Lista 2 Derivadas com Gabarito-2023 1

See oe nenanemno se Marcuse UFPR LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO 1 Lista 2 DERIVADAS Parte 1: exercicios do livro do Stewart 8* edicado ¢ Secao 2.7: 5, 7, 13, 14, 18, 23, 24, 27, 28, 31, 37, 38, 59, 60. ¢ Secdo 2.8: 3, 21, 24, 27, 29, 61, 63, 64. ¢ Secdo 3.1: 3, 4, 6, 8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 22, 24, 33, 34, 36, 37, 55, 58, 59, 61, 63, 70, 71, 72, 78, 81. ¢ Secdo 3.2: 4,5, 6, 13, 16, 24, 28, 29, 31, 34, 41, 45, 61. ¢ Secao 3.3: 1, 2, 4, 6, 8, 11, 14, 15, 21, 24, 33, 42, 44, 45. ° Seco 3.4: 1, 2, 4, 12, 15, 17, 21, 22, 23, 24, 32, 35, 39, 41, 45, 51, 52, 54, 60, 63, 71, 93, 94, 98. * Secdo 3.5: 5, 8,9, 10, 12, 13, 15, 21, 25, 26, 29, 31, 35, 39, 49, 51, 53, 54, 60, 74, 76. ¢ Secdo 3.6: 3, 7,9, 11, 12, 17, 18, 20, 23, 24, 43, 45, 47, 48, 49. ¢ Secdo 3.7: 14, 15, 18, 22, 26, 35. ¢ Secdo 3.9: 2, 3, 6, 12, 17, 24, 33. ¢ Secdo 4.1: 29, 30, 31, 33, 35, 37, 39, 43, 48,51, 52, 53, 56, 57, 61, 69, 72. ¢ Seco 4.2: 11, 12, 14, 18, 19, 20. ¢ Secdo 4.3: 9, 10, 11, 12, 14, 15, 19, 22, 37, 39, 41, 43, 45, 46, 49, 50, 51, 53, 73, 74, 78. ¢ Secdo 4.4: 11, 13, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 26, 30, 32, 35, 38, 44, 46, 51, 52, 56, 57, 63. ¢ Secdo 4.5: 1, 2,5, 9, 10, 13, 15, 22, 23, 24, 34, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 54, 61, 62, 63, 65, 67, 68. ¢ Secao 4.7: 2, 4,5, 7, 8, 11, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 36, 37, 45, 67. Parte 2: exercicios extras NOCAO INTUITIVA DE DERIVADA: 1. Determine a equacao da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados: (a) { f(a) =2%ep=2 ® ions ) {rove @ {foy=s-s p=2 p=9 p=1 Esboce 0 grafico de cada fungao acima juntamente com a reta tangente no ponto p dado. 2. Dé exemplo, por meio de um gréfico, de uma funcio f, definida e derivavel em R, tal que f’(1) = 0. 3. Dé exemplo, por meio de um grafico, de uma fungao f, definida e continua em R, tal que f’(1) nao exista. 4. Use as informagoes a seguir para esbogar o grafico da funcdo f no intervalo fechado [—2, 5]. * o grafico de f é composto por segmentos de reta fechados unidos pelas extremidades; * o grafico comega no ponto (—2, 3); * a derivada de f é a funcao escada de grafico y’ y' =f") 1 o_O x 2 0 l 3 5 oes 5. Mostre que a fungio g(x) = az +i,ser<1 nao é derivavel em p = 1. Esboce 0 grafico de ‘ 4 gA0 It) = —x+4,sex>1 p=" g g- . v7 +2, sex<1 6. Seja g(x) = { 2e+1,sex>1. (a) Mostre que g é derivavel em p = 1 e calcule g’(1). (b) Esboce o grafico de g. . _ x+1,sexr<1 7. Seja g(a) = { —2+3,sex>1. (a) Esboce o grafico de g. (b) g é derivdvel em p = 1? Por qué? DERIVADAS E FUNCOES POTENCIA 8. Calcule g’(x) sendo g dada por: _— 6 1 1 _ (a) g(a) = « (c) ge) =— (c) ge) = (9) g(a) =a 1 (b) g(x) = v1 (d) g(x) =x? (f) g(2) =F (h) g(a) = 273 9. Seja f(x) = v/a. Calcule: (a) f'(x) (6) fC) (c) f"(-82) 10. Determine a equagao da reta tangente ao grafico de f(x) = ¥/z no ponto de abscissa 1. Esboce os graficos de f e da reta tangente. 11. Determine a reta que é tangente ao grafico de f(x) = x? e paralela Areta y = 4x 4+ 2. 12. A parabola y = 2x? — 13x + 5 tem alguma reta tangente cujo coeficiente angular seja —1? Se sim, encontre uma equacao para a reta e 0 ponto de tangéncia. Se nao tem, dé uma justificativa de por que isso acontece. DERIVADAS DE FUNCOES LOGARITMOS E EXPONENCIAIS 13. Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f(a) = e* no ponto de abscissa 0. 14. Calcule g’(x). (a) g(x) = logs x (0) g(a) = logs x (c) g(x) = log, # (d) g(x) =Ine 15. Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f(a) = Inz no ponto de abscissa 1. Esboce os gréficos de f e da reta tangente. PONTOS CRITICOS 2 16. Seja f(z) =a? +-. x (a) Determine o ponto do grafico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja paralela ao eixo Oz. (b) Esboce o grafico de f. 2 17. Seja f(x) = 2° + 3a? +1. (a) Estude o sinal de f’(z). (b) Calcule jim f(z) e dim f (2). (c) Utilizando as informagées acima, faga um esboco do grafico de f. 18. Encontre a equacdo da reta normal a curva y = x° — 4x + 1 no ponto (2, 1). 19. Determine as equacoes das retas tangentes 4 curva y = x? — 3x — 2 que sao horizontais. DERIVADAS DE FUNCOES RACIONAIS 20. Calcule F’(x) em que F(x) é igual a: x 3a? +3 Ba + v Vz +2 x? —1 Jr 3 a+ Va b) —— d) —— —=— h) ——— (0) c+l1 (4) oy (f) Vet at (h) r24+3 21. Determine as equacoes das retas tangentes a Serpentina de Newton (cujo grafico esté abaixo) nos pontos (0,0) e (1, 2). y , 4x y= 7a wt | a2) 2 1 x Of; 123 4 DERIVADAS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS 22. Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f(x) = sen x no ponto de abscissa 0. 23. Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f(a) = tg x no ponto de abscissa 0. DERIVADAS E REGRAS DA SOMA, DO PRODUTO, DO QUOCIENTE 24. Calcule f’(x) onde f(x) é igual a: (a) 3a? +5 cosx (d) x*tgx (9) Seer (j) —— rt 3a +2 cossecx COS & (b) Pal (e) tex (h) 4secx + cotga (k) (x? + V/x)cosseca 3 , 9 1 2 + sen x (c) xsen a (f) sone pcos (i) x? +32 tga (!) ——~cosn 25. Calcule f’(x): — 72 pt 1+e* z+1 Ing (a) f(z) = ae (d) f(@)= 7S (f) fe) = — (h) f(x) = — (b) f(x) =3a+5lna * * e e€ (c) f(x) = e* cosa (e) f(x) = a7 Inx + Qe” (9) f(x) = Pal (i) f(x) = r+l 26. Para cada uma das fungées abaixo, esboce seu grafico e de sua derivada. (a) f(x) = 22 \a| _ f 2? +32, sex <1 (b) f(@) = 5a—1,sexr>1 3 DERIVADAS E COMPOSICAO: REGRA DA CADEIA 27. Seja f : R — R derivavel e seja g dada por g(x) = f(e?”). Supondo f’(1) = 2, calcule g’(0). 28. Determine a derivada. (a) y =sen 4x (h) f(x) = cos e® (n) f(a) = e&* (b) y =cosda (i) y = (sen x + cos)? (0) y = sen (cos x) (c) f(x) =e* (j) y= V3r41 (p) g(t) = (? +3)" (d) f(x) = cos8x 0) fo) = fe (a) f(x) = 00s (x? +3) x) = ~/ —— (e) y=sent? r+1 (r) y= Vater (f) g(t) =In(2t + 1) (I) yao (s) y= tg (32) (g) w= esent (m) a = In (t? + 3t +9) (t) y = sec 3a 29. Derive. (a) y= ae (h) f(x) =(e* +e")? (») y= [n(w? +1) b) y =e" cos2 i) y= tee *# ee” Due (a) v=In(secx +12) (c) y= er*sen « (j) g(x) =e n( + v2) (d) y=e sen 3¢ (k) y = (sen 3x + cos 22)? (r) y = cos? (x?) (c) f(e)=e™ +n (2 +1) (1) y= Vet™+e-* cosa (f) g(t) = (m) y=In(e+ V2? +1) (S) {= aa cosa ~ (n) y= Va? +ev# te" _ t) f(t) = ———~ (9) ¥= oe (0) y=aln (22 +1) () SO = Terep 30. Determine uma funcao y = f(x) que seja dada implicitamente pela equacio ry? + y+2=1. DERIVADAS IMPLICITAS d 31. Expresse 7 em termos de x e y, em que y = f(a) é uma fungao derivavel dada implicitamente pela equaco: x a) 2 —y?=4 c) vy? +2y=3 e) ry + ay =2 (a) y yo + 2y yo + ry (b:) yr +a*y=a+4 (d) Ptyse (f) (Bay +7)? = by 32. (a) Encontre y’ se x? + y? = 6zy. (b) Encontre a reta tangente a curva no ponto (3, 3). (c) Em quais pontos do primeiro quadrante a reta tangente é horizontal? DERIVADA DA FUNCAO INVERSA 33. Considere a fungio f(a) = 5 — 4a. _ 1 (a) Calcule f’ (5) e (f~*)’ (Ff (3))- (b) Conclua que (f~1)! (f (5)) = z717- f' (5) . 3 2 . df—1 34. Seja f(x) = x — 3x° — 1, com x > 2. Determine o valor de “a 2° ponto 7 = —1 = f(3). 35. Seja f : [0,7] — [—1,1] a funcdo dada por f(x) = cosx. Uma vez que f é injetora e sobrejetora, f admite uma inversa, a saber g: [-1,1] > [0, 7] dada por g(x) = arccos x. Calcule g’(x). Dica: basta lembrar que cos(arccos x) = x, para todo x € [—1, 1]. 36. Sejam f : (—5, 5) > Ra fungio dada por f(x) = tg reg: R > (—§, $) sua inversa, ou seja, g(x) = arctg x. Calcule g’ (zx). 37. Utilize derivacao implicita para derivar as func6es trigonométricas inversas. 4 (a) f(a) = are sen x (b) f(a) = are cotg x (c) f(a) = are sec x (d) f(a) = are cossec x DERIVADAS DAS FUNCOES INVERSAS TRIGONOMETRICAS 38. Determine a derivada das seguintes func¢6es: (a) y=a-aretg x (d) y = arctg(x?) (9) y= sen(3z) (b) f(a) = arcsen(32) (ec) y = 3arctg(2x + 3) arctg(4.r) (c) y = arccos(a*) (f) y = In(aretg x) (h) y = xarcsen x + V1 — x? DERIVADAS E LOGARITMO: d 39. Calcule 7 em cada um dos casos abaixo. x (a) Iny = eYsen x (b) Inay = e**Y (c) a =y* (d) tgy=e*+Inz 40. Calcule a derivada de y em relacao a varidvel independente dada. (a) y=(@+ 1)” (d) y=tv! (f) y=a" (i) y= (tex) (b) y= ar" (9) y=a"* (c) y= (vt)! (e) y = (sen x)” (h) y= (Ina)"* (J) y= (ne)°s* DERIVADA DE ORDEM DOIS 41. Para cada uma das fungées abaixo, determine a derivada e a derivada de segunda ordem. (a) f(a) = 4a + 2x (c) f(x) = 522 — + (e) f(x) = aa 1 . (!) fle) = x? + 3x, sex <1 (b) f(x) = — (d) f(x) = 30° —6x+1 fx) = 5a —1, sex>1 42. Esboce os graficos das funcées f, f’ e f”. (a) f(x) = 27|2| — f a +32, sex<l (6) f(z) = 5a —1, sex>1 43. Calcule a derivada de segunda ordem de cada uma das fungdes y = f(a) abaixo. 3 1 (a) y= (1 + *) (©) y= geotg(3 — 1) (c) y= 2?In(22) (9) y=In(x + VIF) * x Ing (b) y=(1— Va)7} (d) y = 9g (=) (f) y= > (h) y =In(secx + tg x) dy ad 44. Calcule oF 6 —Y em cada um dos casos abaixo. dx dx? (a) 2 +y?=1 (c) e +y3 =1 (ce) 2Vy="-y (b) y? =a? + 2x (d) y? — 2x =1-2y (f) cy+y?