Conjuntos Finitos e Infinitos: Axiomas de Peano e Indução

1 Conjuntos Finitos e Infinitos Neste capıtulo sera estabelecida com precisao a diferenca entre con junto finito e conjunto infinito Sera feita tambem a distincao entre conjunto enumeravel e conjunto naoenumeravel O ponto de partida e o conjunto dos numeros naturais 1 Numeros naturais O conjunto N dos numeros naturais e caracterizado pelos seguintes fatos 1 Existe uma funcao injetiva s N N A imagem sn de cada numero natural n N chamase o sucessor de n 2 Existe um unico numero natural 1 N tal que 1 sn para todo n N 3 Se um conjunto X N e tal que 1 X e sX X isto e n X sn X entao X N Estas afirmacoes podem ser reformuladas assim 1 Todo numero natural tem um sucessor que ainda e um numero natural numeros diferentes tˆem sucessores diferentes 2 Existe um unico numero natural 1 que nao e sucessor de nenhum outro 3 Se um conjunto de numeros naturais contem o numero 1 e contem tambem o sucessor de cada um dos seus elementos entao esse conjunto contem todos os numeros naturais 2 Conjuntos Finitos e Infinitos Cap 1 As propriedades 1 2 3 acima chamamse os axiomas de Peano O axioma 3 e conhecido como o princıpio da inducao Intuitivamente ele significa que todo numero natural n pode ser obtido a partir de 1 tomandose seu successor s1 o sucessor deste ss1 e assim por di ante com um numero finito de etapas Evidentemente numero finito e uma expressao que neste momento nao tem ainda significado A for mulacao do axioma 3 e uma maneira extremamente habil de evitar a peticao de princıpio ate que a nocao de conjunto finito seja esclarecida O princıpio da inducao serve de base para um metodo de demons tracao de teoremas sobre numero naturais conhecido como o metodo de inducao ou recorrˆencia o qual funciona assim se uma propriedade P e valida para o numero 1 e se supondo P valida para o numero n daı resultar que P e valida tambem para seu sucessor sn entao P e valida para todos os numeros naturais Como exemplo de demonstracao por inducao provemos que para todo n N temse sn n Esta afirmacao e verdadeira para n 1 porque pelo axioma 2 temse 1 sn para todo n logo em particular 1 s1 Supondoa verdadeira para um certo n N vale n sn Como a funcao s e injetiva daı resulta sn ssn isto e a afirmacao e verdadeira para sn No conjunto N dos numeros naturais sao definidas duas operacoes fundamentais a adicao que associa a cada par de numeros m n sua soma m n e a multiplicacao que faz corresponder ao par m n seu produto m n Essas operacoes sao caracterizadas pelas seguintes igual dades que lhes servem de definicao m 1 sm m sn sm n isto e m n 1 m n 1 m 1 m m n 1 m n m Noutros termos somar 1 a m significa tomar o sucessor de m E se ja conhecemos a soma m n tambem conheceremos m n 1 que e o sucessor de m n Quanto a multiplicacao multiplicar por 1 nao altera o numero E se conhecemos o produto m n conheceremos m n 1 m n m A demonstracao da existˆencia das operacoes e com as propriedades acima bem como sua unicidade se faz por inducao Os detalhes serao omitidos aqui O leitor interessado pode Secao 1 Numeros naturais 3 consultar o Curso de Analise vol 1 ou as referˆencias bibliograficas ali contidas onde sao demonstradas por inducao as seguintes propriedades da adicao e da multiplicacao associatividade m n p m n p m n p m n p distributividade m n p m n m p comutatividade m n n m m n n m lei do corte n m p m n p n m p m n p Como exemplo provemos a lei do corte para a adicao Usaremos inducao em m Ela vale para m 1 pois n 1 p 1 significa sn sp logo n p pela injetividade de s Admitindoa valida para m suponhamos que n m 1 p m 1 Entao novamente pela injetividade de s temse nm pm donde pela hipotese de inducao n p Dados os numeros naturais m n escrevese m n quando existe p N tal que n m p Dizse entao que m e menor do que n A notacao m n significa que m n ou m n Provase que m n n p m p transitividade e que dados m n N quaisquer vale uma e somente uma das trˆes alternativas m n m n ou n m A lei do corte pode ser utilizada para provar um fato sempre admitido e raramente demonstrado que e o seguinte para qualquer n N nao existe p N tal que n p n 1 Para mostrar isto suponhamos por absurdo que um tal p N exista Entao teremos p nq e n1 pr com q r N Daı resulta que