Exercícios de Funções Contínuas: Definição, Propriedades e Continuidade Uniforme

5 Exercícios Seção 1 Definição e primeiras propriedades 1 Sejam f g X ℝ contínuas no ponto a X Prove que são contínuas no ponto a as funções ϕ ψ X ℝ definidas por ϕx maxfx gx e ψx minfx gx para todo x X 2 Sejam f g X ℝ contínuas Prove que se X é aberto então o conjunto A x X fx gx é aberto e se X é fechado então o conjunto F x X fx gx é fechado 3 Uma função f X ℝ dizse semicontinua superiormente scs no ponto a X quando para cada c fa dado existe δ 0 tal que x X x a δ implicam fx c Defina função semicontinua inferiormente sci no ponto a Prove que f é contínua no ponto a se e somente se é scs e sci nesse ponto Prove que se f é scs g é sci no ponto a e fa ga então existe δ 0 tal que x X x a δ fx gx 4 Seja f ℝ ℝ contínua Prove que se fx 0 para todo x X então fx 0 para todo x X 5 Prove que f ℝ ℝ é contínua se e somente se para todo X ℝ temse fX fX 6 Sejam f g X ℝ contínuas no ponto a Suponha que em cada vizinhança V de a existam pontos x y tais que fx gx e fy gy Prove que fa ga 7 Seja f X ℝ descontínua no ponto a X Prove que existe ε 0 com a seguinte propriedade ou se pode achar uma sequência de pontos xn X com lim xn a e fxn fa ε para todo n ℕ ou achase yn com yn X lim yn a e fyn fa ε para todo n ℕ Seção 3 Funções contínuas em conjuntos compactos 1 Seja f ℝ ℝ contínua tal que limx fx limx fx Prove que existe x0 ℝ tal que fx0 fx para todo x ℝ 2 Seja f ℝ ℝ contínua com limx fx e limx fx Prove que para todo c ℝ dado existe entre as raízes x da equação fx c uma cujo módulo x é mínimo 3 Prove que não existe uma função contínua f a b ℝ que assuma cada um dos seus valores fx x a b exatamente duas vezes 4 Uma função f ℝ ℝ dizse periódica quando existe p ℝ tal que fx p fx para todo x ℝ Prove que toda função contínua periódica f ℝ ℝ é limitada e atinge seus valores máximo e mínimo isto é existem x0 x1 ℝ tais que fx0 fx fx1 para todo x ℝ Seção 4 Continuidade uniforme 1 Se toda função contínua f X ℝ é uniformemente contínua prove que o conjunto X é fechado porém não necessariamente compacto 2 Mostre que a função contínua f ℝ ℝ dada por fx senx² não é uniformemente contínua 3 Dada f X ℝ uniformemente contínua defina ϕ X ℝ pondo ϕx fx se x X é um ponto isolado e ϕx limyx fy se x X Prove que ϕ é uniformemente contínua e ϕx fx para todo x X 4 Seja f ℝ ℝ contínua Se existem limx fx e limx fx prove que f é uniformemente contínua Mesma conclusão vale se existem os limites de fx x quando x 5 Sejam f g X ℝ uniformemente contínuas Prove que f g é uniformemente contínua O mesmo ocorre com o produto f g desde que f e g sejam limitadas Prove que ϕ ψ X ℝ dadas por ϕx maxfx gx e ψx minfx gx x X são uniformemente contínuas Seção 2 Funções contínuas num intervalo 1 Uma função f X ℝ dizse localmente constante quando todo ponto de X possui uma vizinhança V tal que f é constante em V X Prove que toda função f I ℝ localmente constante num intervalo I é constante 2 Seja f I ℝ uma função monótona definida no intervalo I Se a imagem f I é um intervalo prove que f é contínua 3 Dizse que uma função f I ℝ definida no intervalo I tem a propriedade do valor intermediário quando a imagem f J de todo intervalo J I é um intervalo Mostre que a função f ℝ ℝ dada por fx sen1x se x 0 e f0 0 tem a propriedade do valor intermediário embora seja descontínua 4 Seja f I ℝ uma função com a propriedade do valor intermediário Se para cada c ℝ existe apenas um número finito de pontos x I tais que