Lista - Semana 7 Introcalc-com Respostas-2021 2

Universidade Federal do Paran´a - UFPR Centro Polit´ecnico Departamento de Matem´atica Disciplina: Introdu¸c˜ao ao C´alculo C´odigo: CM300 Lista - Semana 7 1. Encontre, se poss´ıvel, a fun¸c˜ao na forma f(x) = ax + b ou f(x) = Cax partir das tabelas a seguir: (a) x 0 1 2 f(x) 1/2 2 7/2 (b) x 0 1 2 f(x) 3 6 12 (c) x 0 1 2 f(x) 3 6 8 2. Encontre a fun¸c˜ao exponencial na forma f(x) = Cax tal que (a) f(0) = 4 e f(1) = 8 (b) f(0) = 4 e f(2) = 8 (c) f(1) = 4 e f(2) = 8 3. Encontre a fun¸c˜ao exponencial na forma f(x) = Cax dada pelo gr´afico a seguir: 4. Fa¸ca numa mesma figura os gr´aficos de f(x) = 2x e g(x) = 4x, al´em da reta y = x + 1 (sugest˜ao: marque os pares ordenados correspondentes a x = −1, x = 0 e x = 1). 5. Suponha que uma colˆonia de bact´erias tenha sua popula¸c˜ao dobrada a cada hora. Sabendo que a colˆonia possui atualmente 1000 bact´erias, qual ser´a a popula¸c˜ao ap´os 24 horas ? 6. A meia-vida do Pot´assio-40 (40K) ´e de 4,5 bilh˜oes de ano. Uma rocha que possu´ıa 1g de 40K h´a 500 milh˜oes de anos possui atualmente quantos gramas desta substˆancia ? 1 7. Encontre as solucoes das equacoes abaixo. (a) 2° = 16 (b) 227+! — 16 (c) 487-2 = 23% 1 9.3% — 3.9% gu? _ 9x f S+o () 2-3" =3 (0 (f) 5+" = 8. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo. 1 (a) log, 8 (b) logs 1 (c) log. 9 (d) log1 2 (e) logy, 2 (f) logs 32 1 1 . 1 . 1 1 (g) logs 4 (h) logy 97 (i) logs 125 (j) logjas 5 (k) logy 64 (1) logs 3 9. O pH de um liquido é dado pela formula pH = — log;,(x), sendo x a concentracao do ion hidrénio [H30+] em mol/l. (a) A concentracdo de [H30+] em Agua destilada é de 10-7 mol/l. Calcule o pH da Agua des- tilada. OBS: concentragoes acima e abaixo deste valor sao denominadas alcalinas e dcidas, respectivamente. (b) Sabendo que o pH do sangue humano varia de 7.37 a 7.44, encontre as quantidades minima e maxima esperadas de [H30+] no sangue humano. 10. Use as propriedades dos logaritmos para simplificar as seguintes expressoes: 1 (a) In(3? _ 9x) +In (;-) (b) eln(x? +4?) (c) eln(ma)—In2 (d) In(e?!™*) x 11. Encontre as solucdes das equacoes abaixo. (a) 2-375 =5 (b) 522+! = 9% (c) 2-3 =3-2741 (d) 2% =3 12. Encontre o valor aproximado dos logaritmos abaixo com 3 casas decimais. 1 1 1 (a) logs 5 (b) logs = (c) logs 5 (d) logs 3 + logs 5 (e) logg10— (f) M5 +In5 13. Voltando ao item 7 (colénia de bactérias), apds quantas horas a colonia atingiu 1 bilhao de bactérias? 14. Voltando ao item 8 (meia-vida do Potdssio-40), qual é a idade estimada de uma rocha com 0,3g de 40K, sabendo-se que ela possufa 1g quando foi formada? 15. Considerando a notacao da calculadora financeira HP12C, o valor futuro (FV) de uma quantia (valor presente, PV) apds n perfodos sob a taxa de juros i é dado por FV = PV(1 +72)”, Calcule, com uma casa decimal, o nimero de periodos n tal que o valor futuro FV = 1000 é atingido, dados (a) PV = 10 ei = 100% (b) PV = 100 ei = 10% (c) PV = 50 ei =50% (d) PV = 10e1= 10% (e) PV = 10 ei = 20% (f) PV = 20ei=10% 16. Faca numa mesma figura os graficos de f(x) = logs(x) e g(x) = log,(x), além da reta y= x4 —1 (sugestao: use os pares ordenados do item 7 e as propriedades da fungéo inversa). 2 Respostas: 3 1 1. (a) f(x) = “ (b) f(a) = 3(2)*” (c) nao é possivel 2. (a) f(x) = 4(2)* (b) f(a) = 4(/2)* (c) f(a) = 2(2)” 3 3. f(x) = <4" fa) =4 4. Note que a reta y = x +1 cruza os graficos de f(x) e g(x) a direita e a esquerda do eixo y, respectivamente, e cruza ambos os graficos no ponto (0,1). O grafico da fungao exponencial natural e*, cuja base satisfaz 2 < e < 4, é tocado pela reta y = x + 1 apenas no ponto (0,1), como se as intersegdes a esquerda e A direita vistas em f(x) e g(x) migrassem para o centro. y 4 P| |x =2* — g(x) =4”* 3 -—— y=x+1 2 y 1 0 Psd Xx -1 0 1 5. Apés n horas, a populacao seré 1000(2)”. Para n = 24, teremos 1000(2)*4 = 1,7 x 10!° bactérias, ou seja, aproximadamente 17 bilhoes. ae 500 1 _ 1\\/9 6. 500 milhoes de anos correspondem a 4500 ~ 9 da meia-vida, logo temos 3 = 0,926 g 3 4 7. (a)a=4 (b) w= 5 (c)e=5 (d)2#=1 (e)z#=O0our=1 (f) « = —-6 1 1 D 2 3 . —2 —2 — — f) = — h) -—= i) — Fa 2 O28 M3 OF OF Wy MZ O- j) -x k) = 1) = -; Ws 5 9. (a) pH=7 (b) maxima: 10773” = 4,3 x 107 mol/L; minima: 10~"*4 = 3,6 x 107° mol/L 10. (a) In(a — 3) (b) 2+ y? (c) ra /2 (d) 2Inz 3 5 1 1 11. =| =] - = ——— = —— d) x = +,/log, 3 @) estoy (F)-5 We=p 5 We=a gM) e=4Vbon 12. (a) 1,465 = (b) -1,465 = (c) -1,465 ~—s (d)0~—s(e) 3,322 ~—s(£) 0, 916 13. log, (10°) = 6log,(10) = 19.93156... (aproximadamente 20 horas) 14. log; /2 0.3 = 1.73696... periodos de meia-vida, ou aproximadamente 7 bilhoes e 816 mil anos. 15. (a) n+ 6,6 (b) n = 24,2 (c)n 7,4 (d) n = 48,3 (e) n © 25,3 (f) n = 41,0 16. Analogamente ao exercicio 7, o grafico da fungao logaritmo natural In(a«) = log,(«) fica entre os graficos de f(x) e g(x), sendo tocado pela reta y = x — 1 apenas uma vez, no ponto (1,0). > y 1 ee 0 t x -1 | 4d —f(x)=log,(x) — 9(x)=log,(x) -— = y=x-1 -2 0 1 2 3 4 4