p1 n1q prq e cortando p 1 r q Isto e um absurdo pois pela definicao de adicao a soma de dois numeros naturais e sempre o sucessor de algum numero logo nao pode ser 1 Este resultado e usado na demonstracao de uma das principais pro priedades da relacao de ordem m n entre os numeros naturais que e o princıpio da boaordenacao abaixo enunciado e provado Todo subconjunto nao vazio A N possui um menor elemento isto e um elemento n0 A tal que n0 n para todo n A A fim de provar esta afirmacao para cada numero n N chamemos de In o conjunto dos numeros naturais n Se 1 A entao 1 sera o menor elemento de A Se porem 1 A entao consideremos o conjunto X dos numeros naturais n tais que In NA Como I1 1 NA vemos que 1 X Por outro lado como A nao e vazio concluimos que 4 Conjuntos Finitos e Infinitos Cap 1 X N Logo a conclusao do axioma 3 nao e valida Seguese que deve existir n X tal que n 1 X Entao In 1 2 n N A mas n0 n 1 A Portanto n0 e o menor elemento do conjunto A pois nao existe numero natural entre n e n 1 2 Conjuntos finitos Continuaremos usando a notacao In p N p n Um conjunto X dizse finito quando e vazio ou entao existem n N e uma bijecao f In X Escrevendo x1 f1 x2 f2 xn fn temos entao X x1 x2 xn A bijecao f chamase uma contagem dos elementos de X e o numero n chamase o numero de elementos ou numero cardinal do conjunto finito X O Corolario 1 abaixo prova que o numero cardinal esta bem definido isto e nao depende da particular contagem f Lema Se existe uma bijecao f X Y entao dados a X e b Y existe tambem uma bijecao g X Y tal que ga b Demonstracao Seja b fa Como f e sobrejetiva existe a X tal que fa b Definamos g X Y pondo ga b ga b e gx fx se x X nao e igual a a nem a a E facil ver que g e uma bijecao Teorema 1 Se A e um subconjunto proprio de In nao pode existir uma bijecao f A In Demonstracao Suponha por absurdo que o teorema seja falso e considere n0 N o menor numero natural para o qual existem um subconjunto proprio A In0 e uma bijecao f A In0 Se n0 A entao pelo Lema existe uma bijecao g A In0 com gn0 n0 Neste caso a restricao de g a A n0 e uma bijecao do subconjunto proprio An0 sobre In01 o que contraria a minimalidade de n0 Se ao contrario tivermos n0 A entao tomamos a A com fa n0 e a restricao de f ao subconjunto proprio A a In01 sera uma bijecao sobre In01 o que novamente vai contrariar a minimalidade de n0 Corolario 1 Se f Im X e g In X sao bijecoes entao m n Com efeito se fosse m n entao Im seria um subconjunto proprio de In o que violaria o Teorema 1 pois g1 f Im In e uma bijecao Analogamente se mostra que nao e possıvel n m Logo m n Secao 2 Conjuntos finitos 5 Corolario 2 Seja X um conjunto finito Uma aplicacao f X X e injetiva se e somente se e sobrejetiva Com efeito existe uma bijecao ϕ In X A aplicacao f X X e injetiva ou sobrejetiva se e somente se ϕ1 f ϕ In In o e Logo podemos considerar f In In Se f for injetiva entao pondo A fIn teremos uma bijecao f1 A In Pelo Teorema 1 A In e f e sobrejetiva Reciprocamente se f for sobrejetiva formemos um conjunto A In escolhendo para cada y In um elemento x In tal que fx y Entao a restricao f A In e uma bijecao Pelo Teorema 1 temos A In Isto significa que para cada y In e unico o x tal que fx y ou seja f e injetiva Corolario 3 Nao pode existir uma bijecao entre um conjunto finito e uma sua parte propria Com efeito sejam X finito e Y X uma parte propria Existem n N e uma bijecao ϕ In X Entao o conjunto A ϕ1Y e uma parte propria de In Chamemos de ϕA A Y a bijecao obtida por restricao de ϕ a A Se existisse uma bijecao f Y X a composta g ϕ1 f ϕA A In seria tambem uma bijecao contrariando o Teorema 1 O Corolario 3 e uma mera reformulacao do Teorema 1 Teorema 2 Todo subconjunto de um conjunto finito e finito Demonstracao Provaremos inicialmente o seguinte caso particular se X e finito e a X entao X a e finito Com efeito existe uma bijecao f In X a qual pelo Lema podemos supor que cumpre fn a Se n 1 entao X a e finito Se n 1 a restricao de f a In1 e uma bijecao sobre X a logo X a e finito e tem n 1 elementos O caso geral se prova por inducao no numero n de elementos de X Ele e evidente quando X ou n 1 Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos com n elementos sejam X um conjunto com n 1 elementos e Y um subconjunto