Funções Contínuas: Definições e Propriedades

7 Funcoes Contınuas A nocao de funcao contınua e um dos pontos centrais da Topologia Ela sera estudada neste capıtulo em seus aspectos mais basicos como introducao a uma abordagem mais ampla e como instrumento para aplicacao nos capıtulos seguintes 1 Definicao e primeiras propriedades Uma funcao f X R definida no conjunto X R dizse contınua no ponto a X quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que x X e x a δ impliquem fx fa ε Em sımbolos f contınua no ponto a significa ε 0 δ 0 x X x a δ fx fa ε Chamase descontınua no ponto a X uma funcao f X R que nao e contınua nesse ponto Isto quer dizer que existe ε 0 com a seguinte propriedade para todo δ 0 podese achar xδ X tal que xδ a δ e fxδ fa ε Em particular tomando δ sucessiva mente igual a 1 12 13 e escrevendo xn em vez de x1n vemos que f X R e descontınua no ponto a X se e somente se existe ε 0 com a seguinte propriedade para cada n N podese obter xn X com xn a 1n e fxnfa ε Evidentemente xn a 1n para todo n N implica lim xn a 76 Funcées Continuas Cap 7 Dizse que f X R é uma funcao continua quando f é continua em todos os pontos a X A continuidade é um fendmeno local isto é a fungao f X Ré continua no ponto a X se e somente se existe uma vizinhanca V de a tal que a restricao de fa V MX é continua no ponto a Se a é um ponto isolado do conjunto X isto é se existe 6 0 tal que X M a 6a 6 a entao toda fungéo f X R é continua no ponto a Em particular se X é um conjunto discreto como Z por exemplo entao toda funcao f X R é continua Sea XNX isto é sea X 6 um ponto de acumulacao de X entaéo f X R é continua no ponto a se e somente se lim 4 fx fa Ao contrario do caso de um limite na definicaéo de funcao continua o ponto a deve pertencer ao conjunto X e podese tomar x a pois quando isto se da a condicao fa fa tornase 0 o que é obvio Teorema 1 Sejam fg X R continuas no ponto a X com fa ga Existe 6 0 tal que fx gx para todo x X Nada0 Demonstragao Tomemos c ga fa2 ee gac c fa Entaéo 0 e fa ga e c Pela definicao de continuidade existem 6 0 e 62 0 tais que x X x a 6 fae fa cexeX xal 62 c gx ga e Seja 6 o menor dos ntiimeros 6 e 62 Entéo x X r al 6 fx c gx 0 que prova o teorema O Corolario 1 Seja f X R continua no pontoa X Se fa 0 existe 6 0 tal que para todo x XNa6a6 fx tem o mesmo sinal de fa Com efeito para fixar idéias suponhamos fa 0 Entao basta tomar g identicamente nula no Teorema 1 O Corolario 2 Dadas fg X R continuas sejam Y x X fx gaz eZ x X fx gx Existem A C R abertoe F CR fechado tais que Y XNAeZXNNF Em particular se X aberto entao Y é aberto e se X fechado entao Z é fechado Com efeito pelo Teorema 1 para cada y Y existe um intervalo aberto Iy de centro y tal que y C XNIy C Y Dafresulta Ucy ty C UyeyX NIy CY ou sejan Y Cc XN Uyey Iy Y Pondo A Uyey I 0 Teorema 1 Capitulo 5 assegura que A é um conjunto aberto Secao 1 Definicao e primeiras propriedades 77 Alem disso de Y X A Y concluımos que Y X A Quanto ao conjunto Z temos Z X x X gx fx Pelo que acabamos de ver existe B R aberto tal que Z X X B X R B Pelo Teorema 3 do Capıtulo 5 F RB e fechado portanto Z XF como se pretendia mostrar Teorema 2 A fim de que a funcao f X R seja contınua no ponto a e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a se tenha lim fxn fa A demonstracao segue exatamente as mesmas linhas do Teorema 3 Capıtulo 6 por isso e omitida Corolario 1 Se f g X R sao contınuas no ponto a X entao sao contınuas nesse mesmo ponto as funcoes f g f g X R bem como a funcao fg caso seja ga 0 O domınio da funcao