilindro circular com 20 mm de diâmetro é fabricado com naftaleno sólido um repelente comum contra traças e é exposto a uma corrente de ar que proporciona um coeficiente de transferência de massa convectivo médio de hm 005 ms A concentração molar do vapor de naftaleno na superfície do cilindro é 5 x 106 kmolm³ e a sua massa molar é de 128 kgkmol Qual é a taxa mássica de sublimação por unidade de comprimento do cilindro SOLUÇÃO Dados Concentração do vapor saturado de naftaleno Achar Taxa de sublimação por unidade de comprimento nA kgs m Esquema Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Concentração de naftaleno desprezível na corrente livre do ar Análise O naftaleno é transportado para o ar por convecção e da Equação 615 a taxa de transferência molar para o cilindro é NA hm πDLCAs CA Com CA 0 e NA NAL seguese que NA πDhmCAs π 002 m 005 ms 5 106 kmolm3 NA 157 108 kmolsm A taxa mássica de sublimação é então nA MA NA 128 kgkmol 157 108 kmolsm nA 201 106 kgsm EXEMPLO 63 Em algum ponto sobre a superfície de uma panela contendo água são efetuadas medidas da pressão parcial de vapor dágua pA atm em função da distância y da superfície do líquido Os resultados obtidos são os seguintes Determine o coeficiente de transferência de massa por convecção hmx nessa posição SOLUÇÃO Dados Pressão parcial pA de vapor dágua em função da distância y em uma posição específica na superfície de uma camada de água Achar Coeficiente de transferência de massa por convecção nessa posição Esquema Considerações 1 O vapor dágua pode ser considerado um gás ideal 2 Condições são isotérmicas Propriedades Tabela A6 vapor saturado 01 atm 0101 bar Ts 319 K Tabela A8 vapor dáguaar 319 K DAB 319 K DAB 289 K 319 K298 K32 0288 104 m2s Análise Da Equação 621 o coeficiente de transferência de massa por convecção local é hmx DAB pAyy0 ρAs pA ou considerando o vapor como um gás ideal pA ρART com T constante condições isotérmicas hmx DAB pAyy0 ρAs pA Com base na distribuição de pressões do vapor medida pAyy0 0 01 atm 0003 0 m 333 atmm Assim hmx 0288 104 m2s 333 atmm 01 002 atm 00120 ms Comentários A partir do equilíbrio termodinâmico na interface líquidovapor a temperatura interfacial foi determinada na Tabela A6 63 Escoamentos Laminar e Turbulento Na discussão de convecção até agora não nos remetemos ao significado das condições do escoamento Uma primeira etapa essencial no tratamento de qualquer problema de convecção é a determinação se a camadalimite é laminar ou turbulenta O atrito superficial e as taxas de transferência por convecção dependem fortemente de qual dessas condições está presente 631 CamadasLimite de Velocidade Laminar e Turbulenta O desenvolvimento de uma camadalimite sobre uma placa plana é ilustrado na Figura 66 Em muitos casos coexistem as condições de escoamento laminar e turbulento com a seção laminar precedendo a turbulenta Para cada condição o movimento de fluido é caracterizado por componentes da velocidade nas direções x e y O movimento do fluido se afastando da superfície se faz necessário pela desaceleração do fluido próximo à parede na medida em que a camadalimite cresce na direção x A Figura 66 mostra que há diferenças marcantes entre as condições de escoamento laminar e turbulento conforme descrito nos parágrafos seguintes Na camadalimite laminar o movimento do fluido é altamente ordenado sendo possível identificar linhas de corrente ao longo das quais as partículas do fluido se movem Da Seção 611 sabemos que a espessura da camadalimite aumenta e que os gradientes de velocidade em y 0 diminuem no sentido do escoamento aumento de x Na Equação 62 vemos que a tensão cisalhante local τs também diminui com o aumento de x O comportamento altamente ordenado continua até que uma zona de transição é atingida ao longo da qual ocorre uma conversão das condições laminares para as turbulentas As condições na zona de transição mudam com o tempo com o escoamento às vezes mostrando comportamento laminar e às vezes exibindo características de escoamento turbulento O escoamento na camadalimite completamente turbulenta é em geral altamente irregular sendo caracterizado pelo movimento tridimensional aleatório de relativamente grandes parcelas do fluido A mistura no interior da camadalimite direciona fluido com alta velocidade na direção x da superfície do sólido e transfere fluido com movimento mais lento mais para dentro da corrente livre A maior parte da mistura é promovida por vórtices na direção do escoamento chamados de streaks que são gerados intermitentemente próximo à placa plana onde eles crescem e decaem rapidamente Estudos analíticos e experimentais recentes sugerem que essas e outras estruturas coerentes no interior de escoamentos turbulentos podem se deslocar em ondas com velocidades que podem ser superiores a u interagem não linearmente e geram as condições caóticas que caracterizam o escoamento turbulento 2 Como um resultado das interações que levam às condições de escoamento caótico flutuações de velocidade e de pressão ocorrem em qualquer ponto no interior da camadalimite turbulenta Três regiões distintas podem ser delineadas na camadalimite turbulenta como uma função da distância da superfície Podemos falar em uma subcamada viscosa na qual o transporte é dominado pela difusão e o perfil de velocidades é aproximadamente linear Há uma camada de amortecimento adjacente na qual a difusão e a mistura turbulenta são comparáveis e há uma zona turbulenta na qual o transporte é dominado pela mistura turbulenta Uma comparação dos perfis do componente x da velocidade nas camadaslimite laminar e turbulenta fornecida pela Figura 67 mostra que o perfil de velocidades turbulento é relativamente plano devido à mistura que ocorre no interior da camada de amortecimento e da região turbulenta dando lugar a grandes gradientes de velocidade na subcamada viscosa Desta forma τs é geralmente maior na porção turbulenta da camadalimite da Figura 66 do que na porção laminar A transição do escoamento laminar para o turbulento é em última análise devida a mecanismos de gatilho tais como a integração de estruturas transientes do escoamento que se desenvolvem naturalmente no interior do fluido ou pequenos distúrbios que existem no interior de muitas camadaslimite típicas Esses distúrbios podem se originar em flutuações na corrente livre ou podem ser induzidos pela rugosidade superficial ou minúsculas vibrações na superfície O início da turbulência depende da amplificação ou atenuação dos mecanismos de gatilho na direção do escoamento do fluido o que por sua vez depende de um agrupamento adimensional de parâmetros chamado de número de Reynolds Rex ρu x μ 623 onde para uma placa plana o comprimento característico é x a distância a partir da aresta frontal Será mostrado posteriormente que o número de Reynolds representa a razão entre as forças de inércia e as viscosas Se o número de Reynolds for pequeno as forças de inércia serão insignificantes em relação às forças viscosas Os distúrbios são então dissipados e o escoamento permanece laminar Entretanto para um número de Reynolds grande as forças de inércia podem ser suficientes para amplificar os mecanismos de gatilho e a transição para a turbulência ocorre No cálculo do comportamento de camadaslimite freqüentemente é razoável supor que a transição comece em um certo local xc como mostrado na Figura 66 Esse local é determinado pelo número de Reynolds crítico Rexc Para o escoamento sobre uma placa plana sabese que o Rexc varia de aproximadamente 105 até 3 106 dependendo da rugosidade da superfície e do nível de turbulência na corrente livre Um valor representativo de Rexc ρu xc μ 5 105 624 é freqüentemente admitido em cálculos da camadalimite e caso não haja observação em contrário é usado nos cálculos neste texto que envolvem placas planas 632 CamadasLimite Térmica e de Concentração de Espécies Laminares e Turbulentas Como a distribuição de velocidades determina o componente advectivo do transporte de energia térmica ou de espécies químicas no interior da camadalimite a natureza do escoamento também tem uma profunda influência nas taxas de transferência de calor e de massa convectivas Similarmente ao que acontece com a camadalimite de velocidade laminar as camadalimite térmica e de espécies crescem no sentido do escoamento aumento de x os gradientes de temperatura e de concentração das espécies no fluido em y 0 diminuem no sentido do escoamento e de acordo com as Equações 65 e 69 os coeficientes de transferência de calor e de massa também diminuem com o aumento de x Da mesma forma que induz grandes gradientes de velocidade em y 0 a mistura turbulenta promove grandes gradientes de temperatura e de concentração de espécies adjacentes à superfície do sólido assim como um aumento correspondente nos coeficientes de transferência de calor e de massa ao longo da região de transição Esses efeitos estão ilustrados na Figura 68 para a espessura da camadalimite de velocidade δ e para o coeficiente de transferência de calor por convecção h Como a turbulência induz a mistura que por sua vez reduz a importância da condução e da difusão na determinação das espessuras das camadaslimite térmica e de concentração de espécies diferenças nas espessuras das camadaslimite de velocidade térmica e de espécies tendem a ser bem menores no escoamento turbulento do que no escoamento laminar Como está evidente na Equação 624 a presença da transferência de calor eou de massa pode afetar o local da transição de escoamento laminar para turbulento xc se a densidade ou a viscosidade dinâmica do fluido dependerem da temperatura ou da concentração das espécies FIGURA 67 Comparação dos perfis de velocidades nas camadaslimite de velocidade laminar e turbulenta para a mesma velocidade na corrente livre3 FIGURA 68 Variação da espessura da camadalimite de velocidade δ e do coeficiente de transferência de calor local h para o escoamento sobre uma placa plana isotérmica 3 Como a velocidade flutua com o tempo no escoamento turbulento a velocidade média no tempo ū está representada na Figura 67 FIGURA 66 Desenvolvimento da camadalimite de velocidade sobre uma placa plana EXEMPLO 64 Água escoa a uma velocidade de u 1 ms sobre uma placa plana de comprimento L 06 m Considere dois casos um no qual a temperatura da água é de aproximadamente 300 K e o outro para uma temperatura aproximada da água de 350 K Nas regiões laminar e turbulenta medidas experimentais mostram que os coeficientes convectivos locais são bem descritos por hlamx Clamx05 hturbx Cturb x02 onde x tem a unidade de m A 300 K Clam300 395 Wm15K Cturb300 2330 Wm18K enquanto a 350 K Clam350 477 Wm15K Cturb350 3600 Wm18K Como está evidente a constante C depende da natureza do escoamento assim como da temperatura da água em função da dependência com a temperatura de várias propriedades do fluido Determine o coeficiente convectivo médio h sobre a placa inteira para as duas temperaturas SOLUÇÃO Dados Escoamento de água sobre uma placa plana expressões para a dependência do coeficiente convectivo local com a distância da aresta frontal da placa x e temperatura aproximada da água Achar Coeficiente convectivo médio h Esquema Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Transição ocorre em um número de Reynolds crítico de Rexc 5 x 105 Propriedades Tabela A6 água T 300 K ρ vf1 997 kgm3 μ 855 x 106 Nsm2 Tabela A6 água T 350 K ρ vf1 974 kgm3 μ 365 x 106 Nsm2 Análise O coeficiente convectivo local é altamente dependente do fato de serem as condições de escoamento laminar ou turbulento Consequentemente em primeiro lugar determinamos a extensão dessas condições achando o local onde a transição ocorre xc Da Equação 624 sabemos que a 300 K xc Rexcμ ρ u 5 x 105 x 855 x 106 Nsm2 997 kgm3 x 1 ms 043 m enquanto a 350 K xc Rexcμ ρ u 5 x 105 x 365 x 106 Nsm2 974 kgm3 x 1 ms 019 m Da Equação 614 sabemos que h 1L 0L h dx 1L 0xc hlam dx xcL hturb dx ou h 1L Clam 05 x xc050 Cturb 08 x xc08L A 300 K h 106 m 395 Wm15K 05 x 04305 m05 2330 Wm18K 08 x 0608 04308 m08 1620 Wm2K enquanto a 350 K h 106 m 477 Wm15K 05 x 01905 m05 3600 Wm18K 08 x 0608 01908 m08 3710 Wm2K As distribuições dos coeficientes convectivos locais e o valor do coeficiente convectivo médio para x L 06 m na placa são mostrados na figura a seguir Comentários 1 O coeficiente convectivo médio a T 350 K é mais do que o dobro do valor a T 300 K Essa forte dependência com a temperatura é devida principalmente ao significativo des locamento de xc que está associado à menor viscosidade da água na maior temperatura Uma consideração cuidadosa da dependência com a temperatura das propriedades do fluido é crucial ao se fazer uma análise da transferência de calor por convecção 2 Variações com a posição do coeficiente convectivo local são significativas Os maiores coeficientes convectivos locais ocorrem na aresta frontal da placa plana onde a camadalimite térmica laminar é extremamente fina e logo após xc onde a camadalimite turbulenta é mais fina 64 As Equações de CamadaLimite Podemos aprimorar nossa compreensão dos efeitos físicos que determinam o comportamento de uma camadalimite e ilustrar sua relevância para o transporte convectivo através da análise das equações que governam condições nas camadaslimite como aquelas mostradas na Figura 69 A camadalimite de velocidade resulta da diferença entre a velocidade na corrente livre e a velocidade nula na parede enquanto a camadalimite térmica vem da diferença entre as temperaturas da corrente livre e da superfície O fluido é considerado uma mistura binária das espécies A e B e a camadalimite de concentração tem sua origem na diferença entre as concentrações na corrente livre e na superfície CA CAs A ilustração das espessuras relativas δt δc δ na Figura 69 é arbitrária até o momento Os fatores que influenciam o desenvolvimento relativo das camadaslimite serão discutidos posteriormente neste capítulo Nosso objetivo na próxima seção é obter as equações diferenciais que governam os campos de velocidades de temperaturas e de concentrações de espécies presentes no escoamento em camadalimite com a transferência de calor e de espécies A Seção 641 apresenta as equações de camada limite laminar e o Apêndice E fornece as equações correspondentes para as condições turbulentas 641 Equações de CamadaLimite para o Escoamento Laminar O movimento de um fluido no qual coexistem gradientes de velocidade temperatura e concentração deve obedecer a várias leis fundamentais da natureza Em particular em cada ponto do fluido a conservação de massa de energia e de espécies químicas assim como a segunda lei de Newton do movimento devem ser satisfeitas Equações representando essas exigências são deduzidas através da aplicação das leis em um volume de controle diferencial situado no escoamento As equações resultantes em coordenadas cartesianas para o escoamento bidimensional em regime estacionário de um fluido incompressível com propriedades constantes são dadas no Apêndice D Essas equações servem como ponto de partida para a nossa análise de camadaslimite laminares Observe que os escoamentos turbulentos são inerentemente não estacionários e as equações que os governam são apresentadas no Apêndice E Essas equações são deduzidas na Seção 6S1 Iniciamos restringindo nossa atenção em aplicações nas quais as forças de corpo são desprezíveis X Y 0 não há geração de energia térmica q 0 e o escoamento é não reativo NA 0 Simplificações adicionais podem ser feitas invocandose aproximações pertinentes às condições nas camadaslimite de velocidade térmica e de concentração As espessuras das camadaslimite são tipicamente muito pequenas em relação ao tamanho do objeto sobre o qual elas se formam e a velocidade na direção x a temperatura e a concentração devem mudar dos seus valores na superfície para os seus valores na corrente livre nestas distâncias muito pequenas Consequentemente gradientes normais à superfície do objeto são muito maiores do que aqueles ao longo da superfície Como um resultado podemos desprezar termos que representam a difusão na direção x do momento da energia térmica e da espécie química em relação aos seus correspondentes na direção y Isto é 3 4 625 ²ux² ²uy² ²Tx² ²Ty² ²CAx² ²CAy² FIGURA 69 Desenvolvimento das camadaslimite de velocidade térmica e de concentração para uma superfície arbitrária Desprezando os termos na direção x estamos supondo que a tensão cisalhante o fluxo condutivo e o fluxo difusivo da espécie correspondentes são desprezíveis Além disso em função de a camadalimite ser tão fina o gradiente de pressão na direção x no interior da camadalimite pode ser aproximado pelo gradiente de pressão na corrente livre 626 px dpdx A forma de px depende da geometria da superfície e pode ser obtida pela consideração em separado do escoamento na corrente livre Desta forma o gradiente de pressão pode ser tratado como uma grandeza conhecida Com as simplificações e aproximações anteriores a equação da continuidade global permanece inalterada com a forma da Equação D1 627 ux vy 0 Essa equação é um resultado da aplicação da conservação da massa no volume de controle diferencial dxdy1 mostrado na Figura 69 As duas parcelas representam o fluxo líquido saída menos entrada de massa nas direções x e y cuja soma deve ser zero em um escoamento em regime estacionário A equação do momento na direção x Equação D2 se reduz a 628 u ux v uy 1ρ dpdx ν ²uy² Essa equação resulta da aplicação da segunda lei de Newton do movimento na direção x no volume de controle diferencial dxdy1 no fluido O lado esquerdo representa a taxa líquida na qual o momento na direção x deixa o volume de controle devido ao movimento do fluido através de suas fronteiras A primeira parcela no lado direito representa a força de pressão líquida e a segunda parcela a força líquida devido às tensões cisalhantes viscosas A equação da energia Equação D4 se reduz a 629 u Tx v Ty α ²Ty² ν cp uy² Essa equação resulta da aplicação da conservação de energia no volume de controle diferencial no fluido em escoamento As parcelas no lado esquerdo levam em conta a taxa líquida na qual a energia térmica deixa o volume de controle devido ao movimento global do fluido advecção A primeira parcela no lado direito reflete a entrada líquida de energia térmica devido à condução na direção y A última parcela no lado direito é o que resta da dissipação viscosa Equação D5 quando é reconhecido que na camadalimite o componente da velocidade na direção ao longo da superfície u é muito maior do que aquele na direção normal à superfície v e os gradientes normais à superfície são muito maiores do que aqueles ao longo da superfície Em muitas situações essa parcela pode ser desprezada em relação àquelas que levam em conta a advecção e a condução Entretanto o aquecimento aerodinâmico que acompanha vôos de alta velocidade especialmente supersônicos é uma situação digna de nota na qual essa parcela é importante A equação da conservação de uma espécie Equação D6 se reduz a 630 u CAx v CAy DAB ²CAy² Essa equação é obtida ao se aplicar a conservação de uma espécie química em um volume de controle diferencial em um escoamento As parcelas no lado esquerdo levam em conta o transporte líquido da espécie A devido ao movimento global do fluido advecção enquanto o lado direito representa a entrada líquida devido à difusão na direção y As Equações 627 a 630 podem ser resolvidas para determinar as variações espaciais de u v T e CA nas diferentes camadaslimite laminares Para o escoamento incompressível com propriedades constantes as Equações 627 e 628 são desacopladas das Equações 629 e 630 Isto é as Equações 627 e 628 podem ser resolvidas para determinar o campo de velocidades ux y e vx y sem considerar as Equações 629 e 630 A partir do conhecimento de ux y o gradiente de velocidades uyy0 pode então ser determinado e a tensão cisalhante na parede pode ser obtida da Equação 62 Em contraste através da presença de u e v nas Equações 629 e 630 os campos de temperaturas e de concentrações de espécies são acoplados ao campo de velocidades Dessa forma ux y e vx y têm que ser conhecidos antes que as Equações 629 e 630 possam ser resolvidas para determinar Tx y e CAx y Uma vez que Tx y e CAx y tenham sido determinados nessas soluções os coeficientes de transferência de calor e de massa por convecção podem ser determinados pelas Equações 65 e 69 respectivamente Temse então que esses coeficientes dependem fortemente do campo de velocidades Como as soluções de camadaslimite geralmente envolvem matemática além do escopo deste texto nosso tratamento de tais soluções estará restrito à análise do escoamento paralelo laminar sobre uma placa plana Seção 72 e Apêndice F Contudo outras soluções analíticas são discutidas em textos avançados sobre convecção 68 e soluções detalhadas de camadalimite podem ser obtidas usandose técnicas numéricas diferenças finitas 4 Atenção especial deve ser dada à influência do transporte de espécies na camadalimite de velocidade Lembre que o desenvolvimento da camadalimite de velocidade é geralmente caracterizado pela existência de uma velocidade do fluido igual a zero na superfície Essa condição se aplica ao componente da velocidade u normal à superfície da mesma forma que ao componente da velocidade u ao longo da superfície Contudo se houver transferência de massa simultânea para ou saindo da superfície é evidente que v não pode ser nser nulo na superfície Todavia nos problemas de transferência de massa de interesse neste texto é razoável supor que v 0 na superfície o que é equivalente a considerar que a transferência de massa tem uma influência desprezível na camadalimite de velocidade A suposição é apropriada em muitos problemas envolvendo evaporação ou sublimação em interfaces gáslíquido ou gássólido respectivamente Entretanto ela não é apropriada em problemas de resfriamento com transferência de massa que envolvem altas taxas de transferência de massa na superfície 5 Além disso observamos que com transferência de massa o fluido na camadalimite é uma mistura binária de espécies A e B e suas propriedades devem ser aquelas da mistura Contudo em todos os problemas deste texto CA CB e então é aceitável a suposição de que as propriedades na camadalimite tais como k μ cp etc são aquelas da espécie B e elementos finitos 9 É também essencial reconhecer que um grande conjunto de situações de relevância para a engenharia envolvem transferência de calor convectiva turbulenta que é matemática e fisicamente mais complexa que a convecção laminar As equações de camadalimite para escoamento turbulento estão incluídas no Apêndice E É importante ressaltar que não desenvolvemos as equações de camadalimite laminar com o objetivo de somente obter soluções para elas Na realidade fomos motivados principalmente por duas outras considerações Uma motivação foi a obten 65 Similaridade na CamadaLimite As Equações de CamadaLimite Normalizadas Se examinarmos as Equações 628 629 e 630 observamos uma forte similaridade Na realidade se o gradiente de pressão que aparece na Equação 628 e o termo da dissipação viscosa na Equação 629 forem desprezíveis as três equações têm a mesma forma Cada equação é caracterizada por termos relacionados à advecção no lado esquerdo e um termo difusivo no lado direito Essa situação descreve escoamentos de convecção forçada a baixas velocidades que são encontrados em muitas aplicações em engenharia Implicações dessa similaridade podem ser desenvolvidas de uma maneira