Axiomas e Propriedades dos Números Naturais

Conjunto dos números naturais mathbbN Axiomas do Ramo exists n mathbbN o mathbbN som de n in mathbbN ext é chamada sucessor de n forall m in mathbbN exists 1som forall m in mathbbN X subseteq mathbbN ext tal que 1 in X ext e forall m in X som in X então X mathbbN Estratégia Exiba um conjunto A com propriedade P Verifique na regra Conclua que A mathbbN logo P vale forall m in mathbbN Propriedades a Associatividade mnpmnp forall mnp in mathbbN b Comutatividade mnnm forall mn in mathbbN c Triangularidade mmn ext se n in mathbbN ext e mnp ext se m in mathbbN p in mathbbN d Lei do cancelamento mnmp Rightarrow np Exemplo Definição mn ext se existe p in mathbbN m np Propriedades a Transitividade mn land np Rightarrow mp b Triangularidade mn lor mn lor m leq n land mn in mathbbN c Monotonicidade mm Rightarrow mpalphap forall p in mathbbN Princípio da Boa Ordem A subset mathbbN m in A forall m0 m forall m in A ext existe um menor elemento Teorema PBD Leftrightarrow PI Definição produto M1 m land mm1mmm Propriedades a Distributividade mapmamp b Associatividade mnpmnp Conjuntos infinitos Definições finito X o mathbbN n in mathbbN exists ext bijeção f mathrmIm o X Teorema Se exists ext bijeção f X o Y a in X ext e b in Y exists g Y o X ext tal que gfab Teorema A subseteq In ext não vazio Se exists ext bijeção f mathrmIm o A ext então AIn Corolário f In o X g In o X ext bijeções então mn Corolário X finito f X o X ext é infinita Leftrightarrow ext é sobrejetiva Corolário Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e sua parte própria Teorema Todo subconjunto de um conjunto finito é finito Propriedades a Associatividade m n p m n p m n p ℕ b Comutatividade m n n m m n ℕ c Tricotomia m n ou m n ou n m m n ℕ d Lei do cancelaamento m m m p m p Exemplo Relações de menor Definição m menor que Se m n ℕ m n se existir p ℕ n m p Propriedades a Transitividade m n e n p m p b Tricotomia m n ou m n ou n m m n ℕ c Monotonicidade m m m p q p ℕ Princípio da Boa Ordem A ℕ m A tal que m0 m1 m A Teorema PBD PI Definição produto m 1 m m m ℕ m n 1 m n m Propriedades a Distributividade m a p m a m p b Associatividade m a p m a p Conjuntos infinitos Definição finito X bozo n ℕ bijeção f In X Teorema Se bijeção f X Y n X e y Y g X Y tal que g0 b Teorema A ℕ não vazio se bijeção f In A e m0 A Conclusão f In X e g In X bijeções então m m Conclusão X finito f X X é infinita f é sobrejetiva Conclusão Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e sua parte própria Conclusão Se f é uma bijeção entre X e Y X finito e f é inversível então Y é finito Teorema f X Y se Y é finito e f é injetiva então X é finito Teorema f X Y se X é finito e f é sobrejetiva então Y é finito Definição X ℕ dizse limitado se existe p ℕ tal que n p n X como nome incerto Conclusão Um subconjunto X N é finito se e só se X é limitado Conjuntos infinitos Definição infinito x f In X f não é bijetiva Exemplo O conjunto dos naturais é infinito Teorema Se X é um conjunto infinito então existe aplicação injetiva f IN X fm f1 fn f0 Conclusão Um conjunto X é infinito se e só se existe uma bijeção f X Y sobre um subconjunto próprio Y X Exemplo o conjunto dos números primos é infinito Conjuntos enumeráveis Definição enumeráveis Enumerável X é x₁ x₂ xₙ Exemplo P