Lista de Exercícios Resolvidos: Séries de Potência e EDOs em Engenharia Química

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Introdução às séries de potência Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercícios Defina os coeficientes an das séries de Maclaurin Eq 1 das seguintes funções a fx e3x R an 3nn b fx senx R an sennπ2n fx Σn0 an xn 1 onde an fn0n Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Introdução às séries de potência Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercícios Defina os coeficientes an das séries de Maclaurin ver Eq das seguintes funções a fx e3x Solução ann dn dxne3xx0 Para n 0 d0 dx0e3xx0 e3xx0 e0 1 Para n 1 d dxe3xx0 3e3xx0 3e0 3 Para n 2 d2 dx2e3xx0 33e3xx0 33e0 32 Para n 3 d3 dx3e3xx0 333e3xx0 333e0 33 Percebemos então que dn dxne3xx0 3n Assim an 3nn b fx senx Solução ann dn dxnsenxx0 Para n 0 d0 dx0senxx0 senxx0 sen0 0 Para n 1 d dxsenxx0 cosxx0 cos0 1 Para n 2 d2 dx2senxx0 senxx0 sen0 0 Para n 3 d3 dx3senxx0 cosxx0 cos0 1 Para n 4 d4 dx4senxx0 senxx0 sen0 0 Para n 5 d5 dx5senxx0 cosxx0 cos0 1 Para n 6 d6 dx6senxx0 senxx0 sen0 0 Para n 7 d7 dx7senxx0 cosxx0 cos0 1 Visualizando o comportamento there is a plot showing the values of ann oscillating between 0 1 and 1 for n from 0 to 8 percebemos que podemos propor ann sen nπ2 Assim an sen nπ2 n Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de EDOs em séries de potência Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercícios Resolva os seguintes problemas de valor inicial em série de potências até o termo a5x5 em torno de x 0 a 3yx xyx yx 0 y0 1 y0 2 Resposta yx 1 2x 1 6x2 2 9x3 1 72x4 2 135x5 b yx xyx x2 xyx 0 y0 1 y0 1 Resposta yx 1 x 1 3x3 1 6x4 c yx xyx x2 xyx 2ex y0 3 y0 1 Resposta yx 3 x x2 1 12x4 1 12x5 1 d yx xyx 2x2yx e2x 0 y0 3 y0 1 Resposta yx 3 x 1 2x2 1 2x3 1 4x4 1 24x5 e yx xyx 2x2yx e2x cos2x y0 2 y0 1 Resposta yx 2 x x2 1 2x3 1 6x4 1 24x5 2 MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA Solução de EDOs por séries de potência Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercícios Resolva os seguintes problemas de valor inicial em série de potências até o termo a5x5 em torno de x0 a 3yx xyx yx 0 y0 1 y0 2 Solução Primeiramente verificamos que x 0 é um ponto ordinário da EDO e que o raio de convergência da solução proposta yx n0 anxn é infinito pois não existem pontos singulares Derivando a série uma e duas vezes yx n1 nanxn1 yx n2 n 1nanxn2 Substituindo na EDO 3 n2 n 1nanxn2 x n1 nanxn1 n0 anxn 0 Reescrevendo n2 3n 1nanxn2 n1 nanxn n0 anxn 0 1 Padronizando para xk Para o 1º somatório n 2 k n k 2 Quando n 2 k 0 k0 3k 1k 2ak2xk k1 kakxk k0 akxk 0 Igualando limites inferiores 6a2 k1 3k 1k 2ak2xk k1 kakxk a0 k1 akxk 0 Reescrevendo a0 6a2 k1 3k 1k 2ak2 kak ak xk a0 6a2 k1 3k 1k 2ak2 k 1ak xk Assim a0 6a2 0 3k 1k 2ak2 k 1ak k 1 Das condições iniciais a0 1 a1 2 6a2 1 a2 1 6 Relação de recorrência ak2 k 1ak 3k 1k 2 k 1 ak2 ak 3k 2 k 1 para k 1 a3 a1 33 2 9 para k 2 a4 a2 