Cálculo 2 - 1a Unidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ESCOLA DE CIˆENCIA E TECNOLOGIA Lista de Exercıcios Calculo II 1a Unidade valor 20 Pontos prof Alex Lima Questao 1 Faca o grafico da funcao e determine seu valor medio ao longo do intervalo dado a fx 3x3 3 em 0 1 b hx x em 1 1 Questao 2 Calcule as integrais a seguir a π3 π3 1 cos 2θ 2 dθ b 1 0 4du 4 u2 Questao 3 a Determine a area da regiao triangularno primeiro quadrante limitada acima pela curva y ex2 abaixo pela curva y ex2 e a direita pela reta x 2 ln 2 b Determine a area da regiao no primeiro quadrante limitada a esquerda pelo eixo y abaixo pela curva x 2y acima e a esquerda pela curva x y 12 e acima e a direita pela reta x 3 y Questao 4 Calcule o que se pede a Determine o volume do solido obtido atraves da rotacao em torno do eixo y da regiao limitada pelas retas e curvas x 2yy2 1 x 0 e y 1 b Determine o volume do solido obtido atraves da rotacao em torno do eixo x da regiao limitada pelas retas e curvas y 2x y 2 e x 0 a O gráfico no intervalo dado Média 𝑦 1 Δ𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 1 0 1 1 0 3𝑥3 3𝑑𝑥 1 0 3 4 𝑥3 3𝑥 0 1 9 4 b O gráfico no intervalo dado Média 𝑦 1 Δ𝑥 ℎ𝑥𝑑𝑥 1 1 1 1 1 𝑥𝑑𝑥 1 1 1 2 2 𝑥𝑑𝑥 1 0 1 2 a Fazendo uma substituição simples 𝑢 2𝜃 1 cos𝑢 2 1 2 𝑑𝑢 𝜋 3 𝜋 3 𝑢 4 sin 𝑢 4 Desfazendo a substituição 𝜃 2 sin2𝜃 4 𝜋3 𝜋3 𝜋 3 3 4 b Substituindo 𝑢 2 sin𝜃 4 4 4sin2 𝜃 1 0 2 cos 𝜃 𝑑𝜃 4 2 cos 𝜃 𝜋 6 0 2 cos 𝜃 𝑑𝜃 4 𝜋 6 0 𝑑𝜃 2 3 𝜋 a A região requerida é a seguinte O cálculo pode ser feito da seguinte forma e 𝑥 2 𝑒𝑥 2 𝑑𝑥 2 ln 2 0 e 𝑥 2 𝑒𝑥 2 𝑑𝑥 2 ln 2 0 2 e 𝑥 2 𝑒𝑥 2 0 2 ln 2 1 b A região requerida é Pontos de interseção 2𝑦 𝑦 12 4𝑦 𝑦 14 As raízes aproximadas da equação acima são Y 01380174317 Y 2835086682 O ponto de integração inicial é 𝑦0 01380174317 Para o ponto final 𝑦 12 3 𝑦 O ponto de integração final do intervalo é 𝑦𝑓 2 O ponto intermediário de integração 2𝑦 3 𝑦 𝑦𝑚 1 Integrando 𝐴 2𝑦 𝑦 12𝑑𝑦 𝑦𝑚 𝑦0 3 𝑦 𝑦 12𝑑𝑦 𝑦𝑓 𝑦𝑚 𝐴 4𝑦 3 2 3 𝑦 13 3 𝑦0 𝑦𝑚 3𝑦 𝑦2 2 𝑦 13 3 𝑦𝑚 𝑦𝑓 𝐴 4𝑦 3 2 3 𝑦 13 3 𝑦0 1 3𝑦 𝑦2 2 𝑦 13 3 1 2 𝐴 4𝑦 3 2 3 𝑦 13 3 𝑦0 1 3𝑦 𝑦2 2 𝑦 13 3 1 2 𝐴 13 6 4𝑦0 3 2 3 𝑦0 3 3 𝑦0 2 𝑦0 Substituindo o valor de 𝑦0 01380174317 𝐴 2218145726 a Gráfico da região rotacionada Cálculo do volume 𝑉 𝜋 𝑥2𝑑𝑦 1 0 𝜋 2𝑦 𝑦2 1 2 𝑑𝑦 1 0 𝜋 2𝑦 𝑦2 12 𝑑𝑦 1 0 Aplica a substituição simples 𝑢 𝑦2 1 2𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑢0 1 𝑢1 2 𝑉 𝜋 1 𝑢2 𝑑𝑢 2 1 𝜋 2 b Gráfico Cálculo do volume 𝑉 𝜋 22 2𝑥 2𝑑𝑥 1 0 𝜋 4 4𝑥𝑑𝑥 1 0 2𝜋