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Ciências Econômicas ·
Estatística Econômica e Introdução à Econometria
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: Estatística II (Prof. Hugo Pedro Boff) Prova 2 - 03 Agosto 2022 Responda à 4 questões. 1. A altura dos alunos de Economia (em cm) é uma a v.a. X N;36. Uma amostra simples com 81 observações de X foi obtida e a estimativa amostral (não viesada) da média foi x 174. (a) Construa um intervalo de confiança 95% para a altura média da população dos alunos; (b) Se um teste unilateral (à direita) para a hipótese Ho : 172 for realizado, calcule a probabilidade da amostra rejeitar H0 quando não deveria; (c) Com o resultado obtido em (b) classifique a evidência amostral contra H0 na escala de Fisher. 2. Pedro considera trabalhar como representante comercial da empresa de equipamentos para mergulho Aqwa. Esta empresa lhe acena para uma renda mensal X N20;81 (em 1.000 reais) . Como sua futura renda média não é de fato conhecida, Pedro considera a possibilidade dela ser menor ou seja, X N15;36. Antes de tomar uma decisão, Pedro é informado que um grupo de n profissionais da área apresentou renda média x. Com base nesta informação Pedro decide avaliar a promessa da firma testando a hipótese: Ho : 20 2 81, contra H1: 15 2 36 (a) Construa a região crítica do teste equilibrado . Se n 36, calcule as probabilidades de erro neste caso; (b) Se Pedro admite probabilidades e de 1% de errar rejeitando H0 e de 2% de errar não rejeitando H0, respectivamente, qual o tamanho da amostra n que ele deve considerar ? (c) Se para o tamanho amostral obtido no item anterior, a média amostral obtida foi x 17.5 , calcule a probabilidade deste resultado induzir Pedro a rejeitar H0 quando ela é verdadeira (a promessa da firma é crível). 3. Dentre os turistas que chegam à cidade de Petrópolis, a proporção p dos que visitam o Museu Imperial é um parâmetro desconhecido. No plano experimental elaborado para estimá-lo, a Secretaria de Turismo da cidade deseja que o erro absoluto incorrido na estimativa p não ultrapasse 2% , com 95% de chances. (a) Em uma perspectiva conservadora, quantos turistas devem ser aleatoriamente consultados ? (b) Com o tamanho da amostra obtido no item anterior, a estimativa amostral obtida foi 0.72 .Usando o TCL, calcule o Intervalo de Confiança Exato, à 95% para a proporção p. 4. Os retornos X de um ativo negociado na bolsa de valores tem distribuição Normal de média e variância 2 desconhecidas. Para o teste da volatilidade H0 : 2 2 contra H1 : 2 2 foi obtida uma amostra de 17 valores de X, sobre os quais obteve-se a estimativa amostral não viesada da variância s2 3. Com base neste resultado: (a) Para o tamanho 5%, construa a região crítica do teste de H0. Qual a decisão ? (b) Calcule a probabilidade da amostra aleatória rejeitar H0 sendo esta hipótese verdadeira. 5. Para reduzir a acidez do solo e aumentar a produtividade da lavoura, vários tipos de calcário podem ser misturados à terra (processo chamado calagem). A realização de 21 testes com o calcário calcítico (pouco magnésio, muito cálcio) e 31 com o calcário dolomítico (muito magnésio, pouco cálcio), aplicados à um mesmo tipo de solo, apresentaram as seguintes rendimentos (média, variância) por hectare: x1 4 ; s1 2 4, x2 5 ; s2 2 9,respectivamente. Supondo a distribuição Normal dos rendimentos: (a) Faça o teste unilateral, de tamanho 5%, para a hipótese da igualdade das variâncias; (b) Usando o resultado do item anterior, teste a hipótese da igualdade dos rendimentos médios 2 1 ao nível 5% , contra a alternativa bilateral 2 1. SOLUÇÕES 1. (a) Temos para o IC0.95 : x n z0.975 174 6 81 1.96 174 1.3067 172. 