fg bem entendido e o subconjunto de X formado pelos pontos x tais que gx 0 Existe δ 0 tal que X a δ a δ esta contido nesse domınio Exemplo 1 Todo polinˆomio p R R e uma funcao contınua Toda funcao racional pxqx quociente de dois polinˆomios e contınua no seu domınio o qual e o conjunto dos pontos x tais que qx 0 A funcao f R R definida por fx sen1x se x 0 e f0 0 e descontınua no ponto 0 e e contınua nos demais pontos da reta A funcao g R R dada por gx x sen1x se x 0 e g0 0 e contınua em toda a reta A funcao ϕ R R definida por ϕx 0 para x racional e ϕx 1 para x irracional e descontınua em todos os pontos da reta porem suas restricoes a Q e a RQ sao contınuas porque sao constantes Se definirmos ψ R R pondo ψx x ϕx veremos que ψ e contınua apenas no ponto x 0 Teorema 3 Sejam f X R contınua no ponto a X g Y R contınua no ponto b fa Y e fX Y de modo que a composta g f X R esta bem definida Entao g f e contınua no ponto a A composta de duas funcoes contınuas e contınua Demonstracao Dado ε 0 existe pela continuidade de g no ponto b um numero η 0 tal que y Y y b η implicam gy gb ε Por sua vez a continuidade de f no ponto a assegura que existe δ 0 tal que x X x a δ implicam fx b η Consequentemente x X a δ a δ gfx gb g fx g fa ε o que prova o teorema 78 Funcoes Contınuas Cap 7 2 Funcoes contınuas num intervalo Teorema 4 Teorema do valor intermediario Seja f a b R contınua Se fa d fb entao existe c a b tal que fc d Demonstracao Consideremos os conjuntos A x a b fx d e B x a b fx d Pelo Corolario 2 do Teorema 1 A e B sao fechados logo A B A B A B Alem disso e claro que a b A B Se for A B entao o teorema esta demonstrado porque se tem fc d para qualquer c A B Se entretanto fosse AB entao a b AB seria uma cisao nao trivial porque a A e b B o que e vedado pelo Teorema 5 do Capıtulo 5 Logo deve ser A B e o teorema esta provado Corolario Se I R e um intervalo e f I R e contınua entao fI e um intervalo Isto e obvio se f e constante Caso contrario sejam α inf fI inffx x I e β sup fI supfx x I Se fI for ili mitado tomaremos α eou β Para provar que fI e um intervalo aberto fechado ou semiaberto cujos extremos sao α e β tomemos d tal que α d β Pelas definicoes de inf e sup existem a b I tais que α fa d fb β Pelo Teorema 4 existe c a b logo c I tal que fc d Assim d fI Isto prova que α β fI Como α e o inf e β e o sup de fI nenhum numero real menor do que α ou maior do que β pode estar em fI Portanto fI e um intervalo cujos extremos sao α e β Observacao Se I a b e um intervalo compacto entao fI e tambem um intervalo compacto pelo Teorema 7 a seguir Mas se I nao e fechado ou e ilimitado fI pode nao ser do mesmo tipo que I Por exemplo seja f R R dada por fx sen x Tomando suces sivamente os intervalos abertos I1 0 7 I2 0 π2 e I3 0 π temos fI1 1 1 fI2 0 1 e fI3 0 1 Exemplo 2 Como aplicacao mostraremos que todo polinˆomio p R R de grau ımpar possui alguma raiz real Seja px a0 a1x anxn com n ımpar e an 0 Para fixar as ideias suporemos an 0 Pondo anxn em evidˆencia podemos escrever px anxn rx onde rx a0 an 1 xn a1 an 1 xn1 an1 an 1 x 1 Secao 2 Fungées continuas num intervalo 79 E claro que limp400 7 limyoo rx 1 Logo limy 40 pa limy 400 Gnx 00 e limyo0 px limgoo Gn x 0o porque n é impar Portanto o intervalo pR é ilimitado inferior e superior mente isto é pR R Isto significa que p R R é sobrejetiva Em particular deve existir c R tal que pc 0 Evidentemente um polindmio de grau par como pz x 1 por exemplo pode nao ter raiz real Exemplo 3 Ezisténcia de a Fixado n N a fungao f 000 0 00 definida por fx x é