fx c prove que f é contínua 5 Seja f 01 ℝ contínua tal que f0 f1 Prove que existe x 0 12 tal que fx fx 12 Prove o mesmo resultado com 13 em vez de 12 Generalize Real Analysis Solucao do Problema 1 Basta notar que maxf gx fx gx 2 fx gx 2 minf gx fx gx 2 fx gx 2 Como essas funcoes sao operacoes com funcoes contınuas entao sao contınuas Solucao do Problema 2 Basta notar que No primeiro caso A f g1R0 e a funcao f g e contınua logo preimagem de aberto e aberto Portanto A e aberto No segundo caso F f g10 e a funcao f g e contınua logo preimagem de fechado e fechado Portanto F e fechado Solucao do Problema 3 Dizemos que uma funcao f X R e semicontınua inferiormente sci no ponto a X quando dado c fa existe δ 0 tal que x X e x a δ c fx Afirmacao 1 f e contınua no ponto a se e somente se f e scs e sci Demonstracao De fato f e contınua em a se e somente se dado ϵ 0 existe δ 0 tal que para x X x a δ fx fa ϵ Dado c fa tome ϵ fa c e dado c fa tome ϵ c fa Logo f e scs e sci 1 Reciprocamente se f e scs e sci entao dado ϵ 0 tome c1 fa ϵ fa e c2 fa ϵ fa entao existem δ1 δ2 0 tais que c1 fx c2 para todo x X tal que x a δ min δ1 δ2 Portanto f e contınua em a Afirmacao 2 se f e scs g e sci e fa ga entao existe δ 0 tal que x X x a δ fx gx Demonstracao Como f e scs pondo c faga 2 temos fa c e existe δ1 0 tal que x X x a δ1 fx c Analogamente existe δ2 0 tal que x X x a δ2 c gx Pondo δ min δ1 δ2 temos para x X x a δ fx c gx Solucao do Problema 4 Temos X X logo precisamos mostrar que fx 0 para todo x XX Logo existe uma sequˆencia xn X convergente tal que x lim n xn Como f e contınua segue que fx lim n fxn 0 Solucao do Problema 5 Seja f R R uma funcao e X R Sabemos que f e contınua em a X se e somente se para toda sequˆencia xn X convergente com a lim n xn temse fa lim n fxn Isso mostra que f e contınua em X se e somente se fX fX Solucao do Problema 6 Como f e g sao contınuas no ponto a a funcao hx fx gx e contınua em a Agora note que dado δ 0 existem xδ yδ a δ a δ tal que hxδ 0 hyδ 2 Logo pelo Teorema do Valor Intermediario existe cδ a δ a δ tal que hcδ 0 Ponha δ 1 n e cn c 1 n Desse modo Afirmacao Vamos provar que lim n cn a Demonstracao De fato temos para todo n N a 1 n cn a 1 n e assim pelo Teorema do Confronto a lim n cn Assim como h e contınua temos ha lim n hcn lim n 0 0 ou seja fa ga Solucao do Problema 7 Suponha que f e descontınua no ponto a Entao existe ϵ 0 tal que fx fa 2ϵ para todo x a δ a δ para todo δ 0 ou seja fx fa ϵ ou fx fa ϵ Analogamente a descontinuidade de f em a implica que existe uma sequˆencia an tal que lim n xn a e fan fa ϵ ou fan fa ϵ Tome xn akn a subsequˆencia tal que fakn fa ϵ e tome yn arn a subsequˆencia tal que farn fa ϵ 3 Real Analysis Solucao do Problema 1 Seja S o conjunto de conjuntos abertos no domınio tal que f e constante no conjunto aberto Como f e localmente constante sabemos que todo x dom f e membro de algum S S Agora escolha x0 e defina dois conjuntos U x fx fx0 e V x fx fx0 Podemos ver que U e V sao disjuntos e U V dom f Mas cada um de U e V e apenas uma uniao de conjuntos abertos nomeadamente conjuntos em S Portanto U e V estao ambos abertos Como I e conexo segue que U I entao f e constante Solucao do Problema 2 Suponha que I a b e fI c d Seja x0 a b arbitrario e seja ϵ 0 Seja s1 minfx0 ϵ2 fb Entao o numero fx0 s1 satisfaz fx0 fx0 s1 fx0 ϵ Pela propriedade de valor intermediario existe entao algum δ1 0 tal que fx0 δ1 fx0 s1 pela escolha de s1 minfx0 ϵ2 fb temos a garantia de permanecer dentro