de X Se Y X nada ha o que provar Caso contrario existe a X com a Y Entao na realidade Y X a Como X a tem n elementos seguese que Y e finito Corolario 1 Dada f X Y se Y e finito e f e injetiva entao X e finito se X e finito e f e sobrejetiva entao Y e finito 6 Conjuntos Finitos e Infinitos Cap 1 Com efeito se f e injetiva entao ela e uma bijecao de X sobre um subconjunto fX do conjunto finito Y Por outro lado se f e so brejetiva e X e finito entao para cada y Y podemos escolher um x gy X tal que fx y Isto define uma aplicacao g Y X tal que fgy y para todo y Y Seguese que g e injetiva logo pelo que acabamos de provar Y e finito Um subconjunto X N dizse limitado quando existe p N tal que x p para todo x X Corolario 2 Um subconjunto X N e finito se e somente se e limitado Com efeito se X x1 xn N e finito pondo p x1 xn vemos que x X x p logo X e limitado Reciprocamente se X N e limitado entao X Ip para algum p N seguese pois do Teorema 2 que X e finito 3 Conjuntos infinitos Dizse que um conjunto e infinito quando nao e finito Assim X e infinito quando nao e vazio nem existe seja qual for n N uma bijecao f In X Por exemplo o conjunto N dos numeros naturais e infinito em vir tude do Corolario 2 do Teorema 2 Pelo mesmo motivo se k N entao o conjunto k N dos multiplos de k e infinito Teorema 3 Se X e um conjunto infinito entao existe uma aplicacao injetiva f N X Demonstracao Para cada subconjunto naovazio A X escolhemos um elemento xA A Em seguida definimos f N X indutivamente Pomos f1 xX e supondo ja definidos f1 fn escrevemos An X f1 fn Como X e infinito An nao e vazio Defi nimos entao fn 1 xAn Isto completa a definicao de f Para provar que f e injetiva sejam m n N digamos com m n Entao fm f1 fn 1 enquanto fn X f1 fn 1 Logo fm fn Corolario Um conjunto X e infinito se e somente se existe uma bijecao ϕ X Y sobre um subconjunto proprio Y X Secao 4 Conjuntos enumeraveis 7 Com efeito sejam X infinito e f N X uma aplicacao injetiva Escrevamos para cada n N fn xn Consideremos o subconjunto proprio Y X x1 Definamos a bijecao ϕ X Y pondo ϕx x se x nao e um dos xn e ϕxn xn1 n N Reciprocamente se existe uma bijecao de X sobre um seu subconjunto proprio entao X e infinito em virtude do Corolario 3 do Teorema 1 Se N1 N1 entao ϕ N N1 ϕn n1 e uma bijecao de N sobre seu subconjunto N1 2 3 Mais geralmente fixando p N podemos considerar Np p1 p2 e definir a bijecao ϕ N Np ϕn n p Fenˆomenos desse tipo ja tinham sido observados por Galileu que foi o primeiro a notar que ha tantos numeros pares quantos numeros naturais mostrando que se P 2 4 6 e o conjunto dos numeros pares entao ϕ N P dada por ϕn 2n e uma bijecao Evidentemente se I 1 3 5 e o conjunto dos numeros ımpares entao ψ N I com ψn 2n 1 tambem e uma bijecao Nestes dois ultimos exemplos N P I e N I P sao infinitos enquanto N Np 1 2 p e finito 4 Conjuntos enumeraveis Um conjunto X dizse enumeravel quando e finito ou quando existe uma bijecao f N X Neste caso f chamase uma enumeracao dos elementos de X Escrevendo f1 x1 f2 x2 fn xn temse entao X x1 x2 xn Teorema 4 Todo subconjunto X N e enumeravel Demonstracao Se X e finito nada ha para demonstrar Caso con trario enumeramos os elementos de X pondo x1 menor elemento de X e supondo definidos x1 x2 xn escrevemos An X x1 xn Observando que An pois X e infinito defi nimos xn1 menor elemento de An Entao X x1 x2 xn Com efeito se existisse algum elemento x X diferente de todos os xn terıamos x An para todo n N logo x seria um numero natural maior do que todos os elementos do conjunto infinito x1 xn contrariando o Corolario 2 do Teorema 2 Corolario 1 Seja f X Y injetiva Se Y e enumeravel entao X tambem e Em particular todo subconjunto de um conjunto enumeravel e enumeravel 8 Conjuntos Finitos e Infinitos Cap 1 Com efeito basta considerar 0 caso em que existe uma bijecao yp Y oN Entao yo f X N é uma bijecao de X sobre um subcon junto de N o qual é enumerdavel pelo Teorema 4 No caso particular de X CY tomamos f X Y igual a aplicacao de inclusao O Corolario 2 Seja f X Y sobrejetiva Se X enumerdvel entao Y também Com efeito para cada y Y podemos escolher um xz gy X tal que fx y Isto define uma aplicacgao g Y X tal que fgy y para todo y Y Seguese dai que g é injetiva Pelo Corolario 1 Y é enumeravel