P2 - Álgebra Linear - 2019-2

DEPARTAMENTO DA MATEMATICA APLICADA, UFRJ ALGEBRA LINEAR 2 PROVA 2, 17/10/2019 Professor: Hans-Christian Herbig Questao 1. Calcular o determinante da matriz 1 -l1 0 0O 1 hk -1 O A=l ion on -1 |: 1 h h Ah Para quais valores de h a matriz A é inversivel? (2 pontos) Solugao. Caminho 1: Usamos a regra de Chio: tn ei , [ith -1 0 1-1 0 Ll hoAh _1]= jaa |ith h -lj=(1+A)|1 Ah -1 lh hh 1l+h h Ah 1 h Ah —1lth|li+h -1 = (14h) 1 -1 =(1+h)3 ~ 13-2 |1l+h hy} 1 h\” Assim A inversivel se e somente se |A| = (1 + h)? 4 0. Isso significa que h 4 —1. Caminho 2: Para calcular o determinante podemos usar também cofatores da primeira linha repetetiva- mente to ct et fh ch Of ft 1 1 -1 0 Loh , 17/2 & —y+jl ho -ya=C+h)l ho -1 lh hh h h Rh 1 h oh 1 h Ah _ h -1] fl -1)\ _ 9 {1 —1| _ 3 = (+0) e+; h ) =(1+h) F h | =(1+hA)°. Questao 2. a.) Sejam Ae B matrizes n x n tais que AB = BA ec A é inversivel. Mostra que A~'B = BA7!. b.) Determinar o posto p da matriz 23 4 A= ]3 5 7]. 4 7 10 Determinar uma matriz X com p colunas e uma matriz Y com p linhas tais que A = XY. (2 pontos) Solugao. Para mostrar a.) fazemos a conta seguinte A'B=A™'BAA'=A™!ABA1=A™'BAA™. Para solucionar b.) determinamos a forma totalmente escalonada da matriz: f2} 3 4 2 3 4 23 4 20 -2 10 =-1 3.5 7H0 1/2 150 1 2601 2H0 1 2 4 710 0 fi] 2 000 00 0 00 0 DEPARTAMENTO DA MATEMATICA APLICADA, UFRJ ALGEBRA LINEAR 2 PROVA 2, 17/10/2019 Entao o posto é 2 e podomos fatorizar 2 3 4 2 3 a=|3.5 7/=[3 5][) 7 3). 4 7 10 4 7 23 4 1 1 111 Uma outra fatrozagaoé6é A= 13 5 7] = {1 2 i 9 ; . 4 7 10 1 3 Questao 3. Sejam A, B e C matrizes n x n. Mostrar que a matriz em blocos 1 AC 01 8B 0 0 1 tem a inversa 1 -A AB-C Oo 1 —B . 0 O 1 Aqui 0 én X n-matriz cujas entradas séo nulas e 1 6 an x n-matriz identidade. Qual é 10011 1)7 011011 001001 9 0001 1 0 ‘ 000 0 1 0 00000 1 (2 pontos) Solugao. Caminho 1: Podemos multiplicar as matrizes em blocos: 1 A C/] j1 -A AB-C 1 -A+A AB-C-—AB+C 1 0 0 0 1 B)jO 1 —B = |0 1 -B+B =]0 1 O|. 0 0 1 0 O 1 0 0 1 0 01 Caminho 2: Multiplicando as matrizes na ordem oposta e igualmente facil: 1 -A AB-C||]1 AC 1 A-A C-—AB+AB-C 1 0 0 Oo 41 —B 0 1 By) =j0 1 B-B =|]0 1 O|. 0 O 1 0 0 1 0 0 1 0 01 A matriz concreta 6 um exemplo da uma matriz em blocos. Os blocos sao 0 1 1 1 A=B= ; a: C= i if: Temos 2 0 1 1 1 1 0 1 1 0 -1 AB~C = ; A 7 f 1 ~ 0 ‘| - i 1 ~ " 0 | = A= —B. Concluimos que 100111)" fl 0 0 -1 0 -1 011011 0 1 -1 0 -1 O 001001 _ {0 0 1 0 0 -1 0001 1 0 ~ 10 0 0 1 -1 O]° 000 0 1 0 0 0 O 0 1 0 0000 0 1 0 0 O 0 0 1 DEPARTAMENTO DA MATEMATICA APLICADA, UFRJ ALGEBRA LINEAR 2 PROVA 2, 17/10/2019 Questao 