69 IC0.95 172,69 ; 175,31 (b) Devemos calcular o p-valor do teste de H0 : P PX x Ho PX 174 Ho PZ 174 0 / n PZ 174 172 6/ 81 PZ 3 0.00135 P 0.0013 (c) Fortíssima evidência contra H0 (escala de Fisher) 2. (a) Região crítica do teste equilibrado: RCe X xe onde xe o1 1o o 1 206 159 6 9 17 Probabilidade dos erros com n 36 : Tipo I PX 17 Ho PZ 17 20 36 9 PZ 2 2.0 1 2 e 1 2 z2dz 0.02275 Checando o erro tipo II: PX 17 H1 PZ 17 15 36 6 PZ 2 2 1 2 e 1 2 z2dz 0.02275 b) n oz 1z o 1 2 , 0.01 z 1 2 e 1 2 z2dz 0.01 , Solution is: z 2. 3263 0.02 z 1 2 e 1 2 z2dz 0.02, Solution is: z 2. 0537 n 92.3263 62.0537 20 15 2 44. 246 45 observações. (c) Para n 45 , a probabilidade do resultado amostral x 17,5 induzir Pedro a rejeitar H0 quando não deveria será: PX 17,5 Ho PZ 17.5 20 9/ 45 PZ 1. 8634 1.8634 1 2 e 1 2 z2dz 0.031 3,1% 3. (a) Temos: n z0.975 2|p p| 2 n 1.96 20.02 2 2.401 pessoas. (b) Temos, n 2.401, p 0.72 ; z0.975 1.96 |p p| p1 p/n z/2 p p2 1n p1 pz2 p 1 1n z2p2 2p 1n z2p p2 0 Levando os valores do enunciado para esta expressão: p 1 1 2401 1.962p2 20.72 1 2401 1.962p 0.722 p 1. 0016p2 1. 4416p 0.5184 0 Solution is: p 0.70170,p 0.73760 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 -0.002 0.000 0.002 0.004 p g(p) IC0.95 exatop 0.701 , 0.737 4. (a) RC S2 0 2 n 1 q0.05 onde P2n 1 q0.05 0.05 Temos: n 17, 0 2 2, q0;05 26,296 RC S2 2 16 26.296 S2 3.287 Como s2 3 RC A evidência amostral não permite rejeitar H0. (b) P-valor PS2 3 H0 P2n 1 3n 1 0 2 P216 316 2 P216 24 0.0583 P 0.0583 5. (a) RC S2 2 S1 2 f0.05 onde PF30,20 f0.05 0.05 Pela tabela Fisher-Snedecor: f0.05 2.04 RC S2 2.04 Como s2 2 s1 2 9 5 1.8 RC A evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade das variâncias. (b)Tomando 1 2 2 2 2, considera-se a estimativa amostral da variância 2 : s2 n1 1s1 2 n2 2s2 2 n1 n2 2 204 309 21 31 2 7 Temos para o teste bilateral de H0 a região crítica: RC X2 X1 s 1 n1 1 n2 t0.025 X2 X1 s 1 n1 1 n2 t0.025 Pela tabela da t Student com 50 graus de liberdade encontramos: t0.025 2.0086 RC X2 X1 7 1 21 1 31 2.0086 X2 X1 7 1 21 1 31 2.0086 RC X2 X1 1,502 X2 X1 1,502 Como x2 x1 6 5 1 RC A evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade dos rendimentos.
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Antes de tomar uma decisão, Pedro é informado que um grupo de n profissionais da área apresentou renda média x. Com base nesta informação Pedro decide avaliar a promessa da firma testando a hipótese: Ho : 20 2 81, contra H1: 15 2 36 (a) Construa a região crítica do teste equilibrado . Se n 36, calcule as probabilidades de erro neste caso; (b) Se Pedro admite probabilidades e de 1% de errar rejeitando H0 e de 2% de errar não rejeitando H0, respectivamente, qual o tamanho da amostra n que ele deve considerar ? (c) Se para o tamanho amostral obtido no item anterior, a média amostral obtida foi x 17.5 , calcule a probabilidade deste resultado induzir Pedro a rejeitar H0 quando ela é verdadeira (a promessa da firma é crível). 