Segunda Chamada - Álgebra Linear - 2020-2

DEPARTAMENTO DA MATEMATICA APLICADA, UFRJ ALGEBRA LINEAR 2 2A CHAMADA, 09/06/2021 Professor: Hans-Christian Herbig 111 Questao 1. Seja A= |]1 0 1]. 1 1 2 a.) Calcular A?, A®, | A], tr(A), tr(A?). b.) Calcular 1 A (2 —tr(A)A+ 5 (tr(A)? — tr(A’)) 1) . c.) Qual 6 A~!? Aqui tr(A) significa o traco da matriz A, i.é., a soma das entradas diagonais dela. (2 pontos) Questao 2. Para quais valores de x a matriz x 1i A:=|]1 a 1 1 1 <2 é inversivel? No caso A inversivel, determinar a inversa Aq. (2 pontos) Questao 3. Quais sao os autovalores da matriz [° 0 0 4] 100 4 > 01 0 3 ‘ 0 01 -2 (2 pontos) Questao 4. Seja (dn)n>0 a sequéncia definido pelo a recorréncia: an42 = 3an41 + 4an para n > 0 com ag = 0 e a, = 1. Verificar que }=a[e] om a= Eh a) Gn41 Gn 1 0 Diagonalizar A. Determinar lim,_5., oh Quest4o 5. Dar um exemplo duma matriz A € R?*? que satisfaz ambas das condicées seguintes: (1) nenhuma das entradas de A é nula, (2) A tem autovalores 1 e 3. Justificar a sua proposta. Qual é o polinémio carateristico de de A?? (2 pontos) Questão 1 a.) , A = = 2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 3 2 4 2 2 3 4 3 6 , A = 3 = 1 1 1 1 0 1 1 1 2 3 2 4 2 2 3 4 3 6 9 7 13 7 5 10 13 10 19 , , tr A = 3 ( ) tr A = 11 2 . |A| = = = - 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 -1 0 0 1 b.) A A - tr A A + tr A - tr A 1 = A 2 ( ) 1 2 ( )2 2 3 -tr A A ( ) 2+ tr A - tr A A 1 2 ( )2 2 = - 3 9 7 13 7 5 10 13 10 19 + 3 - 11 3 2 4 2 2 3 4 3 6 1 2 2 = 1 1 1 1 0 1 1 1 2 9 - 9 - 1 7 - 6 - 1 13 - 12 - 1 7 - 6 - 1 5 - 6 10 - 9 - 1 13 - 12 - 1 10 - 9 - 1 19 - 18 - 2 = = - 1 = |A|1. -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 c.) Concluimos A = A - tr A A + tr A - tr A 1 -1 1 |A| 2 ( ) 1 2 ( )2 2 = - - 3 + 3 - 11 3 2 4 2 2 3 4 3 6 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . = - = 3 - 3 - 1 2 - 3 4 - 3 2 - 3 2 - 0 - 1 3 - 3 4 - 3 3 - 3 6 - 6 - 1 1 1 -1 1 -1 0 -1 0 1 Questão 2 é inversível se e somente se . A |A| ≠ 0 Calculamos com a regra de Chiò: |A| = = = x + 1 - 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 x x - 1 2 x - 1 x - 1 x - 1 2 x - 1 x ( )2 x + 1 1 1 x + 1 x - 1 x ( )2 ( )2 . = x + 2x = x - 1 x + 2 x - 1 x ( )2 2 ( )2( ) (Durante da calculação assumimos , mas o resultado é contínua em .) x ≠ 0 x = 0 Assim é inversível se e somente se . A x ≠ 1, -2 Para invertir usamos o truque "indiano": A Questão 