racional primeiramente adimensionalizando as equações que governam os processos 651 Parâmetros de Similaridade da CamadaLimite As equações de camadalimite são normalizadas partindose da definição de variáveis independentes adimensionais com as formas x L e y L 631 onde L é um comprimento característico para a superfície de interesse por exemplo o comprimento de uma placa plana Além disso as variáveis dependentes adimensionais também podem ser definidas como u u V e v v V 632 onde V é a velocidade a montante da superfície Figura 69 e como T T Ts T Ts 633 CA CA CAs CAo CAs 634 As Equações 631 a 634 podem ser substituídas nas Equações 628 629 e 630 para se obter as formas adimensionais das equações de conservação mostradas na Tabela 61 Note que a dissipação viscosa foi desprezada e que p p QV2 é uma pressão adimensional As condições de contorno na direção y necessárias na solução das equações são também mostradas na tabela Três parâmetros de similaridade adimensionais muito importantes são introduzidos na Tabela 61 Eles são o número de Reynolds ReL o número de Prandtl Pr e o número de Schmidt TABELA 61 As equações de camadalimite e suas condições de contorno na direção y na forma adimensional Condições de Contorno Camada Limite Equação de Conservação Parede Corrente Livre Parâmetros de Similaridade Velocidade udu u du dp 1 d2u 635 6 x y ReL dy2 ux0 0 uxoo uoox 638 vx0 0 v xcx V ReL VL 641 Térmica uJT vJT 1 j2 636 6 x y RePr Jy2 Tx0 0 Txco 1 639 Re Pr 642 Concentração u uCA v uCA 1 637 8 x y RelSc dy2 CAx0 0 CAxco 1 640 ReL Sc 643 Sc Parâmetros de similaridade são importantes pois nos permitem a utilização de resultados obtidos em uma superfície submetida a um conjunto de condições convectivas em superfícies geometricamente similares submetidas a condições inteiramente diferentes Essas condições podem variar por exemplo com a natureza do fluido com a velocidade do fluido eou com o tamanho da superfície como descrita pelo comprimento característico L Contanto que os parâmetros de similaridade e as condições de contorno adimensionais sejam os mesmos para dois conjuntos de condições as soluções das equações diferenciais para a velocidade a temperatura e a concentração adimensionais serão também as mesmas Esse conceito será mais expandido no restante dessa seção 652 Forma Funcional das Soluções As Equações 635 a 643 na Tabela 61 são extremamente úteis do ponto de vista da sugestão de como resultados de camadaslimite importantes podem ser simplificados e generalizados A equação do momento 635 sugere que embora as condições na camadalimite de velocidade dependam das propriedades do fluido p e u da velocidade V e da escala de comprimento L essa dependência pode ser simplificada pelo agrupamento dessas variáveis na forma do número de Reynolds Conseqüentemente antecipamos que a solução da Equação 635 terá a seguinte forma funcional u f x y ReL dP 644 dx Como a distribuição de pressões px depende da geometria da superfície e pode ser obtido de forma independente analisandose as condições do escoamento na corrente livre a presença de dpdx na Equação 644 representa a influência da geometria na distribuição de velocidades Da Equação 62 a tensão de cisalhamento na superfície y 0 pode ser representada por Ts 42 U0 S1 41 0 e das Equações 61 e 641 temse que o coeficiente de atrito é Cf 645 Com base na Equação 644 também sabemos que 646 Assim para uma dada geometria a Equação 645 pode ser escrita na forma Cf 2 fx ReL O significado desse resultado não deve ser desprezado A Equação 646 estabelece que o coeficiente de atrito um parâmetro adimensional de importância considerável para o engenheiro pode ser representado exclusivamente em termos de uma coordenada espacial adimensional e do número de Reynolds Portanto para uma geometria especificada esperamos que a função que relaciona Cf a x e ReL seja universalmente aplicável Isto é esperamos que ela se aplique para diferentes fluidos e em uma ampla faixa de valores para V e L Resultados similares podem ser obtidos para os coeficientes convectivos de transferência de calor e de massa Intuitivamente podemos antecipar que h depende das propriedades do fluido k cp u e p da velocidade do fluido V da escala de comprimento L e da geometria da superfície Contudo a Equação 636 sugere a maneira pela qual essa dependência pode ser simplificada Em particular a solução dessa equação pode ser representada na forma Tfx y ReL Pr dp dx 647 onde a dependência em relação a dpdx se origina na influência da geometria no movimento do fluido u e v que por sua vez afeta as condições térmicas Mais uma vez o termo dpdx representa o efeito da geometria da superfície A partir da definição do coeficiente convectivo Equação 65 e das variáveis adimensionais Equações 631 e 633 obtemos também h kT Ts aT j kaT Re Ly T T dy0 dy y0 Essa expressão sugere a definição de um parâmetro adimensional dependente conhecido por número de Nusselt Numero de Nusselt Nu 648 kT dy lyo Esse parâmetro é igual ao gradiente de temperatura adimensional na superfície e fornece uma medida da transferência de calor por convecção que ocorre na superfície Da Equação 647 temse que para uma geometria especificada 649 O número de Nusselt representa para a camadalimite térmica o que o coeficiente de atrito representa para a camadalimite de velocidade A Equação 649 indica que para uma dada geometria o número de Nusselt deve ser uma função universal de x ReL e Pr Se essa função for conhecida ela pode ser usada para calcular o valor de Nu para diferentes fluidos e para diferentes valores de V e L A partir do conhecimento de Nu o coeficiente convectivo local h pode ser determinado e o fluxo térmico local pode então ser calculado pela Equação 64 Além disso como o coeficiente de transferência de calor médio é obtido por uma integração ao longo da superfície do corpo ele deve ser independente da variável espacial x Assim a dependência funcional do número de Nusselt médio é Nu 650 Analogamente podese argumentar que no caso da transferência de massa no escoamento de um gás sobre um líquido evaporando ou um sólido sublimando o coeficiente de trans feraência de massa por convecção hm depende das propriedades D AB p e da velocidade V e do comprimento característico L Entretanto a Equação 637 sugere que essa dependência possa ser simplificada A solução para essa equação deve possuir a forma CA f x y ReL SC dp 651 dx onde a dependência em relação a dpdx novamente se origina na influência do movimento do fluido A partir da definição do coeficiente convectivo Equação 69 e das variáveis adimensionais Equações 631 e 634 sabemos que DAB CAo CA1 aCA DAB aCA L CAs CAo dy0 652 Assim podemos definir um parâmetro adimensional dependente chamado de número de Sherwood Sh Numero de Sherwood Sh 653 Esse parâmetro é igual ao gradiente de concentração adimensional na superfície e fornece uma medida da transferência de massa convectiva que ocorre na superfície Da Equação 651 temse que para uma geometria especificada O número de Sherwood representa para a camadalimite de concentração o que o número de Nusselt representa para a camadalimite térmica e a Equação 653 indica que ele deve ser uma função universal de x ReL e Sc Como para o número de Nusselt também é possível trabalhar com um número de Sherwood médio que depende somente de ReL e Sc Sh 654 A partir do desenvolvimento anterior obtemos os parâmetros adimensionais relevantes para as camadaslimite de convecção forçada a baixas velocidades Fizemos isso através da adimensionalização das equações diferenciais que descrevem os processos físicos que ocorrem no interior das camadaslimite Um procedimento alternativo envolveria o uso de análise dimensional na forma do teorema pi de Buckingham 10 No entanto o sucesso desse método depende da habilidade na seleção em grande parte por intuição dos vários parâmetros que influenciam o problema Por exemplo sabendo de antemão que h fk cp p u V L o teorema pi de Buckingham poderia ser usado na obtenção da Equação 650 Entretanto tendo partido da forma diferencial das equações de conservação eliminamos o trabalho de adivinhação e estabelecemos os parâmetros de similaridade de uma maneira rigorosa O valor de uma expressão como a Equação 650 deve ser plenamente ressaltado Ela estabelece que muitos resultados da transferência de calor por convecção obtidos teórica ou experimentalmente podem ser representados em termos de três grupos dimensionais ao invés dos sete parâmetros originais A conveniência de tais simplificações é evidente Além disso uma vez determinada a dependência funcional da Equação 650 para uma geometria superficial específica por exemplo a partir de experimentos feitos em laboratório sabese que ela é universalmente aplicável Em outras palavras queremos dizer que ela pode ser utilizada para diferentes fluidos velocidades e escalas de comprimento bastando para tal que as hipóteses implícitas nas equações de camadalimite originais permaneçam válidas por exemplo dissipação viscosa e forças de corpo desprezíveis EXEMPLO 65 Testes experimentais em parte da pá da turbina mostrada na figura indicam um fluxo térmico para a pá de q 95000 W m2 Para manter uma temperatura superficial em regime estacionário de 800C o calor transferido para a lâmina é removido por uma substância refrigerante que circula pelo interior da pá 1 Determine o fluxo térmico no pé se a sua temperatura superficial for reduzida para Ts1 700C através do aumento da vazão do refrigerante 2 Determine o fluxo térmico no mesmo local adimensional em uma pá de turbina similar com um comprimento de corda de L 80 mm quando a pá operar em um escoamento de ar com Too 1150C e V 80 ms com Ts 800C SOLUÇÃO Dados Condições operacionais de uma pá de turbina com resfriamento interno Achar 1 Fluxo térmico na pá quando a temperatura superficial é reduzida 2 Fluxo térmico em uma pá de turbina maior e com o mesmo formato com a velocidade do ar reduzida T 95 kMm2 Ar Ts 800C Canal do refrigerante V 160 ms T00 1150C 7 L 40mm Condições originais Esquema Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Propriedades do ar constantes Análise 1 Quando a superfície está a 800C o coeficiente de transferência de calor convectivo entre a superfície e o ar pode ser obtido com a lei do resfriamento de Newton q hT Ts Assim h q T Ts Prosseguiremos sem calcular o valor agora Da Equação 649 temse que para a geometria especificada Nu hL k fx ReL Pr Assim uma vez que não há mudança nos valores de x ReL ou Pr associada à uma mudança em T pois as propriedades físicas são constantes o número de Nusselt local permanece inalterado Além disto como L e k não mudam também o coeficiente convectivo local permanece o mesmo Assim quando a temperatura da superfície é reduzida para 700C o fluxo térmico pode ser obtido pela lei do resfriamento de Newton usando o mesmo coeficiente convectivo q1 hT Ts1 qT Ts T Ts1 95000 Wm21150 800C 1150 700C 122000 Wm2 2 Para determinar o fluxo térmico associado à pá maior e ao escoamento do ar reduzido caso 2 em primeiro lugar observamos que embora L tenha aumentado por um fator de 2 a velocidade diminuiu pelo mesmo fator e o número de Reynolds não mudou Isto é ReL2 V2L2ν VLν ReL Conseqüentemente como o x e Pr também não se alteraram o número de Nusselt local permanece o mesmo Nu2 Nu Entretanto como o comprimento característico é diferente o coeficiente convectivo muda h2L2 k hL k ou h2 h LL2 q T Ts LL2 O fluxo térmico é então q2 h2T Ts qT Ts LT Ts L2 q2 95000 Wm2 x 004 m 008 m 47500 Wm2 Comentários Se os números de Reynolds nas duas situações da parte 2 fossem diferentes ou seja ReL2 ReL o fluxo térmico q2 somente poderia ser determinado se a dependência funcional específica da Equação 649 fosse conhecida Tais dependências para várias formas diferentes são fornecidas nos capítulos seguintes 66 Significado Físico dos Parâmetros Adimensionais Todos os parâmetros adimensionais anteriores possuem interpretações físicas relacionadas às condições no escoamento não somente para camadaslimite mas também para outros tipos de escoamento tais como os escoamentos internos que serão vistos no Capítulo 8 Seja o número de Reynolds ReL Equação 641 que pode ser interpretado como a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas em uma região de dimensão característica L As forças de inércia estão associadas a um aumento no momento de um fluido em movimento Na Equação 628 fica evidente que essas forças por unidade de massa têm a forma uux que uma aproximação em termos de ordem de grandeza fornece FI VL2 Analogamente a força de cisalhamento líquida está no lado direito da Equação 628 na forma ν2uy2 e pode ser aproximada por Fc νVL2 Conseqüentemente a razão entre as forças é FIFc ρV2LμVL2 ρVLμ ReL Assim esperamos que as forças inerciais dominem em grandes valores de ReL e que as forças viscosas sejam dominantes em pequenos valores de ReL Existem várias implicações importantes desse resultado Lembrese que o número de Reynolds determina a existência de um escoamento laminar ou turbulento Em qualquer escoamento há pequenas perturbações que podem ser amplificadas para produzir condições turbulentas Entretanto para pequenos ReL as for ças viscosas são suficientemente grandes em relação às forças inerciais para evitar essa amplificação Assim o escoamento laminar é mantido Porém com o aumento de ReL os efeitos viscosos se tornam progressivamente menos importantes em relação aos efeitos inerciais e pequenas perturbações podem ser amplificadas até um ponto no qual ocorra a transição Também devemos esperar que a magnitude do número de Reynolds tenha influência sobre a espessura δ da camadalimite de velocidade Com o aumento de ReL em um ponto fixo sobre uma superfície esperamos que as forças viscosas se tornem menos influentes em relação às forças de inércia Dessa forma os efeitos da viscosidade não penetram tão profundamente na corrente livre e como conseqüência o valor de δ diminui A interpretação física do número de Prandtl vem de sua definição como a razão entre a difusividade de momento ν e a difusividade térmica α O número de Prandtl fornece uma medida da efetividade relativa dos transportes por difusão de momento e de energia no interior das camadaslimite de velocidade e térmica respectivamente Na Tabela A4 vemos que o número de Prandtl de gases é próximo da unidade o que significa que as transferências de momento e de energia por difusão são comparáveis Em um metal líquido Tabela A7 Pr 1 e a taxa de difusão de energia é muito superior à taxa de difusão de momento O oposto é verdade para os óleos Tabela A5 para os quais Pr 1 Com base nessa interpretação temse que o valor de Pr influencia fortemente o crescimento relativo das espessuras das camadaslimite de velocidade e térmica Na realidade para camadaslimite laminares nas quais o transporte por difusão não é sobrepujado pela mistura turbulenta é razoável esperar que δ δt Prn 655 onde n é um expoente positivo Assim para um gás δt δ para um metal líquido δt δ e para um óleo δt δ Analogamente o número de Schmidt que é definido pela Equação 643 fornece uma medida da efetividade relativa dos transportes difusivos de momento e de massa nas camadaslimite de velocidade e de concentração respectivamente Conseqüentemente para a transferência de massa por convecção em escoamentos laminares ele determina as espessuras relativas das camadaslimite de velocidade e de concentração δt δc Scn 656 Um outro parâmetro que está relacionado ao Pr e ao Sc é o número de Lewis Le Ele é definido como Le α DAB Sc Pr 657 e é relevante em qualquer situação que envolva a transferência simultânea de calor e de massa por convecção Das Equações 655 a 657 temse então que δt δc Le n 658 O número de Lewis é portanto uma medida das espessuras relativas das camadaslimite térmica e de concentração Para a maioria das aplicações é razoável admitir um valor de n 13 nas Equações 655 656 e 658 A Tabela 62 lista os grupos adimensionais que aparecem mais freqüentemente na transferência de calor e de massa A lista inclui grupos já citados bem como aqueles ainda por serem apresentados em condições especiais Quando um novo grupo for encontrado sua definição e sua interpretação devem ser memorizadas Note que o número de Grashof fornece uma medida da razão entre as forças de empuxo e as forças viscosas na camadalimite de velocidade Seu papel na convecção natural Capítulo 9 é muito semelhante ao do número de Reynolds na convecção forçada O número de Eckert fornece uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a diferença de entalpias que existe através da camadalimite térmica Ele desempenha um papel importante nos escoamentos a altas velocidades nos quais a dissipação viscosa é significativa Note também que embora similares na forma os números de Nusselt e de Biot são diferentes tanto na definição quanto na interpretação Enquanto o número de Nusselt é definido em termos da condutividade térmica do fluido o número de Biot é baseado na condutividade térmica do sólido Equação 59 TABELA 62 Grupos adimensionais selecionados das transferências de calor e de massa Grupo Definição Interpretação Número de Biot Bi hL ks Razão entre a resistência térmica interna de um sólido e a resistência térmica na camadalimite Número de Biot da transferência de massa Bim hmL DAB Razão entre a resistência interna à transferência de uma espécie e a resistência à transferência de uma espécie na camadalimite Número de Bond Bo gρ1 ρv L2 σ Razão entre a força gravitacional e a força ligada à tensão superficial Coeficiente de atrito Cf τs ρV22 Tensão cisalhante superficial adimensional Número de Eckert Ec V2 cpTs T Energia cinética do escoamento relativa à diferença de entalpias na camadalimite continua TABELA 62 Continuação Grupo Definição Interpretação Número de Fourier Fo αt L2 Razão entre a taxa condutiva de calor e a taxa de armazenamento de energia térmica em um sólido Tempo adimensional Número de Fourier da transferência de massa Fom DABt L2 Razão entre a taxa de difusão de uma espécie e a sua taxa de armazenamento Tempo adimensional Fator de atrito f Δp LDρu²2 Queda entre pressão adimensional no escoamento interno Número de Grashof GrL gβTs T L³ ν² Medida da razão entre forças de empuxo e forças viscosas Fator j de Colburn jc St Pr23 Coeficientes de transferência de calor adimensional Fator j de Colburn da transferência de massa jm Stm Sc23 Coeficiente de transferência de massa adimensional Número de Jacob Ja cpTs Tsat hfg Razão entre as energias sensível e latente absorvidas durante uma mudança de fase líquidovapor Número de Lewis Le α DAB Razão entre as difusividades térmica e mássica Número de Nusselt NuL hL kf Razão entre transferência de calor por convecção e somente por condução Número de Peclet PeL VL α ReL Pr Razão entre taxas de transferência de calor por advecção e por condução Número de Prandtl Pr cpμ k ν α Razão entre as difusividades de momento e térmica Número de Reynolds ReL VL ν Razão entre as forças de inércia e viscosas Número de Schmidt Sc ν DAB Razão entre as difusividades de momento e mássica Número de Sherwood ShL hmL DAB Gradiente de concentração adimensional na superfície Número de Stanton St h ρVcp NuL ReL Pr Número de Nusselt modificado Número de Stanton da transferência de massa Stm hm V ShL ReL Sc Número de Sherwood modificado Número de Weber We ρV2L σ Razão entre a força de inércia e a força ligada à tensão superficial 67 Analogias das CamadasLimite Como engenheiros nosso interesse no comportamento das camadaslimite está direcionado principalmente para os parâmetros adimensionais Cf Nu e Sh A partir do conhecimento desses parâmetros podemos calcular a tensão de cisalhamento na parede e as taxas de transferência de calor e de massa por convecção É portanto compreensível que as expressões que relacionam Cf Nu e Sh entre si possam ser ferramentas úteis na análise da convecção Tais expressões estão disponíveis na forma de analogias das camadaslimite 671 A Analogia entre as Transferências de Calor e de Massa Se dois ou mais processos são governados por equações adimensionais da mesma forma os processos são ditos análogos É evidente então pelas Equações 636 e 637 e pelas condições de contorno e Equações 639 e 640 da Tabela 61 que as transferências de calor e de massa por convecção são análogas Cada uma das equações diferenciais é composta por termos de advecção e de difusão que têm a mesma forma Além disso conforme mostrado nas Equações 636 e 637 cada equação está relacionada ao campo de velocidades através de ReL e os parâmetros Pr e Sc assumem papéis análogos Uma implicação dessa analogia é que as relações adimensionais que governam o comportamento da camadalimite térmica devem ter a mesma forma daquelas que governam a camadalimite de concentração Assim os perfis de temperatura e de concentração nas camadaslimite devem também ser da mesma forma funcional se as condições de contorno aplicadas forem análogas Lembrando a discussão da Seção 652 cujas características estão resumidas na Tabela 63 um resultado importante da analogia da transferência de calor e de massa pode ser obtido A partir do parágrafo anterior seguese que a Equação 647 deve apresentar a mesma forma funcional da Equação 651 Das Equações 648 e 652 temse então que os gradientes de temperatura e de concentração adimensionais determinados na superfície e portanto os valores de Nu e Sh são análogos De maneira similar as expressões para os valores médios dos números de Nusselt e de Sherwood Equações 650 e 654 respectivamente são também da mesma forma Conseqüentemente para uma geometria específica as relações das transferências de calor e de massa são intercambiáveis Se por exemplo alguém tenha executado uma série de experimentos de transferência de calor para determinar a forma funcional da Equação 649 para uma geometria particular os resultados podem ser usados para a transferência de massa convectiva envolvendo a mesma geometria simplesmente através da substituição de Nu por Sh e Pr por Sc TABELA 63 Relações funcionais pertinentes às analogias das camadaslimite Escoamento de Fluidos Transferência de Calor Transferência de Massa u fx y ReL dp dx 644 T f x y ReL Pr dp dx 647 CA f x y ReL Sc dp dx 651 Cf 2ReL ²u y² y 0 645 Nu hLk T y y0 648 Sh hmLDAB 𝐶𝐴 y y 0 652 Cf 2ReL fx ReL 646 Niu fx ReL Pr 649 Sh fx ReL Sc 653 Nu fReL Pr 650 Sh fReL Sc 654 EXEMPLO 66 Um sólido de forma arbitrária está suspenso em ar atmosférico com uma corrente livre com temperatura e velocidade iguais a 20C e 100 ms respectivamente O sólido possui um comprimento característico de 1 m e sua superfície é mantida a 80C Sob essas condições medidas do fluxo térmico em um determinado ponto x na superfície e da temperatura na camadalimite acima desse ponto x y revelam valores de 10⁴ Wm² e 60C respectivamente Uma operação de transferência de massa deve ser efetuada em um segundo sólido com a mesma forma porém com um comprimento característico de 2 m Em particular uma fina película de água sobre o sólido deve ser evaporada para o ar atmosférico seco com uma velocidade na corrente livre de 50 ms estando o ar e o sólido a uma mesma temperatura de 50C Quais são a concentração molar e o fluxo molar do vapor dágua na posição x y correspondente ao ponto onde as medidas de temperatura e de fluxo térmico foram efetuadas no primeiro caso SOLUÇÃO Dados Uma temperatura e um fluxo térmico em uma determinada posição no interior de uma camadalimite sobre um sólido em uma corrente de ar com