3. Dentre os turistas que chegam à cidade de Petrópolis, a proporção p dos que visitam o Museu Imperial é um parâmetro desconhecido. No plano experimental elaborado para estimá-lo, a Secretaria de Turismo da cidade deseja que o erro absoluto incorrido na estimativa p não ultrapasse 2% , com 95% de chances. (a) Em uma perspectiva conservadora, quantos turistas devem ser aleatoriamente consultados ? (b) Com o tamanho da amostra obtido no item anterior, a estimativa amostral obtida foi 0.72 .Usando o TCL, calcule o Intervalo de Confiança Exato, à 95% para a proporção p. 4. Os retornos X de um ativo negociado na bolsa de valores tem distribuição Normal de média e variância 2 desconhecidas. Para o teste da volatilidade H0 : 2 2 contra H1 : 2 2 foi obtida uma amostra de 17 valores de X, sobre os quais obteve-se a estimativa amostral não viesada da variância s2 3. Com base neste resultado: (a) Para o tamanho 5%, construa a região crítica do teste de H0. Qual a decisão ? (b) Calcule a probabilidade da amostra aleatória rejeitar H0 sendo esta hipótese verdadeira. 5. Para reduzir a acidez do solo e aumentar a produtividade da lavoura, vários tipos de calcário podem ser misturados à terra (processo chamado calagem). A realização de 21 testes com o calcário calcítico (pouco magnésio, muito cálcio) e 31 com o calcário dolomítico (muito magnésio, pouco cálcio), aplicados à um mesmo tipo de solo, apresentaram as seguintes rendimentos (média, variância) por hectare: x1 4 ; s1 2 4, x2 5 ; s2 2 9,respectivamente. Supondo a distribuição Normal dos rendimentos: (a) Faça o teste unilateral, de tamanho 5%, para a hipótese da igualdade das variâncias; (b) Usando o resultado do item anterior, teste a hipótese da igualdade dos rendimentos médios 2 1 ao nível 5% , contra a alternativa bilateral 2 1. SOLUÇÕES 1. (a) Temos para o IC0.95 : x n z0.975 174 6 81 1.96 174 1.3067 172. 69 IC0.95 172,69 ; 175,31 (b) Devemos calcular o p-valor do teste de H0 : P PX x Ho PX 174 Ho PZ 174 0 / n PZ 174 172 6/ 81 PZ 3 0.00135 P 0.0013 (c) Fortíssima evidência contra H0 (escala de Fisher) 2. (a) Região crítica do teste equilibrado: RCe X xe onde xe o1 1o o 1 206 159 6 9 17 Probabilidade dos erros com n 36 : Tipo I PX 17 Ho PZ 17 20 36 9 PZ 2 2.0 1 2 e 1 2 z2dz 0.02275 Checando o erro tipo II: PX 17 H1 PZ 17 15 36 6 PZ 2 2 1 2 e 1 2 z2dz 0.02275 b) n oz 1z o 1 2 , 0.01 z 1 2 e 1 2 z2dz 0.01 , Solution is: z 2. 3263 0.02 z 1 2 e 1 2 z2dz 0.02, Solution is: z 2. 0537 n 92.3263 62.0537 20 15 2 44. 246 45 observações. (c) Para n 45 , a probabilidade do resultado amostral x 17,5 induzir Pedro a rejeitar H0 quando não deveria será: PX 17,5 Ho PZ 17.5 20 9/ 45 PZ 1. 8634 1.8634 1 2 e 1 2 z2dz 0.031 3,1% 3. (a) Temos: n z0.975 2|p p| 2 n 1.96 20.02 2 2.401 pessoas. (b) Temos, n 2.401, p 0.72 ; z0.975 1.96 |p p| p1 p/n z/2 p p2 1n p1 pz2 p 1 1n z2p2 2p 1n z2p p2 0 Levando os valores do enunciado para esta expressão: p 1 1 2401 1.962p2 20.72 1 2401 1.962p 0.722 p 1. 0016p2 1. 4416p 0.5184 0 Solution is: p 0.70170,p 0.73760 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 -0.002 0.000 0.002 0.004 p g(p) IC0.95 exatop 0.701 , 0.737 4. (a) RC S2 0 2 n 1 q0.05 onde P2n 1 q0.05 0.05 Temos: n 17, 0 2 2, q0;05 26,296 RC S2 2 16 26.296 S2 3.287 Como s2 3 RC A evidência amostral não permite rejeitar H0. (b) P-valor PS2 3 H0 P2n 1 3n 1 0 2 P216 316 2 P216 24 0.0583 P 0.0583 5. (a) RC S2 2 S1 2 f0.05 onde PF30,20 f0.05 0.05 Pela tabela Fisher-Snedecor: f0.05 2.04 RC S2 2.04 Como s2 2 s1 2 9 5 1.8 RC A evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade das variâncias. (b)Tomando 1 2 2 2 2, considera-se a estimativa amostral da variância 2 : s2 n1 1s1 2 n2 2s2 2 n1 n2 2 204 309 21 31 2 7 Temos para o teste bilateral de H0 a região crítica: RC X2 X1 s 1 n1 1 n2 t0.025 X2 X1 s 1 n1 1 n2 t0.025 Pela tabela da t Student com 50 graus de liberdade encontramos: t0.025 2.0086 RC X2 X1 7 1 21 1 31 2.0086 X2 X1 7 1 21 1 31 2.0086 RC X2 X1 1,502 X2 X1 1,502 Como x2 x1 6 5 1 RC A evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade dos rendimentos.