P1 - Estatística Econômica 2022 1

 : Estatística II (Prof. Hugo Pedro Boff) Prova 1 - 15 Junho 2022 Responda à4 questões 1. Seja X1,...,Xn uma amostra casual simples de uma população X  N0,2. (a) Considere os dois estimadores alternativos para 2 :  2  1n i1 n Xi 2 e  2  1 n  1 i1 n Xi 2. Use o critério EQM para escolher entre estes dois estimadores; (b) Use Chebyshev para provar que os estimadores do item anterior são ambos consistentes. 2. Seja X1,...,Xn uma amostra casual simples de uma população Geométrica X com função de probabilidade PX  x  p1  px1, x  1,2,3,... A v.a. X dá o número de provas até a obtenção do primeiro sucesso, em um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p. Sabe-se que VX  1  p/p2. (a) Use a fatorização de Neyman para identificar uma estatística suficiente para p. (b) Calcule I1,...,np, a quantidade de informação de Fisher contida na amostra sobre p ; 3. A v.a. X é distribuída uniformemente no intervalo ,1, em que   0 é um parâmetro desconhecido. Uma amostra casual simples X1,...,Xn para n realizações de X é obtida. (a) Dê o estimador MV de ; (b) Obtenha o estimador MM de . (c) Uma amostragem de X de tamanho 6 mostrou os seguintes valores: 0.5,0.4,0.9,0.7,0.8,0.3. Dê as estimativas MV e MM para . 4. No contexto da questão anterior: (a) Enumere as propriedades assintóticas dos estimadores MV e MM; (b) Ache o estimador MVU de . 5. Uma amostragem estratificada de 10.000 domicílios deve ser realizada visando mensurar o tempo de escolaridade médio X dos pais nas 7 macro-regiões do país, Sul (S), Sudeste (SE), Leste (LE), Nordeste(NE), Norte (N), Noroeste (NO) e Centro-Oeste (CO). A tabela abaixo indica, para cada região, o % da população e o tempo de escolaridade médio dos pais obtido no último senso, há 10 anos atrás; Macro-regiões: S SE LE NE N NO CO % da População: 12 35 8 27 5 6 7 Escol. Média: 12 14 10 7 5 8 9 Supondo que os anos de escolaridade, dentro de cada região, tem distribuição exponencial, dê o tamanho das sub-amostras ni de cada região, usando os seguintes critérios: (a) Proporcionalidade; (b) Alocação ótima de Neyman. SOLUÇÕES 1. (a) Temos: n 2 2  i1 n  Xi 2  n  1 2 2  2n Então: E n 2 2   E n  1 2 2   E2n  n Logo, E 2  2 e E 2  n n  1 2 (Superestima 2. Por outro lado: V n 2 2   V n  1 2 2   V2n  2n Logo, V 2  2n 4 e V 2  2n n  12 4. Observe que V 2 V 2  2n 4 2n n  12 4   n  1 n   1  V 2  V 2 Como  2 é não viesado e tem variância menor que  2 ele tem um Erro Quadrático Médio menor: EQM2  EQM 2  2n n  12 4   1 n  1 22  2n  1 n  12 4 (b) Chebyshev:   0 : P  2  2    EQM2 2  2n 4 2 n  0 Logo, Plim 2  2 consistência)   0 : P  2  2    EQM2 2  2n  1 n  12 4 2 n  0 Logo, Plim 2  2 consistência) 2. (a) Densidade da amostra: fXx1,...,xn,  pn1  pixin Coloque s  ixi ; gs,p  pn1  pixin ; hx1,...,xn  1 De modo que: fXx1,...,xn,  gs,phx1,...,xn Como vemos, SX1,...Xn  i1 n Xi é uma estatística suficiente para p. (b) Vamos obter I1,...,n. Como o suporte de X não depende de p, podemos mais facilamente obter a informação contida em uma observação X : lnfXX;p  lnp  X  1ln1  p  lnfXX;p p  1p  X  1 1  p  2 lnfXX;p p2   1 p2  X  1 1  p2  I1  E 2 lnfXX; 2   1 p2  EX  1 1  p2  1 p2  1 p  1 1  p2 I1  1 p2  1  p p1  p2  1 p21  p Finalmente: I1,...,n  nI1  n p21  p Obs: Pode-se também calcular I1 usando a VX pela fórmula: I1  E lnfXX;p p 2  E 1p  X  1 1  p 2  E X  1 p 1  p 2  EX  1 p 2 1  p2  VX 1  p2  1p p2 1  p2  1 p21  p 3. (a) Como visto em aula, o estimador MV do mínimo populacional  é o mínimo amostral: X1. Ou seja,   X1 (b) Estimador MM: Resolve-se: EX  X (média amostral) EX   1 x 1 1   dx  1 2 1  2 1    1   2 1   2  X    2X  1 (estimador MM) (c) Estimativa MV : x1  min0.5,0.4,0.9,0.7,0.8,0.3  0.3 Estimativa MM: 2 0.5  0.4  0.9  0.7  0.8  0.3 6   1  0.2 4. (a) Propriedades assintóticas MV : Não viés, Consistência, Eficiência, Distribuição Normal:   X1  N, I1,..,n 1  MM: Não viés, Consistência. (b) Sabemos que a população uniforme admite uma estatística suficiente. O estimador MV é, evidentemente, função desta estatística suficiente, de modo que X1 é suficiente para . Por outro lado, a densidade pertence à uma família completa. Então, pelo teorema de Lehman e Scheffé, o estimador MVU (Minimum Variance Unbiased) será único e tal que   X1, com E  . Para achar a função , calculamos abaixo EX1. Vamos primeiro obter a densidade de  : Temos: Fx;  1  1  FXxn  1  1  x   1   n  1   1  x 1   n ;   x  1  fXx;  FX   n 1  n 1  xn1 ;   x  1  E1  X1  n 1  n  11  xndx  n n  1 1    EX1  1  n n  1 1    n  1 n  1 Observe que n  1EX1  1 n  , de modo que se definirmos:   X1  n  1X1  1 n , teremos um estimador não viesado de . Logo, este  é o único estimador MVU de . 5. (a) Proporcionalidade: n1  W1n  0.1210000  1200 ; n2  W2n  0.3510000  3500 n3  W3n  0.0810000  800 ; n4  W4n  0.2710000  2700 n5  W5n  0.0510000  500 ; n6  W6n  0.0610000  600 n7  W7n  0.0710000  700. (b) Alocação ótima de Neyman Obs: Se Xi  Expi  EXi  1i  DPXi  i (Desvio-padrão) ni  in onde i  Wii j1 7 Wjj ; i  1,2,...,7 j1 7 Wjj  0.1212  0.3514  0.0810  0.277  0.055   0.068  0.079  10. 39 1  0.1212 10. 39  0.13859 ; 2  0.3514 10. 39  0.47161; 3  0.0810 10. 39  0.07699; 4  0.277 10. 39  0.18191; 5  0.055 10. 39  0.024062; 6  0.068 10. 39  0.046198; 7  0.079 10. 39  0.060635. Sub-amostras ótimas: n1  1n  0.138610000  1386 ; n2  2n  0.471610000  4716 n3  3n  0.07710000  770 ; n4  4n  0.181910000  1819 n5  5n  0.0241010000  241 ; n6  6n  0.046210000  462 n7  7n  0.060610000  606.   