temperatura e velocidade especificadas Achar Concentração e fluxo de vapor dágua associados ao mesmo local em uma superfície maior com a mesma forma Esquema T 20C V 100 ms p 1 atm Tx y 60C qx 10⁴ Wm² Ts 80C Ar Caso 1 transferência de calor T 50C V 50 ms p 1 atm CA 0 Ar B Caso 2 transferência de massa CAx y NAx Filme de água A Ts 50C L 2 m Considerações 1 Comportamento de camada limite incompressível bidimensional e em regime estacionário propriedades constantes 2 Aproximações da camadalimite válidas 3 Dissipação viscosa desprezível 4 Fração molar do vapor dágua na camadalimite de concentração muito menor do que a unidade Propriedades Tabela A4 ar 50C v 182 x 10⁶ m²s k 28 x 10³ WmK Pr 070 Tabela A6 vapor dágua saturado 50C ρAsat v¹ 0082 kgm³ Tabela A8 vapor dáguaar 50C DAB 026 x 10⁴ m²s Análise A concentração molar e o fluxo desejados podem ser determinados utilizandose a analogia entre as transferências de calor e de massa Das Equações 647 e 651 sabemos que T T Ts T Ts fx y ReL Pr dp dx e CA CA CAs CA CAs fx y ReL Sc dp dx Contudo para o caso 1 Rel1 V1L1ν 100 ms x 1 m 182 x 10⁶ m²s 55 x 10⁶ Pr 070 enquanto para o caso 2 ReL2 V2L2ν 50 ms x 2 m 182 x 10⁶ m²s 55 x 10⁶ Sc νDAB 182 x 10⁶ m²s 26 x 10⁶ m²s 070 Como ReL1 ReL2 Pr Sc x1 x2 y1 y2 e as geometrias das superfícies são as mesmas temse que as distribuições de temperaturas e de concentrações têm a mesma forma funcional Assim CAx y CAs CA CAs Tx y Ts T Ts 60 80 20 80 033 ou com CA 0 Com CAs CAsat50C ρAsat MA 0082 kgm³ 18 kgkmol 00046 kmolm³ seguese que CAx y 067 00046 kmolm³ 00031 kmolm³ O fluxo molar pode ser obtido da Equação 68 NAx hmCAs CA com hm determinado a partir da analogia Pelas Equações 649 e 653 sabemos que como x1 x2 ReL1 ReL2 e Pr Sc as formas funcionais correspondentes são equivalentes Assim Sh hmL2 DAB Nu hL1 k Com h qTs T em função da lei do resfriamento de Newton hm L1 L2 x DAB k x q Ts T 12 x 026 x 10⁴ m²s 0028 WmK x 10⁴ Wm² 80 20C hm 0077 ms Onde NAx 0077 ms 00046 00 kmolm³ ou NAx 354 x 10⁴ kmolsm² Comentário Note que como a fração molar de vapor dágua na camadalimite de concentração é pequena a viscosidade cinemática do ar νB pode ser usada para calcular ReL2 672 Resfriamento Evaporativo Uma aplicação importante da analogia das transferências de calor e de massa é o processo de resfriamento evaporativo que ocorre quando um gás escoa sobre um líquido Figura 610 A evaporação ocorre na superfície do líquido e a energia associada à mudança de fase é o calor latente de vaporização do líquido A evaporação acontece quando as moléculas do líquido próximas à superfície sofrem colisões que aumentam a sua energia para um valor acima daquele necessário para superar a energia de ligação na superfície A energia necessária para sustentar a evaporação vem da energia interna do líquido que deve então experimentar uma redução na sua temperatura o efeito de resfriamento No entanto se condições de regime estacionário forem mantidas a energia perdida pelo líquido em função da evaporação deve ser reposta pela transferência de energia para o líquido originada na sua vizinhança Desprezando efeitos radiantes essa transferência pode ser devida à convecção de energia sensível oriunda do gás ou devida à adição de calor por outros meios como por exemplo através de um aquecedor elétrico submerso no líquido Aplicando a conservação de energia em uma superfície de controle em torno do líquido Equação 111c temse que por uma unidade de área superficial qconv qevap qevap 661 onde qevap pode ser aproximado pelo produto do fluxo de massa evaporado pelo calor latente de vaporização qevap ṁA hfg 662 Se não houver adição de calor por outros meios a Equação 661 se reduz a um equilíbrio entre a transferência de calor por convecção a partir do gás e a perda de calor do líquido em função da evaporação Substituindo as Equações 64 618 e 662 a Equação 661 pode então ser escrita como hT Ts hfg hmρAsat Ts ρA 663 Escoamento do gás espécie B qconv qevap Interface gáslíquido Camada de líquido espécie A qad FIGURA 610 Troca de calor latente e sensível em uma interface gáslíquido onde a densidade do vapor na superfície é aquela associada às condições de saturação a Ts Assim a magnitude do efeito de resfriamento pode ser representado por T Ts hm h m ρAsat Ts ρA 664 Substituindo hm h vindo da Equação 660 e as densidades do vapor obtidas pela lei do gás ideal o efeito de resfriamento também pode ser representado por T Ts Mhfg βρcpLe²³ ρAsat Ts Ts ρA T 665 Com o objetivo de melhorar a precisão as propriedades do gás espécie B ρ cp e Le deveriam ser calculadas na temperatura média aritmética da camadalimite térmica Tma Ts T2 Um valor representativo de n ⅓ foi adotado como expoente do Pr e do Sc na Equação 660 Numerosas aplicações ambientais e industriais dos resultados anteriores surgem em situações nas quais o gás é o ar e o líquido é a água EXEMPLO 67 Um recipiente que se encontra envolvido por um tecido que é continuamente umedecido com um líquido altamente volátil pode ser usado para manter bebidas frias em regiões quentes e áridas Suponha que o recipiente seja colocado em um ambiente com ar seco a 40C com as transferências de calor e de massa entre o agente umectante e o ar ocorrendo por convecção forçada O agente umectante possui massa molar de 200 kgkmol e um calor latente de vaporização de 100 kJkg Sua pressão de vapor saturado para as condições especificadas é de aproximadamente 5000 Nm² e o coeficiente de difusão do vapor no ar é 02 x 10⁴ m²s Qual é a temperatura da bebida no regime estacionário SOLUÇÃO Dados Propriedades do agente umectante usado para resfriar por evaporação um recipiente de bebida Achar Temperatura da bebida no regime estacionário Esquema Ar B Ts C Agente umectante volátil A hfg 100 kJkg MA 200 kgkmol PA sat Ts 5000 Nm² DAB 02 x 104 m²s T 40C φ 0 qconv qevap Considerações 1 Analogia da transferência de calor e de massa aplicável 2 Vapor apresenta comportamento de gás ideal 3 Efeitos da radiação desprezíveis 4 Propriedades do ar podem ser calculadas na temperatura média da camadalimite suposta igual a 300 K Propriedades Tabela A4 ar 300K ρ 116 kgm³ cp 1007 kJkgK α 225 x 10⁶ m²s Análise Sujeito às considerações anteriores o efeito do resfriamento evaporativo é dado pela Equação 665 T Ts M Ah fg ρl ρcp Le23pAsatTs Ts pA T Estabelecendo pA 0 e rearrumando temse que Ts2 TTs B 0 onde o coeficiente B é B M Ah fg pAsat ρl ρcp Le23 ou B 200 kgkmol 100 kJkg 5000 Nm2 103 kJNm 8315 kJkmolK 116 kgm3 1007 kJkgK 225 106 m2s 20 106 m2s23 9518 K2 Donde Ts T T2 4B2 313 K 3132 495142 Não considerando o sinal de menos com base em argumentos físicos Ts tem que ser igual a T se não houver evaporação caso em que pAsat 0 e B 0 temse que Ts 2789 K 59C Comentários O resultado é independente da forma do recipiente desde que a analogia das transferências de calor e de massa possa ser usada 673 A Analogia de Reynolds Uma segunda analogia de camadalimite pode ser obtida observandose na Tabela 61 que para dpdx 0 e Pr Sc 1 as equações de camadalimite Equações 635 a 637 possuem exatamente a mesma forma Para uma placa plana paralela ao escoamento a montante temos que dpdx 0 e não há variação na velocidade da corrente livre fora da camadalimite Com u V as Equações 638 a 640 também possuem a mesma forma Conseqüentemente as formas funcionais das soluções para u T e CA Equações 644 647 e 651 têm que ser equivalentes Das Equações 645 648 e 652 seguese que Cf Red 2 Nu Sh 666 Substituindo Nu e Sh pelo número de Stanton St e pelo número de Stanton da transferência de massa Stm respectivamente St h ρVCp Nu Re Pr 667 Stm hm V Sh Re Sc 668 A Equação 666 também pode ser escrita na forma Cf 2 St Stm 669 A Equação 669 é conhecida por analogia de Reynolds Ela relaciona os parâmetros de engenharia chaves das camadasli mite de velocidade térmica e de concentração Se o parâmetro de velocidade for conhecido a analogia pode ser usada para obter os outros parâmetros e viceversa Entretanto há restrições associadas ao uso desse resultado Além de estar baseado na validade das aproximações da camadalimite a precisão da Equação 669 depende de ter Pr e Sc 1 e dpdx 0 Contudo foi mostrado que a analogia pode ser aplicada em uma ampla faixa de Pr e Sc se certas correções forem introduzidas Em particular as analogias de Reynolds modificadas ou analogias de ChiltonColburn 11 12 possuem as formas Cf2 St Pr13 jc 06 Pr 60 670 Cf2 Stm Sc23 jm 06 Sc 3000 671 onde jc e jm são os fatores j de Colburn para as transferências de calor e de massa respectivamente Para escoamentos laminares as Equações 670 e 671 são apropriadas somente quando dpdx 0 mas para escoamentos turbulentos as condições são menos sensíveis ao efeito dos gradientes de pressão e essas equações permanecem aproximadamente válidas Se a analogia se aplicar em todos os pontos da superfície ela também pode ser utilizada para os coeficientes médios na superfície 68 Os Coeficientes Convectivos Neste capítulo analisamos vários temas fundamentais relacionados aos fenômenos do transporte convectivo No processo entretanto esperamos que você não tenha perdido de vista o resto do problema da convecção Nosso objetivo principal ainda é o de desenvolver os meios para determinar os coeficientes convectivos h e hm Embora esses coeficientes possam ser obtidos pela solução das equações de camadalimite somente em condições de escoamento mais simples tais soluções podem ser obtidas de imediato O procedimento mais prático envolve freqüentemente o cálculo de h e hm a partir de relações empíricas com a forma dada pelas Equações 649 e 653 A forma particular dessas equações é obtida pela correlação de resultados das transferências de calor e de massa medidos em termos dos grupos adimensionais apropriados É essa abordagem que é enfatizada nos capítulos a seguir 69 Resumo Neste capítulo tentouse desenvolver de uma forma lógica as bases matemáticas e físicas do transporte convectivo Para testar o seu entendimento desse material você deve se testar com questões apropriadas Qual é a diferença entre um coeficiente de transferência de calor por convecção local e um coeficiente médio Quais são as suas unidades Qual é a diferença entre o coeficiente convectivo local e o médio para o transporte de espécies Quais são as suas unidades Quais são as formas da lei do resfriamento de Newton para o fluxo térmico e para a taxa de transferência de calor Quais são as formas análogas para a transferência de massa por convecção representadas em unidades molar e mássica Prepare alguns exemplos nos quais a transferência de uma espécie por convecção seja pertinente O que é a lei de Fick O que são as camadaslimite de velocidade térmica e de concentração Sob quais condições elas se desenvolvem Que grandezas mudam com a posição em uma camadalimite de velocidade E em uma camadalimite térmica E em uma camadalimite de concentração Reconhecendo que a transferência de calor massa por convecção é fortemente influenciada pelas condições associadas ao escoamento do fluido sobre uma superfície como é que podemos determinar o fluxo de calor de uma espécie convectivo aplicandose a lei de Fourier Fick no fluido na superfície Devemos esperar que as transferências de calor e de massa mudem com a transição de camadalimite laminar para turbulenta Se sim como Que leis da natureza estão incorporadas nas equações de transferência convectiva Que processos físicos são representados pelos termos da equação do momento na direção x 628 E pelos termos da equação da energia 629 E pelos termos da equação de conservação da espécie 630 Que aproximações especiais podem ser feitas para condições no interior de camadaslimite de velocidade térmicas e de concentração finas Como o número de Reynolds é definido Qual é a sua interpretação física Qual é o papel desempenhado pelo número de Reynolds crítico Qual é a definição do número de Prandtl Como o seu valor afeto o crescimento relativo das camadaslimite de velocidade e térmica no escoamento laminar sobre uma superfície Indique valores representativos do número de Prandtl à temperatura ambiente de um metal líquido de um gás da água e de um óleo Qual é a definição do número de Schmidt E a do número de Lewis Quais são as suas interpretações físicas e como eles influenciam o desenvolvimento relativo das camadaslimite de velocidade térmica e de concentração no escoamento laminar sobre uma superfície O que é o coeficiente de atrito E o número de Nusselt E o número de Sherwood Para o escoamento sobre uma geometria especificada quais são os parâmetros independentes que determinam os valores local e médio dessas grandezas Sob quais condições podem as camadaslimite de velocidade térmica e de concentração ser ditas análogas Qual é a base física para o comportamento análogo Que parâmetros de camadaslimite importantes estão ligados pela analogia entre as transferências de calor e de massa Qual é a base física para o efeito do resfriamento evaporativo Você já vivenciou esse efeito Que parâmetros de camadaslimite importantes estão ligados pela analogia de Reynolds Que características físicas distinguem um escoamento turbulento de um escoamento laminar Referências 1 Webb R L Int Comm Heat Mass Trans 17 529 1990 2 Hof B C W H van Doorne J Westerweel F T M Nieuwstadt H Faisst B Eckhardt H Wedin R R Kerswell and F Waleffe Science 305 1594 2004 3 Schlichting H and K Gersten Boundary Layer Theory 8th ed SpingerVerlag New York 1999 4 Bird R B W E Stewart and E N Lightfoot Transport Phenomena 2nd ed Wiley New York 2002 5 Hartnett J P Mass Transfer Cooling in W M Rohsenow and J P Hartnett Eds Handbook of Heat Transfer McGrawHill New York 1973 6 Kays W M M E Crawford and B Weigand Convective Heat and Mass Transfer 4th ed McGrawHill Higher Education Boston 2005 7 Burmeister L C Convective Heat Transfer 2nd ed Wiley New York 1993 8 Kaviany M Principles of Convective Heat Transfer SpringerVerlag New York 1994 9 Patankar S V Numerical Heat Transfer and Fluid Flow Hemisphere Publishing New York 1980 10 Fox R W A T McDonald and P J Pritchard Introduction to Fluid Mechanics 6th ed Wiley Hoboken NJ 2003 11 Colburn A P Trans Am Inst Chem Eng 29 174 1933 12 Chilton T H and A P Colburn Ind Eng Chem 26 1183 1934 Problemas Perfis das CamadasLimite 61 No escoamento sobre uma superfície os perfis de velocidades e de temperaturas têm as formas uy Ay By2 Cy3 e Ty D Ey Fy2 Gy3 onde os coeficientes de A a G são constantes Obtenha expressões para o coeficiente de atrito Cf e o coeficiente convectivo h em termos de u de T dos coeficientes apropriados dos perfis e das propriedades do fluido 62 Água a uma temperatura de T 25C escoa sobre uma das superfícies de uma parede de aço AISI 1010 cuja temperatura é de Ts1 40C A parede possui uma espessura de 035 m e sua outra superfície está a uma temperatura de Ts2 100C Para condições de regime estacionário qual é o coeficiente convectivo associado ao escoamento da água Quais são os gradientes de temperatura na parede e na água que está em contato com a parede Esboce a distribuição de temperaturas na parede e na água e ala adjacente 63 Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida a distribuição de temperaturas na camadalimite pode ser aproximada por T Ts T Ts 1 expPr uy v onde y é a distância normal à superfície e o número de Prandtl Pr cpμk 07 é uma propriedade adimensional do fluido Sendo T 400 K Ts 300 K e uv 5000 m1 qual é o fluxo térmico na superfície Coeficientes de Transferência de Calor 64 Para o escoamento laminar sobre uma placa plana sabese que o coeficiente de transferência de calor local hx varia com x12 onde x é a distância da aresta frontal x 0 da placa Qual é a razão entre o coeficiente médio entre a aresta frontal e alguma posição x na placa e o coeficiente local em x 65 Na convecção natural em regime laminar em uma superfície vertical aquecida o coeficiente convectivo local pode ser representado por hx Cx14 onde hx é o coeficiente a uma distância x da aresta frontal da superfície e a grandeza C que depende das propriedades do fluído é independente de x Obtenha uma expressão para a razão hxhx onde hx é o coeficiente médio entre a aresta frontal x 0 e a posição x Esboce a variação de hx e de hx com x 66 Um jato circular de gases quentes a T encontrase direcionado normalmente a uma placa circular que tem raio r0 e é mantida a uma temperatura uniforme Ts O escoamento do gás sobre a placa é axissimétrico causando uma dependência radial do coeficiente convectivo local na forma hr a brn onde a b e n são constantes Determine a taxa de transferência de calor para a placa expressando seu resultado em termos de Ts T r0 a b e n 67 O escoamento paralelo de ar atmosférico sobre a superfície de uma placa plana de comprimento L 3 m é perturbado por uma série de bastões estacionários posicionados na trajetória do escoamento sobre a placa Medidas em laboratório do coeficiente convectivo local na superfície da placa foram efetuadas para um dado valor de V e Ts T Os resultados são correlacionados por uma expressão na forma hx 07 136 x 34 x2 onde hx possui unidades de Wm2K e x está em metros Calcule o coeficiente convectivo médio sobre toda a placa e a razão hxhx na aresta traseira x L 68 Ar com uma temperatura na corrente livre de T 20C escoa paralelamente sobre uma placa plana de comprimento L 5 m e temperatura Ts 90C Entretanto obstáculos colocados no escoamento intensificam a mistura com o aumento da distância x da aresta frontal e a variação espacial das temperaturas medidas no interior da camadalimite é correlacionada por uma expressão da forma Txc 20 70 exp600x onde x e y estão em metros Determine e represente graficamente a maneira pela qual o coeficiente convectivo local h varia com x Calcule o coeficiente convectivo médio h para a placa 69 A taxa de transferência de calor por unidade de largura normal à página em uma seção longitudinal x2 x1 pode ser representada por q12 hx12x2 x1Ts T onde hx12 é o coeficiente médio na seção de comprimento x2 x1 Considere escoamento laminar sobre uma placa plana com uma temperatura uniforme Ts A variação espacial do coeficiente convectivo local tem a forma hx Cx12 onde C é uma constante a Partindo da equação da taxa convectiva na forma dq hx dxTs T deduza uma expressão para hx12 em termos de C x1 e x2 b Deduz a uma expressão para hx12 em termos de x1 x2 e dos coeficientes médios hx1 e hx2 correspondentes aos comprimentos x1 e x2 respectivamente 610 Foram efetuados experimentos para determinar coeficientes de transferência de calor locais para o escoamento perpendicular a uma longa barra isotérmica de seção transversal retangular A barra tem largura c paralela ao escoamento e altura d normal ao escoamento Para números de Reynolds na faixa de 104 Red 5 104 os números de Nusselt médios nas superfícies são bem correlacionados por uma expressão na forma Nud hd k CRed Pr13 Os valores de C e m para a face frontal faces laterais e face posterior da barra retangular foram determinados e são mostrados a seguir Face cd C m Frontal 033 cd 133 0674 12 Lateral 033 0153 23 Lateral 133 0107 23 Posterior 033 0174 23 Posterior 133 0153 23 Determine o valor do coeficiente de transferência de calor médio para a superfície exposta total isto é média para o total das quatro faces em uma barra retangular com c 40 mm e d 30 mm A barra está exposta ao escoamento cruzado de ar com V 10 ms e T 300 K Forneça uma explicação plausível para a relação entre os valores dos coeficientes de transferência de calor médios nas faces frontal laterais e posterior 611 Experimentos para determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção local em um escoamento uniforme e normal a um disco circular aquecido forneceram uma distribuição radial para os números de Nusselt na forma NuD hrDk Nu1 arron onde n e a são positivos O número de Nusselt no ponto de estagnação é correlacionado em termos dos números de Reynolds ReD VDν e de Prandtl Nu hr0Dk 0814ReD12 Pr036 Obtenha uma expressão para o número de Nusselt médio NuD hDk correspondente à transferência de calor em um disco isotérmico Tipicamente o desenvolvimento de uma camadalimite a partir de um ponto de estagnação fornece um coeficiente convectivo decrescente com o aumento da distância ao ponto de estagnação Forneça uma explicação plausível para o fato de ser o comportamento oposto ao observado para o disco 612 Um procedimento experimental para avaliar os resultados do problema anterior envolve o preaquecimento de um disco de cobre até uma temperatura inicial elevada Ti e o registro do histórico da temperatura Tt na medida em que em seguida ele é resfriado por um escoamento colidente até uma temperatura final Tf O decaimento da temperatura medido pode então ser comparado às previsões baseadas na correlação para NuD Considere para essa correlação os valores a 030 e n 2 Sejam condições experimentais nas quais um disco com diâmetro D 50 mm e comprimento L 25 mm é preaquecido até Ti 1000 K sendo depois resfriado até Tf 400 K por um escoamento colidente de ar a T 300 K A superfície resfriada do disco tem uma emissividade e 08 e está exposta a uma grande vizinhança isotérmica com Tviz T As demais superfícies do disco estão isoladas e a transferência de calor através do bastão de sustentação pode ser desprezada Usando resultados obtidos no problema anterior calcule e represente graficamente os históricos de temperatura que correspondem às velocidades do ar de V 4 20 e 50 ms Considere propriedades constantes para o cobre ρ 8933 kgm3 cp 425 JkgK k 386 WmK e para o ar ν 388 106 m2s k 00407 WmK Pr 0684 613 Se escoamento laminar for induzido na superfície de um disco em função da rotação no entorno de seu eixo sabese que o coeficiente convectivo local é uma constante h C independentemente do raio Considere condições nas quais um disco de raio re 100 mm está girando no ar estagnado a T 20C e um valor de C 20 Wm2K é mantido veja a figura a seguir Se um aquecedor elétrico embutido no disco mantém uma temperatura superficial de Ts 50C qual é o fluxo térmico local na superfície do disco Qual é a necessidade de potência elétrica total O que você pode dizer sobre a natureza do desenvolvimento da camadalimite sobre o disco Transição na CamadaLimite 614 Considere o escoamento de ar sobre uma placa plana com comprimento L 1 m sob condições nas quais a transição ocorre em xc 05 m baseada em um número de Reynolds crítico de Rexc 5 105 a Calculando as propriedades termofísicas do ar a 350 K determine a velocidade do ar b Nas regiões laminar e turbulenta os coeficientes convectivos locais são respectivamente hlamx Clam x05 e hturb Cturb x02 onde em T 350 K Clam 8845 Wm32K Cturb 4975 Wm18K e x possui unidade de m Desenvolva uma expressão para o coeficiente convectivo médio hlamx como uma função da distância da aresta frontal x para a região laminar 0 x xc c Desenvolva uma expressão para o coeficiente convectivo médio hturbx como uma função da distância da aresta frontal x para a região turbulenta xc x L d Nas mesmas coordenadas represente os coeficientes convectivos locais e médios hx e hx respectivamente em função de x para 0 x L 615 Um ventilador que pode fornecer velocidades de ar de até 50 ms deve ser usado em um túnel de vento de baixa velocidade com ar atmosférico a 25C Se alguém desejar usar o túnel de vento para estudar o comportamento da camadalimite sobre uma placa plana com números de Reynolds de até Rex 108 que comprimento mínimo da placa poderia ser usado A que distância da aresta frontal ocorreria a transição se