=1 3443 dy 2 dy 45. (a) Sex’ +y’ = 16, encontre o valor de a2 em (2, 2). (b) Se zy + y* = 1, encontre o valor de a2 &™ (0, —1). x x DERIVADAS: APLICACOES 46. A frequéncia de vibragdo de uma corda de violino é dada por 1 /T f=—)/- 2L\ p em que L é 0 comprimento da corda, T’ é sua tensdo e p € sua densidade linear. Com base nesse modelo responda aos itens requisitado justificando sua resposta. 5 (a) Encontre a taxa de variagao da frequéncia em relacao: (i) ao comprimento (quando T e p sao constantes); (ii) & tensao (quando L e p sao constantes); (iit) A densidade linear (quando L e T sao constantes). (b) A intensidade de uma nota é determinada pela frequéncia de fora que quanto maior a frequéncia, maior a intensidade. Use os sinais das derivadas do item anterior para determinar 0 que acontece (i) quando o comprimento efetivo de uma corda é decrescido colocando-se o dedo sobre ela, de forma que uma porcg4o menor da corda vibre; (ii) quando a tensdo é aumentada girando-se o pino de afinacao; (iit) quando a densidade linear é aumentada, mudando-se a corda. 47. Se um gas (real) for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T’, a pressdo P estard relacionada com o volume V de acordo com a férmula P= nRT an? —Va-nb Vv? x . dP em que a, b, n e R sao constantes. Determine qv: 48. Uma das formulas para o gerenciamento de estoque diz que 0 custo médio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadorias é i h m qd A(g) =" +em+ 4 q 2 em que q é a quantidade de itens pedida quando as vendas estéio em baixa, k é 0 custo para se fazer um pedido (sempre 0 mesmo, independente da frequéncia com que se faz o pedido), c é o custo de cada item (constante), m é a quantidade de itens vendidos por semana (constante) e h é o custo semanal para manter cada item armazenado (constante que incorpora aspectos como espaco, ay: . dA utilidade, seguro e seguranga). Determine da: q 49. A posicdo de uma particula é dada pela equacao s = f(t) = t? — 6t? + 9t, em que t é medido em segundos e s em metros. (a) Encontre a velocidade no instante t. (b) Qual é a velocidade apés 2s? E depois de 4s? (c) Quando a particula esté em repouso? (d) Quando a particula esta se movendo para frente (isto é, no sentido positivo)? (e) Faga um diagrama para representar 0 movimento da particula. (f) Encontre a distancia total percorrida pela particula durante os primeiros cinco segundos. (g) Encontre a aceleracao no instante t e depois de 4s. (h) Faga os graficos das fungées posicio, velocidade e aceleracio para 0 < t < 5. (¢) Quando a particula esté acelerando? Quando esta freando? 50. Se um tanque tem 5000 galdes de Agua, que escoa pelo fundo em 40 minutos, entao a Lei de Torricelli dé 0 volume V de 4gua que restou no tanque depois de ¢t minutos como 4 \2 V =5000|1-— ] , 0<#< 40. 40 Encontre a taxa segundo a qual a Agua esta escoando do tanque depois de (a) 5min (6) 10min (c) 20min (d) 40min. Em que instante 0 escoamento é mais rapido? E mais devagar? 51. O numero de células de levedura em uma cultura de laboratério aumenta rapidamente no inicio, mas eventualmente estabiliza. A populacgao é modelada pela fungao F(t) : n= => | 1+ be—9%7t em que t é medido em horas. No instante t = 0 a populacdo é de 20 células e esta crescendo a uma taxa de 12 células/hora. Encontre os valores de a e b. De acordo com este modelo, 0 que ocorre com a populagao de levedura depois de muito tempo? 6 52. Ocusto, em délares, da producdo de x metros de tecido é C(x) = 1200 + 12x” — 0, 1x? + 0, 00052. (a) Encontre a fungao custo marginal. (b) Encontre C’(200) e explique seu resultado. O que ele prediz? (c) Compare C’(200) com o custo de manufaturado 201° metro de tecido. 53. Ao meio dia, um navio A esté 100km a oeste do navio B. O navio A esté navegando para o sul a 35km/h, e o B esta indo para o norte a 25km/h. Quao rapido estara variando a distancia entre eles as 4 horas da tarde? 54. Uma escada de 5m de comprimento est4 apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quao rapido o topo da escada esta escorregando para baixo na parede quando a base da escada esta a 3m da parede? 