pares é enumerável pois f IN P fn 2n Teorema Todo subconjunto X IN é enumerável Definição Um número natural p é dito primo quando p 1 e não pode ser escrito na forma p mn com m n p Corolário Se PX Y a Se f é infinita e Y é enumerável então X é enumerável Todos subconjuntos de um conjunto enumerável são enumeráveis b Se f é sobrejetiva e X é enumerável então Y é enumerável Exemplo O conjunto IN IN é enumerável Corolário O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável Observação O produto cartesiano finito de um conjunto enumerável é um conjunto enumerável Porém o produto infinito não sempre Corolário A união de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável Conjuntos A B x A x B A B x x A ou x B A B x x A e x B A B x x A e x B A B xy x A e y B Funções f X Y s devidamente s Y fx y Y x X tal que fx y A função f X Y é inversiva se x y fx fy ou fy fx x y Função composta f A B g B C gfx gfx A C fgx fgx C A Corpo e corpo ordenado Campo K um conjunto xy K com xy K e xy K xy xy xy xy K é um campo comutatividade xy yx associatividade xyz xyz Elemento neutro da adição é 0 suponha que exista 0 K de modo que x0 x O elemento neutro da multiplicação é 1 suponha que exista 1 K tal que 1x x K possui elementos racionais 4 para um anel científico Vale a lei do cancelamento Segundo x y K como x²y²0 significa o seguinte xy²y yx²y 0 x²y 0 y 7 Se x y e z são multiplicados pelos mesmos elementos multiplicativos de y e em um anel temos x²y²y¹ y²y² y¹ y²y 1 yy² 10 5 O elemento inverso é único Suponha que xy K e y1 Multiplicando ambos os lados e considerando por x¹ temos y¹ 1 x¹ x¹1 e y¹ x¹ y¹ e sim outros 6 x0 0 Sendo xy K e zero 0 xx x1 x0 7 xy 0 x 0 ou y 0 Suppose xy K e suponha x0 então yy 0 e pelo lei do corte y0 logo supõese que y0 então 11 1 se xy Q tri que denotam xzy e z² termos y1 yzx De fato yx y1 xy1 y1 xy De maneira análoga se anda para xy1 Logo ou seja todos aqueles que 2 Eliminando parâmetro 3 C Q tal que sob xy 3 diferentes vezes xy C C xy 0 De fato 4 Estrutura multiplicativa 5 y 1d C todo corpo K se x²y² xy Note que x²y² xyxy0 Pelo da distribuição de corpos x²y²sxry se x y então x z y z se yx P então y x z P z y Se x y então x z y z Dado a b K 0 b então x a δ a δ x a δ então x a φ x y x z y z Proposição Todo corpo não degenerado de um corpo ordenado é um conjunto infinito Se 1 k um envoltório dos degenerados logo dado 0 e I a bt Imse j que a tin 1 pois x frac02 0 e l a bt b1 fracb22 0 Comando x1 a k frac12 xn 2 mn 2 então ok dots 2 e a que 7 dots l 1 1 l exte m Baixando leq mathbbN e dado por extnm xn Nota que 0 é infinito logo D1 C é infinitos e numerável Conjunto dos números reais Andados ao que dados dois números eram um conjuntobem ie a m and extfrac alpha beta fracmm fracmm d mathbbR sqrt 2 ext 1 Por Pitágoras d2 a2 12 2 Supõe d Comunique temos que d d Definição Sim K um corpo ordenado e X K um sub conjunto Não vazio Dizemos que x é limitado superiormente se existir algum k e K tal que mx b para todo x X Nesse caso se o dito é uma cota superior de X x 0 1 in x x in x in 1 3 1 cota superior y 0 1 x x 0 1 2 é coto superior z0 z todos são cota superior b kz tn z 0 Corpo ordenado onde IN é limitado supremamente Comandados o conjunto U1 é 321 para 0 0 0 AC a e z m 𝑁 e b No próximo esse mx Então c deve fazerse indeterminado a dinossauros