o número de Reynolds crítico fosse Rexc 5 105 616 Considerando um número de Reynolds de transição igual a 5 105 determine a distância da aresta frontal de uma placa plana na qual a transição irá ocorrer para cada um dos seguintes fluidos com u 1 ms ar atmosférico óleo de máquina e mercúrio Em cada caso determine a posição da transição para temperaturas do fluido de 27C e 77C 617 Com uma boa aproximação a viscosidade dinâmica μ a condutividade térmica k e o calor específico cp são independentes da pressão De que forma a viscosidade cinemática ν e a difusividade térmica α de um líquido incompressível e de um gás ideal variam com a pressão Determine α do ar a 350 K para pressões de 1 5 e 10 atm Supondo um número de Reynolds de transição de 5 105 determine a distância da aresta frontal de uma placa plana na qual a transição irá ocorrer para o ar a 350 K em pressões de 1 5 e 10 atm com u 2 ms Similaridade e Parâmetros Adimensionais 618 Um objeto de forma irregular possui um comprimento característico L 1 m e é mantido a uma temperatura superficial uniforme Ts 400 K Quando colocado ao ar atmosférico a uma temperatura T 300 K e movendose a uma velocidade V 100 ms o fluxo térmico médio da superfície do objeto para o ar é de 20000 Wm2 Se um segundo objeto com a mesma forma mas com um comprimento característico L 5 m for mantido a uma temperatura superficial Ts 400 K e colocado ao ar atmosférico a uma temperatura T 300 K qual será o valor do coeficiente convectivo médio se a velocidade do ar for V 20 ms 619 Experimentos mostraram que para um escoamento de ar a T 35C e V 100 ms a taxa de transferência de calor em uma pá de turbina com comprimento característico L1 015 m e temperatura superficial T s1 300C é de q1 1500 W Qual seria a taxa de transferência de calor em uma segunda pá de turbina com comprimento característico L2 03 m operando a Ts2 400C em um escoamento de ar a T 35C e V2 50 ms A área superficial da pá pode ser considerada diretamente proporcional ao seu comprimento característico 620 Medidas experimentais do coeficiente de transferência de calor por convecção em uma barra de seção quadrada em escoamento cruzado fornecem os seguintes valores h1 50 Wm2K quando V1 20 ms h2 40 Wm2K quando V2 15 ms Suponha que a forma funcional do número de Nusselt seja Nu C Rem Prn onde C m e n são constantes a Qual será o coeficiente de transferência de calor por convecção para uma barra similar com L 1 m quando V 15 ms b Qual será o coeficiente de transferência de calor por convecção para uma barra similar com L 1 m quando V 30 ms c Seus resultados seriam os mesmos se o lado da barra ao invés de sua diagonal fosse usado como o seu comprimento característico 621 Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma Nux 004 Rex09 Pr13 onde Nux é o valor local do número de Nusselt na posição x medida a partir da aresta frontal da placa Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio hx e local hx 622 Considere condições nas quais um fluido com uma velocidade na corrente livre V 1 ms escoa sobre uma superfície com comprimento característico L 1 m fornecendo um coeficiente de transferência de calor por convecção médio h 100 Wm²K Calcule os parâmetros adimensionais NuL ReL Pr e jc para os seguintes fluidos ar óleo de máquina mercúrio e água Suponha que os fluidos estejam a 300 K 623 No escoamento sobre uma placa plana com comprimento L o coeficiente de transferência de calor local hx é proporcional a x12 onde x é a distância da aresta frontal da placa Qual é a razão entre o número de Nusselt médio em toda a placa NuL e o número de Nusselt em x L NuL 624 No escoamento de ar a 20C e a uma pressão de 1 atm em uma camadalimite laminar sobre uma placa plana a espessura da camada limite térmica δt é aproximadamente 13 superior à espessura da camadalimite de velocidade δ Determine a razão δtδ se o fluido for etileno glicol sob as mesmas condições de escoamento 625 Esboce a variação das espessuras das camadaslimite de velocidade e térmica com a distância da aresta frontal de uma placa plana para o escoamento laminar de ar água óleo de máquina e mercúrio Para cada caso considere uma temperatura média no fluido de 300 K 626 Ar forçado a T 25C e V 10 ms é usado para resfriar elementos eletrônicos em uma placa de circuito Um desses elementos é um chip que mede 4 mm por 4 mm localizado a 120 mm da aresta frontal da placa Experimentos revelaram que o escoamento sobre a placa é perturbado pelos elementos e que a transferência de calor por convecção é correlacionada por uma expressão com a forma Nux 004 Rex085 Pr13 Estime a temperatura superficial do chip se ele estiver dissipando 30 mW 627 Sejam os elementos eletrônicos que são resfriados por convecção forçada no Problema 626 O sistema de resfriamento foi projetado e testado no nível do mar P 1 atm mas a placa de circuito foi vendida para um cliente na Cidade do México que tem uma altitude de 2250 m e pressão atmosférica de 765 kPa a Determine a temperatura da superfície do chip localizado a 120 mm da aresta frontal da placa quando ele é operada na Cidade do México A dependência de várias propriedades termofísicas com a pressão é observada no Problema 617 b É altamente desejável que a temperatura de operação do chip seja independente da localização do cliente Qual velocidade de do ar é necessária para que na operação na Cidade do México a temperatura do chip seja a mesma da temperatura ao nível do mar 628 Considere o chip sobre a placa de circuito impresso do Problema 626 Para assegurar uma operação confiável por longos períodos de tempo a temperatura no chip não deve exceder 85C Supondo a disponibilidade de ar forçado a T 25C e a aplicabilidade da correlação para a transferência de calor já especificada calcule e represente graficamente a dissipação máxima de potência permitida para o chip Pe em função da velocidade do ar para 1 V 25 ms Se a superfície do chip possuir uma emissividade de 080 e a placa de circuito se encontrar no interior de um grande recipiente cujas paredes estão a 25C qual é o efeito da radiação no gráfico Pe V 629 A maior contribuição para defeitos de produtos em módulos eletrônicos está relacionada a tensões induzidas durante ciclos térmicos aquecimento e resfriamento intermitentes Por exemplo em cartões de circuitos que têm componentes ativos e passivos com materiais de diferentes coeficientes de expansão térmica tensões térmicas são as principais fontes de falhas nas junções dos componentes tais como conexões soldadas e com fios Embora a preocupação esteja geralmente voltada para a falha de fadiga resultante de numerosos usos durante a vida do produto é possível identificar conexões defeituosas através da elaboração de testes acelerados de tensão térmica antes de o produto ser enviado para o cliente Nesses casos é importante executar ciclos térmicos rápidos para minimizar falhas na programação de produção Um fabricante de cartões de circuito deseja desenvolver um aparelho para impor rápidos transientes térmicos nos cartões submetendoos a convecção forçada caracterizada por uma relação na forma NuL C ReLm Prn onde m 08 e n 033 No entanto ele não sabe se usa ar k 0026 WmK ν 16 105 m2s Pr 071 ou um líquido dielétrico k 0064 W mK ν 106 m2s Pr 25 como fluido de trabalho Supondo velocidades equivalentes do ar e do líquido e a validade do modelo de capacitância global para os componentes obtenha uma estimativa quantitativa da razão entre as constantes de tempo térmicas para os dois fluídos Qual fluído fornece a resposta térmica mais rápida 630 Para avaliar a eficácia de diferentes líquidos no resfriamento por convecção forçada de um objeto de um dado tamanho e forma é conveniente introduzir um índice de mérito FF que combina a influência de todas as propriedades pertinentes do fluido no coeficiente convectivo Sendo o número de Nusselt descrito por uma expressão com a forma NuL ReLm Prn obtenha a relação correspondente entre o FF e as propriedades dos fluidos Para valores representativos de m 08 e n 033 calcule valores de FF para o ar k 0026 WmK ν 16 105 m2s Pr 071 água k 0600 WmK ν 106 m2s Pr 50 e um líquido dielétrico k 0064 WmK ν 106 m2s Pr 25 Qual fluido é o agente de resfriamento mais efetivo 631 Gases são freqüentemente usados no lugar de líquidos para resfriar eletrônicos em aplicações na aviação em funções de considerações de peso Os sistemas de resfriamento são freqüentemente fechados de tal forma que refrigerantes diferentes do ar podem ser usados Gases com maiores índices de mérito veja Problema 630 são desejáveis Para valores representativos de m 085 e n 033 na expressão do Problema 630 determine os índices de mérito para o ar para o hélio puro para o xenônio puro k 0006 WmK μ 2414 106 Nsm2 e uma mistura ideal de HeXe contendo uma fracção molar de hélio de 075 k 00713 WmK μ 2595 106 Nsm2 Determine as propriedades a 300 K e pressão atmosférica Para gases monoatômicos tais como o hélio o xenônio e as suas misturas o calor específico a pressão constante é bem descrito pela relação cp 52RM 632 O desembacador de párabrisa de carros funciona jogando ar quente na superfície interna do párabrisa Para evitar a condensação de vapor dágua nesta superfície a temperatura do ar e o coeficiente convectivo na superfície Thi devem ser grandes o suficiente para manter uma temperatura na superfície Tsi que seja pelo menos superior ao ponto de orvalho Tsi Tpo Considere um párabrisa com comprimento L 800 mm e espessura τ 6 mm e condições de direção nas quais o carro se desloca a uma velocidade de V 70 mph e moram um ambiente a Te 15C Com base em experimentos de laboratório efetuados em um modelo do carro sabese que o coeficiente de convecção médio na superfície externa do párabrisa é correlacionado por uma expressão com a forma NuL 0030 ReL08 Pr13 onde ReL VLν As propriedades do ar ambiente podem ser aproximadas por k 0023 WmK ν 125 106 m2s e Pr 071 Se Tpo 10C e Ti 50C qual é o menor valor de hi requerido para evitar a condensação na superfície interna 633 Um detector em microescala monitora um escoamento em regime estacionário T 27C V 10 ms de ar em relação à possível presença de matéria particulada pequena e perigosa que pode estar suspensa no ambiente O sensor é aquecido até uma temperatura um pouco superior com objetivo de induzir uma reação química associada a certas substâncias de interesse que podem influenciar negativamente a superfície ativa do sensor A superfície ativa produz uma corrente elétrica se tais reações ocorrem na superfície e a corrente elétrica é então enviada para um alarme Para maximizar a área da superfície da cabeça do sensor e desta forma a probabilidade de captura e detecção de uma partícula a cabeça do sensor é projetada com uma forma muito complexa O valor do coeficiente de transferência de calor médio associado ao sensor aquecido deve ser conhecido de tal forma que a potência elétrica para o sensor possa ser determinada Seja um sensor com uma dimensão característica de Ls 80 μm Um modelo em escala do sensor encontrase posicionado em um túnel de vento com recirculação fechado usando hidrogênio como fluido de trabalho Se o túnel de vento opera com uma pressão absoluta de hidrogênio de 05 atm e uma velocidade V 05 ms ache a temperatura do hidrogênio e a dimensão característica do modelo em escala Lm requeridas Analogia de Reynolds 634 Uma placa delgada e plana de 02 m por 02 m está orientada paralelamente a uma corrente de ar atmosférico que possui uma velocidade de 40 ms O ar está a uma temperatura T 20C enquanto a placa é mantida a Ts 120C O ar escoa sobre as superfícies superior e inferior da placa e medidas da força de arrasto revelam um valor de 0075 N Qual é a taxa total de transferência de calor para o ar nas superfícies da placa 635 Ar atmosférico escoa paralelamente u 15 ms T 15C à superfície plana de um aquecedor que deve ser mantida a uma temperatura de 140C A área da superfície do aquecedor é de 025 m² e sabese que o escoamento produz uma força de arrasto sobre o aquecedor de 025 N Qual é a potência elétrica necessária para manter a temperatura superficial especificada 636 No escoamento sobre uma placa plana que possui uma superfície muito rugosa sabese que os efeitos da transferência de calor por convecção são correlacionados pela expressão apresentada no Problema 621 Para um escoamento de ar a 50 ms qual é a tensão de cisalhamento na superfície na posição x 1 m da aresta frontal da placa Considere que o ar esteja a uma temperatura de 300 K 637 Uma placa plana fina com 02 m por 02 m de lado e superfícies superior e inferior extremamente rugosas encontrase posicionada em um túnel de vento de tal forma que suas superfícies estão paralelas a uma corrente de ar atmosférico com uma velocidade de 30 ms O ar está a uma temperatura de T 20C enquanto a placa é mantida a Ts 80C A placa está rodada em 45 em torno de seu ponto central como mostrado no esquema Ar escoa sobre as superfícies superior e inferior da placa e medidas da taxa de transferência de calor indicam 2000 W Qual é a força de arrasto na placa 638 Como meio para evitar a formação de gelo nas asas de um pequeno avião particular propõese que sejam instalados elementos aquecedores de resistência elétrica no interior das asas Para determinar necessidades de potência representativas considere condições de voo nominais nas quais o avião se desloca a 100 ms no ar que está a uma temperatura de 23C e tem as seguintes propriedades k 0022 Wm K Pr 072 e v 163 106 m2s Se o comprimento característico da asa é de L 2 m e medidas em túnel de vento indicam um coeficiente de atrito médio de Cf 00025 para as condições nominais qual é o fluxo térmico médio necessário para manter uma temperatura superficial de Ts 5C 639 Uma placa de circuitos com uma distribuição densa de circuitos integrados CI e dimensões de 120 mm por 120 mm de lado é resfriada pelo escoamento paralelo de ar atmosférico com uma velocidade de 2 ms A partir de teste de túnel de vento sob as mesmas condições de escoamento a tensão cisalhante viscosa média na superfície superior é determinada igual a 00625 Nm2 Qual é a dissipação de potência admissível na superfície superior da placa se a temperatura superficial média dos CIs não pode exceder a temperatura do ar ambiente em mais de 25C Determine as propriedades termofísicas do ar a 300 K Coeficientes de Transferência de Massa 640 Em um dado dia de verão a temperatura do ar é de 27C e sua umidade relativa é de 30 Água evapora da superfície de um lago a uma taxa de 010 kgh por metro quadrado de área da sua superfície A temperatura da água também é de 27ºC Determine o valor do coeficiente de transferência de massa por convecção 641 É observado que uma panela com 230 mm de diâmetro contendo água a 23C apresenta uma taxa de perda de massa de 15 105 kgs quando o ar ambiente está seco e a uma temperatura de 23C a Determine o coeficiente de transferência de massa por convecção nessa situação b Estime a taxa de perda de massa por evaporação quando o ar ambiente apresentar uma umidade relativa de 50 c Estime a taxa de perda de massa por evaporação para as temperaturas da água e do ar ambiente iguais a 47C admitindo que o coeficiente de transferência de massa por convecção permaneça inalterado e que o ar ambiente esteja seco 642 A taxa na qual água é perdida devido à evaporação em uma superfície de um corpo de água pode ser determinada através da medida da taxa de variação do seu nível Considere um dia de verão no qual as temperaturas da água e do ar ambiente são de 305 K e a umidade relativa do ar é de 40 Se a taxa de queda de nível for de 01 mmh qual é a taxa por unidade de área superficial de perda de massa de água causada pela evaporação Qual é o coeficiente de transferência de massa por convecção 643 A fotossíntese como ocorre nas folhas de uma planta verde envolve o transporte de dióxido de carbono CO2 da atmosfera para os cloroplastos das folhas e a sua taxa pode ser quantificada em termos da taxa de assimilação do CO2 pelos cloroplastos Essa assimilação é fortemente influenciada pela transferência de CO2 através da camada limite que se desenvolve sobre a superfície da folha Sob condições nas quais a concentração mássica do CO2 no ar é de 6 104 kgm3 e na superfície da folha é de 5 104 kgm3 e o coeficiente de transferência de massa por convecção é igual a 102 ms qual é a taxa de fotossíntese em termos de quilogramas de CO2 assimilado por unidade de tempo e de área da superfície da folha 644 A espécie A está evaporando de uma superfície plana para o interior da espécie B Admita que o perfil de concentrações de A no interior da camadalimite de concentração possua a forma CAy Dy2 Ey F onde D E e F são constantes em qualquer posição x e y é medido ao longo da normal à superfície Desenvolva uma expressão para o coeficiente de transferência de massa por convecção hm em termos dessas constantes da concentração de A na corrente livre CA e da difusividade mássica DAB Escreva uma expressão para o fluxo molar da transferência convectiva de massa da substância A Similaridade e Analogia nas Transferências de Calor e de Massa 645 Considere o escoamento cruzado de um gás X sobre um objeto que possui um comprimento característico de L 01 m Para um número de Reynolds de 1 104 o coeficiente de transferência de calor médio é de 25 Wm2K O mesmo objeto é então impregnado com um líquido Y e submetido às mesmas condições de escoamento Dadas as seguintes propriedades termofísicas qual é o coeficiente de transferência de massa por convecção médio v m²s k WmK α m²s Gás X 21 106 0030 29 106 Líquido Y 375 107 0665 165 107 Vapor Y 425 105 0023 455 105 Mistura de gás Xvapor Y Sc 072 646 Considere condições nas quais um fluido com uma velocidade na corrente livre de V 1 ms escoa sobre uma superfície com comprimento característico L 1 m onde há evaporação ou sublimação fornecendo um coeficiente de transferência de massa por convecção médio de hm 102 ms Calcule os parâmetros adimensionais ShL ReL Sc e Jm para as seguintes combinações escoamento de ar sobre água escoamento de ar sobre naftaleno e glicerol quente sobre gelo Admita uma temperatura dos fluidos de 300 K e uma pressão de 1 atm 647 Um objeto de forma irregular possui um comprimento característico L 1 m e tem a sua superfície mantida a uma temperatura uniforme Ts 325 K Ele encontrase suspenso em uma corrente de ar que está a pressão atmosférica p 1 atm e tem uma velocidade V 100 ms e uma temperatura T 275 K O fluxo térmico médio da superfície para o ar é de 12000 Wm2 Chamando a situação anterior de caso 1 analise os casos a seguir e determine se as condições são análogas às do caso 1 Cada caso envolve um objeto com a mesma forma que está suspenso em uma corrente de ar da mesma maneira Onde houver comportamento análogo determine o valor correspondente do coeficiente convectivo médio a Os valores de Ts T e p permanecem os mesmos porém L 2 m e V 50 ms b Os valores de Ts e T permanecem os mesmos porém L 2 m V 50 ms e p 02 atm c A superfície é coberta por uma película de um líquido que evapora para o ar Todo o sistema se encontra a 300 K e o coeficiente de difusão para a mistura arvapor é DAB 112 104 m2s Também L 2 m V 50 ms e p 1 atm d A superfície é coberta por uma outra película de líquido para o qual DAB 112 104 m2s e o sistema está a 300 K Nesse caso L 2 m V 250 ms e p 02 atm 28 648 Em um dia frio do mês de agosto um corredor ligeiramente vestido perde calor a uma taxa de 500 W em função da convecção para o ar vizinho a T 10C A pele do corredor permanece seca e a uma temperatura Ts 30C Três meses depois o corredor corre com a mesma velocidade porém o dia está quente e úmido com uma temperatura T 30C e uma umidade relativa φ 60 O corredor está agora molhado de suor e sua pele está a uma temperatura de 35C Em ambas as condições as propriedades do ar podem ser consideradas constantes e iguais a v 16 105 m2s k 0026 WmK Pr 070 e DABvapor dáguaar 23 105 m2s a Qual é a taxa de perda de água devido à evaporação no dia de verão b Qual é a taxa total de perda térmica por convecção no dia de verão 649 Um objeto de forma irregular e comprimento de 1 m mantido a uma temperatura constante de 100C está suspenso em uma corrente de ar com uma temperatura na corrente livre de 0C uma pressão de 1 atm e uma velocidade de 120 ms A temperatura do ar medida em um ponto próximo ao objeto na corrente de ar é de 80C Um segundo objeto com a mesma forma e comprimento de 2 m está suspenso em uma corrente de ar da mesma maneira A velocidade da corrente livre do ar é de 60 ms O ar e o objeto estão a 50C e a pressão total é de 1 atm Um revestimento plástico sobre a superfície do objeto está sendo secado através desse processo A massa molar do vapor é igual a 82 e a pressão de saturação a 50C do material plástico é de 00323 atm A difusividade mássica do vapor no ar a 50C é de 260 105 m2s a Para o segundo objeto em uma localização que corresponde ao ponto de medida no primeiro objeto determine a concentração do vapor e a sua pressão parcial b Se o fluxo térmico médio q no primeiro objeto é de 2000 Wm2 determine o fluxo de massa médio nm kgs m2 no segundo objeto 650 Um processo industrial envolve a evaporação de água de uma película líquida que se forma sobre uma superfície curva Ar seco é passado sobre a película e com base em medidas de laboratório determinase que a correlação para a transferência de calor por convecção tem a forma NUtL 043 ReL028 Pr04 a Para uma temperatura e velocidade do ar de 27C e 10 ms respectivamente qual é a taxa de evaporação em uma superfície com 1 m2 de área e um comprimento característico L 1 m Aproxime a densidade do vapor saturado por ρAsat 00077 kgm³ b Qual é a temperatura na película do líquido em regime estacionário 651 A técnica de sublimação do naftaleno envolve o uso de um experimento de transferência de massa acoplado com uma análise baseada na analogia dos transportes termomássicos para obter coeficientes convectivos locais e médios para geometrias superficiais complexas Um revestimento de naftaleno que é um sólido volátil à temperatura ambiente é aplicado sobre a superfície e é então submetido a um escoamento de ar em um túnel de vento Alternativamente objetos sólidos podem ser moldados a partir de naftaleno líquido Durante um intervalo de tempo determinado Δt há uma perda perceptível de naftaleno devido à sublimação e através da medida do retrocesso da superfície em locais de interesse ou da perda de massa da amostra coeficientes de transferência de massa locais e médio podem ser determinados Considere um bastão retangular de naftaleno exposto ao ar em escoamento cruzado com V 10 ms e T 300 K como no Problema 610 exceto pelo fato de agora c 10 mm e d 30 mm Determine a mudança na massa de um bastão com comprimento de L 500 mm em um período de tempo de Δt 30 min O naftaleno tem uma massa molar de MA 12816 kgkmol e sua pressão de saturação sólidovapor a 27ºC e 1 atm é de pAsat 133 104 bar 652 Seja a aplicação da técnica de sublimação do naftaleno Problema 651 em uma pá de turbina a gás que é coberta com naftaleno e tem uma área superficial de As 005 m2 Para determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção médio para uma condição de operação representativa um experimento é efetuado no qual a pá revestida é exposta por 30 min ao ar atmosférico a uma velocidade desejada e uma temperatura de T 27ºC Durante o experimento a temperatura da superfície é de Ts 27ºC e no seu final a massa da pá está reduzida em