Questões Álgebra Linear 2021 2

1.c. Suponha que a matriz \[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \] tenha como autovalores \( v_1 = (3, 5)\), associado a \( \lambda_1 = 2 \) e \( v_2 = (5, -2)\), associado a \( \lambda_2 = 3 \). Então, (a) \( a_{21} - a_{12} = - \frac{5}{31} \) (b) \( a_{21} - a_{12} = 0 \) (c) \( a_{21} - a_{12} = \frac{15}{26} \) (d) \( a_{21} - a_{12} = - \frac{10}{27} \) 1.d. Sejam \[ A = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \] e \[ v = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} \] Seja \( \bar{v} = \lim_{n \to \infty} A^n v \). Então, (a) \( \bar{v} = (3, 5) \) (b) \( \bar{v} = (2, 2) \) (c) \( \bar{v} = (5, -1) \) (d) \( \bar{v} = (2, -2) \) 1.a. Uma matriz \( A_{3 \times 3} \) é simétrica e singular (não invertível). Os vetores: \[ v_1 = \frac{1}{3}(2, 2, 1) \] e \[ v_2 = \frac{1}{3}(2, -1, -2) \] são autovetores de \( A \), associados a \( \lambda_1 = 1 \) e \( \lambda_2 = 4 \), respectivamente. A primeira coluna \( A^1 \) de \( A \) é igual a: (a) \( A^1 = \frac{1}{3}(-9, 2, 5) \) (b) \( A^1 = \frac{2}{3}(-3, -5, 6) \) (c) \( A^1 = \frac{9}{2}(10, -2, -7) \) (d) \( A^1 = \frac{1}{9}(-2, 6, -7) \) 1.b. Suponha que a matriz \[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \] tenha como autovalores \( v_1 = (5, 2) \), associado a \( \lambda_1 = 3 \) e \( v_2 = (2, -5) \), associado a \( \lambda_2 = 6 \). Então, (a) \( a_{21} - a_{12} = - \frac{1}{4} \) (b) \( a_{21} - a_{12} = \frac{9}{4} \) (c) \( a_{21} - a_{12} = - \frac{3}{11} \) (d) \( a_{21} - a_{12} = 0 \)