Prova Final - Estatística Econômica e Introdução à Econometria 2022-1

 : Estatística II (Prof. Hugo Pedro Boff) Prova 2 - 03 Agosto 2022 Responda à 4 questões. 1. A altura dos alunos de Economia (em cm) é uma a v.a. X  N;36. Uma amostra simples com 81 observações de X foi obtida e a estimativa amostral (não viesada) da média foi x  174. (a) Construa um intervalo de confiança 95% para a altura média da população dos alunos; (b) Se um teste unilateral (à direita) para a hipótese Ho :   172 for realizado, calcule a probabilidade da amostra rejeitar H0 quando não deveria; (c) Com o resultado obtido em (b) classifique a evidência amostral contra H0 na escala de Fisher. 2. Pedro considera trabalhar como representante comercial da empresa de equipamentos para mergulho Aqwa. Esta empresa lhe acena para uma renda mensal X  N20;81 (em 1.000 reais) . Como sua futura renda média  não é de fato conhecida, Pedro considera a possibilidade dela ser menor ou seja, X  N15;36. Antes de tomar uma decisão, Pedro é informado que um grupo de n profissionais da área apresentou renda média x. Com base nesta informação Pedro decide avaliar a promessa da firma testando a hipótese: Ho :   20 2  81, contra H1:   15 2  36 (a) Construa a região crítica do teste equilibrado   . Se n  36, calcule as probabilidades de erro neste caso; (b) Se Pedro admite probabilidades  e  de 1% de errar rejeitando H0 e de 2% de errar não rejeitando H0, respectivamente, qual o tamanho da amostra n que ele deve considerar ? (c) Se para o tamanho amostral obtido no item anterior, a média amostral obtida foi x  17.5 , calcule a probabilidade deste resultado induzir Pedro a rejeitar H0 quando ela é verdadeira (a promessa da firma é crível). 3. Dentre os turistas que chegam à cidade de Petrópolis, a proporção p dos que visitam o Museu Imperial é um parâmetro desconhecido. No plano experimental elaborado para estimá-lo, a Secretaria de Turismo da cidade deseja que o erro absoluto incorrido na estimativa p não ultrapasse 2% , com 95% de chances. (a) Em uma perspectiva conservadora, quantos turistas devem ser aleatoriamente consultados ? (b) Com o tamanho da amostra obtido no item anterior, a estimativa amostral obtida foi 0.72 .Usando o TCL, calcule o Intervalo de Confiança Exato, à 95% para a proporção p. 4. Os retornos X de um ativo negociado na bolsa de valores tem distribuição Normal de média e variância 2 desconhecidas. Para o teste da volatilidade H0 : 2  2 contra H1 : 2  2 foi obtida uma amostra de 17 valores de X, sobre os quais obteve-se a estimativa amostral não viesada da variância s2  3. Com base neste resultado: (a) Para o tamanho 5%, construa a região crítica do teste de H0. Qual a decisão ? (b) Calcule a probabilidade da amostra aleatória rejeitar H0 sendo esta hipótese verdadeira. 5. Para reduzir a acidez do solo e aumentar a produtividade da lavoura, vários tipos de calcário podem ser misturados à terra (processo chamado calagem). A realização de 21 testes com o calcário calcítico (pouco magnésio, muito cálcio) e 31 com o calcário dolomítico (muito magnésio, pouco cálcio), aplicados à um mesmo tipo de solo, apresentaram as seguintes rendimentos (média, variância) por hectare: x1  4 ; s1 2  4, x2  5 ; s2 2  9,respectivamente. Supondo a distribuição Normal dos rendimentos: (a) Faça o teste unilateral, de tamanho 5%, para a hipótese da igualdade das variâncias; (b) Usando o resultado do item anterior, teste a hipótese da igualdade dos rendimentos médios 2  1 ao nível 5% , contra a alternativa bilateral 2  1. SOLUÇÕES 1. (a) Temos para o IC0.95 : x   n z0.975  174  6 81 1.96  174  1.3067  172. 69  IC0.95  172,69 ; 175,31 (b) Devemos calcular o p-valor do teste de H0 : P  PX  x  Ho  PX  174  Ho  PZ  174  0 / n   PZ  174  172 6/ 81   PZ  3  0.00135  P  0.0013 (c) Fortíssima evidência contra H0 (escala de Fisher) 2. (a) Região crítica do teste equilibrado: RCe  X  xe onde xe  o1  1o o  1  206  159 6  9  17 Probabilidade dos erros com n  36 : Tipo I   PX  17  Ho  PZ  17  20 36 9   PZ  2    2.0 1 2 e 1 2 z2dz  0.02275 Checando o erro tipo II:   PX  17  H1  PZ  17  15 36 6   PZ  2    2  1 2 e 1 2 z2dz  0.02275 b) n   oz  1z o  1 2 ,   0.01    z 1 2 e 1 2 z2dz  0.01 , Solution is: z  2. 3263   0.02   z  1 2 e 1 2 z2dz  0.02, Solution is: z  2. 0537  n   92.3263  62.0537 20  15 2  44. 246  45 observações. (c) Para n  45 , a probabilidade do resultado amostral x  17,5 induzir Pedro a rejeitar H0 quando não deveria será: PX  17,5  Ho  PZ  17.5  20 9/ 45   PZ  1. 8634    1.8634 1 2 e 1 2 z2dz  0.031 3,1% 3. (a) Temos: n   z0.975 2|p  p| 2 n   1.96 20.02 2  2.401 pessoas. (b) Temos, n  2.401, p  0.72 ; z0.975  1.96 |p  p|   p1  p/n z/2  p  p2  1n p1  pz2  p  1  1n z2p2  2p  1n z2p  p2  0 Levando os valores do enunciado para esta expressão: p  1  1 2401 1.962p2  20.72  1 2401 1.962p  0.722 p  1. 0016p2  1. 4416p  0.5184  0 Solution is: p  0.70170,p  0.73760 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 -0.002 0.000 0.002 0.004 p g(p)  IC0.95 exatop  0.701 , 0.737 4. (a) RC  S2  0 2 n  1 q0.05 onde P2n  1  q0.05  0.05 Temos: n  17, 0 2  2, q0;05  26,296  RC  S2  2 16 26.296  S2  3.287 Como s2  3  RC  A evidência amostral não permite rejeitar H0. (b) P-valor PS2  3  H0  P2n  1  3n  1 0 2   P216  316 2   P216  24  0.0583  P  0.0583 5. (a) RC   S2 2 S1 2  f0.05 onde PF30,20  f0.05  0.05 Pela tabela Fisher-Snedecor: f0.05  2.04  RC  S2  2.04 Como s2 2 s1 2  9 5  1.8  RC  A evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade das variâncias. (b)Tomando 1 2  2 2  2, considera-se a estimativa amostral da variância 2 : s2  n1  1s1 2  n2  2s2 2 n1  n2  2  204  309 21  31  2  7 Temos para o teste bilateral de H0 a região crítica: RC  X2  X1  s 1 n1  1 n2 t0.025  X2  X1  s 1 n1  1 n2 t0.025 Pela tabela da t  Student com 50 graus de liberdade encontramos: t0.025  2.0086  RC  X2  X1   7  1 21  1 31 2.0086  X2  X1  7  1 21  1 31 2.0086  RC  X2  X1  1,502  X2  X1  1,502 Como x2  x1  6  5  1  RC  A evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade dos rendimentos.