da parte do tetraedro 𝒻 Dessa forma m𝑡0 é inversa um corpo um leq im Por Pitágoras como Definição Seja K um campo ordenado e X K um subconjunto não vazio limitado inferiormente Um elemento a K é dito ínfimo de X quando a for a menor dos seus inferiores de X em K isto é S1 Para todo x X temos x a S2 a K é td que c K x X então c a a infX Definição um mínimo b X é o menor elemento de X se b K para todo x X Definição um máximo b X é o maior elemento de X se b K para todo n X A x R 1 x 2 Notar que 1 A e 2 A logo 1 é o menor elemento de A Podem existir um mínimo dependendo de Q e como todo x K que não é Q como não é 2 B 0100 Notar que 100 B e 100 x x 0100 B não possui mínimo C 01 Notar que não possui nenhum menor elemento Determinar mínimo e máximo elementos se houver 01 Notar que 01 possui máximo dado que 1 0 01 K Há 01 um possível mínimo elemento pois que x 01 x 0 então x 0 uma vez Que x² x 2 0 e x 12 0 0 x x 1 12 Notar que 12 tem maior e menor elementos dada g q a 12 pois b K então b x x 12 01 Nota que 0b tem menor elementos dada que 0 b 01 01 Notar que não possui outros elementos pois dado a 0b temos que bx 2 Se X K possui maior elemento se e somente se b supX Se X K possui menor elemento a X então a infX Assim temos que X 1m m N mostre que l supX Nota que l 0 quando n 1 então m² 0 1m n N Dessa forma 1 é o maior elemento de X e portanto supX Se X 0b então a infX e b supX Não que l é cota superior de X pois X x K a x b Se c K tal que c b Sendo assim tem mais a considerar para c 1 c a 2 c a Observe que 1 c não pode ser cota superior de X pois então x a c2 0 e c cab2 Sendo C se a mínima c é cota superior para Y e X C então Y C pois Y c c b c b d l 0 Definição Um conjunto ordenado K é chamado de completo quando todo subconjunto de K mais vazio e limitado superiormente possui supremo em K Definição Dizemos que um corpo ordenado K é angular se não possui K e é limitado superiormente Axioma fundamental da análise Existe um corpo ordenado completo ℝ chamado o corpo dos números reais ℝℚ é o conjunto dos números irracionais Definição Um subconjunto X ℝ é denso em ℝ se para qualquer a b ℝ com a b existe x X tal que a x b Proposição O conjunto ℚ é denso em ℝ Suponha a b ℝ com a b Então b a 0 Usando a propriedade anterior se a 1n n 0 Então x a b a 1n 1n 0 nb a 1 α a β Dessa forma provamos que o intervalo contido entre a e b possui uma diferença menor que 1 Logo vai existir um número m ℚ tal que ma m mb Portanto m ℚ Qa b Proposição O conjunto dos números irracionais é denso em ℝ ℝℚ Suponha a b ℝ com a b Pelo argumento anterior sabemos que x ℝ temos que α q1 q2 b Vamos mostrar que de fato q1 q2 é que existe x ℝ que não acontece Considere t q2 q1 Note que q1 q2 22q2 q1 Teorema dos intervalos não encolhidos dada uma sequência I₁ I₂ I₃ de intervalos limitados e fechados Iₙ aₙ bₙ existe pelo menos um c ℝ tal que c n Iₙ Seção 1 Se 𝑐₀ 0 1 e nota que A 0 1 J seu resp é limitado Seja c a b logo c 0 e c A pela ação galvanizando que 𝑐0 está superior ao 1 Dessa forma c aₙ bₙ Portanto c J como em 1 Alguns comentários actuais ℝ é não enumerável Proposição Dados a b ℝ a b e considere um intervalo J c d c α tal que J I e x₀ J Se x₀ I basta tomar J I Se x₀ I e x₀ a considere J a b a não está em J Se x₀ I e x₀ b considere J a ab2 a não está em J Se x₀ a b considere J 0 cx₀2 e