34 1 634 1 72 para k 3 a5 a3 35 2 935 2 135 Resposta yx 1 2x 1 6x2 2 9x3 1 72x4 2 135x5 2 b yx xyx x2 xyx 0 y0 1 y0 1 Solução Primeiramente verificamos que x 0 é um ponto ordinário da EDO e que o raio de convergência da solução proposta yx n0 anxn é infinito pois não existem pontos singulares Derivando a série uma e duas vezes yx n1 nanxn1 yx n2 n 1nanxn2 Substituindo na EDO n2 n 1nanxn2 x n1 nanxn1 x2 x n0 anxn 0 Reescrevendo n2 n 1nanxn2 n1 nanxn n0 anxn2 n0 anxn1 0 Padronizando para xk k0 k 1k 2ak2xk k1 kakxk k2 ak2xk k1 ak1xk 0 Igualando os limites inferiores 2 2a2 6a3x k2 k 1k 2ak2xk a1x k2 kakxk k2 ak2xk a0x k2 ak1xk 0 Reescrevendo 2a2 6a3 a1 a0x k2 k 1k 2ak2 kak ak2 ak1 xk Assim 2a2 0 a2 0 6a3 a1 a0 0 a3 a1 a0 6 3 Das condições iniciais a0 1 a1 1 a3 1 3 Relação de recorrência k 1k 2ak2 kak ak2 ak1 0 ak2 kak ak2 ak1 k 1k 2 k 2 Para k 2 a4 2a2 a0 a1 34 1 1 34 1 6 Para k 3 a5 3a3 a1 a2 45 1 1 45 0 Resposta yx 1 x 1 3x3 1 6x4 4 c yx xyx x2 xyx 2ex y0 3 y0 1 Solução Primeiramente verificamos que x 0 é um ponto ordinário da EDO e que o raio de convergência da solução proposta yx Σ n0 a an xn é infinito pois não existem pontos singulares Derivando a série uma e duas vezes yx Σ n1 a n an xn1 yx Σ n2 a n 1 n an xn2 Como temos uma EDO não homogênea precisamos obter também a série de Maclaurin de ex ex Σ n0 a xn n Substituindo na EDO Σ n2 a n 1 n an xn2 x Σ n1 a n an xn1 x2 x Σ n0 a an xn 2 Σ n0 a xn n Σ n2 a n 1 n an xn2 Σ n1 a n an xn Σ n0 a an xn2 Σ n0 a an xn1 Σ n0 a 2 xn n 0 Padronizando para xk Σ k0 a k 1k 2 ak2 xk Σ k1 a k ak xk Σ k2 a ak2 xk Σ k1 a ak1 xk Σ k0 a 2 xk k 0 Igualando limites inferiores 2 2 a2 6 a3 x Σ k2 a k 1k 2 ak2 xk a1 x Σ k2 a k ak xk Σ k2 a ak2 xk a0 x Σ k2 a ak1 xk 2x Σ k2 a 2 xk k 0 Reescrevendo 2 a2 2 6 a3 a1 a0 2 x Σ k2 a k 1k 2 ak2 k ak ak2 ak1 2 k xk Assim 2a2 2 0 a2 1 6a3 a1 a0 2 0 a3 2 a1 a0 6 Das condições iniciais a0 3 a1 1 a3 2 1 3 6 0 Relação de recorrência k 1k 2ak2 kak ak2 ak1 2 k 0 2 ak2 2 k kak ak2 ak1 k 1k 2 2 Para k 2 a4 2 2 2a2 a0 a1 34 1 2 3 1 12 1 12 Para k 3 a5 2 3 3a3 a1 a2 45 1 3 3 1 45 1 3 9 3 3 3 45 1 9 3 345 5 345 1 12 Resposta yx 3 x x2 1 12x4 1 12x5 6 d yx xyx 2x2 yx e2x 0 y0 3 y0 1 Solução Primeiramente verificamos que x 0 é um ponto ordinário da EDO e que o raio de convergência da solução proposta yx Σ n0 a an xn é infinito pois não existem pontos singulares Derivando a série uma e duas vezes yx Σ n1 a n an xn1 yx Σ n2 a n 1 n an xn2 Como temos uma EDO não homogênea precisamos obter também a série de Maclaurin de e2x e2x a0 a1 x a2 x2 Σ n0 a an xn onde an 1n dne2x dxn x0 Assim a0 10 e2x x0 a1 11 2 e2x x0 a2 12 22 e2x x0 a3 13 23 e2x x0 e assim por diante Como e2x x0 1 Percebemos que an 2n n Assim a série fica Σ n0 a 2n n xn Substituindo na EDO sum from n2 to infinity n1 n an xn2 x sum from n1 to infinity n an xn1 2 x2 sum from n0 to infinity an xn sum from n0 to infinity 2n n xn 0 Reescrevendo sum from n2 to infinity n1 n an xn2 sum from n1 to infinity n an