crescente portanto injetiva com f0 Oe limg 4 fx 00 Sua imagem é portanto um subinter valo ilimitado de 000 contendo seu extremo inferior igual a zero Logo f000 0 00 isto é f 6 uma bijecao de 0 00 sobre si mesmo Isto significa que para todo nimero real a 0 existe um tinico ntimero real b 0 tal que a b ou seja b Va No caso particular de n impar a fungéo x x é uma bijecao de R sobre R de modo que neste caso todo ntmero real a possui uma raiz nésima que é positiva quando a 0 e negativa se a 0 Exemplo 4 O Teorema 4 é do tipo dos chamados teoremas de existéncia Sob certas condicdes ele assergura a existéncia de uma raiz para a equacao fa d Uma de suas mais simples aplicagdes é a seguinte Seja f ab R uma fungao continua tal que fa a eb fb Nestas condigdes existe pelo menos um numero c a tal que fc c Com efeito a fungao vy ab R definida por px x fx é continua com ya 0 e yb 0 Pelo Teorema 4 deve existir c a b tal que yc 0 isto é fc c Um ponto x X tal que fx x chamase um ponto fixo da funcgao f X R O re sultado que acabamos de provar é a versao unidimensional do conhecido Teorema do ponto fixo de Brouwer Outra aplicagao do Teorema 4 se refere continuidade da funcao inversa Sejam XY C Ref X Y uma bijecao Supondo f continua podese concluir que sua inversa f Y X também seja continua A resposta é em geral negativa como mostra o seguinte exemplo Exemplo 5 Sejam X 10 U12 e Y 04 A fungao f X Y definida por fx 2 é uma bijecéo de X sobre Y a qual é obviamente continua ver Fig 3 Sua inversa g Y X é dada por gy Vy se0O ys legy ysely 4 Logo gé descontinua no ponto y1 Pois lim1 gy1 e limy1 gy1 80 Funcoes Contınuas Cap 7 Figura 3 Mostraremos agora que se uma bijecao f I J entre intervalos e contınua entao sua inversa f1 J I tambem e contınua Na secao 3 abaixo veremos que a inversa de uma bijecao contınua tambem e contınua se o domınio e compacto No Exemplo 5 o domınio de f nao e um intervalo nem e um conjunto compacto Teorema 5 Seja I R um intervalo Toda funcao contınua injetiva f I R e monotona e sua inversa g J I definida no intervalo J fI e contınua Demonstracao Suponhamos inicialmente que I a b seja um in tervalo limitado e fechado Para fixar as ideias seja fa fb Mos traremos entao que f e crescente Do contrario existiriam pontos x y em a b com fx fy Ha duas possibilidades fa fy ou fa fy No primeiro caso temos fa fy fx logo pelo Teorema 4 existe c a x com fc fy assim contradizendo a injetividade de f No segundo caso vem fy fa fb portanto existira c y b com fc fa outra contradicao Logo f e mesmo crescente Agora seja f I R contınua e injetiva no intervalo ar bitrario I Se f nao fosse monotona existiriam pontos u v e x y em I tais que fu fv e fx fy Sejam a o menor e b o maior dos numeros u v x y Entao f restrita ao intervalo a b seria contınua injetiva porem nao monotona contradizendo o que acabamos de pro var Finalmente consideremos a inversa g J I da bijecao contınua crescente f I J Evidentemente g e crescente Sejam a I um ponto arbitrario e b fa Para provar que g e contınua no ponto b Secao 3 Funcoes contınuas em conjuntos compactos 81 comecamos supondo a interior a I Entao dado ε 0 podemos admitir que a ε a ε I Assim fa ε b α e fa ε b β onde α 0 e β 0 Seja δ minα β Como g e crescente y J b δ y b δ b α y b β gb α gy gb β a ε gy a ε Logo g e contınua no ponto b Se entretanto a e uma extremidade de I digamos a inferior entao b fa e a extremi dade inferior de J Dado arbitrariamente ε 0 podemos supor aε I e teremos fa ε b δ δ 0 Entao y J b δ y b δ b y b δ a gy gb δ a gy a ε a ε gy a ε logo g e