55. A Agua escoa a uma taxa de 6m3/min de um reservatério hemisférico com raio de 13 m (veja na figura a seguir). Responda as questdes abaixo, sendo o volume de 4gua em um recipiente hemisférico de raio R dado por V = (F)y? (3R — y), quando a égua tem y metros de profundidade. Center of sphere i“ 13 Water level (a) A que taxa o nivel de gua variard quando a agua tiver 8m de profundidade? (b) Qual serd o raio r na superficie da 4gua quando a 4gua tiver y metros de profundidade? DERIVADAS E LIMITES: REGRA DE L’HOSPITAL 56. Usando a Regra de L’Hospital, calcule os limites abaixo. _ 2-2 sen(52x) x —1 2x? + 3x a) lim ——— lim —— a 20 + OK (9) e2a? — 4 (©) m0 (d) Imqs 23 (e) badd 5a? — 3a b) lm = ,— ( ) 2 to0 7x2 +1 57. Usando a Regra de L’Hospital quando for conveniente, calcule cada um dos limites abaixo. 4x? + 47 +3 im 2 SR 1 im ———— * in. ———— = (a) im x? + 1 (/) x0 © — tg x () im, x + Ine (b) lim wez (g) lim (Va?+a-2) 20+ +00 (1) lim x3e74* ; est [2 +2 xr 00 (c) lim — (h) lim —— T+0o £ eto /2x? + 1 (m) lim (a —Inz) (d) lim 1—cosz (Ina)? z—>+00 r30 9g? ({) lim ~—— : (e) li Ing or Foe x ews e) lim sen(ma) (4) jim, sen xelnax (n) Jim — 9x — 3sen(3x) 0 58. Encontre um valor de c para que a funcao f(x) = 5x3 » Sexe seja continua em x = 0. C, sex =0 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR: POLINOMIO DE TAYLOR 59. Em cada um dos itens abaixo, determine 0 polindmio de Taylor de grau 1 da fun¢4o dada, em volta de xg dado. 7 (a) f(x) = Wz, 279 =8 (b) f(x) =sen 2, 7 =0 (c) f(x) = cos(3xz), ro = 0 (d) f(x) = ; - 1 = 0 x 60. Usando polinémios de Taylor de grau 1, calcule um valor aproximado para e%:°" e avalie e erro. 61. Seja f(a) = e*. Determine os polinémios de Taylor de graus 1 e 2 de f em torno de x = 0. Em seguida, esboce os graficos de f e dos polinémios. 62. Em cada um dos itens abaixo, determine o polinémio de Taylor de grau 2 de f em torno de x dado. (a) f(x) =In(w@4+1), 4% =0 (b) f(x) = ; i 5.20 =0 (c) f(z) = Vz, 2% = 4 (d) f(x) =sen 2, 7% =0 —2 8sen i sex #0 63. Considere a fungdo f(x) = * x2)? * Determine o polindmio de Taylor de grau 2 em torno de xp = 0. 0, sex =0. 64. Usando polinémios de Taylor de grau 2, calcule um valor aproximado para sen(0, 1) e avalie o erro. 65. Usando polinémios de Taylor de grau 2, calcule um valor aproximado para ¥/7, 9 e avalie o erro. 66. Determine o polinémio de Taylor de grau 5 em de f(x) = Ina em torno de zp = 1. 67. Sejam n um nimero natural {mpar e f(a) = sen x. Mostre que, para todo x, Py aye) < ee sen © — —-ata-et(-— — ——.. ONE Br 5 nt) | = (n+2)! 68. Use 0 exercicio anterior para obter sen 1 com erro, em méddulo, inferior a 10-5, TEOREMA DO VALOR MEDIO b) — 69. Determine o valor ou os valores de c que satisfazem a equacao M0) Ko) = f’(c), que consta da conclusao do teorema do valor —a médio, para as func6es e intervalos abaixo. (a) f(x) =0?+2e—1,[0,1] (b) fw) =2%, [0,1 (c) f(w) =aresenx,[-1,1] (a) f(x) =In(w — 2), [2,4] . vz, seeO<a<l1 , . _ . . 70. A fungio f(a) = 0 sex=1 é zero quando x = 0e x = 1e é derivavel no intervalo (0,1), mas sua derivada nesse ; , eno ry - {= fO) _ intervalo nunca é zero. O Teorema do Valor Médio n4o garante que f’(c) = Tp. = 0, para algum c € (0,1)? 71. Suponha que f(—1) = 3e que f’(a) = 0 para qualquer x. Devemos ter obrigatoriamente f(x) = 3 para qualquer x? Justifique sua resposta. 1 72. Encontre todas as fungées f tais que f’(#) = 1— —. x 73. Um atleta percorreu as 26,2 milhas da Maratona de Nova Iorque em 2,2h. Demonstre que pelo menos em duas ocasides 0 maratonista estava correndo a exatas | 1mi/h. PONTOS CRITICOS, MAXIMOS E MINIMOS LOCAIS 74. Determine os pontos criticos (extremos) da fungao dada e discuta se cada um deles é um ponto de maximo local ou minimo local. 4 (a) f(z) = — — 23 — 20? +3 (c) f(a) = 2° — 32? + 32-1 (e) f(x) = a4 — 42° + 6x? — 42 +1 4 1 (b) f(w) = Va Be $1 (4) M@) = as pa 1 (f) f(x) = ae 75. Considere a funcao f(x) = 1+ |x? — 5a + 6]. Verifique que f admite pontos de minimo global e de maximo local, mas nao admite pontos de maximo global. Cuidado: a fungdo f ndo é derivdvel em todos os pontos de seu dominio. 76. Determine os valores de maximos e minimos, caso existam, da fungado dada no intervalo dado. Note que agora cada fungdo esta definida em um intervalo fechado, ou seja, o Teorema de Weierstrass pode ser aplicado. 8 (a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1, em [−2, 3]. (b) f(x) = x5 5 − x4 2 − x3 + 4x2 − 4x + 1, em [−3, 3]. (c) f(x) = sen x − cos x, em [0, π]. (d) f(x) = 3√ x3 − 2x2, em [−1, 2]. 77. Para quais valores de a e b a função f(x) = x3 + ax2 + b tem um extremo local no ponto P = (−2, 1)? 78. Suponha que a derivada da função f seja f ′(x) = (x − 1)2(x − 2). Em quais pontos, se houver algum, o gráfico de f apresenta um mínimo local, um máximo local ou um ponto de inflexão? 