O Corolario 3 O produto cartesiano de dois conjuntos enumerdveis é um conjunto enumerdvel Com efeito se X e Y sao enumerdaveis entao existem sobrejecoes fNXegNY logo yNxN X x Y dada por ymn fm gn sobrejetiva Portanto basta provar que N x N é enu meravel Para isto consideremos a aplicacao wy N x N N dada por vm n 2 3 Pela unicidade da decomposicaéo de um ntimero em fatores primos y é injetiva Seguese que N x N é enumeravel Oj Coroldrio 4 A reunido de uma familia enumerdvel de conjuntos enu merdveis enumerdvel Com efeito dados X1 X2Xn enumeraveis existem sobreje coes fi N X1 fo N Xo fn N Xn Tomando X Ue Xn definimos a sobrejecao f NxN X pondo fmn fnm O caso de uma reuniao finita X X UU X reduzse ao anterior porque entao X XUUX UX U O Teorema 3 acima significa que o enumeravel é o menor dos infinitos Com efeito ele pode ser reformulado assim Todo conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerdvel Exemplo 1 O conjunto Z 21012 dos ntimeros inteiros é enumeravel Uma bijecao f N Z pode ser definida pondo fn n12 para n impar e fn n2 para n par Exemplo 2 O conjunto Q mnmn Zn 4 0 dos ntimeros racionais é enumerdavel Com efeito escrevendo Z Z 0 podemos definir uma funcao sobrejetiva f Z x Z Q pondo fmn mn Secao 5 Exercıcios 9 Exemplo 3 Um conjunto naoenumeravel Seja S o conjunto de to das as sequˆencias infinitas como s 0 1 1 0 0 0 1 0 formadas com os sımbolos 0 e 1 Noutras palavras S e o conjunto de todas as funcoes s N 0 1 Para cada n N o valor sn igual a 0 ou 1 e o nesimo termo da sequˆencia s Afirmamos que nenhum subconjunto enumeravel X s1 s2 sn S e igual a S Com efeito dado X indique mos com snm o nesimo termo da sequˆencia sm X Formamos uma nova sequˆencia s S tomando o nesimo termo de s igual a 0 se for snn 1 ou igual a 1 se for snn 0 A sequˆencia s nao pertence ao conjunto X porque seu nesimo termo e diferente do nesimo termo de sn Este raciocınio devido a G Cantor e conhecido como metodo da diagonal No capıtulo seguinte mostraremos que o conjunto R dos numeros reais nao e enumeravel 5 Exercıcios Secao 1 Numeros naturais 1 Usando inducao prove a 1 2 n nn 12 b 1 3 5 2n 1 n2 2 Dados m n N com n m prove que ou n e multiplo de m ou existem q r N tais que n mq r e r m Prove que q e r sao unicos com esta propriedade 3 Seja X N um subconjunto naovazio tal que m n X m m n X Prove que existe k N tal que X e o conjunto dos multiplos de k 4 Prove que no segundo axioma de Peano a palavra unico e redundante admitindose naturalmente os demais axiomas 5 Prove o princıpio de inducao como uma consequˆencia do princıpio da boa ordenacao 6 Prove a lei de corte para a multiplicacao mp np m n 10 Conjuntos Finitos e Infinitos Cap 1 Secao 2 Conjuntos finitos 1 Indicando com card X o ntimero de elementos do conjunto finito X prove a Se X é finitoe Y C X entao card Y card X b Se X e Y sao finitos entao X UY é finito e cardX UY card X card Y cardX NY c Se X e Y sao finitos entao X x Y é finito e cardX x Y card X card Y 2 Seja PX o conjunto cujos elementos sao os subconjuntos de X Prove por inducao que se X é finito entao card PX 27 3 Seja FXY o conjunto das fungdes f X Y Se card X m e card Y n prove que card FXY n 4 Prove que todo conjunto finito naovazio X de nuimeros naturais contém um elemento maximo isto é existe rq S tal que x 2 Vae X 5 Prove o Principio das Casas de Pombo se m n nao existe fungao injetiva f Im In quando m n para alojar m pombos em nm casas é preciso que pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo Secao 3 Conjuntos infinitos 1 Dada f X Y prove a Se X é infinito e f é injetiva entao Y é infinito b Se Y é infinito e f é sobrejetiva entao X é infinito 2 Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito Prove que existe uma funcao injetiva f X Y e uma funcao sobrejetiva gY X 3 Prove que o conjunto P dos nuimeros primos é infinito 4 Dé exemplo de uma seqtiéncia decrescente X D Xg D D Xn D de conjuntos infinitos cuja intersecao V4 Xp seja vazia Secao 5 Exercıcios 11 5 Prove que o conjunto X e infinito se e somente se nao e vazio nem existe seja qual for n N uma aplicacao sobrejetiva f In X Secao 4 Conjuntos enumeraveis 1 Defina f N N N pondo f1 n 2n 1 e fm 1 n 2m2n 1 Prove que f e uma bijecao 2 Prove que existe g N N sobrejetiva tal que g1n e