Aula 3 - Estatística Econômica 2022 2

Vimos nos exemplos anteriores que podemos falar em dispersão ou distribuição de Y, condicionada a X: Nosso objetivo é obter uma estimativa de E(Y/Xi) a partir de uma amostra (aleatória) da população Amostra aleatória (Yi, Xi) Queremos uma estimativa de E(Y/X)=f(X). Assumindo f(X) linear, precisamos de um critério para posicionar nossa estimativa para E(Y/X), ෣ 𝐸 𝑌 𝑋 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋𝑖 Nota: Usamos “ ^ ” para indicar valores estimados ෣ 𝐸 𝑌 𝑋 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋𝑖 é a função de regressão amostral Yi Xi \hat{u}_i \hat{u}_i \hat{E}(Y|X) = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i Ou seja, cada valor observado para Y pode ser descrito: Yi = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i + \hat{u}_i Então temos a relação entre Y e X na população: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 onde 𝛽1 𝑒 𝛽2 são parâmetros u , termo de erro (nunca há uma relação exata entre duas (ou mais) variáveis, permitimos que outros fatores além de X afetem y através de u) Y , variável dependente (ou variável a ser explicada, ou regressando, ou variável a ser prevista) X , variável explicativa (ou variável independente, ou variável de controle, ou regressor) Na amostra, temos 𝑌𝑖 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋𝑖 + ො𝑢𝑖 “ ^ “ indica valores estimados Regressão Simples: O problema da estimação Queremos estimar a relação entre Y e X em 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 a partir de uma amostra de n observações para (Yi, Xi) O Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 𝑀𝑄𝑂 ⟹ min ෍ 𝑖=1 𝑛 ො𝑢𝑖 2 M.Q.O.: \ min_{\beta_1, \beta_2} \sum_{i=1}^{n} \hat{u}_i^2 Função regressão populacional: \ Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_i Função regressão amostral: \ Y_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i + \hat{u}_i \hat{E}(Y_i|X) = \hat{Y}_i Yi = \hat{Y}_i + \hat{u}_i \implies \hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i min \sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2 = min \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = min_{\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 x_i)^2 Do cálculo, \dfrac{2(\cdot)}{2\hat{\beta}_1} = 0 \quad e \quad \dfrac{2(\cdot)}{2\hat{\beta}_2} = 0 "Equações normais" (1) \quad \dfrac{2(\cdot)}{2\hat{\beta}_n} = 2 \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 x_i)(-1) = 0 \quad \quad -2 \sum (y_i - \hat{\beta}_n - \hat{\beta}_2 x_i) < 0 \quad \quad \sum (y_i - \hat{\beta}_n - \hat{\beta}_2 x_i) = 0 \quad i, 1^a que (-2) \neq 0 \quad \quad \sum \bar{y}_i - n\hat{\beta}_n - \hat{\beta}_2 \sum \bar{x}_i = 0 \quad i, 1^a que \sum_{i=1}^n a = n.a, a \text{ constante} \quad \quad n \hat{\beta}_n = \bar{y}- \hat{\beta}_2 \bar{x} \quad \quad \sum_{i=1}^n ax_i = a \sum \bar{x}_i \hat{\beta}_n = \dfrac{\sum y_i}{n} - \dfrac{\hat{\beta}_2 \sum x_i '}{n} \quad \quad \boxed{\hat{\beta}_1 = \bar{y} - \hat{\beta}_2 \bar{x}} Note que: \quad \sum (y_i - \hat{\beta}_n - \hat{\beta}_2 x_i) = 0 \quad \quad \sum (y_i - \hat{y}_i) = 0 \quad \quad \dfrac{1}{n} \sum \hat{u}_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sum \hat{u}_i}{n} = \dfrac{0}{n} < 0 \rightarrow \quad a soma dos resíduous estimados e zero (modelo com intercepto) Para \hat{\beta}_2 \quad \dfrac{2(\cdot)}{2\hat{\beta}_2} = 2 \sum (y_i - \hat{\beta}_n - \hat{\beta}_2 x_i)(-x_i) = 0 \quad \quad -2 \sum (y_i - \hat{\beta}_n - \hat{\beta}_2 x_i) x_i = 0 \quad \quad \sum y_i x_i - \hat{\beta}_n \sum x_i - \hat{\beta}_2 \sum x_i^2 = 0 \quad \quad \sum y_i x_i - \hat{\beta}_n \sum x_i - \hat{\beta}_2 \sum x_i^2 = 0 \quad \rightarrow \text{substituindo-se} \quad \hat{\beta}_1 = \dfrac{\sum y_i}{n} - \dfrac{\hat{\beta}_2 \sum x_i '}{n} \quad \quad \sum y_i x_i - \left[ \dfrac{\sum y_i}{n} - \hat{\beta}_2 \dfrac{\sum x_i '}{n} \right] \cdot \sum x_i - \hat{\beta}_2 \sum x_i^2 = 0 \quad \quad \sum y_i x_i - \dfrac{\sum y_i \sum x_i}{n} + \dfrac{\hat{\beta}_2 (\sum x_i)^2}{n} - \hat{\beta}_2 \sum x_i^2 = 0 Σyixi - Σ̄yiΣ̄xi β̂2[Σ̄xi2 - (Σ̄xi)2/n] = 0 n β̂2 = (Σyixi - ΣyiΣ̄xi/n) / (Σ̄xi2 - (Σ̄xi)2/n) ⇒ β̂2 = Σ (yi - ȳ)(xi - x̄) Σ (xi - x̄)2 É possível mostrar: • Σ (xi - x̄)2 = Σ xi2 - (Σxi)2/n • Σ (yi - ȳ)(xi - x̄) = Σyixi - ΣyiΣ̄xi/n Em resumo: Dado o modelo populacional 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , podemos estimar os parâmetros a partir de uma amostra aleatória para (Yi, Xi) de tamanho n 𝑀𝑄𝑂 ⟹ min ෍ 𝑖=1 𝑛 ො𝑢𝑖 2 Os estimadores de MQO são: ෢ 𝛽1 = ത𝑌 − ෢ 𝛽2 ത𝑋 ෢ 𝛽2 = σ𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 − ത𝑌 𝑋𝑖 − ത𝑋 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 − ത𝑋 2 Onde ത𝑌 = σ 𝑌𝑖 𝑛 é a média amostral de Yi ത𝑋 = σ 𝑋𝑖 𝑛 é a média amostral de Xi