79. Estude a função dada no que diz respeito à máximos e mínimos locais e globais. (a) f(x) = x 1 + x2 (b) f(x) = xe−2x (c) f(x) = ex − e−3x (d) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 3 (e) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2 (f) f(x) = −x3 + 3x2 + 4, x ∈ [−1, 3] (g) f(x) = e x − 1 x2 (h) f(x) = 3√ x3 − x2 ESBOÇOS DE GRÁFICOS 80. Para cada uma das funções abaixo, (a) encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente; (b) encontre os valores de máximo e mínimo locais de f; (c) encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. (1) f(x) = x3 − 12x + 1 (2) f(x) = 5 − 3x2 + x3 (3) f(x) = x4 − 2x2 + 3 (4) f(x) = x2 x2 + 3 (5) f(x) = sen x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2π (6) f(x) = cos2 x − 2sen x, 0 ≤ x ≤ 2π (7) f(x) = e2x + e−x (8) f(x) = x2 ln x (9) f(x) = ln x √x (10) f(x) = √xe−x 81. Suponha que f(3) = 2, f ′(3) = 1 2, f ′(x) > 0 e f ′′(x) < 0 para todo x. (a) Esboce um gráfico possível de f. (b) Quantas soluções a equação f(x) = 0 tem? Por quê? (c) É possível que f ′(2) = 1 3? Por quê? 82. Foram esboçados abaixo os gráficos das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função f. Sabendo que o gráfico de f passa pelo ponto P, apresente uma aproximação do gráfico de f. 83. Para cada uma das funções abaixo, (a) encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente; (b) encontre os valores de máximo e mínimo locais de f; (c) encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão; (d) calcule os limites no infinito e, quando necessários, limites laterais (é necessário calcular os limites laterais de f em p sempre que p não pertencer ao domínio de f mas for extremo de um dos intervalos que compõem o domínio de f); (e) use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico de f. 9 (1) f(x) = x3 − 3x2 + 1 (2) f(t) = t2 + 1 t (3) f(x) = x 1 + x2 (4) f(x) = 1 + x2 1 − x2 (5) f(x) = √ x2 + 1 − x (6) f(x) = e−x2 (7) f(x) = x2 − x + 1 2(x − 1) (8) f(x) = x4 − 2x3 + 2x (9) f(x) = x3 1 + x2 (10) f(x) = xtg x, − π 2 ≤ x ≤ π 2 (11) f(x) = ln x x (12) f(x) = ln(1 − ln x) (13) f(x) = ex 1 + ex MÁXIMOS E MÍNIMOS: APLICAÇÕES 84. Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro é P. 85. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima. 86. Encontre o ponto sobre a curva y = 1 x, x > 0, que está mais próximo da origem. 87. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo. 88. Pretende-se construir um reservatório de água de formato cônico, sem tampa, com capacidade de 9π √ 2m3. Determine as dimensões deste reservatório que minimizam a quantidade de material usado em sua fabricação. 89. Uma folha de aço de 10 metros de comprimento e 4 metros de largura é dobrada ao meio para fazer um canal em forma de V de 10 metros de comprimento. Determine a distância entre as margens do canal para que este tenha capacidade máxima. 90. Um fóton (raio de luz) parte de um ponto A para um ponto B sobre um espelho plano, sendo refletido quando passa pelo ponto P. Estabeleça condições para que o caminho APB seja o mais curto possível. 10 91. Considere o conjunto de todos os retângulos que podem ser desenhados na região delimitada pelo eixo das abscissas e a parábola y = 4 − x2. Para qual valor de x se obtém o retângulo de maior área e qual é esta área? 11 Gabarito 1 1 1. (a) y=4r-4 (b) y=—-x+1 (c) y=ta+3 (d) y=a-1 4 6 2 2. Considere, por exemplo, f(x) = (a — 1)?. 3. Considere, por exemplo, f(x) = |a — 1]. —2x—1, se —-2<2<0 7 —l,seO<a<l 4. f(a) = x-2,sel<a<3 4—x,se3<a<5 —g(l —g(l —g(l 5. Basta verificar que lim gx) — 91) =2eque lim gx) — 91) = —1, ou seja, nao existe o limite lim £2) = 90) zol- «£-1 zolt “2-1 zl a-—1 —g(l —g(l 6. Basta verificar que lim gx) — 91) = lim g(x) = 9(1) = 2. Em particular, g’(1) = 2. a1 x—-1 azlt x—1 —g(l —g(l —g(l 7. Nao é derivavel em x = 1, pois 1 = lim g(x) = 9(1) ~ lim g(x) = 9(Y) = —1, ou seja, nao existe lim £2 —=I) zol1- «£-—1 aoit a-1 rol ag¢—1l 8. (a) g'(x) = 62° (c) ge) =-4 (c) g'(e) = -2 (9) g(x) =1 x x 7 (b) g(a) = 102% (d) g'(x) = -20- (f) 9'(*) = 78 (h) g/(w) = 30-4 9. (a) fe) ==> 6) F)== (0) (82) = 5Vat 5 80 1 2 10. y=-= = 0. y grt 3 ll. y=4xr-4 12. Sim. y = —ax — 13 tangencia o grafico da parabola em (3, —16). 13. y=a+l1. / 1 / 1 / 1 / 1 14. (a) g/(@)=— (0) g'(@) = ~~ (¢) g'(@) = = — (d) g(a) = — eln3 zln5 zlna x 15. y=a-1. 16. (1,3). 17. (a) f’(z)<Ose-2<24<0e f(x) >Osex< —20uxr>0. (6) lim fle) =+o0e lim_f(x) = —c0 1 5 18. y=-= -. 