Exercícios Análise 1 2022 2

Um conjunto A R é aberto se e somente se cumpre a seguinte condição se uma sequência xn converge para um ponto a A então xn A para todo n suficientemente grande Para quaisquer X Y R temse intX Y intX intY e intX Y intX intY Dê um exemplo em que a inclusão não se reduz a uma igualdade Capítulo 1 Exercício 11 Comece supondo que A é aberto Seja xnn uma sequência conver gindo para a A Sendo A aberto existe ϵ 0 tal que a ϵ a ϵ A Ainda mais para este ϵ pela convergência da sequência existe n0 N de modo que xn a ϵ xn a ϵ a ϵ A n n0 Reciprocamente suponha que valha tal condição Mostrar que A é aberto é o mesmo que mostrar que seu complementar Ac é fechado De fato seja xnn uma sequência em Ac com xn a provemos que a Ac Isso segue diretamente da hipótese caso a A teríamos xn A para todo n suficientemente grande o que seria uma contradição pela definição de tal sequência logo a Ac e A é aberto Observação Para provar que um conjunto é fechado podemos usar o seguinte X é fechado se e somente se toda sequência convergente xnn em X tem seu limite em X Exercício 12 Mostremos que intX Y intX intY Comece tomando x intX intY Disso existem r1 r2 0 de modo que x r1 x r1 X e x r2 x r2 Y Seja r minr1 r2 e veja que x r x r X Y e com isso x intX Y Logo intX intY intX Y Reciprocamente seja x intX Y Existe então r 0 tal que x r x r X Y e obviamente x r x r está contido em X e Y logo x é um ponto interior a X e a Y valendo que intX intY intX Y Provemos a outra relação intX intY intX Y Seja x intX intY Suponha que x intX então existe r1 0 tal que x r1 x r1 X Disso e como X X Y teremos x r1 x r1 X Y x intX Y Fazse o análogo para o caso em que x intY Para provar que não vale a igualdade entre tais conjuntos seja X 1 0 e Y 0 1 Temos que intX X e intY 0 1 Logo intX intY 1 00 1 No entanto veja que XY 1 1 e intX Y 1 1 Isto é 0 intX Y mas 0 intX intY 1 Mostre que se X Y então 𝑋 𝑌 Capítulo 1 2 Exercício 13 Lembrese do seguinte a A r 0 a r a r A Seja x X Assim para todo r 0 temos x r x r X 0 Como X por hipótese é tal que X Y então x r x r X x r x r Y e por isso x r x r Y provando que x Y Exercício 14 Pela definição limxa fx L pode ser escrito como ϵ 0 existe δ 0 tal que fx L ϵ para todo x A com 0 x a δ Seja ϵ 0 Então pela existência de tal limite existe δ 0 de modo que x A e 0 x a δ fx L ϵ Logo se x A e 0 x a δ então fx fx L L fx L L ϵ L Portanto basta tomar M ϵ L provando o que queríamos Exercício 15 Novamente usaremos da definição do limite em questão vejamos Dado que L 0 seja ϵ 0 de modo que L ϵ 0 Assim para tal ϵ existe δ 0 tal que x A e 0 x a δ fx L ϵ Dessa última desigualdade fx L ϵ ϵ fx L ϵ fx L ϵ 0 sempre que x A e 0 x a δ Observação Atentese quando escrevemos x A e 0 x a δ fx L ϵ Pode parecer a definição de uma função contínua mas são definições distintas Nesse caso L não precisa nem estar na imagem de f A função f seria contínua em a se L fa Sejam f A R uma função A R e a A Prove que se limxa fx L então existe δ 0 M 0 tais que fx M para todo x A e 0 x a δ Sejam f A R uma função A R e a A Se limxa fx L 0 então existe δ 0 tal que para todo x A e 0 x a δ se tem fx 0 Resolução 10 de janeiro de 2023