ainda neste caso contınua no ponto b Corolario Para todo n N a funcao g 0 0 definida por gx nx e contınua Com efeito g e a inversa da bijecao contınua f 0 0 definida por fx xn No caso particular de n ımpar f R R dada por fx xn e uma bijecao contınua e sua inversa g R R ainda indicada com a notacao gx nx e contınua em toda a reta Sejam X R e Y R Um homeomorfismo entre X e Y e uma biejcao contınua f X Y cuja inversa f1 Y X e tambem contınua O Teorema 5 diz portanto que se I e um intervalo entao toda funcao contınua e injetiva f I R e um homeomorfismo entre I e o intervalo J fI 3 Funcoes contınuas em conjuntos compactos Muitos problemas em Matematica e nas suas aplicacoes consistem em procurar pontos de um conjunto X nos quais uma certa funcao real f X R assume seu valor maximo ou seu valor mınimo Antes de tentar resolver um desses problemas e necessario saber se realmente tais pontos existem Para comecar a funcao f pode ser ilimitada su periormente e entao nao possui valor maximo ou inferiormente e nao tera valor mınimo Entretanto mesmo limitada f pode nao assumir valor maximo em X ou mınimo ou nenhum dos dois 82 Funcoes Contınuas Cap 7 Exemplo 6 Sejam X 0 1 e f X R dada por fx x Entao fX 0 1 logo para todo x X existem x x X com fx fx fx Isto significa que para nenhum x X o valor fx e o maior nem o menor que f assume em X Noutro exemplo podemos tomar g R R gx 11 x2 Temos 0 gx 1 para todo x R Como g0 1 vemos que g0 e o valor maximo de gx para todo x R Mas nao existe x R tal que gx seja o menor valor de g Com efeito se x 0 basta tomar x x para ter gx gx E se x 0 tomase x x e se tem novamente gx gx Figura 4 Grafico da funcao gx 1 1 x2 O teorema seguinte assegura a existˆencia de valores maximos e mı nimos de uma funcao contınua quando seu domınio e compacto Teorema 6 Weierstrass Seja f X R contınua no conjunto compacto X R Existem x0 x1 X tais que fx0 fx fx1 para todo x X Estabeleceremos o Teorema de Weierstrass como consequˆencia do Teorema 7 A imagem fX de um conjunto compacto X R por uma funcao contınua f X R e um conjunto compacto Demonstracao De acordo com o Teorema 8 do Capıtulo 5 devemos provar que toda sequˆencia de pontos yn fX possui uma subsequˆencia que converge para algum ponto em fX Ora para cada n N temos yn fxn com xn X Como X e compacto a sequˆencia xn possui uma subsequˆencia xnnN que converge para um ponto a X Sendo f contınua no ponto a de limnN xn a concluımos que pondo b fa temos b fX e alem disso limnN yn limnN fxn fa b como querıamos demonstrar Secao 4 Continuidade uniforme 83 Demonstracao do Teorema 6 Como foi visto na secao 4 do Capıtulo 5 o conjunto compacto fX possui um menor elemento fx0 e um maior elemento fx1 Isto quer dizer que existem x0 x1 X tais que fx0 fx fx1 para todo x X Corolario Se X R e compacto entao toda funcao contınua f X R e limitada isto e existe c 0 tal que fx c para todo x X Exemplo 7 A funcao f 0 1 R definida por fx 1x e contınua porem nao e limitada Isto se da porque seu domınio 0 1 nao e compacto Teorema 8 Se X R e compacto entao toda bijecao contınua f X Y R tem inversa contınua g Y X Demonstracao Tomemos um ponto arbitrario b fa em Y e mos tremos que g e contınua no ponto b Se nao fosse assim existiriam um numero ε 0 e uma sequˆencia de pontos yn fxn Y com lim yn b e gyn gb ε isto e xn a ε para todo n N Passando a uma subsequˆencia se necessario podemos supor que lim xn a X pois X e compacto Temse a a ε Em particular a a Mas pela continuidade de f lim yn lim fxn fa Como ja temos lim yn b fa daı resultaria fa fa contradizendo