8. y get 1 19. y=Oey=-—4. 1-2? 1 / _ F’ =5—-— ——__ 20. (a) F'(x) = (x2 + 1)2 te) F'@) (x —1)? (b) F'(a) 1 3a (\* F'(z) =1 F' _ _ (f) F(x) Je (= “) 152? — 18% —15 Ip) — 1 ii luz —r+1 12 — 42? — 7x3 + 3a74 d F’ => h F’ = > @) Pe)= se (h) Fn) TES 21. y = 4a em (0,0) ey = 2 em (1, 2). 22. y=u2. 23. y=. 12 24. (a) f’(x) = 6x — 5sen x (9) fla) = (sec x - tg ee + 2) — 3secx , sen z(a? + 1) + 2xcosx (30 + 2) (0) f(a) = “(2412 (h) f'(a) = 4sec x - tg x — cossec?x (c) f'(z) =sen x2 + xcosx (i) f’(x) = 2x + 3(tg x + xsec? x) (d) f'(x) = 2x-tga +a? sec? x (j) f'(x) =senx +2xcosx (e) f(x) = ees (k) f(a) = (30° + x) cosseca—(x?+ \/x)cossecx-cotgr 3sen x — 3cos x cos x(a — 1) — sena(a+1)-1 (f) f'(@) = ———_—_ (1) fl() = SSP = A) Sen rey ty (sen x + cos x)? (a — cos x)? 25. (a) f(a) = e802 +20) () @) = Oe, ro=e A) (c) f’(x) = e*(cos x — sen x) 4 SVT 1-Inz (0) = (h) fe) = (e) f’(x) = 2alnz+2 + 2e” (i) f'(@) = (@+ 12 , 327, sex > 0 2x+3,sex<1 26. (a) play={ 302, se <0 (b) fa) = { 5 ses 27. g'(0) = 4 (nao esquega de usar a regra da cadeia). 28. (a) y! =4cos4a (1) y’ = —be* (b) y! = —Bsen 5a 243 (c) f'(x) = 3e3* (m) a= Pa 3tL9 d) f'(x#)=-— x Yao (n) f(a) = sect 2-8 (f) g(t) = vs ; (0) y’ = —sen x cos (cos x) (g) a! = cost. e& t (p) g(t) = 8t(t? + 3)3 (h) f"(@) = —e*sen e* (q) f'(x) = —2ax - sen (x? + 3) (i) y’ = 3(cosx — sen x)(sen x + cos x)? L4er oy 3 (r) y= Jeet Gi) y= 2 anti 2Vx + e* a fe) = 9 e+)? (s) y’ = 38sec? 3x P(e — 3(a@+1)2 Vi (a — 1)? (t) y’! = 3sec 3 - tg 3x 29. (a) y’ =e?*(3x +1) (I) y!= e* —e* (b) y’ = e* (cos 2a — 2sen 2x) 2V “ +e-* (c) y’ =e-*(cosa — sen x) (m) y! = ——— (d) y’ =e~*"(3cos 3t — 2sen 3t) es Vi ' _2? 2 n) y= ME (e) f(x) = ~2ne-** + my Were (f) = apa (0) yl =In(Qe +I) +55 , 5sen 5a - sen 2a + 2cos 5x - cos 2x (p) y= 6ar[In (x? + 1)]? (9) y= ne pr) =a / — —2x x —2x x (q) y’ = Sec x (7) f (x) ~ 3(—e + 2xe )(e +e y (r) y= —9r?sen 72 - cos? x3 (1) y= e MBE — 3#) sen x - sen 2? + 2x cos x - cosa” (7) g'(w) =e" (20 In(1+/z) + se) (s) Fi(@) = — sen? x2 2(u + Vz) 1) pip) Cet Beez )(Bt + 1) In(Bt + 1) = te” (k) y! = 3(3cos3x — 2sen 2x) (sen 32 + cos 2x)? () FO =" ——Brsajin@e+iy2 13 30. y = —-1+V—-42r2+4r7+1 0 Dg 31. (a) y=" ) »_ yxy? +1) ey Y= sey (0) = FGF +1) , 1-2ay 1 1 1 3ay? + Ty ) = say v= sa ) Y= 73 y Te 32. (a) yf = Yo = (bt) y=-w +6 (c) (16, 2¥/4) y? — 2a 33. (a) (4) =—4e (FY (FB) =F 1 34. 9° 35 i 5 V1 = 2? 1 36. The ly) = tL ~) = -1- (~) = —1 '(~) = -__ 1 7. (a) fe) =§ zs 6) se) =, OFO=—a= Wt) @)=-s 38. (0) Spy tartan Oa Seos(an)areg( de) — SEN) (0) 3 (e) 6 (9) (arctg(4a))? , V1 — 9x2 (2x + 3)? +1 (h) arcsen(x) Ax? 1 (<) J1— 28 (f) (x? + l)arctgr a) Yet cos(e) ert¥ —1/x Iny — y/x (d) (e? + 1/2) cos?(y). 39. (a) 1 — ye¥sen(z) (0) 1/y — erty (©) —-Inz+a/y * " 40. (a) («+ 1)"({44 + In(z + 1)) (f) 2" 2-1 (sen x + aInaxcos 2) (b) x(a +1Inz) (g) 22™*-1 Ine (c) we ( + Int) (h) (Ina) *(In(In av) + 1)/x Via (i) (tga) = (xcosseca sec x (d) —,—(2+ Int) —In(tg x))/2x? (e) sen” (x)(x cot(x) + In(sen )) (j) (Ima)ees? (£8* — In(Inz)sen 2). Al. (a) f’(x) = 1622 +2e f” (x) = 4827. (6) f@)=-Se Ko) =5 (c) f’(x) = 10x + < e f" (a) =10-— ~ (d) f'(x) = 9a? —6e f’(x) = 182 == {, SEE9 eM@M={ 29, Si2- ma={ ae S2S1 ere@={o S251 14 2 2. (oH) =anel{ 2, $220 cpr) aol, SE29. f(x) 20 f" (x) 0 f(x) xv —3 2 1 2 3 f(x) —10 —20 17) _ J 2H+3, sex<l ny). J 2, sex<l mre={> sex >1 eMo={ 5 sex >1 f(x) 10 f(z) 5 P(x dT xr fl x —3 1 2 3 6(a + 1)\(~ +2 x x _ 43. (a) Ses Mes?) (d) 2tg (5) sec* (5) (9) G+2232 () —— —_ -___ 1 _(e) 22x) +3 (n) Sone 2a(1—Var)3 4/03 (1 — Vx)? 6lnn—5 cos? a (c) 2cotg(3a — 1) csc?(3x — 1) (f) a Pe / 1 4 (a) o ha (y!)? (c) y= -;[4 () y= pret Y= 1/3 1\2 no , = gant 1 2+ ys? , «+1 ,_ 1 ,__Y TT @) y= 4 . (f) y= cael, , nw +—WY yo y ny 4Y y uy "y+ 1? 0+ Dy 45. (a) y"(2) = —2; (b) y’"(0) = 5. d 1 T 46. (a) (i) f= says .. F 1 () op = EJpr a. ae (= (iit) dp 4L\ 8 15 d 1 /T (b) (2) Como af = —~5,/— < 0,a frequéncia f aumenta quando o comprimento L diminui. dL 217 V p (iz) Como df s > 0, a frequéncia f aumenta quando a tensdo T da corda aumenta in — = —— ; . dl 4L/pT 4 4 . df 1 /T a Lo, . (iti) Como — = ———,/-— < 0, frequéncia f diminui quando a densidade L aumenta. dp AL V p? dP nRT 2an? 47. — = -——_, + = dV (V — nb)? r v3 dA km oh 48. —(q)=-— += dg (q) - +5 ds 2 49. (a) v(t) = A = 3t* — 12t4+ 9. (b) v(2) =-3 m/s e v(4) =9 m/s. (c) Quando v(t) = 0, ou seja, parat =lset=3s. (d) Parat<lset>3s. (e) Basta indicar sobre uma reta graduada (0,1, 2,...) movimento na dire¢4o positiva nos intervalos ]0, 1[ e ]3, +oo| e movimento na direc4o negativa no intervalo ]1,3/. Note que, pelo item (c), nos pontos t = 1 set = 3 sa particula esté parada para mudanga do sentido do movimento. (f) |s(1) — s(0)| + |s(3) — s(1)| + |s(5) — s(3)| = |4 — 0] + [0 — 4] + 20 — 0] = 4+ 4-4 20 = 28. d2 (g) a(t) = alt) = 6t — 12, logo a(4) = 12 m/s?. (h) O grafico esté apresentado a seguir. (2) 20 10 a(t) x(t) x 3 4 5 v(t) —10 (i) Parat < 2 s esta freando, e para t > 2 s estd acelerando. 