3 Queremos calcular o polinômio caraterístico de : A = 0 0 0 -a0 1 0 0 -a1 0 1 0 -a2 0 0 1 -a3 𝜒 𝜆 = |A - 𝜆1| = = A( ) -𝜆 0 0 -a0 1 -𝜆 0 -a1 0 1 -𝜆 -a2 0 0 1 -a - 𝜆 3 1 (-𝜆 )2 𝜆2 0 a 𝜆 + a 1 0 -𝜆 𝜆2 a 𝜆 2 0 -𝜆 𝜆 + a 𝜆 2 3 = = = 𝜆 0 a 𝜆 + a 1 0 -1 𝜆 a 𝜆 2 0 -1 𝜆 + a 𝜆 2 3 1 𝜆 𝜆2 a 𝜆 + a 𝜆 + a 2 2 1 0 -𝜆 𝜆 + a 𝜆 3 3 2 𝜆 a 𝜆 + a 𝜆 + a 2 2 1 0 -1 𝜆 + a 𝜆 3 3 2 = 𝜆 + a 𝜆 + a 𝜆 + a 𝜆 + a . 4 3 3 2 2 1 0 No caso especifico: a = 4, a = - 4, a = - 3, a = 2 . 0 1 2 3 Devemos fatorizar 𝜒 𝜆 = 𝜆 + 2𝜆 - 3𝜆 - 4𝜆 + 4. A( ) 4 3 2 Observamos que é um raíz. A divisão sintética da: 𝜆 = 1 1 1 2 -3 -4 4 1 3 0 -4 1 3 0 -4 0 Assim . Observamos que é um raíz de 𝜒 𝜆 = 𝜆 - 1 𝜆 + 3𝜆 - 4 A( ) ( ) 3 2 𝜆 = 1 . 𝜆 + 3𝜆 - 4 3 2 A divisão sintética da: 1 1 3 0 -4 1 4 4 1 4 4 0 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x × × × × × × × × × A -1 = 1 x - 1 x + 2 ( )2( ) x - 1 2 1 - x 1 - x 1 - x x - 1 2 1 - x 1 - x 1 - x x - 1 2 = . 1 (x - 1 x + 2 )( ) x + 1 -1 -1 -1 x + 1 -1 -1 -1 x + 1 Concluimos . 𝜒 𝜆 = 𝜆 - 1 𝜆 + 4𝜆 + 4 = 𝜆 - 1 𝜆 + 2 A( ) ( )2 3 ( )2( )2 Os autovalores são: que é dobro, e que é dobro também. 𝜆 = 1 𝜆 = -2 Questão 4 é equivalente a recorrência. = = an+2 an+1 3 4 1 0 an+1 an 3a n+1 + 4a n an+1 O polinômio caraterístico de é: A 𝜒 𝜆 = |A - 𝜆1| = = -𝜆 3 - 𝜆 - 4 = 𝜆 - 3𝜆 - 4 A( ) 3 - 𝜆 4 1 -𝜆 ( )( ) 2 = 𝜆 - - + 4 = 𝜆 - 𝜆 - = 𝜆 - 4 𝜆 + 1 . 3 2 2 9 4 3 + 5 2 3 - 5 2 ( )( ) Assim os autovalores são e . 𝜆 = 4 1 𝜆 = - 1 2 Autoespaço . Definimos . V = Nuc A - 4 ⋅ 1 = Nuc = R 𝜆1 ( ) -1 4 1 -4 4 1 := v1 4 1 Autoespaço . Definimos V = Nuc A + 1 = Nuc = R 𝜆2 ( ) 4 4 1 1 -1 1 := v2 -1 1 Colocamos . Temos e B = , [v1 v2] = 4 -1 1 1 |B| = 5 B = . -1 1 5 1 1 -1 4 Assim . = 3 4 1 0 4 -1 1 1 4 0 0 -1 1 5 1 1 -1 4 Para solucionar aplicamos : B = = c1 c2 a1 a0 1 0 B-1 . Assim . = B B = = c1 c2 -1 c1 c2 1 5 1 1 -1 4 1 0 1 5 1 -1 = - 1 0 1 5v1 1 5v2 . = A = A = … = A = A - an+1 an an an-1 2 an-1 an-2 n 1 0 n 1 5v1 1 5v2 = - = 4 5 n v1 -1 5 ( )n v2 - 4 5 n+1 -1 5 ( )n+1 * Concluimos e . = = a a n+1 n - - 4 5 n+1 -1 5 ( )n+1 4 5 n -1 5 ( )n 4 + 1 + -1 4 n -1 4 n = 4 = 𝜆 lim n ∞ → a a n+1 n 1 Questão 5 com . Buscamos t.q. tem entradas . A := BDB-1 D = 1 0 0 3 B A ≠ 0 Tentamos com . B = 1 1 1 2 B -1 = 2 -1 -1 1 Assim . = = 1 1 1 2 1 0 0 3 2 -1 -1 1 1 3 1 6 2 -1 -1 1 -1 2 -4 5 A matriz tem autovalores e . A = BD B 3 3 -1 1 = 1 3 3 = 27 3 Assim . 𝜒 𝜆 = 𝜆 - 1 𝜆 - 27 = 𝜆 - 28𝜆 + 27 A3( ) ( )( ) 2