infinito para cada n N 3 Exprima N N1 N2 Nn como uniao infinita de subconjuntos infinitos dois a dois disjuntos 4 Para cada n N seja Pn X N card X n Prove que Pn e enumeravel Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N e enumeravel 5 Prove que o conjunto PN de todos os subconjuntos de N nao e enumeravel 6 Sejam Y enumeravel e f X Y tal que para cada y Y f1y e enumeravel Prove que X e enumeravel 2 Numeros Reais O conjunto dos numeros reais sera indicado por R Faremos neste ca pıtulo uma descricao de suas propriedades que juntamente com suas consequˆencias serao utilizadas nos capıtulos seguintes 1 R e um corpo Isto significa que estao definidas em R duas operacoes chamadas adicao e multiplicacao que cumprem certas condicoes abaixo especificadas A adicao faz corresponder a cada par de elementos x y R sua soma x y R enquanto a multiplicacao associa a esses elementos o seu produto x y R Os axiomas a que essas operacoes obedecem sao Associatividade para quaisquer x y z R temse xyz xyz e x y z x y z Comutatividade para quaisquer x y R temse xy yx e xy yx Elementos neutros existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x 0 x e x 1 x para qualquer x R Inversos todo x R possui um inverso aditivo x R tal que x x 0 e se x 0 existe tambem um inverso multiplicativo x1 R tal que x x1 1 Distributividade para x y z R quaisquer temse xyz xyxz Secao 2 IR é um corpo ordenado 13 Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de mani pulagéo com os numeros reais A titulo de exemplo estabeleceremos algumas delas Da comutatividade resulta que 0 4 2 e x 2 0 para todo xz R Analogamete 17 xe a2 1 quando x 4 0 Asoma ay sera indicada por y e chamada a diferenca entre x e y Se y 0 0 produto zy sera representado também por ay e chamado o quociente de x por y As operacoes xy ye ay ay chamamse respectivamente subtragado e divisdo Evidentemente a divisao de x por y so faz sentido quando y 0 pois o numero 0 nao possui inverso multiplicativo Da distributividade seguese que para todo R vale xO0 a x0a1201 212 Somando x a ambos os membros da igualdade 0 a a obtemos 0 0 Por outro lado de x y 0 podemos concluir que x 0 ou y 0 Com efeito se for y 4 0 entao podemos multiplicar ambos os membros desta igualdade por y e obtemos xyy 0y 7 donde x 0 Da distributividade resultam também as regras dos sinais uy 2y y e 2 y zy Com efeito x yuya2yy 200 Somando x y a ambos os membros da igualdade x y xy 0 vem x y ay Analogamente xy x y Logo 2 y x y ay xy Em particular 11 1 Observagéo a igualdade z z acima empregada resulta de somarse z a ambos os membros da igualdade z z 0 Se dois numeros reais x y tém quadrados iguais entao 7 ty Com efeito de x y decorre que 0 2 y x ya y e como sabemos o produto de dois nimeros reais sé é zero quando pelo menos um dos fatores é zero 2 KR éum corpo ordenado Isto significa que existe um subconjunto R C R chamado o conjunto dos numeros reais positivos que cumpre as seguintes condicoes Pl A soma e o produto de nimeros reais positivos sao positivos Ou sejazyE Rt SaxrtyeRtexryeR P2 Dado a R exatamente uma das trés alternativas seguintes ocorre ou x 0 our R ou ER 14 Numeros Reais Cap 2 Se indicarmos com R o conjunto dos numeros x onde x R a condicao P2 diz que R R R 0 e os conjuntos R R e 0 sao dois a dois disjuntos Os numeros y R chamamse negativos Todo numero real x 0 tem quadrado positivo Com efeito se x R entao x2 x x R por P1 Se x R entao como x 0 x R logo ainda por causa de P1 temos x2 x x R Em particular 1 e um numero positivo porque 1 12 Escrevese x y e dizse que x e menor do que y quando yx R isto e y x z onde z e positivo Neste caso escrevese tambem y x e dizse que y e maior do que x Em particular x 0 significa que x R isto e que x e positivo enquanto x 0 quer dizer que x e negativo ou seja que x R Valem as seguintes propriedades da relacao de ordem x y em R O1 Transitividade se x y e y z entao x z O2 Tricotomia dados x y R ocorre exatamente uma das alterna tivas x y x y ou y x O3 Monotonicidade da adicao se x y entao para todo z R temse x z y z O4 Monotonicidade da multiplicacao se x y entao para todo z 0 temse xz yz Se porem z 0 entao x y implica yz xz Demonstracao O1 x y e y z significam yx R e zy R Por P1 seguese que y x z y R isto e z x R ou seja x z O2 