x₀ J ℝℚ é não numerável Suponha que ℝℚ seja numerável e então temos que ℝ ℝℚ ℚ Como o conjunto da confusão numerável é um conjunto numerável temos que ℝ é não numerável Teorema Todo intervalo não degenerado de ℝ é não numerável Todo intervalo não degenerado do ℝ contém números irracionais e racionais Como estamos a confirmar 1 2 e a reunião de dois intervalos de ℝ ℝ ℝ Conside que I₁ I₂ tal que I₁ não é I₂ Temos então uma requisição extraordinária para que media a Iₐ Iₓ Também que se m ℚa b e m ℚ é não simultâneo Note que se m ℝ como a função funcione a cá também x₀ ℝ que x₀ também obtemos Portanto que m ℝ não configure dependência de Iₕ Se necessário que harmoniza a média a que 0 m tornando que m ℚ ℝ ℝ Universidade Federal do Reconcavo da Bahia Professor Dr Ediger Ruan Discip Joaquim Marinho Discip CPP170 Análise Real I Miniteste I Unidade 1 02º QUESTÃO Observe o diálogo a seguir Justifique matematicamente que a afirmação de Juan é verdadeira E observando os questionamentos de Carlos explique justificando matematicamente suas afirmações se ele tem ou não razão 1 2 2 1 4 f ℤ ℤ D m n m n2 Note que f é sobrejetiva pois para todo m n ℤ ℤ tal que fm m m m2 Sendo assim como ℤ ℤ é enumerável e como f é sobrejetiva lembrese pelo Teorema que diz que dado um função sobrejetiva com domínio enumerable temos o contraditório e que A é enumerável Considera a função g IN N A m n m n2 Note que g é infinita para todos m n IN N temos que fm1 m1 m1 m12 fm2 m2 m2 m22 e portanto fm1 m1 fm2 m2 Assim temos que existem infinitos e g é infinito temos que A é infinito pois temos visto até A afirmação de Jum é verídica pois considerando os conjuntos de números primos contidos em N são infinitos Se A é um conjunto A 2 3 5 7 11 Logo temos conjuntos formados todos relativos de todo número primo elevado a um número natural Como por exemplo P 2 3 então em IN temos INFA 2n onde n é IN Sendo assim como A é infinito terei um conjunto que existem infinitos conjuntos formados por seus potências em N B C são infinitos pq A afirmação de Cantor em relação aos conjuntos dos infimos ser um conjunto infinito menor que os conjuntos dos números naturais que é infinito também é falsa Note que como IN é infinito é possível existir uma função f IN IN infinita e do mesmo forma e preciso exibir uma função g IN Sobre a afirmação em relação a IN ser um infinito maior que qualquer número construído infinito que possa ser 11 20 3 71 Observe de novo m 1 a b mc d fm 1 Boa sorte vamos ver se c vai para 1 f temos que b A sua avaliação é composta por 4 QUATRO questões Todas as questões têm o mesmo peso Escolha 2 duas entre as três primeiras e 2 duas entre as quatro últimas Consider o el m e N defino m m e m e 1 e 1 e c B e PIF temos que c N Consider o el m e N defino C m e m e Dm an se xp ℤ números positivos P primo x² é múltiplo de p x é múltiplo de p x é múltiplo de p x² não é múltiplo de p Observe que se x não é múltiplo de p p não pertence à decomposição de x em fatores primos Da mesma forma sendo x² temos que como p não pertence à decomposição de x também não pertence à decomposição de x² pois os múltiplos os mesmos primos da decomposição de x e pelos mesmos primos da decomposição de x não apresentam muitos iguais a p e não múltiplo de p Considere xy ℚ xy inocentes Suponha que x é um número inocente