xn sum from n0 to infinity 2 an xn2 sum from n0 to infinity 2n n xn 0 Padronizando para xk sum from k0 to infinity k1k2 ak2 xk sum from k1 to infinity k ak xk sum from k2 to infinity 2 ak2 xk sum from k0 to infinity 2k k xk 0 Igualando os limites inferiores 2 a2 6 a3 x sum from k2 to infinity k1k2 ak2 xk a1 x sum from k1 to infinity k ak xk sum from k2 to infinity 2 ak2 xk 1 2 x sum from k2 to infinity 2k k xk 0 Reescrevendo 2 a2 1 6 a3 a1 2 x sum from k2 to infinity k1k2 ak2 k ak 2 ak2 2k k xk 0 Assim 2 a2 1 0 a2 12 6 a3 a1 2 0 a3 2 a1 6 Das condições iniciais a0 3 a1 1 a3 36 12 Relação de recorrência k1k2 ak2 k ak 2 ak2 2k k 0 k 2 ak2 k ak 2 ak2 2k k k1k2 k 2 Para k2 a4 2 a2 2 a0 22 2 34 1 6 2 34 14 Para k3 a5 3 a3 2 a1 23 3 45 32 2 86 45 96 126 86 456 124 Resposta yx 3 x 1 2x2 1 2x3 1 4x4 1 24x5 9 e yxxyx2x2yxe2xcos2x y02 y01 Solução Primeiramente verificamos que x0 é um ponto ordinário da EDO e que o raio de convergência da solução proposta yxsum from n0 to infinity an xn é infinito pois não existem pontos singulares Derivando a série uma e duas vezes yxsum from n1 to infinity n an xn1 yxsum from n2 to infinity n1n an xn2 Como temos uma EDO não homogénea precisamos obter também as série de Maclaurin de e2x e cos2x Do exercício anterior e2xsum from n0 to infinity 2n n xn Temos que apresentar a função cos2x como sua série de Maclaurin cos2xsum from n0 to infinity an xn onde an 1n dn cos2x dxn at x0 Obtendo os primeiros termos cos2x 1 0x 222 x2 0x3 244 x4 0x5 266 x6 Podemos repensar essa série como cos2x 1 20 0 x0 0 21 1 x 1 22 2 x2 0 23 3 x3 1 24 4 x4 0 25 5 x5 1 26 6 x6 Percebemos que podemos pensar a série de cos2x como sum from n0 to infinity cten 2n n xn sendo cten uma constante que vale 1 0 ou 1 conforme o valor de n Temos então que cos2x sum from n0 to infinity cosn pi 2 2n n xn Substituindo na EDO sum from n2 to infinity n1 n an xn2 x sum from n1 to infinity n an xn1 2 x2 sum from n0 to infinity an xn sum from n0 to infinity cosn pi 2 2n n xn 0 Reescrevendo sum from n2 to infinity n1 n an xn2 sum from n1 to infinity n an xn sum from n0 to infinity 2 an xn2 sum from n0 to infinity cosn pi 2 2n n xn 0 Padronizando para xk sum from k0 to infinity k1k2 ak2 xk sum from k1 to infinity k ak xk sum from k2 to infinity 2 ak2 xk sum from k0 to infinity 2k k xk 0 Igualando os limites inferiores 2 a2 6 a3 x sum from k2 to infinity k1k2 ak2 xk a1 x sum from k1 to infinity k ak xk sum from k2 to infinity 2 ak2 xk 1 2 x sum from k2 to infinity 2k k xk 0 Reescrevendo 2 a2 2 6 a3 a1 2 x sum from k2 to infinity k1k2 ak2 k ak 2 ak2 2k k xk 0 Assim 2 a2 2 0 a2 1 6 a3 a1 2 0 a3 2 a1 6 Das condições iniciais a0 2 a1 1 a3 36 12 Relação de recorrência k1k2ak2 k ak 2ak2 2k k coskπ2 2k k 0 k 2 ak2 k ak 2ak2 2k k coskπ2 2k k k1k2 k 2 ak2 k ak 2ak2 2k k 1 coskπ2 k1k2 k 2 Para k2 a4 2a2 2a0 22 2 11 34 2434 16 Para k3 a5 3a3 2a1 23 3 1 cos3π2 45 32 2 86 1 0 45 96 126 86 45 9128 456 5 456 124 Resposta yx 2 x x2 12 x3 16 x4 124 x5