Limitação e Convergência de Sequências

Como X é limitado existem a b R tais que a x b x X Consequentemente ca cx cb para todo x X Portanto cx é também limitado Seja n sup X então x n x X Como cx c x X segue que n c e é uma cota superior para cx Finalmente dado ε c temse que ε d Assim existindo x X satisfazendo ε cx n e então ε cx n Mostrando que ε não pode ser cota superior para cx Portanto n é o supremo para cx Analogo De fato dado ε 0 tomando mo 2ε seguese que m mo m 2ε 2m ε 2m ε 1 2m 1 ε Seja xmnN definida por x1 2 e xm1 2 xm para m 1 Vamos mostrar que xm é monótona crescente De fato x2 2 2 x1 2 Então mostra que xm é monótona Finalmente se l é a raiz positiva da equação x2 x 2 0 então mostrase por indução que xm l m N De fato no caso l 2 então x1 2 Se xm 2 para algum m 1 então x2 x2 m1 2 xm 2 2 4 xm1 2 Portanto xmnN é convergente Seja l lim xm xm1 Então l2 lim x2 m1 2 lim xm 2 l Desta forma l2 lim x2 m 2 2 2 L 2 2 2 Se lim xm 4 e lim xmym 20 então escrevo 2 42 lim xm lim xmxm lim xmynxm lim ym Como am bm2 0 m N seguese que am fa2 m b2 m m N Como por hipótese am2 e bm2 convergem segue do teste da comparação que ambm converge absolutamente