4. Usa a regra de Cramer para calcular 0 valor do d na solugao do sistema linear 1 1 1 1 a x 1 2 3 4] fb] _ ly 2 5 9 14] Je] fz}- 5 14 28 48) |d w (2 pontos) Solucao. Para a avaliacao da regra de Cramer usamos a condensacao de Chio: 1 1 1 2 1 2 3 y 1 2 y-@ 2 5 9 Zz zis [3 7 zg-2x 1 _{i z— 2x4 —3y+ 3a d= 5 14 28 w} _ 9 23 w-—5z 5 w— 5x —9y+ 9x fl loi if- 12 3) — 4 {1 3 1 2 3 4 wa/3 7 12 "15 16 2 5 9 14 9 23 48 5 14 28 48 fl e-3y4+z}_, _ eee _ = ; oa = 4x —9y+w— 5x4 ldy —5z = —x + By —5z4+ w. Questao 5. Diagonalizar a matriz -1 -1 1 A= |-2 0 2]. -1 1 1 Qual é 0 niicleo da matriz A®? Diagonalizar A’. (2 pontos) Solucgao. O posto da matriz é < 2 porque a primeira e a terceira coluna sao proporcionais. Entao |A| = 0. O polinémio carateristico é -1 -1 -1 1 2 xa(A) = |A| —A (= 0 + Ci i + ; i) + d?(-14+04 1) — 8 = 4 — 8 = —X(A 4 2)(A — 2). Os autovalores sao 2,0,—2. Calculamos 0 autoespaco V2 de autovalor 2 -3 -1 1 V2 = Nuc(A—21)=Nuc{ |-2 -2 2 -1 1 -1 usando escalonamento. -3 -1 1 [AJ 1 -1 -1 1 -1 1-1 1°10 0 —2 -2 2-3 -1 1H 0 -4 480 1 -1»0 1 -1 -l 1 -1l -2 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Assim V2 = R [?]: Calculamos 0 autoespacgo Vo de autovalor 0 (i.6. o nticleo de A) -1 -1 1 Vo =Nuc(A) =Nuc}] }|-2 O 2 -1 1 1 usando escalonamento. [-1] -1 1 -1 -1 1 141-1 #210 -1 —2 0 2% 0 2 080 1 00 1 =O -1 1 1 0 2 0 0 0 O 0 0 O DEPARTAMENTO DA MATEMATICA APLICADA, UFRJ ALGEBRA LINEAR 2 PROVA 2, 17/10/2019 Assim Vo = R lo]. Calculamos o autoespaco V_2 de autovalor —2 1 -1 1 V2 =Nuc(A+21)=Nuc{ |/-2 2 2 -1 1 8 usando escalonamento. fi} -1 1 2 -1 1 1-1 1 «1 -1 0 —2 2 20 0 40 0 10 0 1 -1 1 3 0 0 4 0 0 0 0 0 #0 Assim V2 = R [3]: Agora podemos escrever A = BDB~! com 011 2 0 O B=j}1 01), D=j0 0 O]. 1 10 0 0 -2 Para calcular a inversa de B usamos a formula B~! = Bl Adj B. O determinante de B é: 011 1 1 0 10 1J=-|1 0 1 -aall i| =2. 1 10 011 Para determinar a matriz adjonta Adj B usamos o método indiano 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 x x x 1 1 0 1 1 x x x 0 1 1 0 1 x x x 1 0 1 1 0 Assim I I 0-1 1-0 1-0 I -1 1 1 B= AdiB=5 1-0 0-1 1-0)=5) 1 -1 1 J. |B| 1-0 1-0 0-1 1 1 -1 A matrizes A e A° = BD°B~! tem o mesmo niicleo Vo = R [9]. Para diagonalizar A‘ observamos A! = (BDB“)' = (B)'D'Bt = (B“)' DB". Nossas matrizes B e B~' sao (accidentalmente) simétricas. Assim -1 -1 17° f-1 -2 -1) ,f-1 1 1 20 0 011 AP=}-2 0 2) =|-1 0 Lys5} 1 -1 1 0 0 0 10 14. -1 1 1 1 2 1 1 1 -1 0 0 -2 1 10 Os autoespacos W2, Wo e W_»2 dos autovalores 2,0 e —2 de A® sao: -1/2 1/2 1/2 =k [12 |, Wo =R| te], Wa=R| 17 |. 1/2 1/2 —1/2 Em outras palavras, os geradores ficam nas colunas de (B~')¢.