então x y² 0 Assim como estamos na forma temos que 𝑥𝑦²2v²x 2v² y² Temos que xy² pode ser um inocente já que estamos x2 e y2 logo 4 a D fx m n considera a função fm n mn Note que f é sobretiva pois k B temos que fk m mk Dado isso como f é sobretiva e m é inumerável pois I e I são nobres temos que f é inumerável Universidade Federal do Reconcavo da Bahia Professor Dr Felipe Fernandes Disciplina Data Avaliação I Unidade Análise INSTRUÇÕES 1 Não se assine as questões justificadas 2 Sinalize o livro que considera como errado 3 Não use caneta tinta indelével escreva a parte da solução em Português 4 A interpretação de cada questão será parte da avaliação 5 A resposta da primeira questão deve corresponder a sua análise não verso conforme As respostas devem ser enviadas em PDF ÚNICO no dia e até terçafeira lập nhận vào email felipefernandesufrbedubr 6 Serão descontados 1 ponto da nota da sua avaliação para cada 16 horas minutos A atraso não envio das respostas 1 QUESTÃO Conjecture uma fórmula para An n N sendo An 2 1 0 3 Demonstre sua conjectura usando indução em n 2 QUESTÃO Mostre que ℝ x ℝ é um conjunto infinito 3 QUESTÃO Escolha um dos itens para responder a Se a b ℝ então a b ab b Seja a Q a 1 Prove que existe um único n ℕ tal que n a 1 c Sejam A B ℝ conjuntos limitados Defina AB x A e y B Mostre que AB é limitado e infAB infA infB 4 QUESTÃO Seja p ℝ p 1 e considere X m ℤ m 0 n 0 Mostre que X é denso em B 00 Responda Nascimento e seus filhos Respostas P 2 0 0 n1 m m 1 m2 P5 A2 A2 2 0 0 0 0 0 020 00 4 0 0 9 P2 I A3 0 0 0 0 0 9 8 0 0 9 Note que dados m ℕ temos que Pm 2m 0 0 3m Considerados m de prima A m ℕ Am 3m 0 0 3m Note que 1 A pois A2 22 0 2 0 0 3 Sendo m A queremos mostrar que m 1 A Sabemos por hipótese de indução que Pm 2m 0 0 3m 2m 0 0 3 2m 1 0 0 3m 1 2 Queremos mostrar que IRN I é um conjunto infinito Sabemos que N é infinito considerado em total Seja o função f INIRN em que para cada número conjunto nós vamos escolher um elemento xk A Se xk IRN difino a função f IN IRN injetivamente f1x0 f2escolhese um ponto no conjunto AIRNp1 f3escolhese um ponto no conjunto BIRNp1p2 fmescolhese um ponto no conjunto BIRNp1fm1 Note que f é infinito pois sabemos que fm e f1fm1 e fm IRNb Logo fmfm Então como N é infinito e f é injetiva temos que IRN I é infinito Como queríamos mostrar 0 b ab ab R Pois dados 0 b R temos que como 2 R 2a ab Analisando como ab R então a² 2ab b² ab 0 b0 b ab 0 b² ab 0 b² ab 0 b ab 1 Considere x A B logo x A B Dado que x A e x B temos que x A B Portanto x A B Agora note que sendo x A B temos que x A e x B logo A B A B Por fim sendo x A logo z A B Como por hipótese A B temos que z B Portanto A B 3 Considere x A B A C logo x A B ou x A C A B C A B A C Vamos mostrar que A B C A B A C onde x PB C temos que x A e x B C Como x B e C temos que x A B A C Logo A B C A B A C Portanto A B C A B A C 1 Sea X 𝑎𝑏 luego x X y x 𝑎𝑏 Contradicción pues X no puede estar dentro de 𝑎𝑏 𝑎𝑏 Por lo tanto 𝑎𝑏 g Sea x A Luego x B pues A B Luego dx x 0 por definición Por lo tanto A C a f R² R HDC22 2 262 HDC26 2 13 fxy z No es inyectiva Solo regresiva fX Y fX fY f A B prove que f é injetora se não f é sobrejetiva a fY 9 7 b fR 8 12 2m3 9n2 13m 6 6 2m 2m2 5m 3 6 m 2m 12m 3 6 1 an 1 a an com a 1 dado B m N 1 an 1 an e que L B pois 1 a1 1 a1 1 a 1 a com m N temos