a injetivi dade de f Exemplo 8 O conjunto Y 0 1 12 1n e compacto e a bijecao f N Y definida por f1 0 fn 1n 1 se n 1 e contınua mas sua inversa f1 Y N e descontınua no ponto 0 Logo no Teorema 8 a compacidade de X nao pode ser substituıda pela de Y 4 Continuidade uniforme Seja f X R contınua Dado ε 0 para cada x X podese achar δ 0 tal que y X y x δ implicam fy fx ε O numero positivo δ depende nao apenas do ε 0 dado mas tambem do ponto x no qual a continuidade de f e examinada Nem sempre dado ε 0 podese encontrar um δ 0 que sirva em todos os pontos x X mesmo sendo f contınua em todos esses pontos Exemplo 9 Seja f R0 R definida por fx xx logo fx 1 se x 0 e fx 1 para x 0 Esta funcao e contınua em R 0 pois e constante numa vizinhanca de cada ponto x 0 Entretanto 84 Funcoes Contınuas Cap 7 se tomarmos ε 2 para todo δ 0 que escolhermos existirao sempre pontos x y R 0 tais que y x δ e fy fx ε Basta tomar x δ3 e y δ3 Exemplo 10 A funcao f R R definida por fx 1x e contınua Mas dado ε com 0 ε 1 seja qual for δ 0 escolhido tomamos um numero natural n 1δ e pomos x 1n y 12n Entao 0 y x δ donde y x δ porem fy fx 2n n n 1 ε Uma funcao f X R dizse uniformemente contınua no conjunto X quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que x y X y x δ implicam fy fx ε Uma funcao uniformemente contınua f X R e contınua em todos os pontos do conjunto X A recıproca e falsa como se vˆe nos Exemplos 9 e 10 acima A continuidade de uma funcao f X R no ponto a X significa que se pode tornar fx tao proximo de fa quanto se deseje contanto que se tome x suficientemente proximo de a Notese a assimetria o ponto a esta fixo e x se aproxima dele a fim de que fx se aproxime de fa Na continuidade uniforme podese fazer com que fx e fy se tornem tao proximos um do outro quanto se queira bastando que x y X estejam tambem proximos Aqui x e y sao variaveis e desempenham papeis simetricos na definicao Outra distincao entre a mera continuidade e a continuidade uniforme e a seguinte se cada ponto x X possui uma vizinhanca V tal que a restricao de f a X V e contınua entao a funcao f X R e contınua Mas como mostram o Exemplo 9 e o Exemplo 10 acima se cada ponto x X possui uma vizinhanca V tal que f e uniformemente contınua em X V daı nao se conclui necessariamente que f X R seja uniformemente contınua no conjunto X Isto se exprime dizendo que a continuidade e uma nocao local enquanto a continuidade uniforme e um conceito global Exemplo 11 Uma funcao f X R chamase lipschitziana quando existe uma constante k 0 chamada constante de Lipschitz da funcao f tal que fx fy kx y sejam quais forem x y X A fim de que f X R seja lipschitziana e necessario e suficiente que o quociente fy fxy x seja limitado isto e que exista uma constante k 0 tal que x y X x y fy fxy x k Toda Secao 4 Continuidade uniforme 85 funcao lipschitziana f X R e uniformente contınua dado ε 0 tomese δ εk Entao x y X x y δ fy fx kx y k εk ε Se f R R e um polinˆomio de grau 1 isto e fx ax b com a 0 entao f e lipschitziana com constante k a pois fy fx ay b ax b a y x A funcao f do Exemplo 10 evidentemente nao e lipschitziana pois nao e uniformemente contınua Entretanto para todo a 0 a restricao de f ao intervalo a e lipschitziana e portanto uniformemente contınua com constante k 1a2 Com efeito se x a e y a entao fy fx y xyx y xa2 ky x Teorema 9 A fim de que f X R seja uniformemente contınua e necessario e suficiente que para todo par de sequˆencias xn yn em X com limyn xn 0 tenhase limfyn fxn 0 Demonstracao Se f e uniformemente contınua e limyn xn 0 entao