do domınio de f Da mesma forma seja s2 maxfx0 ϵ2 fa e encontre um δ2 0 tal que fx0 δ2 fx0 s2 Tome δ minδ1 δ2 0 Agora considere a vizinhanca perfurada Uδ x a b 0 x x0 δ Sem perda de generalidade podemos assumir que f esta aumentando Seja x Uδ arbitrario Se x x0 temos a medida que f esta aumentando fx0 fx fx0 δ1 fx0 s1 fx0 ϵ de onde fx fx0 psilon Se x x0 temos a medida que f esta aumentando fx0 ϵ fx0 s2 fx0 δ2 fx fx0 de onde fx fx0 ϵ Solucao do Problema 3 Vamos provar que a preimagem de um conjunto aberto e um conjunto aberto Esta e a definicao de continuidade em espacos topologicos Assumindo que 0 a b entao a funcao flx fx x a fa x a e contınuo e satisfaz a Propriedade do Valor Intermediario 1 O mesmo vale para a b 0 com frx fb x b fb x b Para a 0 b você pode encontrar a0 em a 0 e b0 em 0 b como fa0 fb0 0 por exemplo tome b0 πn para n πb e use uma das funções anteriores dependendo do sinal de y Solução da Questão 5 Considere a função hx fx f x 12 Note que h é contínua e h0 f0 f 12 f1 f 12 h 12 f 12 f1 Logo h0 e h 12 tem sinais opostos Portanto pelo Teorema do Valor Intermediário existe c 0 12 tal que hc 0 ou seja fc f c 12 Real Analysis Solucao do Problema 1 Consideremos a restricao f a R entao se fa nao e um mınimo para a restricao por IVT b a tal que fb fa e fx fb x b entao pelo Teorema do Valor Medio a restricao atinge um mınimo fc em c ema b Podemos usar o mesmo argumento para a restricao f a R para mostrar que a restricao atinge um mınimo fc em c b uma Entao minfx minfc fc Solucao do Problema 2 Solucao do Problema 3 Existem x1 x2 tais que fx1 fx2 Como f e contınuo ele atinge seu maximo em x1 x2 em y Todo valor suficientemente proximo para c fy e alcancado duas vezes no pequeno intervalo em torno de y Agora seja y1 tal que c fy1 fy Deve ser verdade que y1 e um mınimo local de f caso contrario algum valor sera alcancado trˆes vezes Sem perda de generalidade assuma y1 y Entao existe um ϵ tal que fy1 ϵ c enquanto fy ϵ c Pela teorema do valor intermediario existe uma z y ϵ y1 ϵ tal que fz c contradicao Solucao do Problema 4 Aqui esta a prova da parte limitada por contradicao Seja a R Considere o domınio I a a p Suponha que f nao seja limitado Entao existe uma sequˆencia xn I tal que fxn Como xn e limitado e consiste em numeros reais possui uma subsequˆencia convergente xnk Mas I e fechado portanto xnk converge para dentro de I ou seja x I tal que xnk x O que temos e uma sequˆencia xnk x I e fxnk fxnknk Isso e uma contradicao porque f e contınuo em I e portanto em x Alem disso f assume maximo e mınimo pois em cada intervalo fechado vale o Teorema do Valor Extremo 1 Real Analysis Solução do Problema 1 Seja R X Se um conjunto S ℝ não for fechado então existe uma função contínua f S ℝ tal que f não é uniformemente contínua Como S não é fechado deixamos x S S e xn S serem uma sequência estritamente monotônica tal que xn x a sequência não precisa ser monotônico mas provavelmente será mais fácil visualizar a função resultante se for Então existe uma função contínua que satisfaz fxn n poderíamos realmente escolher os valores de fxn para serem quase qualquer coisa desde que eles não fiquem muito próximos como n aumenta Por exemplo podemos deixar f ser linear entre xn1 e xn e constante em outro lugar Podemos ver que f não é uniformemente contínuo como lim n fxn1 fxn xn1 xn lim n 1 xn1 xn Isso nos diz que para qualquer δ 0 podemos escolher n tal que xn1 xn δ e fxn1 fxn 1 Portanto se toda função contínua de S a ℝ é uniformemente