Δm 8 g Qual é o coeficiente de transferência de calor por convecção médio associado à condição de operação 653 Um fabricante de equipamentos de esqui deseja desenvolver uma touca que irá oferecer melhor proteção térmica para os esquiadores em dias frios nas descidas Toucas podem ser confeccionadas com boas características de isolamento térmico mas tendem a ser grandes pesadas e incômodas Esquiadores preferem toucas mais leves e confortáveis que oferecem boa visibilidade mas tais toucas tendem a ter características de isolamento deficientes O fabricante decide adotar uma nova abordagem no desenho da touca concentrando o isolamento em áreas da cabeça do esquiador que são propensas às maiores perdas de calor e minimizando o uso de isolamento em outros locais Desta forma o fabricante tem que determinar coeficientes de transferência de calor locais associados à cabeça humana com uma velocidade de V 10 ms na direção normal à face em ar com temperatura de 13C Uma jovem engenheira recebeu a tarefa de construir o experimento de transferência de calor mas rapidamente encontrou desafios experimentais difíceis de serem ultrapassados Ela então decidiu fazer uso da analogia dos transportes de calor e massa e da técnica da sublimação do naftaleno veja Problema 651 e moldou modelos de cabeça de naftaleno sólido com dimensões características em meia escala isto é o tamanho do modelo é a metade do tamanho de uma cabeça a Que velocidade no túnel de vento T 300 K é necessária para que os resultados experimentais possam ser aplicados à cabeça humana associada à velocidade V 10 ms b Um experimento no túnel de vento é realizado com Δt 120 min T 27ºC A engenheira constatou que o naftaleno retrocedeu δ1 01 mm na parte de trás da cabeça δ2 032 mm no meio da testa e δ3 064 mm na orelha Determine os coeficientes de transferência de calor nesses locais para a cabeça em escala real a 13C A densidade do naftaleno sólido é ρAsol 1025 kgm3 c Após o desenho da nova touca os modelos meia escala foram equipados com as toucas e os experimentos foram repetidos Algumas áreas dos modelos nas quais constatouse que os coeficientes de transferência de calor locais eram extremamente baixos foram deixadas descobertas pois o isolamento dessas áreas teria pequeno benefício em termos globais na redução das perdas de calor durante a prática do 29 esqui Você esperaria que os coeficientes de transferência de calor locais nessas áreas expostas permanecessem os mesmos dos existentes antes da colocação das toucas nos modelos Explique o porquê 654 Um suporte de mancal na forma de linhas de corrente encontrase exposto ao escoamento de ar quente da exaustão de um motor É necessário executar experimentos para determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção médio h entre o ar e o suporte a fim de ser possível prever o resfriamento do suporte até uma temperatura superficial desejada Ts Decidiuse efetuar experimentos de transferência de massa em um objeto com o mesmo formato do original e com base nos dados coletados obter os resultados desejados para a transferência de calor usandose a analogia entre as transferências de calor e de massa Os experimentos de transferência de massa foram conduzidos usandose um modelo em meia escala do suporte construído em naftaleno e exposto a uma corrente de ar a 27C As medidas de transferência de massa forneceram os seguintes resultados ReL ShL 60000 282 120000 491 144000 568 288000 989 a Usando os resultados experimentais da transferência de massa determine os coeficientes C e m para uma correlação com a forma ShL C ReLm Sc13 b Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção médio h para o suporte com o tamanho original LH 60 mm quando ele estiver exposto a uma corrente livre de ar com V 60 ms T 184C e p 1 atm com Ts 70C c A área superficial do suporte pode ser expressa por As 22 LH l onde l é o comprimento normal à página Para as condições da parte b qual será a variação na taxa de transferência de calor para o suporte se o comprimento característico LH for dobrado 655 Considere as condições do Problema 63 porém com um fino filme de água sobre a superfície Se o ar estiver seco e o número de Schmidt Sc for de 06 qual é o fluxo de massa evaporado Há transferência líquida de energia para ou saindo da água 656 Sejam as condições do Problema 67 nas quais um experimento de transferência de calor forneceu a distribuição especificada para os coeficientes convectivos locais hxx O experimento foi efetuado com temperaturas na superfície e na corrente livre de 310 e 290 K respectivamente Agora considere repetir o experimento em condições nas quais a superfície é revestida por uma fina camada de naftaleno com a superfície e o ar a 300 K Qual é o valor correspondente para o coeficiente de transferência de massa por convecção médio hml 657 Usando a técnica de sublimação do naftaleno a distribuição radial dos coeficientes de transferência de massa por convecção locais em um escoamento uniforme e normal à superfície de um disco circular foi correlacionada por uma expressão com a forma ShD hmrDDAB Sho 1 arron O número de Sherwood no ponto de estagnação Sho depende dos números de Reynolds ReD VDν e de Schmidt Sc νDAB e os dados foram correlacionados pela expressão a seguir Sho hmr0DDAB 0814 ReD12 Sc036 Obtenha uma expressão para o número de Nusselt médio NuD hDk correspondente para a transferência de calor em um disco isotérmico exposto ao escoamento descrito anteriormente Se a 12 e n 55 qual é a taxa de transferência de calor em um disco com diâmetro D 20 mm e temperatura superficial Ts 125C exposto a uma corrente de ar com ReD 5 104 e T 25C Tipicamente o desenvolvimento da camada limite a partir de um ponto de estagnação fornece um coeficiente convectivo decrescente com o aumento da distância do ponto de estagnação Dê uma explicação plausível para o motivo do comportamento oposto observado no disco 658 Para reduzir a ameaça de predadores o faisão da areia um pássaro do Quênia coloca seus ovos em locais distantes de fontes de água Para trazer água para os seus filhotes o pássaro voa até a fonte mais próxima e pela submersão da parte inferior de seu corpo molha a sua plumagem O pássaro então retorna para o seu ninho e os filhotes absorvem a água da plumagem Obviamente se o tempo de vôo for muito longo as perdas por evaporação podem causar uma redução significativa da quantidade de água na plumagem e os filhotes podem acabar morrendo por desidratação Para adquirir uma melhor compreensão da transferência por convecção durante o vôo estudos em um túnel de vento foram efetuados usando modelos moldados do pássaro Pelo aquecimento da porção do modelo correspondente à da plumagem que armazena a água um coeficiente de transferência de calor por convecção médio foi determinado Resultados para diferentes velocidades do ar e tamanhos do modelo foram então usados para desenvolver uma correlação empírica com a forma NUtL 0034 ReL25 Pr13 A área da superfície efetiva da porção da plumagem que armazena água é designada por As e o comprimento característico é definido por L As12 Considere condições nas quais um pássaro absorveu 005 kg de água na sua plumagem com As 004 m2 e está retornando ao seu ninho a uma velocidade constante V 30 ms O ar ambiente está em repouso e a uma temperatura e umidade relativa de T 37C e φ 25 respectivamente Se durante todo o vôo a superfície As estiver coberta por uma película de água líquida a Ts 32ºC qual é a distância máxima permitida entre o ninho e a fonte de água se o pássaro deve retornar com pelos menos 50 do seu suprimento inicial de água As propriedades do ar e da mistura arvapor podem ser consideradas iguais a v 167 X 106 m2s e DAB 260 X 106 m2s 659 Um experimento de laboratório envolve transferência simultânea de calor e de massa em uma toalha embebida com água submetida a irradiação proveniente de um conjunto de lâmpadas radiantes e a um escoamento paralelo de ar sobre a sua superfície Usando uma correlação convectiva a ser apresentada no Capítulo 7 o coeficiente de transferência de calor por convecção médio é estimado em h 287 Wm2K Considere as propriedades radiantes da toalha iguais às da água a e 096 A vizinhança se encontra a 300 K T 290 K 0 Lâmpadas radiantes Irradiação sobre a toalha G Wm2 Ar Toalha de papel encharcada de água Ts 310 K As 925 mm x 925 mm Isolamento a Determine a taxa de evaporação na toalha n kgs b Efetue um balanço de energia na toalha para determinar a taxa líquida de transferência por radiação qradW para a toalha Determine a irradiação GWm2 660 Na primavera muitas vezes superfícies de concreto como calçadas e estradas ficam muito molhadas no período da manhã mesmo na ausência de chuva durante a noite Condições típicas para o período noturno são mostrados na figura T 290 K 07 h 53 Wm2k Brisa Tcéu 240 K Ts 275 K 096 Concreto Fina camada de água líquida a Determine os fluxos térmicos associados à convecção qcon evaporação qevap e à troca radiante com o céu qrad b Os seus cálculos sugerem a razão de o concreto estar molhado ao invés de seco Explique sucintamente c O calor flui da camada de líquido para o concreto Ou do concreto para a camada de líquido Determine o fluxo térmico condutivo entrando ou saindo do concreto 661 Ar seco a 32ºC escoa sobre uma placa úmida água com área de 02 m2 O coeficiente convectivo médio é de h 20 Wm2K e a potência do aquecedor necessária para manter a placa a uma temperatura de 27ºC é de 432 W Estime a potência necessária para manter a placa úmida a uma temperatura de 37ºC em ar seco a 32ºC se os coeficientes convectivos se mantiverem inalterados 662 Ar seco a 32ºC escoa sobre uma placa molhada com 200 mm de comprimento e largura de 1 m caso A Um aquecedor elétrico embutido na placa fornece 432 W e a temperatura na superfície é de 27ºC T 32ºC T 32ºC Ar Filme de água Ts 27ºC Ts Caso A Caso B a Qual é a taxa de evaporação de água na placa kgh b Após um longo período de operação toda a água é evaporada e a superfície da placa fica seca caso B Para as mesmas condições na corrente livre e a mesma potência do aquecedor no caso A estime a temperatura da placa Ts Resfriamento Evaporativo 663 Uma esfera com 20 mm de diâmetro está suspensa em uma corrente de ar seco com uma temperatura de 22ºC A potência fornecida a um aquecedor elétrico embutido no interior da esfera é de 251 W quando a temperatura em sua superfície é de 32ºC Quanta potência é necessária para manter a esfera a 32ºC se a sua superficie externa tem uma fina cobertura porosa saturada com água Determine as propriedades do ar e o coeficiente de difusão da mistura arvapor dágua a 300 K 664 Um bemsucedido engenheiro californiano instalou em seu jardim uma banheira de hidromassagem circular e avaliou que para as condições de operação típicas descritas a seguir a água deve ser reposta a uma taxa de 0001 kgs de modo a manter o nível de líquido constante na banheira T 290 K 030 Água quente Ts 310 K Sendo os lados e o fundo da banheira isolados termicamente e a temperatura da água de reposição igual à da água que se encontra no interior da banheira em qual taxa os aquecedores elétricos devem fornecer energia para manter a temperatura da água na banheira a 310 K 665 Sabese que em noites claras a temperatura do ar não precisa ser inferior a 0ºC para que uma fina camada de água sobre o solo se congele Considere uma dessas camadas de água sobre o solo em uma noite clara na qual a temperatura efetiva do céu é de 30ºC e o coeficiente de transferência de calor por convecção devido ao vento é de h 25 Wm2K Podese considerar que a água possua uma emissividade igual a 10 e que esteja isolada do solo no que se refere à transferência de calor por condução a Desprezando a evaporação determine a menor temperatura que o ar pode ter para que não haja congelamento da água b Para as condições dadas estime o coeficiente de transferência de massa para a evaporação da água hm ms c Levando em conta agora o efeito da evaporação qual a menor temperatura que o ar pode ter para que não haja congelamento da água Considere que o ar esteja seco 666 Uma expressão para a pressão parcial de vapor dágua real em termos das temperaturas de bulbo úmido e de bulbo seco conhecida por equação de Carrier é dada por pv psatbu p psatbuTbs Tbu 1810 T onde pv psatbu e p são a pressão parcial real a pressão de saturação na temperatura de bulbo úmido e a pressão total todas em bars respectivamente enquanto Tbs e Tbu são as temperaturas de bulbo seco e bulbo úmido em kelvins Considere ar a uma pressão de 1 atm e a uma temperatura de 378ºC escoando sobre um termômetro de bulbo úmido que indica 211ºC a Usando a equação de Carrier calcule a pressão parcial do vapor dágua na corrente livre Qual é a umidade relativa b Consulte uma carta psicrométrica e obtenha diretamente a umidade relativa para as condições indicadas Compare o resultado com o obtido na parte a c Use a Equação 665 para determinar a umidade relativa Compare o resultado com as partes a e b 667 Um termômetro de bulbo úmido é um termômetro de vidro contendo mercúrio cujo bulbo é coberto por um tecido umedecido com água Quando suspenso em uma corrente de ar a leitura do termômetro em regime estacionário indica a temperatura de bulbo úmido Tbu Obtenha uma expressão para determinar a umidade relativa do ar a partir do conhecimento da temperatura do ar T da temperatura de bulbo úmido e das propriedades pertinentes para o ar e o vapor dágua Se T 45ºC e Tbu 25ºC qual é a umidade relativa da corrente de ar 668 Um processo industrial envolve a evaporação de uma fina película de água sobre uma superfície curva através do seu aquecimento pela sua parte inferior e pelo escoamento forçado de ar na parte superior Medidas em laboratório nesta superfície forneceram a seguinte correlação para a transferência de calor NUL 043ReL058 Pr04 O ar escoando sobre a superfície possui uma temperatura de 290 K uma velocidade de 10 ms e encontrase completamente seco 0 A superfície possui um comprimento de 1 m e uma área de 1 m2 Energia é fornecida ao sistema em quantidade suficiente para manter a temperatura de 310 K em regime estacionário a Determine o coeficiente de transferência de calor e a taxa na qual a superficie perde calor por convecção b Determine o coeficiente de transferência de massa e a taxa de evaporação kgh da água na superfície c Determine a taxa de energia que deve ser fornecida à superfície para manter essas condições 669 Uma camada de água com 2 mm de espessura sobre uma placa eletricamente aquecida é mantida a uma temperatura de Ta 340 K enquanto ar seco a T 300 K escoa sobre a sua superfície caso A O conjunto é circundado por uma grande vizinhança que também está a 300 K Caso A Caso B Tviz Tviz T Ar Água Ta ea Ar Placa aquecida Pε a Se o fluxo de evaporação na superfície da água para o ar for de nA 0030 kgsm2 qual é o valor correspondente do coeficiente de transferência de massa por convecção Quanto tempo demorará para a água evaporar completamente b Quais são os valores correspondentes do coeficiente de transferência de calor por convecção e da taxa na qual a potência elétrica deve ser fornecida por unidade de área da placa para manter a temperatura da água especificada Valores das propriedades do ar são ρ 108 kgm3 cp 1008 JkgK ek 0028 WmK O coeficiente de difusão binária para o ar e o vapor dágua é de DAB 029 X 104 m2s e a emis sividade da água é de e 095 c Se a potência elétrica determinada na parte b for mantida após a completa evaporação da água caso B qual é a temperatura resultante da placa cuja emissividade é de e 060 670 Um disco com 20 mm de diâmetro está coberto por uma película de água Sob condições de regime estacionário um aquecedor com potência de 200 mW é necessário para manter o sistema discopelícula de água a 305 K em meio ao ar seco a 295 K A taxa de evaporação observada é igual a 255 X 104 kgh T 295 K Película de água Ts 305 K Disco D 20 mm Aquecedor 200 mW a Calcule o coeficiente de transferência de massa por convecção médio hw para o processo de evaporação b Calcule o coeficiente de transferência de calor por convecção médio h c Os valores de hw e h satisfazem à analogia termomássica d Sendo a umidade relativa do ar ambiente a 295 K aumentada de 0 ar seco para 050 mas o suprimento de energia para o aquecedor mantido em 200 mW a taxa de evaporação aumenta ou diminui A temperatura no disco aumenta ou diminui 671 Um experimento é conduzido para determinar o coeficiente convectivo de transferência de massa médio em uma pequena gota usando um aquecedor controlado para operar a uma temperatura constante O histórico da potência requerida para evaporar completamente a gota a uma temperatura de 37ºC é mostrado na figura Foi observado que à medida que a gota seca o seu diâmetro molhado sobre a superfície do aquecedor permanece praticamente constante em um valor de 4 mm Ar seco Tewh Gota Ts Aquecedor 20 11 0 0 50 100 t min a Calcule o coeficiente convectivo de transferência de massa médio baseado na área molhada durante o processo de evaporação para condições nas quais a gota o aquecedor e o ar ambiente seco estão a 37ºC b Quanta energia será necessária para evaporar a gota se a temperatura do ar ambiente seco for de 27ºC enquanto a temperatura do sistema gotaaquecedor se mantém nos 37ºC 672 Desejase desenvolver um modelo simples para prever o histórico temperaturatempo de uma placa durante o ciclo de secagem em uma lavalouças Após o ciclo de lavagem a placa encontrase a Tpt Tp0 65ºC e o ar no interior da lavalou ça está completamente saturado 10 a T 55ºC Os valores da área superficial As da massa M e do calor específico c da placa são tais que MclAs 1600 Jm2K a Supondo que a placa esteja completamente coberta por uma fina película de água e desprezando as resistências térmicas na placa e na película líquida deduza uma equação diferencial para estimar a temperatura da placa em função do tempo b Para a condição inicial t 0 fornecida determine a variação da temperatura na placa com o tempo dTdt ºCs considerando que o coeficiente de transferência de calor médio sobre a placa seja igual a 35 Wm2K CAPÍTULO 7 Escoamento Externo Neste capítulo focalizamos o problema de calcular taxas de transferência de calor e de massa entrando ou saindo de uma superfície em contato com um escoamento externo Nesses escoamentos as camadaslimite se desenvolvem livremente sem restrições impostas por superfícies adjacentes Conseqüentemente existirá sempre uma região do escoamento externa à camadalimite na qual os gradientes de velocidade temperatura eou concentração são desprezíveis Exemplos incluem o movimento de um fluido sobre uma placa plana inclinda ou paralela à direção da velocidade na corrente livre e o escoamento sobre superfícies curvas tais como uma esfera um cilindro aerofólios ou pás de turbinas No momento concentraremos nossa atenção nos problemas de convecção forçada com baixas velocidades e sem mudança de fase no fluido Além disso não consideraremos efeitos potenciais de micro e nanoescalas no interior do fluido como descrito na Seção 22 deste capítulo Na convecção forçada o movimento relativo entre o fluido e a superfície é mantido por meios externos tais como um ventiladorsoprador ou uma bomba e não pelas forças de empuxo devidas aos gradientes de temperatura no fluido convecção natural Escoamentos internos convecção natural e convecção com mudança de fase são tratados nos Capítulos 8 9 e 10 respectivamente Nosso principal objetivo é determinar os coeficientes convectivos em diferentes geometrias de escoamento Em particular desejamos obter formas específicas para as funções que representam esses coeficientes Pela adimensionalização das equações da camadalimite no Capítulo 6 chegamos à conclusão de que os coeficientes convectivos locais e médios podem ser correlacionados por equações com as formas Transferência de Calor Nux fx Rex Pr 649 Nux fRex Pr 650 Transferência de Massa Shx fx Rex Sc 653 Shx fRex Sc 654 O subscrito x foi incluído para enfatizar nosso interesse em condições em uma posição particular sobre a superfície A barra sobrescrita indica uma média desde x 0 onde a camadalimite começa a se desenvolver até a posição de interesse Lembrese de que o problema da convecção é justamente o de se obter essas funções Há duas abordagens que podem ser adotadas uma teórica e outra experimental A abordagem experimental ou empírica envolve a execução de medidas da transferência de calor e de massa sob condições controladas em laboratório e a correlação dos dados em termos de parâmetros adimensionais apropriados Uma discussão geral da abordagem é fornecida na Seção 71 Ela foi aplicada em muitas geometrias e condições de escoamento diferentes e resutlados importantes são apresentados nas Seções 72 a 78 A abordagem teórica envolve a resolução das equações da camadalimite para uma determinada geometria Por exemplo obtido o perfil de temperaturas T em tal solução a Equação 648 pode ser utilizada para determinar o número de Nusselt local Nux e conseqüentemente o coeficiente convectivo local hx Conhecendo como hx varia ao longo da superfície a Equação 613 pode então ser usada para determinar o coeficiente convectivo médio h e assim o número de Nusselt Nu Na Seção 721 essa abordagem é ilustrada com o uso do método da similaridade para obter uma solução exata das equações da camadalimite para o escoamento laminar paralelo a uma placa plana 13 Uma solução aproximada para o mesmo problema é obtida no Apêndice F através do método integral 4 71 O Método Empírico A maneira pela qual uma correlação para a transferência de calor por convecção pode ser obtida experimentalmente está ilustrada na Figura 71 Se uma geometria específica como a placa plana em um escoamento paralelo for aquecida eletricamente de modo a manter Ts T transferência de calor por convecção ocorre da superfície para o fluido Seria uma tarefa simples medir Ts e T assim como a potência elétrica EI que é igual à taxa de transferência de calor total q O coeficiente convectivo h que é uma média associada a toda a placa poderia então ser calculado pela lei do resfriamento de Newton Equação 612 Além disso com o conhecimento do comprimento característico L e das propriedades do fluido os números de Nusselt Reynolds e Prandtl poderiam ser determinados a partir de suas definições Equações 650 641 e 642 respectivamente O procedimento anterior poderia ser repetido para uma variedade de condições de teste Poderíamos variar a velocidade u e o comprimento da placa L assim como a natureza do fluido usando por exemplo ar água e óleo de máquina que possuem números de Prandtl substancialmente diferentes Teríamos então muitos diferentes valores do número de Nusselt correspondentes a uma ampla faixa dos números de Reynolds e de Prandtl e os resultados poderiam ser colocados em um gráfico em uma escala loglog como mostrado na Figura 72a Cada símbolo representa um conjunto específico de condições de teste Como ocorre com freqüência os resultados associados a um dado fluido e portanto a um número de Prandtl fixo situamse próximos a uma linha reta Isso indica uma dependência do número de Nusselt em relação ao número de Reynolds na forma de uma lei de potência Considerando todos os fluidos os dados podem então ser representados por uma expressão algébrica com a forma NUL C ReL m Prr 71 Como os valores de C m e n são freqüentemente independentes da natureza do fluido a família de linhas retas correspondentes a diferentes números