50. Pela regra da cadeia, dv t\?* (-1 t a snw-2(1-)" (Gt) =-20(1-8) dV 5 — (5) = -2 1—-— )=-21 L (a) TE (5) 50 ( a) 8, 75 £/min dV 10 . dV 20 — (5) = -2 1—-— )=-12 L (c) TE (5) 50 ( a) 5 l/min dV 40 d) —(5)=-2 1—-— }= in. (d) i (5) 50 ( a) 0 £/min Por isso, 0 escoamento é mais rapido no inicio, quando t = 0, e mais lento pr6ximo do fim, quando t = 40. 16 51. Derivando a função n(t) temos dn dt = 0, 7abe−0,7t (1 + be−0,7t)2 . Como n(0) = 20 e dn dt (0) = 12, substituindo nas expressões acima teremos: 20 = a 1 + be−0,7·0 = a 1 + b ⇒ a = 20(1 + b) (1) 12 = 0, 7abe−0,7·0 (1 + be−0,7·0)2 = 0, 7ab (1 + b)2 ⇒ 0, 7ab (1 + b)2 = 12 (2) Substituindo (1) em (2) obtemos 0, 7 · 20(1 + b)b (1 + b)2 = 12 ⇒ 14b 1 + b = 12 ⇒ b = 6 e a = 140. Logo n(t) = 140 1 + 6e−0,7t e, conforme o tempo passa, a população se aproxima de 140 células, pois lim t→+∞ n(t) = 140. 52. (a) dC dx (x) = 12 − 0, 2x + 0, 0015x2. (b) C′(200) = 32. Assim, quando a produção estiver em 200m, o custo aumentará em R$32, 00 por metro tecido adicional produzido. (c) C(200) + C′(200) = 3600 + 32 = 3632 é muito próximo de C(201) = 3632, 2005, diferindo em apenas R$0, 20. 53. Observe: 17 54. Observe: Note que x(t)? + y(t)* = 5? Derivando esta expressdo em t teremos 2 ax 2 oy 0 x(t) 5 + 2y(0) F = dy =? =m Substituindo os valores fornecidos teremos dt dy _ 2x3x1+2x4x7- = 0, ax =1 ou seja de m/s wy __3_ 0,75 x=3m dt a m/s 55. (a) ~~ m/min. (b) r= V/26y —y?. 247 56. (a) 4; (b) 3; (c) 5; (d) 3; (e) 0. 57. (a) 2; (d) 5: (9) 3 (7) 0; (m) 00; (b) +00; (e) —4: (h) 2; (k) +00; (c) +00; (f) 3: (i) 0; (1) 0; (n) 0; 58. Dica: Use a regra de L’ Hospital para obter que c = 27/10. 1 59. (a) p(x) = 2+ T (0-8); (0) pl) = a3 (c) ple) = 1s (@) p(w) = 1-2. 60. e901 ~ 1,001, com |e! — 1,001] < 107°. 1 61. pi(v) =14+repo(r) =1+at+ 5 1, 2 1 1 2 62. (a) p(x) = a — 5a°s (b) p(x) = 1+ 2°; (c) p(w) = 2+ F(@— 4) — Fw — 4) (4) pla) = &. 63. p(x) = 0. 64. sen(0, 1) ~ 0,1, com |sen(0, 1) — 0,1] < 1073. 65. </7,9 ~ 1, 9916, com | ¥/7,9 — 1, 9916] < 10~°. 1 >, 1 3 1 4,1 5 66. p(x) = (w« — 1) — =(a— 1) + s(@—- 1)? — -(a—- 1)* + (a —- 1)”. 2 3 4 5 67. 68 (1) —|1 4S (pe < —1_. Basta determi tentativas, de mod sc 19-5 . |sen ait 5 nl|| S Geol asta determinar n, por tentativas, de modo que in td)! . 69. (a) c=4 Vn? —4 V1r2—4 (c) ¢= —————__ ou c = ——_ T T 8 d) c= 2 1 (b) c=H (4) c=7 atl. 70. Atencao a hipétese do Teorema do Valor médio! 71. f(x) =3 para todo x € R. Analise o que as informagGes dadas sobre f e f’ dizem sobre a fungao f. 72. f.(a) = x —In|z| +c, em que c € R é uma constante. 18 73. Dica: Use 0 Teorema do Valor Médio para mostrar que a velocidade em algum instante to é 11, 909, isto é, v(to) = 11,909, em que v representa a fungao velocidade. Em seguida, observe que v é uma fungao continua e tp) > 0e 0 = v(2,2) < 11 < v(to), use o Teorema do Valor Intermedidrio para mostrar que existe t) e tz tais que v(t1) = v(t2) = 11. Por fim, prove que ty # to. 74. (a) Resolugao: f(x) = e — x° — 2x? + 3. Derivando f temos f’(x) = 2° — 3x? — 4x = x(x? — 38a — 4) = x(x — 4)(x@ +1). Assim * os pontos criticos de f sio x = 0,4 = —lex =4; ° f’ € positiva nos intervalos (—1, 0) (intervalos em que f é crescente); ¢ f’ énegativa nos intervalos (—oo, —1) e (0, +00) (intervalos em que f é decrescente); Logo x = 0 é ponto de maximo local, pois f cresce em (—1,0) e decresce em (0, +00); x = —1 € ponto de minimo local, pois f cresce em (—1,0) e decresce em (—o0, —1); x = 4é ponto de minimo local, pois f decresce em (0, 4) e cresce em (4, +00). (b) c= —,/2/3 é ponto de maximo local e x = 2/3 é ponto de minimo local de f. (c) « = 16 ponto de inflexfo. (d) x =0,x = —1 sao pontos de maximo local e x = —1/2 é ponto de minimo local. (e) x = 1 € ponto de minimo local. (f) x =0é ponto de minimo local e x = 2/5 é ponto de maximo local. 75. x = 5/2 € maximo local mas nao é m4ximo global (mostre que existe um ponto x9 com f(x9) > f(5/2) = 5/4). Os pontos x = 2,3 sao minimos globais. 