Dados x y R ou y x R ou y x 0 ou y x R isto e x y R No primeiro caso temse x y no segundo x y e no terceiro y x Estas alternativas se excluem mutuamente por P2 O3 Se x y entao y x R donde y z x z y x R isto e x z y z O4 Se x y e z 0 entao y x R e z R logo y x z R ou seja yz xz R o que significa xz yz Se x y e z 0 entao y x R e z R donde xz yz y xz R o que significa yz xz Mais geralmente x y e x y implicam x x y y Com efeito y y x x y x y x R Analogamente 0 x y e 0 x y implicam xx yy pois yy xx yy yx yx xx yy x y xx 0 Secao 2 R e um corpo ordenado 15 Se 0 x y entao y1 x1 Para provar notase primeiro que x 0 x1 x x12 0 Em seguida multiplicando ambos os membros da desigualdade x y por x1y1 vem y1 x1 Como 1 R e positivo seguese que 1 1 1 1 1 1 Podemos entao considerar N R Seguese que Z R pois 0 R e n R n R Alem disso se m n Z com n 0 entao mn m n1 R o que nos permite concluir que Q R Assim N Z Q R Na secao seguinte veremos que a inclusao Q R e propria Exemplo 1 Desigualdade de Bernoulli Para todo numero real x 1 e todo n N temse 1 xn 1 nx Isto se prova por inducao em n sendo obvio para n 1 Supondo a desigualdade valida para n multiplicamos ambos os membros pelo numero 1 x 0 e obtemos 1 xn1 1 xn1 x 1 nx1 x 1 nx x nx2 1 n 1x nx2 1 n 1x Pelo mesmo argumento vˆese que 1 xn 1 nx quando n 1 x 1 e x 0 A relacao de ordem em R permite definir o valor absoluto ou modulo de um numero real x R assim x x se x 0 0 0 e x x se x 0 Noutras palavras x maxx x e o maior dos numeros reais x e x Temse x x x para todo x R Com efeito a desigualdade x x e obvia enquanto x x resulta de multiplicar por 1 ambos os membros da desigualdade x x Podemos caracterizar x como o unico numero 0 cujo quadrado e x2 Teorema 1 Se x y R entao x y x y e x y x y Demonstracao Somando membro a membro as desigualdades x x e y y vem x y x y Analogamente de x x e y y resulta xy xy Logo xy xy maxxy xy Para provar que x y x y basta mostrar que estes dois numeros tˆem o mesmo quadrado ja que ambos sao 0 Ora o quadrado de xy e x y2 x2 y2 enquanto x y2 x2y2 x2 y2 16 Numeros Reais Cap 2 Teorema 2 Sejam a x δ R Temse x a δ se e somente se a δ x a δ Demonstracao Como x a e o maior dos dois numeros x a e x a afirmar que x a δ equivale a dizer que se tem x a δ e x a δ ou seja x a δ e x a δ Somando a vem x a δ x a δ e x a δ a δ x a δ De modo analogo se vˆe que x a δ a δ x a δ Usaremos as seguintes notacoes para representar tipos especiais de conjuntos de numeros reais chamados intervalos a b x R a x b b x R x b a b x R a x b b x R x b a b x R a x b a x R a x a b x R a x b a x R a x R Os quatro intervalos da esquerda sao limitados com extremos a b a b e um intervalo fechado a b e aberto a b e fechado a esquerda e a b e fechado a direita Os cinco intervalos a direita sao ilimitados b e a semireta esquerda fechada de origem b Os demais tˆem denominacoes analogas Quando a b o intervalo fechado a b reduz se a um unico elemento e chamase um intervalo degenerado Em termos de intervalos o Teorema 2 diz que x a ε se e somente se x pertence ao intervalo aberto a ε a ε Analogamente x a ε x a ε a ε E muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta a reta real e os numeros reais como pontos dessa reta Entao a relacao x y significa que o ponto x esta a esquerda de y e y a direita de x os intervalos sao segmentos de reta e x y e a distˆancia do ponto x ao ponto y O significado do Teorema 2 e de que o intervalo a δ a δ e formado pelos pontos que distam menos de δ do ponto a Tais interpretacoes geometricas constituem um valioso auxılio para a com preensao dos conceitos e teoremas da Analise 3 R e um corpo ordenado completo Nada do que foi dito ate agora permite distinguir R de Q pois os numeros racionais tambem constituem um corpo ordenado Acabaremos agora Secao 3 R e um corpo ordenado completo 17 nossa caracterizacao de R descrevendoo como um corpo ordenado com pleto propriedade que Q nao tem Um conjunto X R dizse limitado superiormente quando existe algum b R tal que x b para todo x X Neste caso dizse que b e uma cota superior de X Analogamente dizse que o conjunto X R e limitado inferiormente quando existe a R tal que a x para todo x X O numero a chamase entao uma cota inferior de X Se X e limitado superior e inferiormente dizse que