que m L N também De fato 1 anm 1 a01 a1 1 a1 a 1910m1 1 9109 90209 9 81 9109 9 8110m1 910m1 9 8110m1 910m1 1 divísivel por 8 Hip de indução m q1 q2 q3 n1 e como 0 n1 0 n2 q2 n1 q1 q2 m Portanto m n1 n2 Assim q1 q2 n1 n2 m para li dos cota q1 q2 1 Eu digo 0 q1 q2 1 q1 q2 0 Isto é q1 q2 Como m q1 n1 m q2 n2 n1 n2 Dai concluímos que q1 e q2 são únicos X N mm X m m X k N X é o conjunto dos múltiplos de k 1 2 3 2 4 6 8 10 múltiplos de 2k 3 3 6 9 múltiplos de 3k m m m m n Note que por hipótese temos que m X m X Em particular observe que sendo m X e m m m M m m e assim por diante temos que o conjunto formado resolve a tipos iniciais para todo K N sendo m k Por exemplo se K 10 temos que x 10 20 30 m N x N tal que m x m l Hipótese Note que se m N e m N velam os anátemos de plano temos que dado m N f N N x N Sinta sm o mínimo de m temos por definições que sm 1 m Assim não pode existir x N tal que m x m l dado a função sucursa definida em N pelos óbvios de zero Suponho por absurdo que exista x N tal que m x m l Assim temos que x m p p N e m 1 x q q N Então m l m p 1 x q p Pela lei do cotele temos que 1 q p O que é um absurdo pois pela definição a soma de dois elementos temos que a soma de dois números naturais é sempre o sucessor de algum número logo não pode ser 1 já que é a sm temos N Sejam X finito e A m cardX m e cardPX 2n para que 1 A pois X a PX a Logo cardPX 1 Supondo m A verificamos que n 1 A Seja Y X a onde a X então PY é formado pelos pares de Y que contêm a mais os partes de Y que não contêm a PY com cardPX 2m Como cada subconjunto de PY unidos com gera também 2m subconjunções conduzimos que PY 2n 2m 2n 1 Portanto 1 ℕ e vale cardPX 2m 1 X finito e Y infinito ① f X Y injetiva ② g Y X sobretiva Como X é finito E a identificação h Im X sindo que Y possui a quantidade de elementos da Im ou seja n elementos Definimos a função f do seguinte forma f1 menor elemento de Y f2 menor elemento de YSP1 f3 menor elemento de YP1 P2 fm menor elemento de YP1 P2 Pm1 Note que f é injetiva pois m Im n X sabemos que fm P1 Pm1 e fm YP1 Pm1 Logo fm fm Suponhamos que o conjunto dos racionais 𝑚 e finito sendo este P 2 3 5 7 pᵢ temos m 2 3 5 pᵢ 1 Note que m não é divisível por nenhum elemento de P pois o resto da divisão sempre é 1 assim m é outro número primo se um número ímpar pois todos são números primos que não estão na lista logo P não pode ser finito e portanto temos que o conjunto dos números primos é infinito Torre Xm INIIm m1 m2 m3 Nde que 234 456 Xm Xm1 Exercícios 0 a c d IR α c 0α c dbcd cabd x F y IR P x y x y não inversíveis Nota que supondo x y F temos que x 0 1 xm 1 2mx 1 xn 1 mx Se x R x² y² 0 entonces x y 0 f X R y limites superior f X R también f g X R es límite superior fx gx X R límites sup supf g supf supg para todo x X lnϕ θ inffinfg Consider f g X ℝr limiting infinities or inf exist x1 x2 X such that gx1 fx1 gx2 x X Hence inff fx1 infg 0 dOgo1 inff θ f gx fxgx Example infϕ 12 infg 12 Prova Am C11 com β 2 01 3 X 2 01 3 2 03 2 03 Nota que R1 R3 m ℝ3 é infinito Consider f H R1 E3 m C11 dado por fm m2 Como f é injetiva por cada m1 m2 ℝ tem que fm1 m2 fm2 m2 Isso faz com que R1 R3 m C11 é infinito V0 V1 sqrtV1 pour left sqrta cdot sqrtb right cdot left sqrta sqrtb right sqrta2 a b extitSupposé extitSûr extitLimite extitContraction près de 0 et non 0