de Prandtl pode ser concentrada em uma única linha ao representarse os resultados em termos da razão NUL Prr como mostrado na Figura 72b Como a Equação 71 é inferida a partir de dados experimentais ela é chamada de uma correlação empírica Os valores específicos do coeficiente C e os expoentes m e n variam com a natureza da geometria da superfície e o tipo de escoamento Em muitos casos especiais usaremos expressões com a forma dada pela Equação 71 e é importante observar que a hipótese de propriedades do fluido constantes está freqüentemente implícita nos resultados Entretanto sabemos que as propriedades do fluido variam com a temperatura através da camadalimite e que essa variação pode certamente influenciar a taxa de transferência de calor Essa influência pode ser tratada em uma entre duas maneiras Em um método a Equação 71 é utilizada com todas as propriedades avaliadas a uma temperatura da camadalimite média Tf chamada de temperatura do filme Tf Ts T 2 72 O método alternativo é avaliar todas as propriedades a T e multiplicar o lado direito da Equação 71 por um parâmetro adicional para levar em conta a variação das propriedades O parâmetro possui comumente a forma Prr Prr ou μμs onde os subscritos e s indicam a avaliação das propriedades nas temperaturas da corrente livre e da superfície respectivamente Os dois métodos são utilizados nos resultados a seguir Finalmente observamos que experimentos também podem ser executados para a obtenção de correlações da transferência de FIGURA 71 Experimento para a medida do coeficiente de transferência de calor por convecção médio hL FIGURA 72 Representação adimensional de medidas da transferência de calor por convecção massa por convecção Contudo em condições nas quais a analogia entre as transferências de calor e de massa Seção 671 pode ser aplicada a correlação da transferência de massa assume a mesma forma da correlação da transferência de calor correspondente Assim antecipamos correlações com a forma Shx C Rexm Scn 73 onde para uma dada geometria e condição de escoamento os valores de C m e n são os mesmos que aparecem na Equação 71 72 A Placa Plana em Escoamento Paralelo Apesar de sua simplicidade o escoamento paralelo sobre uma placa plana Figura 73 ocorre em numerosas aplicações da engenharia Como discutido na Seção 63 o desenvolvimento da camadalimite laminar começa na aresta frontal x0 e a transição para o regime turbulento pode ocorrer em uma posição xc a jusante na qual um número de Reynolds crítico Rexc é atingido Iniciamos analisando as condições no interior da camadalimite laminar 721 Escoamento Laminar sobre uma Placa Isotérmica Uma Solução por Similaridade Os principais parâmetros da convecção podem ser obtidos através da resolução de formas apropriadas das equações da camadalimite Supondo escoamento laminar incompressível e em regime estacionário de um fluido com propriedades constantes e dissipação viscosa desprezível e reconhecendo ainda que dpdx0 as equações da camadalimite Equações 627 628 629 e 630 se reduzem a Continuidade ux vy 0 74 Momento u ux v uy ν ²uy² 75 Energia u Tx v Ty α ²Ty² 76 Espécie A u ρAx v ρAy DAB ²ρAy² 77 Figura 73 A placa plana em escoamento paralelo A solução dessas equações é simplificada pelo fato de que para propriedades constantes as condições na camadalimite de velocidade fluidodinâmica são independentes da temperatura e da concentração da espécie Dessa forma podemos começar resolvendo o problema fluidodinâmico Equações 74 e 75 sem levar em conta as Equações 76 e 77 Uma vez resolvido o problema fluidodinâmico as soluções para as Equações 76 e 77 que dependem de u e v podem ser obtidas A solução fluidodinâmica segue o método de Blasius 1 2 Os componentes da velocidade são definidos em termos de uma função corrente ψxy u ψy e v ψx 78 de modo que a Equação 74 é automaticamente satisfeita e assim não mais necessária As novas variáveis dependente e independentes f e η respectivamente são então definidas da tal forma que fη ψ u νxu 79 η y uνx 710 Como iremos verificar o uso dessas variáveis simplifica a questão através da redução da equação diferencial parcial Equação 75 para uma equação diferencial ordinária A solução de Blasius é dita uma solução por similaridade e η é uma variável similar Essa terminologia é usada porque apesar do crescimento da camadalimite com a distância x da aresta frontal o perfil de velocidades uu permanece geometricamente similar Essa similaridade possui a forma funcional uu φyδ onde δ é a espessura da camadalimite Descobriremos pela solução de Blasius que δ varia como νxu12 assim temse que uu φη 711 Assim o perfil de velocidades é unicamente determinado pela variável similar η que depende de x e y Das Equações 78 a 710 obtemos u ψy ψη ηy u νxu d fdη uνx u dfdη 712 e v ψx uνxu fx u2 νux f v 12 νux η dfdη f 713 Diferenciando os componentes da velocidade também pode ser mostrado que se da Equação 710 que ux u2x η d²fdη² 714 uy u uνx d²fdη² 715 ²uy² u² νx d³fdη³ 716 Substituindo essas expressões na Equação 75 obtemos então 2 d³fdη³ f d²fdη² 0 717 Assim o problema da camadalimite fluidodinâmica é reduzido à solução de uma equação diferencial ordinária nãolinear de terceira ordem As condições de contorno apropriadas são ux0vx00 e uxu ou em termos das variáveis de similaridade d fdη η0 f00 e d fdη η 1 718 A solução da Equação 717 submetida às condições da Equação 718 pode ser obtida por uma expansão em série 2 ou por integração numérica 3 Resultados selecionados estão apresentados na Tabela 71 a partir dos quais informações úteis podem ser extraídas Primeiramente observamos que com uma boa aproximação uu099 para η50 Definindo a espessura da camadalimite δ como o o valor de η no qual uu 099 tem Tabela 71 Funções da camadalimite laminar sobre uma placa plana 3 η y uνx f d fdη uu d²fdη² 0 0 0 0332 04 0027 0133 0331 08 0106 0265 0327 12 0238 0394 0317 16 0420 0517 0297 20 0650 0630 0267 24 0922 0729 0228 28 1231 0812 0184 32 1569 0876 0139 36 1930 0923 0098 40 2306 0956 0064 44 2692 0976 0039 48 3085 0988 0022 52 3482 0994 0011 56 3880 0997 0005 60 4280 0999 0002 64 4679 1000 0001 68 5079 1000 0000 δ 50 uνx 5xRex 719 Da Equação 719 fica claro que δ aumenta com o aumento de x e ν mas diminui com o aumento de u quanto maior a velocidade na corrente livre mais estreita a camadalimite Além disso pela Equação 715 a tensão de cisalhamento na parede pode ser representada por τs µ uy η0 µ u uνx d²fdη² η0 Assim da Tabela 71 τs 0332 u ρ µ ux O coeficiente de atrito local ε então Cfx τsx ρ u²2 0664 Rex12 720 A partir do conhecimento das condições na camadalimite de velocidade as equações de conservação da energia e da espécie podem agora ser resolvidas Para resolver a Equação 76 introduzimos a temperatura adimensional T TTsTTs e supomos uma solução similar com a forma T Tη Efetuando as substituições necessárias a Equação 76 se reduz a d²Tdη² Pr2 f dTdη 0 721 Observe a dependência da solução térmica em relação às condições fluidodinâmicas através da presença da variável f na Equação 721 As condições de contorno apropriadas são T00 e T1 722 Submetida às condições da Equação 722 a Equação 721 pode ser resolvida por integração numérica para diferentes valores do número de Prandtl Uma consequência importante dessa solução é que para Pr 06 resultados para o gradiente de temperatura na superfície dTdη η0 podem ser correlacionados pela seguinte relação dTdη η0 0332 Pr13 Representando o coeficiente convectivo local por hx qsTs T k T Ts Ty y0 hc k uνx12 dTdη η0 seguese que o número de Nusselt local tem a forma Nux hx xk 0332 Rex12 Pr13 Pr 06 723 A partir da solução da Equação 721 temse também que a razão entre as espessuras das camadaslimite de velocidade e térmica é δδt Pr13 724 onde δ é fornecida pela Equação 719 A equação da camadalimite de uma espécie Equação 77 tem a mesma forma da equação da camadalimite de energia Equação 76 com DAB substituindo α Introduzindo uma massa específica normalizada da espécie A ρA ρA ρAρA ρAs e observando que para uma concentração da espécie na superfície fixa ρA0 0 e ρA 1 725 também vemos que as condições de contorno para a espécie têm a mesma forma das condições de contorno para a temperatura dadas pela Equação 722 Conseqüentemente como discutido na Seção 671 a analogia das transferências de calor e de massa pode ser aplicada pois a equação diferencial e as condições de contorno para a concentração da espécie têm a mesma forma do que para a temperatura Assim com base na Equação 723 Shx hmx xDAB 0332 Rex12 Sc13 Sc 06 726 Por analogia da Equação 724 temse também que a razão das espessuras das camadaslimite é δδc Sc13 727 Os resultados anteriores podem ser usados para calcular importantes parâmetros da camadalimite laminar para 0 x xc onde xc é a distância da aresta frontal na qual a transição inicia As Equações 720 723 e 726 implicam que τsx hx e hmx são a princípio infinitos na aresta frontal e diminuem com x12 no sentido do escoamento As Equações 724 e 727 também implicam que para valores de Pr e Sc próximos à unidade o que é o caso da maioria dos gases as três camadaslimite apresentam crescimento praticamente idêntico A partir dos resultados locais anteriores parâmetros médios da camadalimite podem ser determinados Com o coeficiente de atrito médio definido por Cfx τsx ρ u²2 728 onde τsx 1x ₀ˣ τsx dx a forma de τsx pode ser obtida da Equação 720 e a integração efetuada para obter Cfx 1328 Rex12 729 Além disso com base nas Equações 614 e 723 o coeficiente de transferência de calor médio para o escoamento laminar é hx 1x ₀ˣ hx dx 0332 kv Pr13 u x12 ₀ˣ x12 dxx 730 Integrando e substituindo a Equação 723 temse que hx 2 hx Assim Nux hx x k 0664 Rex12 Pr13 Pr 06 730 Empregando a analogia das transferências de calor e de massa temse que Shx hmx x DAB 0664 Rex12 Sc13 Sc 06 731 Se o escoamento for laminar ao longo de toda a superfície o substrito x pode ser substituído por L e as Equações 729 a 731 podem ser usadas para prever as condições médias em toda a superfície Nas expressões anteriores vemos que para o escoamento laminar sobre uma placa plana os coeficientes de atrito e convectivos médios a partir da aresta frontal até o ponto x sobre a superfície são o dobro dos coeficientes locais naquele ponto Também observamos que ao usarmos essas expressões o efeito de propriedades variáveis pode ser tratado pela avaliação de todas as propriedades na temperatura do filme Equação 72 Para fluidos com número de Prandtl pequeno os metais líquidos a Equação 723 não se aplica Contudo nesse caso o desenvolvimento da camadalimite térmica é muito mais rápido do que o desenvolvimento da camadalimite de velocidade δt δ e é razoável admitir velocidade uniforme u u ao longo da camadalimite térmica A partir de uma solução para a equação da camadalimite térmica baseada nessa hipótese 5 podese então mostrar que Nux 0565 Pex12 Pr 005 Pex 100 732 onde Pex Rex Pr é o número de Peclet Tabela 62 Apesar da natureza corrosiva e reativa dos metais líquidos suas propriedades peculiares ponto de fusão e pressão de vapor reduzidos bem como elevadas capacidade e condutividade térmicas os tornam candidatos a refrigerantes em aplicações que exigem elevadas taxas de transferência de calor Uma expressão única que se aplica a todos os números de Prandtl foi recomendada por Churchill e Ozoe 6 Para o escoamento laminar sobre uma placa isotérmica o coeficiente convectivo local pode ser obtido em Nux 03387 Rex12 Pr13 1 00468Pr2314 Pex 100 733 com Nux 2 Nux 722 Escoamento Turbulento sobre uma Placa Isotérmica De experimentos 2 sabese que para escoamentos turbulentos com números de Reynolds de até aproximadamente 10⁸ o coe ficiente de atrito local é correlacionado com 15 de precisão por uma expressão na forma Cfx 00592 Rex15 Rexcri Rex 108 734 Além disso sabese que com uma aproximação razoável a espessura da camadalimite de velocidade pode ser representada por δ 037 x Rex15 735 Comparando esses resultados com aqueles para a camadalimite laminar Equações 719 e 720 verificamos que o crescimento da camadalimite turbulenta é muito mais rápido δ varia com x45 em contraste com x12 para o escoamento laminar e que o decréscimo do coeficiente de atrito é mais gradual x15 contra x12 Para o escoamento turbulento o desenvolvimento da camadalimite é fortemente influenciado por flutuações aleatórias no fluido e não pela difusão molecular Dessa forma o crescimento relativo das camadaslimite não depende do valor de Pr ou Sc e a Equação 735 pode ser usada para fornecer as espessuras das camadaslimite térmica e de concentração bem como da camadalimite de velocidade Isto é para o escoamento turbulento δ δt δc Usando a Equação 734 com a analogia de Reynolds modificada ou analogia de ChiltonColburn Equações 670 e 671 o número de Nusselt local para o escoamento turbulento é Nux St Rex Pr 00296 Rex45 Pr13 06 Pr 60 736 e o número de Sherwood local é Shx Stm Rex Sc 00296 Rex45 Sc13 06 Sc 3000 737 A melhor mistura causa um crescimento mais rápido da camadalimite turbulenta quando comparado ao da camadalimite laminar e faz com que ela tenha maiores coeficientes de atrito e convectivos Expressões para os coeficientes médios podem agora ser determinadas Entretanto como a camadalimite turbulenta é geralmente precedida por uma camadalimite laminar analisaremos primeiramente condições de camadalimite mista 723 Condições de CamadaLimite Mista Para o escoamento laminar sobre toda a placa as Equações 729 a 731 podem ser usadas para calcular os coeficientes médios Além disso se a transição ocorrer próximo à aresta de saída traseira da placa por exemplo no intervalo 095 xtL 1 essas equações podem ser usadas na determinação dos coeficientes médios com uma aproximação razoável Contudo quando a transição ocorre suficientemente a montante da aresta de saída da placa xtL 095 os coeficientes médios na superfície serão influenciados pelas condições tanto na camadalimite laminar quanto na camadalimite turbulenta No caso da camadalimite mista Figura 73 a Equação 614 pode ser usada para obter o coeficiente de transferência de calor por convecção médio em toda a placa Integrando ao longo da região laminar 0 x xc e então ao longo da região turbulenta xc x L essa equação pode ser escrita na forma hL 1L0xc hlam dx xcL hturb dx onde admitese que a transição ocorre abruptamente em x xc Substituindo as Equações 723 e 736 para hlam e hturb respectivamente obtemos hL kL0332 u v12 0xc dx x12 00296 u v45 xcL dx x15 Pr13 Integrando temos então NuL 0037 Rexc45 A Pr 13 738 06 Pr 60 Rexc ReL 108 onde as relações entre colchetes indicam a faixa de aplicabilidade e e a constante A é determinada pelo valor do número de Reynolds crítico Rexc Isto é A 0037 Rexc45 0664 Rexc12 739 Analogamente o coeficiente de atrito médio pode ser encontrado usando a expressão CfL 1L0xc Cfxlam dx xcL Cfxturb dx Substituindo as expressões para Cfxlam e Cfxturb Equações 720 e 734 respectivamente e efetuando a integração obtémse uma expressão com a forma CfL 0074 ReL15 2AReL Rexc ReL 108 740 A aplicação da analogia entre as transferências de calor e de massa na Equação 738 fornece ShL 0037ReL45 A Sc13 741 06 Sc 60 Rexc ReL 108 Para uma camadalimite completamente turbulenta Rexc 0 A 0 Tal condição pode ser obtida pela perturbação da camadalimite na aresta frontal usando um arame fino ou outro promotor de turbulência Para um número de Reynolds de transição de Rexc 5 x 105 A 871 Todas as correlações anteriores exigem a avaliação das propriedades do fluido na temperatura do filme Equação 72 40 primento inicial nãoaquecido Ts T a montante da seção aquecida Ts T Como mostrado na Figura 74 o crescimento da camadalimite de velocidade inicia em x 0 enquanto o desenvolvimento da camadalimite térmica começa em x ξ Assim não há transferência de calor emS x ξ Através do uso de uma solução integral de camadalimite 5 sabese que para o escoamento laminar Nuxξ0 Nuxξ0 1 ξx3413 742 onde Nuxξ0 é dado pela Equação 723 Em Nux e em Nuxξ0 o comprimento característico x é medido a partir da aresta frontal do comprimento inicial nãoaquecido Determinouse também que para o escoamento turbulento Nuxξ0 Nuxξ0 1 ξx 910 19 743 onde Nuxξ0 é dado pela Equação 736 Resultados da transferência de massa análogos são obtidos substituindo Nux Pr por Shx Sc Usando a Equação 614 com os coeficientes convectivos locais dados pelas relações anteriores podem ser obtidas expressões para o número de Nusselt médio em uma placa isotérmica com um comprimento inicial nãoaquecido 7 Para uma placa com comprimento total L com escoamento laminar ou turbulento sobre toda a superfície a expressão tem a forma NuL NuLξ0 L L ξ 1 ξLp1p2pp1 744 onde p 2 para o escoamento laminar e p 8 para o escoamento turbulento A grandeza Nuxξ0 é o número de Nusselt médio para uma placa de comprimento L quando o aquecimento inicia na aresta frontal da placa Para o escoamento laminar ele pode ser obtido da Equação 730 com x substituído por L para o escoamento turbulento ele é dado pela Equação 738 com A 0 supondo escoamento turbulento sobre toda a superfície Note que NuL é igual a hLk onde h é a média somente sobre a porção aquecida da placa que tem comprimento L ξ Conseqüentemente o valor correspondente de hL deve ser multiplicado pela área da seção aquecida para determinar a taxa total de transferência de calor na placa FIGURA 74 Placa plana em escoamento paralelo com comprimento inicial nãoaquecido 725 Placas Planas com Condições de Fluxo Térmico Constante Também é possível ter um fluxo térmico uniforme em vez de uma temperatura uniforme imposto na placa Para o escoamento laminar pode ser mostrado que 5 Nux 0453 Rex12 Pr13 Pr 06 745 enquanto para o escoamento turbulento Nux 00308 Rex45 Pr13 06 Pr 60 746 Assim o número de Nusselt é 36 e 4 superior do que o resultado para temperatura na superfície constante para os regimes laminar e turbulento respectivamente A correção para o efeito da existência de um comprimento inicial nãoaquecido pode ser feita com o uso das Equações 745 e 746 em conjunto com as Equações 742 e 743 respectivamente Se o fluxo térmico for conhecido o coeficiente convectivo pode ser usado para determinar a temperatura superficial local Tsx T qs hx 747 Como a taxa total de transferência de calor é facilmente determinada pelo produto do fluxo térmico uniforme pela área superficial q qs As não é necessário a introdução de um coeficiente convectivo médio com o propósito de determinar q Contudo podese ainda desejar determinar uma temperatura superficial média através de uma expressão com a forma Ts T 1L0 0L Ts T dx qs L0 0L x k Nux dx onde Nux é obtido a partir de uma correlação convectiva apropriada Substituindo a Equação 745 temse que Ts T qs L k NuL 748 onde NuL 0680 ReL12 Pr13 749 Esse resultado é apenas 2 superior ao obtido pela avaliação da Equação 730 em x L As diferenças são ainda menores para o escoamento turbulento sugerindo que qualquer resultado para NuL obtido para temperatura superficial uniforme pode ser usado com a Equação 748 para determinar Ts T Expressões para a temperatura média de uma placa que é submetida a um fluxo térmico uniforme a jusante de uma seção inicial nãoaquecida foram obtidas por Amoor 7 726 Limitações no Uso de Coeficientes Convectivos Embora as equações desta seção sejam adequadas para a maioria dos cálculos de engenharia na prática elas raramente fornecem valores exatos para os coeficientes convectivos As condi 41 ções variam de acordo com a turbulência na corrente livre e com a rugosidade da superfície e erros de até 25 podem ser causados pelo uso das expressões Uma descrição detalhada dos efeitos da turbulência na corrente livre é fornecida por Blair 8 73 Metodologia para um Cálculo de Convecção Embora tenhamos discutido apenas correlações para o escoamento paralelo sobre uma placa plana a seleção e a aplicação de uma correlação da convecção para qualquer situação de escoamento são facilitadas ao se seguir poucas regras simples 1 Reconheça imediatamente a geometria do escoamento O problema envolve o escoamento sobre uma placa plana uma esfera ou um cilindro A forma específica da correlação da convecção depende obviamente da geometria 2 Especifique a temperatura de referência apropriada e determine as propriedades do fluido pertinentes naquela temperatura Para diferenças de temperatura na camadalimite moderadas a temperatura do filme Equação 72 pode ser usada com esse propósito Entretanto iremos considerar correlações que exigem a determinação das propriedades na temperatura da corrente livre e incluem razões entre propriedades para levar em conta os efeitos de propriedades não constantes 3 Nos problemas de transferência de massa as propriedades pertinentes do fluido são aquelas da espécie B No nosso tratamento da transferência de massa por convecção lidaremos apenas com misturas binárias diluídas Isto é os problemas envolvem o transporte de uma espécie A para a qual xA 1 Com uma boa aproximação as propriedades da mistura podem então ser consideradas como as propriedades do componente B O número de Schmidt por exemplo seria Sc νBDAB e o número de Reynolds seria ReL VLνB 4 Calcule o número de Reynolds As condições na camadalimite são fortemente influenciadas por esse parâmetro Se a geometria for a de uma placa plana em escoamento paralelo determine se o escoamento é laminar ou turbulento 5 Decida se um coeficiente local ou um coeficiente médio na superfície é necessário Lembrese de que para temperatura ou massa específica do vapor constante na superfície o coeficiente local é usado para determinar o fluxo em um ponto específico sobre a superfície enquanto o coeficiente médio determina a taxa de transferência em toda a superfície 6 Selecione a correlação apropriada EXEMPLO 71 Ar a uma pressão de 6 kNm2 e a uma temperatura de 300C escoa com uma velocidade de 10 ms sobre uma placa plana com 05 m de comprimento Determine a taxa de resfriamento por unidade de largura da placa necessária para mantêla com uma temperatura superficial de 27C SOLUÇÃO Dados Escoamento de ar sobre uma placa plana isotérmica Achar Taxa de resfriamento por unidade de largura da placa q Wm Esquema uma excelente aproximação propriedades como k Pr e μ podem ser consideradas independentes da pressão Contudo para um gás a viscosidade cinética ν μρ irá variar com a pressão através de sua dependência em relação à massa específica Da lei do gás ideal ρ pRT temse que a razão entre as viscosidades cinemáticas de um gás a uma mesma temperatura porém a pressões diferentes p1 e p2 é ν1ν2 p2p1 Assim a viscosidade cinemática do ar a 437 K e p 6 x 103 Nm2 é ν 3084 106 m2s 10133 105 Nm2 6 103 Nm2 521 104 m2s Análise Para uma placa de largura unitária vem da lei do resfriamento de Newton que a taxa de transferência de calor por convecção para a placa é q hL T Ts Para determinar a correlação da convecção apropriada para calcular h o número de Reynolds deve em primeiro lugar ser determinado ReL u L ν 10 ms 05 m 521 104 m2s 9597 Assim o escoamento é laminar sobre toda a placa e a correlação apropriada é dada pela Equação 730 NuL 0664 ReL12 Pr13 0664 959712 068713 574 O coeficiente convectivo médio é então h NulkL 574 x 00364 Wm K 05 m 418 Wm² K Comentários Os resultados da Tabela A4 se aplicam aos gases à pressão atmosférica Com exceção da viscosidade cinemática da massa específica e da difusividade térmica eles podem em geral ser utilizados em outras pressões sem correção A viscosidade cinemática e a difusividade térmica para pressões diferentes de 1 atm