Lista 1 - Álgebra Linear 2021-2

Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Disciplina: Álgebra Linear II (MAE125) Professor: F. Russman, C. Tenório, A. Cortês, T. Pinto e M. Cabral Data: 2021-2 Lista de Exercícios 01 1. Determine a forma totalmente escalonada da matriz: 1 0 -1 -2 -3 1 0 -2 0 0 -2 0 0 10 14 1 0 0 -4 -6 (a) 1 0 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 -2 (b) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 (c) 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 -1 (d) 1 0 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 (e) 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 -2 (f) 1 0 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2. Considere o sistema linear {a - 2b - 4c - d = 1 a - b - 2c - 2d = -1 a + 2c - 5d = -7 nas incógnitas (a, b, c, d) ∈ R^4. Assinale a expressão abaixo que parametriza o conjunto-solução do sistema, onde t ∈ R é um parâmetro: (a) (-3, 2, -2, 0) + t(3, -1, 1, 1) (b) (3, 0, 0, 2) + t(3, -2, 1, 1). (c) (-3, 2, -2, 0) + t(4, -1, 2, 1). (d) (-3, -2, -2, 0) + t(3, -2, 1, 1). (e) (-3, -2, -2, 0) + t(3, -1, 1, 1). (f) (3, 0, 0, 2) + t(4, -2, 1, 1). 3. Assinale a única afirmativa verdadeira. (a) O conjunto-solução de um sistema com 29 equações e 34 incógnitas pode ser uma reta. (b) Se {(x, y) ∈ R^2; -3x-5y = 1} é igual a {(9, 0) + t(-20, b); t ∈ R}, então: b = 13. (c) Seja ABCD o retângulo com lados AB, BC, CD e AD. Sejam eq1 uma equação cartesiana da reta que contém o lado BC, eq2 uma equação cartesiana da reta que contém o lado AB, eq3 uma equação cartesiana da reta que contém o lado AD e eq4 uma equação cartesiana da reta que contém o lado CD. O conjunto solução do sistema {eq1, eq4} é vazio. (d) Se a matriz aumentada de um sistema linear possui 25 linhas não-nulas e 46 colunas (incluindo o lado-direito) então é possível que o número de variáveis livres do sistema seja 24. (e) span{(-12, -4, 8, 12), (9, 3, -9, -9), (48, 16, -32, -48)} é uma reta. 4. Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: [1 -1 -2 -1 2 -1 5 4 2 -6 -2 0 0 0 -4 -2 10 -4 10k] Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução: (a) 6 (b) 5 (c) 2 (d) 2 (e) 1 (f) 4 5. Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em R^3 ? (a) {8x + 4y + 2z = 5, 32x + 16y + 8z = 20, x + 7z = 9 { -24x - 12y - 6z = -15, 36y + 4z = 12. (b) {32x + 16y + 8z = 20, -27y - 3z = -9. {10x + 40y + 25z = 20, -10x - 40y - 25z = 2 (c) {8x + 4y + 2z = 5, x + 7z = 9, z = 3 {40x + 20y + 10z = 25, -45y - 5z = -15. (d) {-4x-28z=-36, 3x+21z=27. {2x + 8y + 5z = 4, 9y + z = 3, 45y + 5z = 15. (e) x + 7y + 5z = 8, 4x + 8y = 7, -12z - 24y = -21. {32x + 16y + 8z = 20, -3x - 21z = -27, z = 3 (f) {4x + 28y + 20z = 32, -12z - 24y = -21. {40x + 20y + 10z = 25, -40x - 20y - 10z = -25. i. Cada 𝑠 representa, nos sistemas lineares abaixo, um número diferente de zero. (Diferentes 𝑠’s podem assumir valores distintos!) Assinale o único destes sistema que pode, talvez, admitir infinitas soluções. (a) 0 𝑠 0 0 0 0 𝑠 0 0 𝑠 0 0 𝑠 0 0 0 0 𝑠 0 0 0 𝑠 0 0 0 𝑠 0 0 (b) 0 0 0 0 0 0 0 𝑠 0 0 0 0 𝑠 0 0 𝑠 0 0 0 0 𝑠 0 0 𝑠 𝑠 0 0 𝑠 (c) 0 0 𝑠 0 𝑠 0 0 𝑠 0 𝑠 𝑠 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑠 (d) 𝑠 𝑠 0 0 𝑠 0 0 𝑠 0 0 0 𝑠 0 𝑠 0 𝑠 0 0 0 0 𝑠 𝑠 0 𝑠 0 0 0 𝑠 (e) 0 0 0 0 0 0 𝑠 𝑠 0 0 0 0 0 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 0 𝑠 0 𝑠 𝑠 0 0 𝑠 0 0 0 '. No “quadro fantástico” abaixo, sabe-se que cada um dos números nas quatro casas centrais é igual à média dos números nas quatro casas vizinhas (acima, abaixo, à esquerda e à direita). Calcule os valores de x, y, z e w e assinale a única alternativa correta: -4 6 5 -6 -22 x y 4 32 x w 7 0 1 -3 -2 b ← quadro fantástico a x d c x e vizinhos: x = (a + b + c + d) / 4 Observação: Quando uma placa está em equilíbrio térmico, a distribuição de temperatura na placa obedece à chamada “propriedade da média”, que em uma versão aproximada, funciona como este “quadro fantástico”. Assim, você pode pensar que as temperaturas no bordo do quadrado são conhecidas e desejamos conhecer as temperaturas em seu interior. Neste contexto, seria razoável se utilizar uma resolução bem maior, por exemplo 100 x 100 quadradinhos. Neste caso, o problema envolveria um sistema linear com milhares de equações e incógnitas. (a) x = 5 (b) z = 10 (c) z = 4 (d) z = 14 (e) z = 15 (f) z = 13 (g) z = 3 (h) z = 9