dado arbitrariamente ε 0 existe δ 0 tal que x y X yx δ implicam fy fx ε Existe tambem n0 N tal que n n0 implica yn xn δ Logo n n0 implica fyn fxn ε e daı limfyn fxn 0 Reciprocamente suponhamos valida a condicao estipulada no enunciado do teorema Se f nao fosse uniformemente contınua existiria um ε 0 com a seguinte propriedade para todo n N poderıamos achar pontos xn yn em X tais que yn xn 1n e fyn fxn ε Entao terıamos limyn xn 0 sem que fosse limfynfxn 0 Esta contradicao conclui a prova do teorema Exemplo 12 A funcao f R R dada por fx x2 nao e unifor memente contınua Com efeito tomando xn n e yn n 1n temos limyn xn lim1n 0 mas fyn fxn n2 2 1n2 n2 2 1n2 2 logo nao se tem limfyn fxn 0 Teorema 10 Seja X R compacto Toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua Demonstracao Se f nao fosse uniformemente contınua existiriam ε 0 e duas sequˆencias xn yn em X satisfazendo limyn xn 0 e fyn fxn ε para todo n N Passando a uma subsequˆencia se necessario podemos supor em virtude da compacidade de X que lim xn a X Entao como yn yn xn xn vale tambem lim yn a Sendo f contınua no ponto a temos limfyn fxn lim fynlim fxn fafa 0 contradizendo que seja fyn fxn ε para todo n N 86 Funcoes Contınuas Cap 7 Exemplo 13 A funcao f 0 R dada por fx x nao e lipschitziana Com efeito multiplicando o numerador e o denominador por y x vemos que y xy x 1y x To mando x y suficientemente pequenos podemos tornar y x tao pequeno quanto se deseje logo o quociente yxyx e ilimitado Entretanto f e lipschitziana portanto uniformemente contınua no in tervalo 1 pois x y 1 x y 2 y x y xy x 1 2 y x Tambem no intervalo 0 1 embora nao seja lipschitziana f e uniformemente contınua porque 0 1 e compacto Daı resulta que f 0 R e uniformemente contınua Com efeito dado ε 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que x y 0 1 y x δ1 fy fx ε2 e x y 1 y x δ2 fy fx ε2 Seja δ minδ1 δ2 Dados x y 0 com y x δ se x y 0 1 ou x y 1 temos obviamente fy fx ε Se digamos x 0 1 e y 1 entao y 1 δ e 1 x δ logo fy fx fy f1 f1 fx ε2 ε2 ε Teorema 11 Toda funcao f X R uniformemente contınua num conjunto limitado X e uma funcao limitada Demonstracao Se f nao fosse limitada digamos superiormente entao existiria uma sequˆencia de pontos xn X tais que fxn1 fxn 1 para todo n N Como X e limitado podemos passando a uma subsequˆencia se necessario supor que a sequˆencia xn e convergente Entao pondo yn xn1 terıamos limyn xn 0 mas como fyn fxn 1 nao vale limfyn fxn 0 logo f nao e uniformemente contınua O Teorema 11 da outra maneira de ver que fx 1x nao e unifor memente contınua no intervalo 0 1 pois f0 1 1 Teorema 12 Se f X R e uniformemente contınua entao para cada a X mesmo que a nao pertenca a X existe limxa fx Demonstracao Fixemos uma sequˆencia de pontos an X a com lim an a Seguese do Teorema 11 que a sequˆencia fan e limi tada Passando a uma subsequˆencia se necessario podemos supor que lim fan b Afirmamos agora que se tem lim fxn b seja qual for a seqıˆencia de pontos xn X a com lim xn a Com efeito temos limxn an 0 Como f e uniformemente contınua segue se que limfxn fan0 logo lim fxn lim fan limfxn fanb Secao 5 Exercıcios 87 Exemplo 14 O Teorema 12 implica que 1x em R bem como xx e sen1x em R 0 nao sao uniformemente contınuas 5 Exercıcios Secao 1 Definicao e primeiras propriedades 1 Sejam f g X R contınuas no ponto a X Prove que sao contınuas no ponto a as funcoes ϕ ψ X R definidas por ϕx maxfx gx e ψx minfx gx para todo x X 2 Sejam f g X R contınuas Prove que se X e aberto entao o conjunto A x X fx gx e aberto e se X e fechado