contínua então S deve ser fechado Afirmação Existe X nãocompacto com essa propriedade De fato existe um conjunto ilimitado S tal que qualquer função contínua de S a ℝ é uniformemente contínua Considere S ℕ ou qualquer conjunto discreto com alguma distância mínima entre pontos Então para f S ℝ uma função contínua que é realmente qualquer função para qualquer ε 0 podemos deixar δ 1 Então para x y S se x y δ então x y e fx fy 0 ε Solução do Problema 2 Escolhemos x2 nπ e y2 nπ π2 então tomamos x nπ e y nπ π2 Então x y nπ π2 nπ nπ π2 nπ nπ π2 nπ π2 nπ π2 nπ 2 2nπ 1 n Se n 1 δ2 então x y δ mas fx fy 1 Os valores x y são muito próximos mas fx e fy estão distantes Intuitivamente para ε 1 não há δ que permita conhecer fx com precisão ε se conhecermos x com precisão δ As oscilações em sinx2 ficam cada vez mais rápidas em intervalos arbitrariamente pequenos a funcao muda seu valor de 0 para 1 Observe que se alterarmos a funcao para sin x a prova falhara porque tomar x nπ e y nπ π 2 nao resulta em x y δ para δ pequeno na verdade y x e constante Na verdade sin x e uniformemente contınuo Solucao do Problema 3 Seja f φ Para definir fˆx escolha qualquer sequˆencia xn ˆx e deixe fˆx lim fxn Como vocˆe disse esse limite existe porque f e uniformemente contınuo Este f e bem definido ou seja nao depende da escolha especıfica das sequˆencias isso ocorre simplesmente porque se combinarmos as sequˆencias tqo xn ˆx e yn ˆx obteremos outra sequˆencia convergente Os valores da funcao desta convergem mas como fxn e fyn sao subsequˆencias dela concluımos que lim fxn lim fyn como era para ser mostrado Alem disso fS f Isso fica claro porque podemos escolher a sequˆencia constante xn ˆx para ˆx S Finalmente ˆf e uniformemente contınuo Na verdade seja ϵ 0 dado Como f e uniformemente contınuo existe δ 0 tal que dx y δ implica fx fy 1 3ϵ Entao para ˆx ˆy S com dˆx ˆy 1 3δ e consequentemente sequˆencias xn x yn y temos fˆx fxn 1 3ϵ e tambem dxnˆx 1 3δ se apenas n for grande suficiente Da mesma forma temos fˆy fyn 1 3ϵ e dˆy yn 1 3δ para todos n suficientemente grandes Entao para esses n temos dxn ynledxn ˆx dˆx ˆy dˆy yn δ portanto fxn fy n 1 3ϵ portanto fˆx fˆy fˆx fxn fxn fy n fyn fˆy ϵ conforme desejado Assim encontramos uma extensao uniformemente contınua de f para todos S Solucao do Problem 4 Dado ϵ 0 considere N grande para que para x N fx l ε2 Seguese que se x y N entao fx fy ε Agora considere o intervalo a N 1 que e compacto Aqui f e uniformemente contınuo entao existe algum δ 0 tal que se x y δ entao fx fy ε Podemos assumir que δ 1 Considere agora x y a arbitrarios que estao separados no maximo por δ unidades Se ambos x y N 1 entao esta pronto Nossa escolha de δ e tal que se x N 1 entao tambem y N e pronto Solucao do Problema 5 2 Naturalmente f gx fx gx para todo x A Com isso em mente observe que fx gx fy gy fx fy gx gy Pela definicao de f g sendo uniformemente contınuas Sejam f e g funcoes limitadas Portanto existem c d R tais que c d 0 fx c e gy d para cada x y a b Seja psilon 0 Como f e uniformemente contınuo em a b δfϵ 0 tal que para todo x y a b x y δf fx fy psilon2d Como g e uniformemente contınuo em a b δgϵ 0 tal que para todo x y a b x y δg gx gy psilon2c Seja δ minδf δg Portanto para todo x y a b x y δ gx gy ϵ 2c e fx fy psilon 2d Como fx c e gy d para cada x y a b isso tambem implica que fxgxfygy fxgxfxgyfxgyfygy fxgxgygyfxfy c ϵ 2cd ϵ 2d ϵ Finalmente temos fxgx fygy ϵ e fg sao uniformemente contınuos se f e g sao funcoes limitadas 3