X e um conjunto limitado Isto significa que X esta contido em algum intervalo limitado a b ou equivalentemente que existe k 0 tal que x X x k Seja X R limitado superiormente e naovazio Um numero b R chamase o supremo do conjunto X quando e a menor das cotas superio res de X Mais explicitamente b e o supremo de X quando cumpre as duas condicoes S1 Para todo x X temse x b S2 Se c R e tal que x c para todo x X entao b c A condicao S2 admite a seguinte reformulacao S2 Se c b entao existe x X com c x Com efeito S2 diz que nenhum numero real menor do que b pode ser cota superior de X As vezes se exprime S2 assim para todo ε 0 existe x X tal que b ε x Escrevemos b sup X para indicar que b e o supremo do conjunto X Analogamente se X R e um conjunto naovazio limitado inferior mente um numero real a chamase o ınfimo do conjunto X e escrevese a inf X quando e a maior das cotas inferiores de X Isto equivale as duas afirmacoes I1 Para todo x X temse a x I2 Se c x para todo x X entao c a A condicao I2 pode tambem ser formulada assim I2 Se a c entao existe x X tal que x c De fato I2 diz que nenhum numero maior do que a e cota inferior de X Equivalentemente para todo ε 0 existe x X tal que x aε Dizse que um numero b X e o maior elemento ou elemento maximo do conjunto X quando b x para todo x X Isto quer dizer que b e uma cota superior de X pertencente a X Por exemplo b e o elemento maximo do intervalo fechado a b mas o intervalo a b nao possui maior elemento Evidentemente se um conjunto X possui 18 Numeros Reais Cap 2 elemento maximo este sera seu supremo A nocao de supremo serve precisamente para substituir a ideia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento nao existe O supremo do conjunto a b e b Consideracoes inteiramente analogas podem ser feitas em relacao ao ınfimo A afirmacao de que o corpo ordenado R e completo significa que todo conjunto naovazio limitado superiormente X R possui supremo b sup X R Nao e necessario estipular tambem que todo conjunto naovazio limi tado inferiormente X R possua ınfimo Com efeito neste caso o conjunto Y x x X e naovazio limitado superiormente logo possui um supremo b R Entao como se vˆe sem dificuldade o numero a b e o ınfimo de Y Em seguida veremos algumas consequˆencias da completeza de R Teorema 3 i O conjunto N R dos numeros naturais nao e limitado superiormente ii O ınfimo do conjunto X 1n n N e igual a 0 iii Dados a b R existe n N tal que n a b Demonstracao Se N R fosse limitado superiormente existiria c sup N Entao c 1 nao seria cota superior de N isto e existiria n N com c1 n Daı resultaria c n1 logo c nao seria cota superior de N Esta contradicao prova i Quanto a ii 0 e evidentemente uma cota inferior de X Basta entao provar que nenhum c 0 e cota inferior de X Ora dado c 0 existe por i um numero natural n 1c donde 1n c o que prova ii Finalmente dados a b R usamos i para obter n N tal que n ba Entao na b o que demonstra iii As propriedades i ii e iii do teorema acima sao equivalentes e si gnificam que R e um corpo arquimediano Na realidade iii e devida ao matematico grego Eudoxo que viveu alguns seculos antes de Arquime des Teorema 4 Intervalos encaixados Dada uma sequˆencia decres cente I1 I2 In de intervalos limitados e fechados In an bn existe pelo menos um numero real c tal que c In para todo n N Demonstracao As inclusoes In In1 significam que a1 a2 an bn b2 b1 Secao 3 R e um corpo ordenado completo 19 O conjunto A a1 a2 an e portanto limitado superior mente Seja c sup A Evidentemente an c para todo n N Alem disso como cada bn e cota superior de A temos c bn para todo n N Portanto c In qualquer que seja n N Teorema 5 O conjunto dos numeros reais nao e enumeravel Demonstracao Mostraremos que nenhuma funcao f N R pode ser sobrejetiva Para isto supondo f dada construiremos uma sequˆencia decrescente I1 I2 In de intervalos limitados e fechados tais que fn In Entao se c e um numero real pertencente a todos os In nenhum dos valores fn pode ser igual a c logo f nao e sobreje tiva Para obter os intervalos comecamos tomando I1 a1 b1 tal que f1 a1 e supondo obtidos I1 I2 In tais que fj Ij olhamos para In an bn Se fn 1 In podemos simplesmente tomar In1 In Se porem fn 1 In pelo menos um dos extre mos digamos an e diferente de fn 