entao o conjunto F x X fx gx e fechado 3 Uma funcao f X R dizse semicontınua superiormente scs no ponto a X quando para cada c fa dado existe δ 0 tal que x X x a δ implicam fx c Defina funcao semi contınua inferiormente sci no ponto a Prove que f e contınua no ponto a se e somente se e scs e sci nesse ponto Prove que se f e scs g e sci no ponto a e fa ga entao existe δ 0 tal que x X x a δ fx gx 4 Seja f R R contınua Prove que se fx 0 para todo x X entao fx 0 para todo x X 5 Prove que f R R e contınua se e somente se para todo X R temse fX fX 6 Sejam f g X R contınuas no ponto a Suponha que em cada vizinhanca V de a existam pontos x y tais que fx gx e fy gy Prove que fa ga 7 Seja f X R descontınua no ponto a X Prove que existe ε 0 com a seguinte propriedade ou se pode achar uma sequˆencia de pontos xn X com lim xn a e fxn fa ε para todo n N ou achase yn com yn X lim yn a e fyn fa ε para todo n N 88 Funcoes Contınuas Cap 7 Secao 2 Funcoes contınuas num intervalo 1 Uma funcao f X R dizse localmente constante quando todo ponto de X possui uma vizinhanca V tal que f e constante em V X Prove que toda funcao f I R localmente constante num intervalo I e constante 2 Seja f I R uma funcao monotona definida no intervalo I Se a imagem fI e um intervalo prove que f e contınua 3 Dizse que uma funcao f I R definida no intervalo I tem a propriedade do valor intermediario quando a imagem fJ de todo intervalo J I e um intervalo Mostre que a funcao f R R dada por fx sen1x se x 0 e f0 0 tem a propriedade do valor intermediario embora seja descontınua 4 Seja f I R uma funcao com a propriedade do valor inter mediario Se para cada c R existe apenas um numero finito de pontos x I tais que fx c prove que f e contınua 5 Seja f 0 1 R contınua tal que f0 f1 Prove que existe x 0 12 tal que fx fx 12 Prove o mesmo resultado com 13 em vez de 12 Generalize Secao 3 Funcoes contınuas em conjuntos compactos 1 Seja f R R contınua tal que limx fx limx fx Prove que existe x0 R tal que fx0 fx para todo x R 2 Seja f RR contınua com lim x fx e lim x fx Prove que para todo c R dado existe entre as raızes x da equacao fx c uma cujo modulo x e mınimo 3 Prove que nao existe uma funcao contınua f a b R que as suma cada um dos seus valores fx x a b exatamente duas vezes 4 Uma funcao f R R dizse periodica quando existe p R tal que fx p fx para todo x R Prove que toda funcao contınua periodica f R R e limitada e atinge seus valores maximo e mınimo isto e existem x0 x1 R tais que fx0 fx fx1 para todo x R Secao 5 Exercıcios 89 5 Seja f X R contınua no conjunto compacto X Prove que para todo ε 0 dado existe kε 0 tal que x y X y x ε fy fx kεy x Isto significa que f cumpre a condicao de Lipschitz contanto que os pontos x y nao estejam muito proximos Secao 4 Continuidade uniforme 1 Se toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua prove que o conjunto X e fechado porem nao necessariamente com pacto 2 Mostre que a funcao contınua f R R dada por fx senx2 nao e uniformemente contınua 3 Dada f X R uniformemente contınua defina ϕ X R pondo ϕx fx se x X e um ponto isolado e ϕx limyx fy se x X Prove que ϕ e uniformemente contınua e ϕx fx para todo x X 4 Seja f R R contınua Se existem lim x fx e lim x fx prove que f e uniformemente contınua Mesma conclusao vale se existem os limites de fx x quando x 5 Sejam f g X R uniformemente contınuas Prove que f g e uniformemente contınua O mesmo ocorre com o produto f g desde que f e g sejam limitadas Prove que ϕ ψ X R dadas por ϕx maxfx gx e ψx minfx gx x X sao uniformemente contınuas