Prova Final - Estatística Econômica e Introdução à Econometria 2023-1

IE − UFRJ ESTATÍSTICA II 2023-I - 17/07/2023 Prof. Hugo Pedro Boff Prova Final 1. Seja X1,...Xn uma amostra simples de uma população Exponencial Truncada com densidade fXx,  e−x− , x ≥  e fXx,  0 , x  , onde  é um parâmetro desconhecido. (a) Ache o estimador MV de ; (b) Explicite o estimador MM de ; (c) Obtenha o estimador MVU (Minimum Variance Unbiased) de . 2. Se uma amostra de 1.000 observações deve ser realizada em uma população estratificada de rendas domiciliares Xi , i  1,2,3,4,5 onde, dentro de cada estrato, a renda é distribuída uniformemente nos intervalos descritos abaixo: Estratos: 1 2 3 4 5 % da População: 9 30 40 14 7 Intervalos de renda: ´0,4 4,6 6,8 8,14 14,24 Dê tamanho das sub-amostras ni em cada estrato, usando: (a) O critério da proporcionalidade; (b) O critério da alocação ótima de Neyman; (c) Calcule a variância da média amostral estratificada obtida no item (b). 3. O número de Pequenas Empresas comerciais que diariamente saem do mercado antes de completar 1 ano de existência é uma variável aleatória X Poisson com média  desconhecida. Uma amostra de X baseada em 81 dias é observada e a média amostral obtida foi x  0.15. (a) Use o TCL para testar a hipóstese Ho :   0.10 contra H1 :   0.10, ao nível de significância 5%; (b) Use o TCL para calcular um intervalo de Confiança 95% para . 4. Existem dúvidas sobre qual das duas regiões R1 ou R2 tem renda domiciliar mensal X maior. Há todavia consenso de que o rendimento é Normal e independente, com médias 1 , 2 e variâncias 1 2 , 2 2, todas desconhecidas. Duas amostras independentes foram realizadas em 41 domicílios em R1 e 61 domicílios em R2. As estatisticas amostrais obtidas (média e desvio-padrão) foram: x1;s1  4500;3000 e x2;s2  5000;3500. (a) Faça o teste bilateral para a igualdade das variâncias, com nível de significância 10%. Qual a decisão ótima ? (b) Use o resultado obtido no item (a) para explicitar as hipótese do teste unilateral para a igualdade das médias, com nível de significância de 5%.Qual a decisão ótima ? RESOLUÇÕES 1. (a) Estimador MV :  MV  X1  minX1,...,Xn. (b) Estimador MM : EX  X    1  X.  MM  X − 1. (c) Estimador MVU (Lehman e Scheffé): i X1  minX1,...,Xn é uma estatística suficiente e completa. ii X1  Exp,n  EX1    1n .   MVU  X1 − 1n 2. (a) Alocação proporcional : n1  0.091.000  90, n2  300, n3  400, n4  140, n5  70. (b) Alocação ótima de Neyman: 1 2  4 − 02 12 , 2 2  6 − 42 12 , 3 2  8 − 62 12 , 4 2  14 − 82 12 , 5 2  24 − 142 12 . ∑i1 5 Wii  0.09 4 12   0.30 2 12   0.40 2 12   0.14 6 12  0.07 10 12   1 12 0.36  0.60  0.80  0.84  0.70  3.3 12 . 1  w11 ∑i1 5 Wii  0.36 3.3  0.109, 2  0.60 3.3  0.182 3  0.80 3.3  0.242, 4  0.84 3.3  0.255, 5  0.70 3.3  0.212. Alocação ótima: n1  0.1091.000  109, n2  182, n3  242, n4  255, n5  212. (c) VXs  1n  ∑i1 5 Wii2  1 1000  3.3 12 2  0.9075 1000  0.0009075 3. (a) Notando  ≡ X, sob H0 :   0.10, temos  − 0.10 0.10/81  N0,1 . A região de rejeição de H0 é RC     xc. Então, para o nível de significância 5%, temos zc  1.65. Logo, xc  0.10   0.10/81 1.65  0.10  0.058  0.158 Como   0.15 ∉ RC     0.158, não há evidência estatística para rejeitar H0. (b) IC0.95:  −  /81 ≤ 1.96  0.15 − 2 − 1.962/81   ≡ 2 − 0.34743  0.0225 ≤ 0 As raízes de   0 são   0.2613,  0.0861 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 lambda y  IC0.95  0.0861 ; 0.2613 Amplitude: A  0.2613 − 0.0861  0.1752 4. (a) Ho : 1 2 2 2  1 contra Ho : 1 2 2 2 ≠ 1. Sob Ho, S1 2 S2 2  F40;60 Fisher . RC  S1 2 S2 2  f1  S1 2 S2 2  f2 com tamanho 10%. Pela tabela Fisher-Snedecor: PF40,60  f2  0.05  f2  1.59 PF40,60  f1  0.05  PF60,40  1 f1   0.05  f1  0.61 Logo, RC  S1 2 S2 2  0.61  S1 2 S2 2  1.59 . A estatística amostral s1 2 s2 2   3.000 3.500 2  0.7347 não pertence à região crítica. Logo, não se rejeita a hipótese que as variâncias sejam iguais 1 2  2 2. (b) Assumimos 1 2  2 2. Neste caso, a estimativa MVU da variância comum às duas populações é: s2  4030002  6035002 100  1. 095  107  s  1. 095  107  3.309, 1 Ho : 2 − 1 ≤ 0 contra H1 : 2 − 1  0 Sob Ho, X2 − X1 S 1 n1  1 n2  Tn1  n2 − 2 Pela tabela t − Student achamos t0.05100  1,66 RC  X2 − X1  xc onde sob H0, xc  0  s 1 n1  1 n2 t0.05  3.309, 1 1 41  1 61 1,66  1.109, 3 Como x2 − x1  5.000 − 4.500  500 ∉ RC  X2 − X1  1.109, 3.  Não há evidência estatística para rejeitar a hipótese da igualdade entre as rendas médias das duas regiões;