Lista Resolvida Física 3 2023 1

3) Um anel circular foi homogeneamente carregado, tem densidade linear de carga λ, constante, carga total Q e raio R. Calcule o campo elétrico resultante em um ponto P ao longo do seu eixo axial, z. a) \(\vec{E}(p) = \frac{kQz}{(R^2+z^2)^{3/2}} \hat{z}\) b) \(\vec{E}(p) = \frac{kQz}{(R^2+z^2)^{3/2}} \hat{z}\)\) c) \(\vec{E}(p) = \frac{kQ}{R} \hat{z}\) d) \(\vec{E}(p) = \frac{kQ}{(R^2+z^2)} \hat{z}\) Resposta: Vamos usar coordenadas cilíndricas, com dimensões \((r,\varphi,z)\). Nesse problema, somente \(r\) irá variar, pois \(r\) e \(z\) foram fixados. O elemento de arco será \(d l = R d\varphi\) (Arco = R \varphi) e a carga total do anel será \(Q = 2\pi R \lambda\). Além disso, por simetria cilíndrica, a soma total das componentes radiais cilíndricas do campo, \(d\vec{E}_r(p)\) são nulas, ao somarmos o campo de cada dois elementos de carga, \(d q\), radialmente opostos no anel. \[d\vec{E}(p) = d\vec{E}_z(p) = 0\] \[d\vec{E}_z(p) = |d\vec{E}(p)| \cos \theta\] \[d\vec{E}_r(p) = |d\vec{E}(p)| \sen \theta\] \[|d\vec{E}(p)| \cos \theta = \frac{kdq}{s^2}\] \[\cos \theta = \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\] \[s^2 = R^2 + z^2\] \[dq = \lambda d l = \lambda R \varphi\] \[d\vec{E}_z(p) = \frac{k\lambda d\varphi}{s^2} \cos \theta\] \[d\vec{E}_z(p) = \frac{k\lambda R }{s^2} \cdot \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}} d\varphi \] \[E_z(p) = \int_{0}^{2\pi} d\varphi = \frac{2\pi k\lambda z R}{(R^2+z^2)^{3/2}}\] \[E_z(p) = \frac{kQz}{(R^2 + z^2)^{3/2}}\] \[\vec{E}(p) = \frac{kQz}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \hat{z}\] 4) Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, \(\sigma\), constante, pode ser construído como uma sucessão de anéis concêntricos, fazendo o raio \(r\), dos anéis variar desde a origem até o raio \(R\). Considerando isso, calcule o campo elétrico desse disco, num ponto \(p\) ao longo do seu eixo axial \(z\). a) \(\vec{E}(p) = \frac{-k\sigma z}{(R^2+z^2)} \left[1 - 1\frac{1}{(R^2+z^2)^{1/2}}\right] \hat{z}\) b) \(\vec{E}(p) = 2\pi k\sigma z \left[1 - \frac{1}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right] \hat{z}\) c) \(\vec{E}(p) = 2\pi k\sigma \left[1 - \frac{1}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right] \hat{z}\) d) \(\vec{E}(p) = 2\pi k\sigma \frac{1}{(R^2+z^2)^{1/2}} \hat{z}\) Resposta: Vamos aproveitar a solução do campo elétrico do anel carregado e fazer o raio desse anel variar de 0 a R. Na solução do anel, faremos as adaptações para o disco: \[Q = dq \neq d\vec{E}(p)\] ; \[R \neq r\] Onde estamos convertendo as quantidades do cálculo do campo do anel para o disco. Isso nos poupará o retrabalho do cálculo do campo dos anéis concêntricos no disco: O elemento de área será referente a cada anel concêntrico do disco, \(dA = 2\pi r dr\), o perímetro é de anel, 2\pi r, principalmente, podemos entender como um fio, com densidade linear \(dq = \sigma dA\). 