76. (a) —2e3s4o pontos de minimo global e maximo global, respectivamente. (b) « = —2 é maximo global e x = —3 é um minimo global. (c) = € ponto de maximo global e 0 € ponto de minimo global. (d) 0 e 2 sio maximos globais e —1 minimo global. 77. a=3,b=-3. 78. x = 26 ponto de minimo local de f;7 =lex = 3 sao pontos de inflex4o. 79. (a) 1€ maximo global e —1 minimo global. (b) 4 € maximo global. (c) Nao possui pontos de maéximo nem de minimo. (d) 1 € maximo local e 2 é minimo local. (e) 0 e 2 minimos globais e 1 minimo local. (f) 0e3 minimos globais, —1 e 2 méximos globais. (g) 2 € maximo. (h) = minimo local e 0 maximo local. 80. Resposta: —Greseenie | Deorescente [Mix [Min [P50 | Fe) <0 Talento | (2) | (00, 0)U 00) | (2) 8 Te) wet | 3) | LOU 00) | (Feo, YUOD | Of -bt |e BUC) | ew) | aes |) | 00) | (009) oe, IU 00) | 1 7) | (00, n(2)) | Gn@),o0o) | = | em} OR Te ee te eee “Op ewe) Ry ce) OY Go] 5) | Ge) 19 81. (b) Uma solugio. (c) Analise o sinal da derivada de segunda ordem de f. 82. Grafico. 83. Resposta: ([—Grescente | Deerescente | M& [Min [Ja 50 P@y<0 (=c0, 0) U (2, 00) (0, 2) po | 2 | too) (oy) {0 | =| ge | (00, 1) U0, $00) (10) (0, +00) ~ {1} | (-00,0)~{=17 | - | 0 | (=1,1) (co, =1) U (1, 0) PGS) fo RR | (6) | 00) Foo) oe UC) (=00, 0) U (2, 00) (0, 2) po | ef toe) | (8) | (= 5,t00) fH 005) || 9 | (00,0) U (L, $00) (0,1) Po) | Rf 20, = V8) 00, V8) | (= V8, 0) U (V8; 00) | =V3,0, V3 (10) | 5) (1) {| (oe) |e too) | eT |e) ome) | (2)}o Te) (0, 1) (@3y){ ROT 0) oo) | PO TL THILO) |) | @M | 8) | | Go) | ay) | 2) | 3) lims++oo f(x) | +00 | too | 0 | -1 | Foo | 0 | too | too | too[ - | 0 | - | 1 | limy+—ce f(z) | -oe | too | 0 [-1] 0 | 0 | ~co| too] ~oo] - | too] - [| 0 | (2) lim,_.9+ f(@) = +00 e lim, _.9- f(x) = —oo. (4) lim,.—1+ f(a) = +ooe lim, ,_1- f(x) = —0o; lim, 41+ f(x) = —ooe lim, ,1- f(x) = +00. (7) lim, 1+ f(w) = +ooe lim, _,,~ f(x) = —00. (11) lim,_,o+ f(a) = —oo. (12) lim,.,9+ f(x) = +00 e lim, _.¢- f(x) = —oO. 84. O retangulo de perimetro P de 4rea maxima é 0 quadrado de lado z. 85. O ntimero real positivo procurado é 3. 86. A distancia de um ponto (x, y) do plano cartesiano a origem (0,0) do sistema de coordenadas é: U(x, y), (0,0)) = Va? + y?. 1 , 1 x Como os pontos sobre a curva y = —, com x # 0, tém a forma (x, —), podemos reescrever esta expressio dependendo apenas de x x x da seguinte forma: 1 1\? d = = 2 —)}. (0e,4),(0,0) = yf? + (4) Como a fungao raiz quadrada é crescente, basta minimizar a funcao: 1\2 f(a) =a? + (+) ,& #0. Derivando, ob ‘(x) = 2 2 ] = +1. Desd "(x) =2 6 0 ] 0, amb erivando, obtemos f’(a) = 2a — 7a? que se anula para z = +1. Desde que f" (a) =24+ a > 0, para qualquer x 4 0, ambos os pontos x = 1 e x = —1 sAo pontos de minimo. Ou seja, o problema tem duas solugées: os pontos (1, 1) e (—1, —1), para os quais a distancia da origem é /2. 20 87. Queremos maximizar 0 volume da caixa, dado por: V(x) = x(8 — 2x)(15 — 2x) = 4x° — 46a? + 1202. 5 Como V' (ax) = 1227 — 922 +120 tem raizesem x = 6e x = 3° podemos dispensar x = 6 (pois o lado menor do papelao tem apenas 5 5 5 8 cm, por isso, obrigatoriamente x < 4). Logo resta 0 ponto critico x = 3° Como V(x) = 24% —92e V” @ = 24 (3) -—92= 5 —52 < 0, entao este ponto é de maximo. Portanto x = 37 1,67 cme o volume maximo é V = 90,74 cm?. 88. Para minimizar o gasto de material na constru¢do do tanque, precisamos minimizar a area lateral do cone, que é: A=nrl=arvr? +h?. . ly 3 oe 27/2 a _ Como o volume do tanque € V = 3 (ar?h) = 9rV/2m, entdo h = ——. Substituindo na expressao acima temos: r 2-27? A(r) = ary/r?2 + a Como raiz quadrada é uma func¢ao crescente, minimizar A(r) é equivalente a minimizar: 2-277 2 - 3° B(r) = [A(r)P = 2? r? G + ) =7 ( +3 ) . Derivando: 6 2-2-3 ! _— 72 3 De B'(r) = 0 temos: 4-3° 3 4r° = 3 r= V36 = 3. Logo r = 3m, h = 3V2 me a area lateral A = 97/3 & 50 m?. 89. Note que 5 = 2sin (a) eh = 2cos (qa), assim podemos escrever a drea do triangulo em fungao de a: wh . . T A(a) = >= 4 sin (a) cos (a) = 2sin (2a), a € Jo. I: Como A’(a) = 4cos (2a) e A” (a) = —8 sin (2a), temos um ponto critico em a = *. Observe que A” (4) = —8 < Oe, portanto, a= ‘ é ponto de maximo e a a distancia entre as margens do canal que maximiza a capacidade é: w = Asin (=) =2V/2m. d 90. Note que L(x) = Vx? + a? + \/(d — x)? + b? descreve a distancia APB. O ponto x = a é minimo de L. a 91 2V3 6 a greaé A 4V3 8 _ 32V8 _£= =j- 2a 3 3. 3 9 21