podem ser obtidas pela divisão do valor tabelado pela pressão atm Exemplo 72 Uma placa plana com largura w1 m é mantida a uma temperatura superficial uniforme Ts 230 C pelo uso de fitas aquecedoras controladas independentemente cada uma com 50 mm de comprimento Se ar atmosférico a 25 C escoa sobre a placa a uma velocidade de 60 ms em qual aquecedor o fornecimento de eletricidade é máximo Qual o valor desse fornecimento Solução Dados Escoamento de ar sobre uma placa plana com fitas aquecedoras independentes Achar Potência máxima requerida no aquecedor Esquema Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Efeitos radiantes desprezíveis 3 Superfície inferior da placa adiabática Propriedades Tabela A4 ar Tf 400 K p 1 atm v 2641 x 10⁶ m²s k 00338 Wm K Pr 0690 Análise O local do aquecedor que necessita a potência elétrica máxima pode ser determinado através da determinação em primeiro lugar do ponto da transição na camadalimite O número de Reynolds baseado no comprimento L₁ do primeiro aquecedor é Re₁ u L₁ v 60 ms x 005 m 2641 x 10⁶ m²s 114 x 10⁵ Se o número de Reynolds de transição for considerado Rexc 5 x 10⁵ temse que a transição ocorrerá no quinto aquecedor ou mais precisamente em xc v u Rexc 2641 x10⁶ m²s 60 ms x 5 x 10⁵ 022 m O aquecedor que exige a potência elétrica máxima é aquele no qual o coeficiente convectivo médio é ó maior Conhecendo a forma como o coeficiente convectivo local varia com a distância da aresta frontal concluímos que existem três possibilidades 1 O aquecedor 1 uma vez que ele corresponde ao maior coeficiente convectivo local no regime laminar 2 O aquecedor 5 uma vez que ele corresponde ao maior coeficiente convectivo local no regime turbulento 3 O aquecedor 6 uma vez que condições turbulentas estão presentes em toda a sua extensão Para cada um desses aquecedores a conservação de energia exige que qele qconv Para o primeiro aquecedor qconv1 h₁ L₁ w Ts T onde h₁ é determinado pela Equação 730 Nu₁ 0664Re₁12Pr13 0664114 x 10⁵12 06913 198 Donde h₁ NulkL₁ 198 x 00338 Wm K 005 m 134 Wm² K e qconv1 134 Wm² K005 x 1 m² 230 25 C 1370 W A exigência de potência para o quinto aquecedor pode ser obtida pela subtração de toda a perda de calor associada aos quatro primeiros aquecedores daquela associada aos cinco primeiros Conseqüentemente qconv5 h₁ ₅L₅ w Ts T h₁ ₄L₄ w Ts T qconv5 h₁ ₅L₅ h₁ ₄L₄ w Ts T O valor de h₁ ₄ pode ser obtido pela Equação 730 onde Nu₄ 0664Re₄12Pr13 Com Re₄ 4Re₁ 456 x 10⁵ Nu₄ 0664456 x 10⁵12 06913 396 Donde h₁ ₄ NulkL₄ 396 x 00338 Wm K 02 m 67 Wm² K Por sua vez o quinto aquecedor é caracterizado por condições de camadalimite mista e h₁ ₅ deve ser obtido usando a Equação 738 com A 871 Com Re₅ 5Re₁ 570 x 10⁵ Nu₅ 0037Re₅45 871Pr13 Nu₅ 0037570 x 10⁵45 87106913 546 Assim h₁ ₅ Nu₅ kL₅ 546 x 00338 Wm K 025 m 74 Wm² K A taxa de transferência de calor no quinto aquecedor é então qconv5 74 Wm² K x 025 m 67 Wm² K x 020 m x 1 m 230 25 C qconv5 1050 W Analogamente a exigência de potência para o sexto aquecedor pode ser obtida pela subtração da perda térmica total associada aos cinco primeiros aquecedores daquela associada aos seis primeiros Dessa forma qconv6 h₁ ₆L₆ h₁ ₅L₅ w Ts T onde h₁ ₆ pode ser obtido pela Equação 738 Com Re₆ 6Re₁ 684 x 10⁵ Nu₆ 0037684 x 10⁵45 87106913 753 Donde h₁ ₆ Nu₆ k L₆ 753 x 00338 Wm K 030 m 85 Wm² K e qconv6 85 Wm² K x 030 m 74 Wm² K x 025 m x 1 m230 25 C qconv6 1440 W Assim qconv6 qconv1 qconv5 e a sexta placa tem a maior exigência de potência Comentários 1 Um método alternativo menos preciso para encontrar a taxa de transferência de calor por convecção em uma determinada fita aquecedora envolve a estimativa de um coeficiente convectivo médio local para a sua superfície Por exemplo a Equação 736 poderia ser usada para determinar o coeficiente convectivo local no ponto central da sexta placa Com x0275 m Rex 625 x 10⁵ Nux 1130 e hx 139 Wm² K a taxa de transferência de calor por convecção na sexta placa é qconv6 hxL₆ L₅w Ts T qconv6 139 Wm² K030 025 m x 1 m 230 25 C x 1 m 230 25 C 1430 W Esse procedimento tem que ser usado com grande precaução e somente quando a variação do coeficiente convectivo local com a distância é gradual como ocorre no escoamento turbulento Ele pode levar a erros significativos quando usado em uma superfície onde ocorre a transição 2 A variação do coeficiente convectivo local ao longo da placa plana pode ser determinada pelas Equações 723 e 736 para os escoamentos laminar e turbulento respectivamente e os resultados estão representados na figura pela curva cheia Presumese que o decaimento x¹² do coeficiente convectivo laminar termine abruptamente em xc 022 m onde a transição mais do que quadruplica o coeficiente convectivo local Para x xc o decaimento do coeficiente convectivo é mais gradual x¹⁵ As linhas tracejadas representam extensões das distribuições que seriam utilizadas caso o valor de xc fosse alterado Por exemplo se a turbulência na corrente livre fosse maior eou se a superfície fosse mais rugosa Rexc iria diminuir O menor valor de xc faria com que as distribuições laminar e turbulenta se estendessem ao longo de frações menores e maiores da placa respectivamente Um efeito semelhante pode ser obtido pelo aumento de u Nesse caso valores maiores de hx estariam associados às distribuições laminar e turbulenta hlam u12 hturb u45 a perda de água diária nas piscinas devido à evaporação Para condições representativas você pode supor temperaturas da água e do ambiente iguais a 25 C e umidade relativa do ar ambiente de 50 Dimensões típicas da superfície da piscina são de 6 m por 12 m Há um deck com 15 de largura ao redor da piscina um pouco acima do solo O vento sopra na direção do lado mais longo da piscina com uma velocidade de 2 ms Você pode admitir que a turbulência do ar na corrente livre seja desprezível que a superfície da água da piscina seja lisa e esteja nivelada com o deck e que o deck seja seco Qual é a taxa de perda de água na piscina em quilogramas por dia Solução Dados Condições do ambiente acima de uma piscina dimensões da piscina e do deck Achar Perda de água diária por evaporação Esquema Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Superfície da água lisa e turbulenta na corrente livre desprezível 3 Deck seco 4 Analogia das transferências de calor e de massa aplicável 5 Escoamento transformado em turbulento na aresta frontal do deck 6 Comportamento de gás ideal do vapor dágua na corrente livre Propriedades Tabela A4 ar 25 C v 157 x 10⁶ m²s Tabela A8 vapor dáguaar 25 C DAB 026 x 10⁴ m²s Sc vDAB 060 Tabela A6 vapor dágua saturado 25 C ρA sat vg1 00226 kgm³ Análise A aresta frontal da camadalimite de velocidade está na aresta do deck e a aresta de saída da piscina está a uma distância de L 135 m da aresta frontal O número de Reynolds nesse ponto é ReL u L v 2 ms x 135 m 157 x 10⁶ m²s 172 x 10⁶ A aplicação da analogia das transferências de calor e de massa na Equação 744 fornece ShL ShLξ0 LL ξ 1 ξLp1p2 ppp1 1 O número de Sherwood médio ShLξ0 é determinado pela Equação 741 com A0 pois a camadalimite é tornada turbulenta pela aresta frontal do deck ShLξ0 0037ReL45 Sc13 ShLξ0 0037172 x 10⁶45 x 06013 3040 Com p8 para o escoamento turbulento a Equação 1 pode ser avaliada como ShL 3040 x 135 m 135 m 15 m 1 15 m 135 m8182881 2990 Temse que hmL ShL DAB L 2990 x 026 x 10⁴ m²s 135 m 577 x 10³ ms A taxa de evaporação na piscina é então nA hm A ρAs ρA onde A é a área da piscina não incluindo o deck Com o vapor dágua na corrente livre considerado um gás ideal ϕ ρA ρAsatT e com ρAs ρAsatTs nA hm A ρAsatTs ϕ ρAsatT Como Ts T 25 C temse que nA hm A ρAsat25 C 1 ϕ Donde nA 577 x 10³ ms x 72 m² x 00226 kgm³ x 05 x 86400 sdia 405 kgdia Comentários 1 É provável que a temperatura da superfície da água seja ligeiramente inferior à temperatura do ar devido ao efeito do resfriamento evaporativo 2 O volume perdido com a massa específica da água de 996 kgm³ é de nA ρ 04 m³dia Isso significaria uma queda do nível da piscina de 6 mm por dia Naturalmente a perda seria maior no verão quando a temperatura do ar é maior 3 A influência do comprimento do deck na evaporação diária é mostrada a seguir Na medida em que o comprimento do deck é aumentado a taxa total de evaporação é reduzida devido ao deslocamento da aresta frontal da camadalimite de velocidade para mais longe da piscina 74 O Cilindro em Escoamento Cruzado 741 Considerações sobre o Escoamento Outro escoamento externo comum envolve o movimento de um fluido na direção normal ao eixo de um cilindro circular Como mostrado na Figura 75 o fluido da corrente livre é levado ao repouso no ponto de estagnação frontal com um correspondente aumento de pressão A partir desse ponto a pressão diminui com o aumento de x a coordenada da linha de corrente e a camadalimite se desenvolve sob a influência de um gradiente de pressão favorável dpdx 0 Contudo a pressão tem que atingir um mínimo e na direção da parte de trás do cilindro a continuação do desenvolvimento da camadalimite ocorre na presença de um gradiente de pressão adverso dpdx 0 Na Figura 75 a distinção entre a velocidade a montante V e a velocidade do fluido na corrente livre u deve ser observada De forma distinta das condições para a placa plana em escoamento paralelo essas velocidades são diferentes com u dependendo agora da distância x do ponto de estagnação A partir da equação de Euler para o escoamento invíscido 9 ux deve exibir um comportamento oposto ao de px Isto é a partir de u 0 no ponto de estagnação o fluido acelera devido ao gradiente de pressão favorável dudx 0 quando dpdx 0 atinge uma velocidade máxima quando dpdx 0 e desacelera devido ao gradiente de pressão adverso dudx 0 quando dpdx 0 À medida que o fluido desacelera o gradiente de velocidade na superfície dudyy0 acaba se tornando igual a zero Figura 76 Nesse local conhecido por ponto de separação o fluido próximo à superfície carece de momento suficiente para superar o gradiente de pressão e a continuação do movimento para jusante se torna impossível Uma vez que o fluido ao chegar continuamente a este ponto obstrui o escoamento na direção inversa tem que haver a separação da camadalimite Essa é uma condição na qual a camadalimite descola da superfície e uma esteira é formada na região a jusante O escoamento nessa região é caracterizado pela formação de vórtices e é altamente irregular O ponto de separação é o local no qual uyy0 0 Uma excelente revisão das condições de escoamento na esteira de um cilindro circular é fornecida por Coutanceau e Defaye 10 A ocorrência de transição na camadalimite que depende do número de Reynolds influencia significativamente a posição do ponto de separação Para o cilindro circular o comprimento característico é o diâmetro e o número de Reynolds é definido como ReD ρVDμ VDν Como o momento do fluido em uma camadalimite turbulenta é maior do que o momento em uma camadalimite laminar é razoável esperar que a transição retarde a ocorrência da separação Se ReD 2 105 a camadalimite permanece laminar e a separação ocorre em θ 80 Figura 77 Entretanto se ReD 2 105 ocorre transição na camadalimite e a separação é retardada até θ 140 Os processos anteriores influenciam fortemente a força de arrasto FD que atua sobre o cilindro Essa força possui duas contribuições uma das quais devida à tensão de cisalhamento da camadalimite sobre a superfície arrasto de atrito ou arrasto viscoso A outra contribuição é devida a um diferencial de pressão no sentido do escoamento resultante da formação da esteira arrasto de forma ou arrasto de pressão Um coeficiente de arrasto CD adimensional pode ser definido como CD FD Af ρV²2 750 onde Af é a área frontal do cilindro área projetada no plano perpendicular à velocidade a montante O coeficiente de arrasto é uma função do número de Reynolds e alguns resultados são apresentados na Figura 78 Para ReD 2 os efeitos da separação são desprezí veis e as condições são dominadas pelo arrasto viscoso Contudo com o aumento do número de Reynolds o efeito da separação e portanto do arrasto de forma se torna mais importante A grande redução no CD que ocorre em ReD 2 105 é devida à transição na camadalimite que retarda a separação assim reduzindo a extensão da região da esteira e a magnitude do arrasto de forma 742 Transferência de Calor e de Massa por Convecção Resultados experimentais para a variação do número de Nusselt local com θ para um cilindro em um escoamento cruzado de ar são mostrados na Figura 79 Como esperado os resultados são fortemente influenciados pela natureza do desenvolvimento da camadalimite sobre a superfície Considere condições nas quais ReD 105 Partindo do ponto de estagnação Nuθ diminui com o aumento de θ como um resultado do desenvolvimento da camadalimite laminar Contudo um valor mínimo é atingido em θ 80 onde a separação ocorre e Nuθ passa a aumentar com θ devido à mistura associada à formação de vórtices na esteira Em contraste para ReD 105 a variação de Nuθ com θ é caracterizada pela existência de dois mínimos O declínio de Nuθ a partir do seu valor no ponto de estagnação é novamente devido ao desenvolvimento da camadalimite laminar porém o aumento brusco que ocorre entre 80 e 100 é causado pela transição para o regime turbulento Com o posterior desenvolvimento da camadalimite turbulenta Nuθ começa novamente a diminuir Por fim ocorre a separação θ 140 e Nuθ aumenta como um resultado da mistura na região da esteira O aumento de Nuθ com o au guir que é mais precisa em baixos números de Reynolds NuDθ 0 115 ReD12 Pr13 751 Contudo do ponto de vista dos cálculos de engenharia estamos mais interessados nas condições médias globais A correlação empírica proposta por Hilpert 11 NuD hDk C ReDm Pr13 752 é amplamente utilizada para Pr 07 As constantes C e m estão listadas na Tabela 72 A Equação 752 também pode ser empregada para o escoamento sobre cilindros com seção transversal não circular com o comprimento característico D e as constantes obtidas na Tabela 73 Ao trabalhar com as Equações 751 e 752 todas as propriedades são avaliadas na temperatura do filme Outras correlações foram sugeridas para o cilindro circular em escoamento cruzado 14 15 16 A correlação proposta por TABELA 72 Constantes da Equação 752 para o cilindro circular em escoamento cruzado 11 12 ReD C m 044 0989 0330 440 0911 0385 404000 0683 0466 400040000 0193 0618 40000400000 0027 0805 TABELA 73 Constantes da Equação 752 para cilindros nãocirculares em escoamento cruzado de um gás 13 Geometria ReD C m Quadrado 5 103105 0246 0588 5 103105 0102 0675 Hexágono 5 103195 104 0160 0638 195 104105 00385 0782 5 103105 0153 0638 Placa vertical 4 10315 104 0228 0731 TABELA 74 Constantes da Equação 753 para o cilindro circular em escoamento cruzado 16 ReD C m 140 075 04 401000 051 05 102 105 026 06 2 105106 0076 07 Zukauskas 15 tem a forma NuD C ReDm Prn PrPrs14 753 07 Pr 500 1 ReD 106 onde todas as propriedades são avaliadas a T com exceção de Prs que é avaliado a Ts Os valores de C e m estão listados na Tabela 74 Se Pr 10 n 037 se Pr 10 n 036 Churchill e Bernstein 16 propuseram uma única equação que cobre toda a faixa de ReD na qual há dados disponíveis bem como ampla faixa de Pr A equação é recomendada para ReD Pr 02 e possui a forma NuD 03 062 ReD12 Pr13 104Pr2314 1 ReD2820005845 754 onde todas as propriedades são avaliadas na temperatura do filme Mais uma vez alertamos o leitor para não considerar qualquer uma das correlações anteriores como verdade absoluta Cada correlação é razoável dentro de uma certa faixa de condições mas para a maioria dos cálculos de engenharia não se deve esperar uma precisão melhor do que 20 Uma vez que elas são baseadas em resultados mais recentes que englobam uma ampla faixa de condições as Equações 753 e 754 são usadas nos cálculos neste livro Uma revisão detalhada das muitas correlações que foram desenvolvidas para o cilindro circular é fornecida por Morgan 17 Finalmente observamos que pelo uso da analogia das transferências de calor e de massa as Equações 751 a 754 podem ser utilizadas em problemas envolvendo a transferência de massa convectiva em um cilindro em escoamento cruzado Simplesmente devese substituir NuD por ShD e Pr por Sc Em problemas de transferência de massa variações nas propriedades na camadalimite são tipicamente pequenas Assim quando for usada a relação de transferência de massa análoga à Equação 753 a razão entre propriedades que leva em conta os efeitos de sua variação pode ser desprezada EXEMPLO 74 Experimentos foram conduzidos com um cilindro metálico de 127 mm de diâmetro e 94 mm de comprimento O cilindro é aquecido internamente por um aquecedor elétrico e é submetido a um escoamento cruzado de ar no interior de um túnel de vento de baixas velocidades Sob um conjunto específico de condições operacionais nas quais a velocidade e a temperatura do ar na corrente a montante do cilindro são mantidas em V 10 ms e 262C respectivamente a dissipação de potência no aquecedor foi de P 46 W enquanto a temperatura média na superfície do cilindro era de Ts 1284C Estimase que 15 da dissipação de potência sejam perdidos em função dos efeitos cumulativos da radiação na superfície e da condução pelos terminais nas extremidades do cilindro Termopar para medir a temperatura da corrente de ar Cilindro aquecido Extremidades isoladas Tubo de Pitot para determinar a velocidade Terminais do termopar Túnel de vento Terminais de potência do aquecedor elétrico 1 Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção a partir das observações experimentais 2 Compare o resultado experimental com o coeficiente de transferência de calor calculado por uma correlação apropriada SOLUÇÃO Dados Condições operacionais para um cilindro aquecido Achar 1 Coeficiente convectivo associado às condições operacionais 2 Coeficiente convectivo com uma correlação apropriada Esquema Ts 1284ºC T 262ºC V 10 ms q 391 W P 460 W L 94 mm D 127 mm Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Temperatura na superfície do cilindro uniforme Propriedades Tabela A4 ar Ta 262ºC 300 K υ 1589 106 m2s k 263 103 WmK Pr 0707 Tabela A4 ar Tf 350 K υ 2092 106 m2s k 30 103 WmK Pr 0700 Tabela A4 ar Ts 1284ºC 401 K Pr 0690 Análise 1 O coeficiente de transferência de calor por convecção pode ser determinado a partir dos dados experimentais através do uso da lei do resfriamento de Newton Isto é h q ATs T Com q 085P e A πDL seguese que h 085 46 W π 00127 m 0094 m 1284 262C 102Wm2K 2 Trabalhando com a relação de Zukauskas Equação 753 NuD C Rem D Prn Pr Prs14 com todas as propriedades exceto Prs avaliadas a T Conseqüentemente ReD VD υ 10 ms 00127 m 1589 106 m2s 7992 Assim da Tabela 74 C 026 e m 06 Também como Pr 10 n 037 Temse então NuD 0267992060707037 0707 0690025 505 h NuD k D 505 00263 WmK 00127 m 105 Wm2K Comentários 1 Usando a relação de Churchill Equação 754 NuD 03 062 Re12D Pr13 1 04Pr2314 1 ReD 2820005845 Com todas as propriedades avaliadas a Tp Pr 070 e ReD VD υ 10 ms 00127 m 2092 106 m2s 6071 Dessa forma o número de Nusselt e o coeficiente convectivo são NuD 03 06260711207013 1 040702314 1 6071 2820005845 406 h NuD k D 406 0030 WmK 00127 m 960 Wm2K Alternativamente pela correlação de Hilpert Equação 752 NuD C ReDm D Pr13 Com todas as propriedades avaliadas na temperatura do filme ReD 6071 e Pr 070 Assim da Tabela 72 C 0193 e m 0618 O número de Nusselt e o coeficiente convectivo são então NuD 01936071061807000333 373 h NuD k D 373 0030 WmK 00127 m 88 Wm2 K 2 Incertezas associadas à medição da velocidade do ar à estimativa da perda de calor pelas extremidades do cilindro e à consideração de temperatura média na superfície do cilindro que varia axial e circunferencialmente fazem com que o resultado experimental não apresente incerteza inferior a 15 Conseqüentemente cálculos baseados em cada uma das três correlações encontramse dentro da incerteza experimental do resultado medido 3 Reconheça a importância de usar a temperatura apropriada ao avaliar as propriedades do fluido EXEMPLO 75 Como a massa molar do hidrogênio é muito pequena armazenar quantidades significativas na sua forma gasosa requer vasos de alta pressão muito grandes Em situações nas quais o uso de tais vasos não é possível como em aplicações automotivas o H2 é tipicamente armazenado pela sua adsorção em pó de um hidreto metálico O hidrogênio é posteriormente dessorvido quando necessário pelo aquecimento do hidreto metálico ao longo de seu volume Hidrogênio gasoso dessorvido está presente nas regiões intersticiais do pó a uma pressão que depende da temperatura do hidreto metálico na forma pH2 exp3550T 129 onde pH2 é a pressão de hidrogênio em atmosferas e T é a temperatura do hidreto metálico em kelvins O processo de dessorção é uma reação química endotérmica correspondente a uma taxa de geração térmica escrita como Ėg ṁH2 295 103 kJkg onde ṁH2 é a taxa de dessorção do hidrogênio kgs Energia térmica tem que ser fornecida ao hidreto metálico com objetivo de manter uma temperatura de operação suficientemente alta A temperatura de operação é determinada pela necessidade de que a pressão de hidrogênio permaneça acima de 1 atm de tal forma que o hidrogênio possa ser enviado para a célula combustível que opera a pcc 1 atm Na velocidade de cruzeiro V 25 ms em regime estacionário num automóvel a célula de combustível consome ṁH2 135 104 kgs de hidrogênio que é fornecido por um tanque cilíndrico de aço inoxidável com diâmetro interno Di 01 m comprimento L 08 m e espessura de parede t 05 mm O tanque que que é carregado com pó de um hidreto metálico está instalado no veículo de tal forma que está submetido ao escoamento cruzado de ar a V 25 ms e T 23C Determine quanto aquecimento adicional além do propiciado pela convecção vinda do ar morno deve ser fornecido ao tanque para que pH2 pcc SOLUÇÃO Dados Tamanho de um tanque de armazenamentro de hidrogênio taxa de dessorção de hidrogênio pressão de operação do hidrogênio requerida velocidade e temperatura do ar em escoamento cruzado Achar A transferência de calor por convecção para o tanque e o aquecimento adicional necessário para manter pH2 pcc Esquema T 23ºC V 25 ms Ti r 005 mm Ar Parede de aço inoxidável Hidreto metálico Ėg Di 01 m L 08 m Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Temperatura na superfície do cilindro uniforme 3 Ganho de calor pelas laterais do cilindro desprezível 4 Temperatura do hidreto metálico uniforme 5 Resistência de contato desprezível entre a parede do tanque e o hidreto metálico Propriedades Tabela A4 ar Tf 285 K υ 1456 106 m2s k 252 103 WmK Pr 0712 Tabela A1 aço inoxidável AISI 316Tai 300 K kai 134 WmK Análise Começamos achando a temperatura de operação mínima permitida do hidreto metálico Tmin correspondente a pH2min 1 atm A relação entre a temperatura de operação e a pressão pode ser rearranjada para fornecer Tmin 3550 lnpH2min 129 3550 ln1 129 2752 K qconv T Ti 1 πLDi 2tħ lnDi 2tDi 2πkaiL ou substituindo os valores qconv 296 K 2752 K 1 π08 m01 m 2 0005 m726 Wm2K ln01 m 2 0005 m01 m 2π134 WmK08 m 406 W A taxa de geração de energia térmica associada com a dessorção do hidrogênio do hidreto metálico na taxa mássica requerida é Ėg 135 104 kgs 295 106 Jkg 3982 W Para determinar a taxa de transferência de calor por convecção iniciamos calculando o número de Reynolds ReD VDi 2t υ 23 ms 01 m 2 0005 m 1456 106 m2s 173760 Usando a Equação 754 NuD 03 062 Re12D Pr13 1 04Pr2314 1 ReD 2820005845 temse NuD 03 06217376012071213 1 0407122314 1 173760 2820005845 3158 Conseqüentemente o coeficiente de