2) Considere um segmento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos \(x\), com densidade linear de carga, \(\lambda\), constante e comprimento \(L\). Mas, diferentemente do problema anterior, calcule o campo elétrico resultante num ponto \(P\), ao longo do eixo dos \(y\), considerando que a origem, \(O\), do sistema coordenado, \(x\), está à esquerda do corpo carregado, e o comprimento \(L\) quando medido de \(P\), está delimitado pelos ângulos \(\theta_1 < \theta_2\). a) \(\vec{E} = \frac{k\lambda}{y} \left[ (\cos \theta_2 - \cos \theta_1) \hat{i} + (\sen \theta_2 - \sen \theta_1) \hat{j} \right]\) b) \(\vec{E} = \frac{k \lambda}{y} \left[ (\sen \theta_2 - \sen \theta_1) \hat{i} + \cos \theta_2 - \cos \theta_1) \hat{j} \right]\) c) \(\vec{E} = \frac{k \lambda }{y} \left[ (\cos \theta_2 - \sen \theta_1) \hat{i} + \cos \theta_2 - \cos \theta_1) \hat{j} \right]\) d) \(\vec{E} = \frac{k\lambda}{y^2} \left[ (\cos \theta_2 - \cos \theta_1) \hat{i} + (\sen \theta_2 - \cos \theta_1) \hat{j} \right]\) Resposta: \[d\vec{E} = d\vec{E}_x + d\vec{E}_y = \frac{k dq}{r^2} \] \[dE_x = \frac{k dq}{r^2} \cos \theta\] \[dE_y = \frac{k dq}{r^2} \sen \theta\] \[dq = \lambda dx \] \[\cos \theta = \frac{y}{r}\] ; \[r^2=x^2 + y^2\] \[tg \theta = \frac{x}{y} \] ; \[dx = y \sec^2 \theta d\theta\] \[\sec \theta = \frac{r}{y}\] \[dE_y = \frac{k \cos \theta}{r^2} (y \sec^2 \theta) d\theta \] \[dE_y = \frac{k \cos \theta}{r x} (y^2 \sec^2 \theta) d\theta\] \[dE_y = \frac{k \cos \theta}{y} \lambda d\theta\] \[E_y = \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta = \frac{2k\lambda}{y} \cos \theta d\theta\] \[E_y = \frac{2k\lambda}{y} \sen \theta \] ; \[\sen \theta = \frac{L}{\sqrt{x^2+y^2}}\] \[\vec{E}(y) = \frac{2k\lambda}{L} \hat{j}\] 1) Calcule o campo elétrico resultante num ponto \(P\), sobre a mediatriz de um segmento de reta uniformemente carregado, com densidade linear de carga, \(\lambda\), constante e comprimento \(L\). a) \(\vec{E}(y) = \frac{2k\lambda}{y} \left[ \frac{L}{x \sqrt{x^2+y^2}} \right] \hat{j}\) b) \(\vec{E}(y) = \frac{k \lambda}{y} \left[ \frac{L}{y^2}y \hat{j} \right] \hat{j}\) c) \(\vec{E}(y) = \frac{2k \lambda}{y} \left[\frac{L}{y^2} \right] \hat{j}\) d) \(\vec{E}(y) = \frac{2k\lambda}{y} \left[ \frac{L}{\sqrt{x^2+y^2}}\right] \hat{j}\) Resposta: Vamos [identificar um elemento de carga no corpo, dq, e representar seu elemento de campo associado, d\vec{E}]. Por simetria, as contribuições horizontais se anulam. Como \(\theta\) varia com \(\theta\), busca-se um vínculo trigonométrico para simplificar a componente \(y\) do elemento de campo, dE_y, para uma única variável de integração em \(\theta\). As contribuições à esquerda são iguais à direita (x 2). \[d\vec{E} = d\vec{E}_x + d\vec{E}_y = \frac{k dq}{r^2} \hat{r}\] \[dE_x = \frac{k dq}{r^2} \sen \theta\] \[dE_y = \frac{k dq}{r^2} \cos \theta\] \[dq = \lambda dx\] \[\cos \theta = \frac{y}{r}\] ; \[r^2 = x^2+y^2\] \[tg \theta = \frac{y}{x}\] ; \[dx = y \sec^2 \theta d\theta\] \[\sec \theta = \frac{r}{y}\] \[dE_y = \frac{k\cos \theta}{r^2} (y \sec^2 \theta) d\theta\] \[dE_y = \frac{k\cos \theta}{r^2} (y^2 \sec^2 \theta) d\theta\] \[dE_y = \frac{k \cos \theta}{y} \lambda d\theta\] \[E_y = \int_{\theta_0}^{\theta_0} d\theta = 2 \left[\frac{2k\lambda}{y}\right] \cos \theta d\theta\] \[E_y = \frac{2k\lambda}{y} \sen\theta \] ; \[\sen \theta = \frac{L}{\sqrt{x^2+y^2}}\] \[\vec{E}(y) = \frac{2k\lambda}{L} \hat{j}\]