1 isto e an fn 1 Neste caso tomamos In1 an1 bn1 com an1 an e bn1 an fn 12 Um numero real chamase irracional quando nao e racional Como o conjunto Q dos numeros racionais e enumeravel resulta do teorema acima que existem numeros irracionais e mais ainda sendo R Q R Q os irracionais constituem um conjunto naoenumeravel por tanto formam a maioria dos reais porque a reuniao de dois conjuntos enumeraveis seria enumeravel Evidentemente numeros irracionais po dem ser exibidos explicitamente No Capıtulo 3 Exemplo 15 veremos que a funcao f R R dada por fx x2 e sobrejetiva Logo existe um numero real positivo indicado por 2 cujo quadrado e igual a 2 Pitagoras e seus discıpulos mostraram que o quadrado de nenhum numero racional pode ser 2 Com efeito de pq2 2 resulta 2q2 p2 com p q inteiros um absurdo porque o fator primo 2 aparece um numero par de vezes na decomposicao de p2 em fatores primos e um numero ımpar de vezes em 2q2 Corolario Todo intervalo naodegenerado e naoenumeravel Com efeito todo intervalo naodegenerado contem um intervalo aberto a b Como a funcao f 1 1 a b definida por fx 1 2 b ax a b e uma bijecao basta mostrar que o intervalo aberto 1 1 e naoenumeravel Ora a funcao ϕ R 1 1 dada por 20 Ndmeros Reais Cap 2 px x1 a 6 uma bijegdo cuja inversa é w 11 R de finida por py y1 yl pois pvy y e yz x para quaisquer y 11 e R como se pode verificar facilmente O Teorema 6 Todo intervalo ndodegenerado I contém nimeros racio nats e wracionais Demonstracao Certamente J contém numeros irracionais pois do contrario seria enumeravel Para provar que J contém numeros racionais tomamos ab Cc I onde a b podem ser supostos irracionais Fixemos n N tal que 1n ba Os intervalos I mnm1nm Z cobrem a reta isto 6 R Ucz Im Portanto existe m Z tal que a I Como a é irracional temos mn a m 1n Sendo o comprimento 1n do intervalo Im menor do que b a seguese que m1n b Logo o nimero racional m 1n pertence ao intervalo a b e portanto ao intervalo I O 4 Exercicios Secao 1 R é um corpo 1 Prove as seguintes unicidades a Sea602 para algum z R entao 0 0 b Se xu 2 para todo z R entao u 1 c Sexy0 entao y 2 d Sexy1 entao ya7 2 Dados abcd R seb 4 0 e d F O prove que ab cd ad bcbd e abcd acbd 3 Sea 0eb40 emR prove que ab ab e conclua que ab ba 4 Prove que 12tl 1a4a para todo x 1 Secao 2 R é um corpo ordenado 1 Para quaisquer xyz R prove que x z ja y y 2 2 Prove que x y a y para quaisquer xy R 3 Dados xy R se x y 0 prove que x y 0 4 Prove por inducao que 12 14nann12x se x 0 Secao 4 Exercicios 21 5 Para todo 0 em R prove que 1 2 14 2nz 6 Prove que a b e a b e 7 Use o fato de que o trindmio do segundo grau fA Soy ai Ay 6 0 para todo R para provar a desigualdade de Cauchy Schwarz n 2 n n 2 2 i1 i1 i1 Prove ainda que vale a igualdade se e somente se existe tal que x Ay para todo i 1n ou entao yy Yn 0 8 Se ay b1nbn pertencem ao intervalo a 3 e b1bn sao positivos prove que a1 nbi6n pertence a a 3 Nas mesmas condicoes se t1tn R prove que tyay tndnt1by tnb também pertence ao intervalo a 3 Secao 3 IR é um corpo ordenado completo 1 Dizse que uma fungao f X R é limitada superiormente quando sua imagem fX fxv X é um conjunto limitado supe riormente Entao poese sup f supfx X Prove que se fg X R sao limitadas superiormente 0 mesmo ocorre com a soma f g X Re temse supf g sup f supg Dé um exemplo com supf g sup f sup g Enuncie e prove um resultado andlogo para inf 2 Dadas as funcoes fg X Rt limitadas superiormente prove que o produto f g X R é uma funcaéo limitada superior e inferiormente com supfg sup fsupg e inffg inf finf g Dé exemplos onde se tenha e nao 3 Nas condicées do exercicio anterior mostre que supf sup f e inff inf f 4 Dados ab Rt com a 2 b tome zy R tais que xl1ax 2a2a1 ey b 22b Prove que aa 2 by eby 0 Em seguida considere o conjunto limitado X a Rta 2 e conclua que o numero real c sup X cumpre c 2 5 Prove que o conjunto dos polinédmios com coeficientes inteiros é enumeravel Um ntimero real chamase algébrico quando é raiz 22 Numeros Reais Cap 2 de um polinˆomio com coeficientes inteiros Prove que o conjunto dos numeros algebricos e enumeravel Um numero real chamase transcendente quando nao e algebrico Prove que existem numeros transcendentes 6 Prove que um conjunto I R e um intervalo se e somente se a x b a b I x I