transferência de calor convectivo médio é ħ NuD k Di 2t 3158 253 103 WmK 01 m 2 0005 m 726 Wm2K Simplificando a Equação 329 encontramos qconv T Ti 1 πLDi 2tħ lnDi 2tDi 2πkaiL ou substituindo os valores qconv 296 K 2752 K 1 π08 m01 m 2 0005 m726 Wm2K ln01 m 2 0005 m01 m 2π134 WmK08 m 406 W A energia térmica adicional qad que tem que ser fornecida ao tanque para manter a temperatura de operação em regime estacionário pode ser determinada por um balanço de energia qad qconv Ėg 0 Conseqüentemente qad qconv Ėg 406 W 3982 W 3576 W Comentários 1 Aquecimento adicional irá ocorrer por radiação pela condução através do sistema de suporte do tanque e linhas de combustível e possivelmente pela condensação de vapor dágua sobre o tanque frio O calor rejeitado pela célula combustível veja Exemplo 311 pode também ser usado como uma fonte de energia térmica para o tanque de armazenamento de hidrogênio 2 As resistências térmicas associadas à condução na parede do tanque e à convecção são 00014 KW e 0053 KW respectivamente A resistência convectiva domina e pode ser reduzida pela adição de aletas na superfície externa do tanque 3 A quantidade necessária de aquecimento adicional aumentará se o automóvel se deslocar a uma velocidade maior pois o consumo de hidrogênio aumenta com V3 enquanto o coeficiente de transferência de calor por convecção aumenta com V07 a V08 Aquecimento adicional é também necessário quando o automóvel é operado em um clima mais frio 75 A Esfera Os efeitos da camadalimite associados ao escoamento sobre uma esfera são muito semelhantes àqueles no cilindro circular com a transição e a separação representando papéis importantes Resultados para o coeficiente de arrasto que é definido pela Equação 750 são apresentados na Figura 78 No limite para números de Reynolds muito pequenos escoamento lento o coeficiente de arrasto é inversamente proporcional ao número de Reynolds e a relação específica é conhecida por lei de Stokes CD 24 ReD ReD 05 755 Numerosas correlações da transferência de calor foram propostas e Whitaker 14 recomenda uma expressão com a forma NuD 2 04 Re12D 006 Re23D Pr04 μ μs14 756 071 Pr 380 35 ReD 76 104 10 μμs 32 Todas as propriedades exceto μs são avaliadas a T e o resultado pode ser aplicado para problemas de transferência de massa simplesmente pela substituição de NuD e Pr por ShD e Sc respectivamente Um caso especial de transferência de calor e de massa por convecção em esferas está relacionado ao transporte em gotas em queda livre e a correlação de Ranz e Marshall 18 é frequentemente usada NũD 2 06ReD12 Pr13 757 No limite quando ReD0 as Equações 756 e 757 se reduzem a NũD 2 que corresponde à transferência de calor por condução de uma superfície esférica para um meio infinito e estacionário ao redor da superfície como pode ser deduzido do Caso 1 da Tabela 41 EXEMPLO 76 O filme plástico decorativo sobre uma esfera de cobre com 10 mm de diâmetro é curado em um forno a 75ºC Com a remoção do forno a esfera é submetida a uma corrente de ar a 1 atm e 23ºC que possui uma velocidade de 10 ms Estime quanto tempo será necessário para resfriar a esfera até 35ºC SOLUÇÃO Dados Resfriamento de uma esfera em uma corrente de ar Achar Tempo t necessário para resfriar de Ti 75ºC a Tt 35ºC Esquema Ar p 1 atm V 10 ms T 23ºC Esfera de cobre D 10 mm Ti 75ºC Tt 35ºC Considerações 1 Resistência e capacitância térmicas no filme plástico desprezíveis 2 Esfera espacialmente isotérmica 3 Efeitos radiantes desprezíveis Propriedades Tabela A1 cobre T 328 K ρ 8933 kgm³ k 399 WmK cp 388 JkgK Tabela A4 ar T 296 K μ 1826 10⁷ Nsm² ν 1553 10⁶ m²s k 00251 WmK Pr 0708 Tabela A4 ar Ts 328 K μ 1978 10⁷ Nsm² Análise O tempo necessário para completar o processo de resfriamento pode ser obtido para uma capacitância global Em particular das Equações 54 e 55 t ρVcp hAs lnTi T T T ou com V πD³6 e As πD² t ρcp D 6h lnTi T T T Da Equação 756 NũD 2 04ReD12 006ReD23Pr04 μμs14 onde ReD VD ν 10 ms 001 m 1553 10⁶ m²s 6440 Assim o número de Nusselt e o coeficiente convectivo são NũD 2 04644012 006644023070804 1826 10⁷ Nsm² 1978 10⁷ Nsm²14 471 ȟ NũD k D 471 00251 WmK 001 m 118 Wm²K O tempo necessário para o resfriamento é então t 8933 kgm³ 387 JkgK 001 m 6 118 Wm²K ln75 23 35 23 718 s Comentários 1 A validade do método da capacitância global pode ser determinada pelo cálculo do número de Biot Da Equação 510 Bi ȟLc ks ȟr3 ks 118 Wm²K 0005 m3 399 WmK 49 10⁴ e o critério é satisfeito 2 Embora suas definições sejam semelhantes o número de Nusselt é definido em termos da condutividade térmica do fluido enquanto o número de Biot é definido em termos da condutividade térmica do sólido 3 Opções para melhorar as taxas de produção incluem a aceleração do processo de resfriamento através do aumento da velocidade do fluido eou pelo uso de um fluido diferente Aplicando os procedimentos anteriores o tempo de resfriamento é calculado e representado graficamente para o ar e para o hélio em uma faixa de velocidades de 5 V 25 ms Embora os números de Reynolds para o hélio sejam muito menores do que aqueles para o ar a condutividade térmica do hélio é muito maior e como mostrado a seguir a transferência de calor por convecção é aumentada Assim as taxas de produção poderiam ser aumentadas pela substituição do ar pelo hélio apesar do aumento significativo no custo 76 Escoamento Externo Cruzado em Matrizes Tubulares A transferência de calor em uma matriz ou feixe de tubos em um escoamento cruzado é relevante em inúmeras aplicações industriais tais como geração de vapor em uma caldeira ou resfriamento de ar na serpentina de um condicionador de ar O arranjo geométrico é mostrado esquematicamente na Figura 710 Tipicamente um fluido se move sobre os tubos enquanto um segundo fluido a uma temperatura diferente escoa no interior dos tubos Nesta seção estamos especificamente interessados na transferência de calor por convecção associada ao escoamento cruzado sobre os tubos As fileiras colunas de tubos estão alternadas ou alinhadas na direção da velocidade do fluido V Figura 711 A configuração arranjo é caracterizada pelo diâmetro dos tubos D e pelos passos transversal ST e longitudinal SL medidos entre os centros dos tubos As condições do escoamento no interior da matriz são dominadas pelos efeitos de separação da camadalimite e por interações das esteiras que por sua vez influenciam a transferência de calor por convecção O coeficiente de transferência de calor associado a um tubo é determinado pela sua posição na matriz O coeficiente em um tubo na primeira coluna é aproximadamente igual àquele em um único tubo em escoamento cruzado enquanto coeficientes de transferência de calor maiores estão associados aos tubos localizados nas colunas internas Os tubos localizados nas primeiras V Fluido em escoamento cruzado sobre uma matriz tubular Escoamento interno de fluido através dos tubos FIGURA 710 Esboço de uma matriz tubular em escoamento cruzado FIGURA 711 Arranjo dos tubos em uma matriz tubular a Alinhado b Alternados colunas atuam como uma malha geradora de turbulência que aumenta o coeficiente de transferência de calor nos tubos localizados nas colunas seguintes Na maioria das configurações contudo as condições de transferência de calor se estabilizam de tal modo que ocorre apenas uma pequena mudança no coeficiente de transferência de calor nos tubos que se encontram além da quarta ou quinta coluna Geralmente desejamos conhecer o coeficiente de transferência de calor médio para a totalidade da matriz tubular Para o escoamento de ar através de matrizes de tubos compostas por 10 ou mais colunas NL 10 Grimison 19 obteve uma correlação na forma NũD C1 ReDmaxm NL 10 2000 ReDmax 40000 Pr 07 758 onde C1 e m estão listados na Tabela 75 e ReDmax ρVmax D μ 759 Tornouse prática comum estender esse resultado para outros fluidos através da introdução do fator 113 Pr13 assim NũD 113 C1 ReDmaxmPr13 760 NL 10 2000 ReDmax 40000 Pr 07 Todas as propriedades que aparecem nas equações anteriores são avaliadas na temperatura do filme Se NL 10 um fator de correção pode ser utilizado de tal modo que TABELA 75 Constantes das Equações 758 e 760 para o escoamento de ar sobre uma matriz tubular de 10 ou mais colunas 19 STD 125 15 20 30 SLD C1 m C1 m C1 m C1 m Alinhada 125 0348 0592 0275 0608 0100 0704 00633 0752 150 0367 0586 0250 0620 0101 0702 00678 0744 200 0418 0570 0299 0602 0229 0632 0198 0648 300 0290 0601 0357 0584 0374 0581 0286 0608 Alternada 0600 0213 0636 0900 0446 0571 0401 0581 1000 0497 0558 1125 0478 0565 0518 0560 1250 0518 0556 0505 0554 0519 0556 0522 0562 1500 0451 0568 0460 0562 0452 0568 0488 0568 2000 0404 0572 0416 0568 0482 0556 0449 0570 3000 0310 0592 0356 0580 0440 0562 0428 0574 TABELA 76 Fator de correção C2 da Equação 761 para NL 10 20 NL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alinhada 064 080 087 090 092 094 096 098 099 Alternada 068 075 083 089 092 095 097 098 099 MUDNl10 C2 MUDNL10 761 onde C2 é dado na Tabela 76 O número de Reynolds ReDmax nas correlações anteriores é baseado na velocidade do fluido máxima no interior da matriz tubular No arranjo alinhado Vmax ocorre no plano transversal A1 mostrado na Figura 711a e a partir da exigência de conservação da massa em um fluido incompressível Vmax ST ST D V 762 No arranjo alternado a velocidade máxima pode ocorrer tanto no plano transversal A1 quanto no plano diagonal A2 da Figura 711b Ela irá ocorrer em A2 se as colunas estiverem espaçadas de modo que 2SD D ST D O fator 2 resulta da bifurcação experimentada pelo fluido ao escoar do plano A1 para os planos A2 Assim Vmax ocorre em A2 se SD SL² ST2² 12 ST D2 e nesse caso é fornecida por Vmax ST 2SD D V 763 Se Vmax ocorre em A1 para o arranjo alternado mais uma vez ela pode ser calculada pela Equação 762 Resultados mais recentes foram obtidos e Zukauskas 15 propôs uma correlação com a seguinte forma NUp C ReDmaxn Pr036 PrPrs14 764 NL 20 07 Prs 500 1000 ReDmax 2 x 106 onde todas as propriedades com exceção de Prs são avaliadas na média aritmética das temperaturas de entrada e de saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na Tabela 77 A ne TABELA 77 Constantes da Equação 764 para a matriz tubular em escoamento cruzado 15 Arranjo ReDmax C m Alinhada 10102 080 040 Alternada 10102 090 040 Alinhada 102103 Aproximado como único Alternada 102103 cilindro isolado Alinhada 1032 x 105 027 063 STSL 07a Alternada 1032 x 105 035STSL15 060 STSL 2 Alternada 1032 x 105 040 060 STSL 2 Alinhada 2 x 1052 x 106 0021 084 Alternada 2 x 1052 x 106 0022 084 aPara STSL 07 a transferência de calor é ineficiente e tubos alinhados não devem ser usados cessidade de se avaliar as propriedades do fluido na média aritmética das temperaturas de entrada Tent T e de saída Tsai é ditada pelo fato de que a temperatura do fluido irá diminuir ou aumentar respectivamente devido à transferência de calor com os tubos Se a variação na temperatura do fluido Tent Tsai for grande um erro significativo pode resultar da avaliação das propriedades na temperatura de entrada Se NL 20 um fator de correção pode ser utilizado de tal modo que MUDNL20 C2 MUDNL20 765 onde C2 é fornecido na Tabela 78 O escoamento ao redor dos tubos da primeira coluna de uma matriz tubular corresponde àquele em um único isolado cilindro em escoamento cruzado Contudo para as colunas subsequentes o escoamento depende fortemente do arranjo da matriz tubular Figura 712 Tubos alinhados a jusante da primeira coluna encontramse no interior das esteiras turbulentas dos tubos a montante e para valores moderados de SL os coeficientes convectivos associados às colunas a jusante são aumentados pela turbulência do escoamento Tipicamente o coeficiente convectivo de uma coluna aumenta com o aumento do número da colu TABELA 78 Fator de correção C2 da Equação 765 para NL 20 ReDmax 103 15 NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 Alinhada 070 080 086 090 092 095 097 098 099 Alternada 064 076 084 089 092 095 097 098 099 FIGURA 712 Condições de escoamento em tubos a alinhados e b alternados na até aproximadamente a quinta Nas colunas seguintes há pequena variação na turbulência e portanto no coeficiente convectivo Entretanto para pequenos valores de STSL as colunas a montante na realidade protegem as colunas a jusante da maior parte do escoamento afetando de forma adversa a transferência de calor Isto é a trajetória preferencial do escoamento é em canais entre os tubos e grande parte da superfície dos tubos não fica exposta ao escoamento principal Por esse motivo a operação de matrizes tubulares alinhadas com STSL 07 Tabela 77 não é desejável Para o arranjo alternado contudo a trajetória do escoamento principal é mais tortuosa e uma maior porção da área superficial dos tubos a jusante permanece nessa trajetória Em geral o aumento na transferência de calor é favorecido pelo escoamento mais tortuoso em um arranjo alternado particularmente para pequenos números de Reynolds ReD 100 Como o fluido pode experimentar uma grande variação de temperatura à medida que escoa através da matriz tubular a taxa de transferência de calor pode ser significativamente superestimada pelo uso de ΔT Ts T como a diferença de temperaturas na lei do resfriamento de Newton À medida que o fluido escoa através da matriz sua temperatura se aproxima de Ts e ΔT diminui No Capítulo 11 é mostrado que a forma apropriada para ΔT é a média logarítmica das diferenças de temperatura ΔTml Ts Tent Ts Tsai ln Ts Tent Ts Tsai 766 onde Tent e Tsai são as temperaturas do fluido na entrada e na saída da matriz respectivamente A temperatura de saída necessária para determinar ΔTml pode ser estimada pela expressão Ts Tsai Ts Tent exp π D Nh ρ V Ns Tcp 767 onde N é o número total de tubos na matriz e NT é o número de tubos no plano transversal Uma vez conhecida ΔTml a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento dos tubos pode ser calculada por q Nh ΔTml 768 Os resultados anteriores podem ser usados para determinar as taxas de transferência de massa associadas à evaporação ou à sublimação nas superfícies de uma matriz de cilindros em escoamento cruzado Mais uma vez é preciso somente substituir NUD por ShD e Sc respectivamente Encerramos reconhecendo que em geral existe tanto interesse na queda de pressão associada ao escoamento através de uma matriz tubular quanto na taxa de transferência de calor global A potência necessária para deslocar o fluido através da matriz corresponde com frequência um custo operacional relevante e é diretamente proporcional à queda de pressão que pode ser representada por 15 Δp NL X ρVmax2 2 f 769 O fator de atrito f e o fator de correção χ estão representados nas Figuras 713 e 714 A Figura 713 corresponde a um arranjo quadro com os tubos alinhados no qual os passos longitudinal e transversal adimensionais PL SLD e PT STD respectiva mente são iguais O fator de correção χ representado no detalhe é usado para corrigir os resultados para outros arranjos com tubos alinhados Analogamente a Figura 714 aplicase a um arranjo de tubos alternado na forma de um triângulo eqüilátero ST SD e o fator de correção permite a extensão dos resultados para outros arranjos alternados Note que o número de Reynolds que aparece nas Figuras 713 e 714 é baseado na velocidade máxima do fluido Vmax FIGURA 713 Fator de atrito f e fator de correção χ para a Equação 769 Arranjo da matriz tubular alinhado 15 Usado com permissão FIGURA 714 Fator de atrito f e fator de correção χ para a Equação 769 Arranjo da matriz tubular alternado 15 Usado com permissão EXEMPLO 77 Com frequência água pressurizada está disponível a temperaturas elevadas e pode ser usada para o aquecimento ambiental ou em processos industriais Em tais casos é comum se utilizar um feixe de tubos no qual a água é passada pelo interior dos tubos enquanto o ar escoa em escoamento cruzado pelo lado externo Considere um arranjo alternado no qual o diâmetro externo dos tubos é de 164 mm e os passos longitudinal e transversal são SL 343 mm e ST 313 mm Há sete colunas de tubos na direção do escoamento do ar e oito tubos por coluna Sob condições operacionais típicas a temperatura na superfície externa dos tubos é de 70C enquanto a temperatura e a velocidade do ar na corrente a montante do feixe são 15C e 6 ms respectivamente Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção no lado do ar e a taxa de transferência de calor no feixe de tubos Qual é a queda de pressão na corrente de ar SOLUÇÃO Dados Geometria e condições de operação de uma matriz tubular Achar 1 Coeficiente convectivo no lado do ar e taxa de transferência de calor 2 Queda de pressão Esquema Considerações 1 Condições de regime estacionário 2 Efeitos radiantes desprezíveis 3 Efeito da variação da temperatura do ar ao atravessar a matriz tubular nas propriedades do ar desprezível Propriedades Tabela A4 ar T 15C ρ 1217 kgm³ cp 1007 JkgK v 1482 10⁶ m²s k 00253 WmK Pr 0710 Tabela A4 ar Ts 70C Pr 0701 Tabela A4 ar Tτ 43C v 174 10⁶ m²s k 00274 WmK Pr 0705 Análise 1 Das Equações 764 e 765 o número de Nusselt no lado do ar é NuD C2 ReDmax⁰³⁶ PrPrs¹⁴ Como SD SL² ST2²¹² 377 mm é maior do que ST D2 a velocidade máxima ocorre no plano transversal A1 da Figura 711 Dessa forma pela Equação 762 Vmax STST D V 313 mm313 164 mm 6 ms 126 ms com ReDmax Vmax Dν 126 ms 00164 m 1482 10⁶ m²s 13943 e STSL 313 mm 343 mm 091 2 seguese das Tabelas 77 e 78 que C 035 STSL¹⁵ 034 m 060 e C2 095 Donde NuD 095 034 13943060 071036 07100701025 879 e h NuD kD 879 00253 WmK 00164 m 1356 Wm²K Da Equação 767 Ts Tsai Ts Tent expπ D Nh ρ W NT ST Cp Ts Tsai 55C expπ 00164 m 56 1356 Wm² K 1217 kgm³ 6 ms 8 00313 m 1007 Jkg K Ts Tsai 445C Assim das Equações 766 e 768 ΔTlm Ts Tent Ts Tsai lnTs TentTs Tsai 55 445C ln55445 496C e q Nħπ D ΔTlm 56π 1356 Wm² K 00164 m 496C q 194 kWm 2 A queda de pressão pode ser obtida com a Equação 769 Δp NL X ρ Vmax² 2 f Com ReDmax 13943 PT STD 191 e PT PL 091 temse que da Figura 714 que χ 104 e f 035 Portanto com NL 7 Δp 7 104 1217 kgm³ 126 ms² 2¹⁰³⁵ Δp 246 Nm² 246 10³ bar Comentários 1 Com as propriedades avaliadas em Tf ReDmax 11876 Com STD 2 e SLD 2 temse das Tabelas 75 e 76 que C1 0482 m 0556 e C2 097 Das Equações 760 e 761 o número de Nusselt é então NuD 867 e ħ 1448 Wm²K Os valores de h obtidos com as Equações 760 e 764 apresentam conseqüentemente diferença na faixa de 7 perfeitamente dentro de suas incertezas 2 Caso ΔTent Ts Tent houvesse sido usada em lugar de ΔTlm na Equação 768 a taxa de transferência de calor por convecção teria sido superestimada em 11 3 Como a previsão de aumento na temperatura do ar é de somente 105C a avaliação das propriedades do ar a Tent 15C é uma aproximação razoável Contudo se uma maior precisão for desejada os cálculos deveriam ser repetidos com as propriedades reavaliadas a Tent Tsai 2 2025C Uma exceção é representada pela massa específica ρ no termo exponencial da Equação 767 Como ela aparece no denominador deste termo ρ está ligada à velocidade na entrada fornecendo um produto ρ V que está relacionado à vazão mássica de ar entrando na matriz tubular Assim nesse termo ρ deve ser avaliado a Tent 4 A temperatura de saída do ar e a taxa de transferência de calor podem ser aumentadas pelo aumento no número de colunas de tubos e para um número fixo de colunas elas podem ser mudadas pelo ajuste da velocidade do ar Para 5 NL 25 e V 6 ms cálculos variando o parâmetro NL baseados nas Equações 764 a 768 fornecem os seguintes resultados Com o aumento de NL a temperatura de saída do ar irá se aproximar assintoticamente da temperatura da superfície quando a taxa de transferência de calor total atinge um valor constante Assim não há vantagem adicional em se acrescentar mais colunas de tubos Observe que Δp aumenta linearmente com o aumento de NL Para NL 25 e 1 V 20 ms obtemos Embora a taxa de transferência de calor aumente com o aumento de V a temperatura de saída do ar diminui aproximandose de Tent quando V Bocal DouW Saída do bocal CAsai Tsai Vsai Núcleo potencial Jato livre Ambiente T CA Zona de estagnação ou de colisão Jato de parede Perfis de velocidades z r ou x Superfície de colisão Ts CAs Ponto de estagnação FIGURA 715 Colisão em uma superfície de um jato de gás circular ou retangular valor máximo e posteriormente decaem para zero Os perfis de velocidades no interior do jato de parede são caracterizados por velocidade nula na superfície de colisão e na superfície livre Se Ts Tsai eou CAs CAsai há transferência de calor eou de massa por convecção nas regiões de estagnação e de jato de parede Muitos esquemas de transferência de calor massa por colisão de jatos envolvem uma série de jatos como por exemplo a série de jatos retangulares mostrada na Figura 716 Além do escoamento originado em cada bocal com as respectivas regiões de jato livre de estagnação e de jato de parede existem zonas de estagnação secundárias resultantes das interações entre regiões de jato de parede adjacentes Em muitos desses esquemas os jatos são descarregados no interior de um volume restrito delimitado pela superfície alvo e pela placa dos bocais de onde são originados os jatos A taxa de transferência de calor massa global depende fortemente da forma pela qual o gás esgotado cuja temperatura concentração da espécie encontrase entre os valores associados ao da saída do bocal e ao da superfície de colisão é retirado do sistema Para a configuração da Figura 716 o gás esgotado não pode escoar para cima por entre os bocais mas em vez disso tem que escoar simetricamente nas direções y Como a temperatura resfriamento superficial ou a concentração da espécie evaporação superficial do gás aumenta com o aumento de y a diferença local de temperaturas ou de concentrações entre a superfície e o gás diminui causando uma redução nos fluxos convectivos locais Uma situação preferível é a presença de aberturas para o ambiente entre bocais adjacentes permitindo dessa forma um escoamento ascendente contínuo e a descarga direta do gás esgotado Na Figura 717 são mostradas vistas frontais de um bocal circular e de um bocal retangular bem como de séries regulares de bocais circulares e retangulares Para os bocais isolados Figura 717a d os coeficientes convectivos local e médio estão associados a quaisquer r 0 e x 0 Nas séries com a descarga do gás esgotado na direção vertical z a simetria dita a equivalência entre os valores locais e médios em cada uma das células unitárias delimitadas pelas linhas tracejadas Para um grande número de jatos circulares em uma configuração alinhada quadrada Figura 717b ou alternada equi látera Figura 717c as células unitárias correspondem a um quadrado ou a um hexágono respectivamente Um parâmetro geométrico pertinente é a área relativa do bocal que é definida como a razão entre a área da seção transversal da saída do bocal e a área superficial da célula Ar AstsaiAcélula Em cada caso S representa o passo da série de bocais 772 Transferência de Calor e de Massa por Convecção Nos resultados a seguir presumese que o jato de gás saia do bocal a uma velocidade Vsai temperatura Tsai e concentração de espécie CAsai uniformes Por hipótese o jato encontrase em equilíbrio térmico e de composição com o ambiente Tsai T CAsai CA enquanto a transferência de calor eou de massa por convecção pode ocorrer na superfície de colisão que possui temperatura eou composição uniformes Ts Tsai CAs CAsai A lei Placa de bocais S y z Bocal L Zonas de estagnação secundárias FIGURA 716 Superfície de colisão de uma série de jatos retangulares