Livro Funções Hiperbólicas e Cabos Pendentes-2021 2

474 Calculo Nesta secdo estudaremos certas combinacées de e e e denominadas funcées hiperbélicas Essas funcées que aparecem em varias aplicacées em Engenharia tém muitas propriedades em comum com as funcées trigonométricas Tais semelhancas sdo supreendentes uma vez que hd muito pouco no aspecto exterior que sugira qualquer relacdo entre exponenciais e funcdes trigonométricas Issose deve ao fato de essas relacées ocorrerem dentro do contexto dos numeros complexos um topico que deixaremos para cursos mais avancados DEFINICOES DE FUNCOES HIPERBOLICAS Para introduzir as fungdes hiperbolicas observe que no Exercicio 65 da Secao 02 foi mos trado que a func4o e pode ser expressa da seguinte forma como a soma de uma funcao par e de uma funcao impar y ere ee e 2 2 kee oo Par Impar Essas fung6es sao suficientemente importantes para que haja nomes e notagdes associados a elas a funcao impar é chamada de seno hiperbélico de x e a par cosseno hiperbélico de x Elas sao denotadas por ee ee senh x e coshx 2 2 Dessas duas pedras fundamentais podemos criar mais quatro fungGes e obter 0 seguinte con junto de seis fungées hiperbolicas 691 DEFINICOES ee Seno hiperbolico senhx aye ee Cosseno hiperbolico coshx are senhx ee Tangente hiperbolica tghx cosh x ex e ane cosh x ewtte Cotangente hiperbolica cotgh x senhx ee ys 1 2 Secante hiperbolica sech x coshx ee ay 1 2 Cossecante hiperbolica cossech x senhx ee DOMINIO DA TECNOLOGIA Exemplo 1 i Aer i eoe 11 Os sistemas algébricos computacio senhO 0 nais tém recursos para calcular dire 2 2 tamente as fungdes SSeS eo 4 e79 141 que algumas calculadoras nao tém cosh Q Contudo se o leitor quiser calcular o 2 2 valor de uma fungo hiperbolica em ee e uma calculadora isso pode ser feito senh 2 36269 expressandoa em termos de fungdes exponenciais como no Exemplo 1 Capitulo 6 Aplicagées da integral definida na Geometria nas Ciéncias e na Engenharia 475 GRAFICOS DAS FUNCOES HIPERBOLICAS Os graficos das fungdes hiperbdlicas que aparecem na Figura 691 podem ser gerados com um recurso computacional mas vale a pena observar que a forma geral do grafico de y cosh x pode ser obtida esbogandose separadamente os graficos de y se ey se e somandose as coordenadas y correspondentes ver a parte a da figura Analogamente a forma geral do grafico de y senh x pode ser obtida esbocandose separadamente os graficos de y 5e e y se e somandose as coordenadas y correspondentes ver a parte b da figura q y y y j y X 7 Jy N 1 i A 7 Ipoy 1 alo YS a lor 1 a 4 SS y 2 ao y 2 y z e een oUt x x aa 1 y ys5e Sea a 1 a b c y y y dt OO 1 x x x ya aah 6 a te ye 5 Be ee ee eee d e f rf i a Figura 691 Observe que senh x tem um dominio de e uma imagem de en quanto cosh x tem um dominio de e uma imagem de 1 Observe também Glen AllisonStoneGetty Images lox 1 ox ox 2 PA 4 O projeto do Gateway Arch em St que y 5ee y ze sao assintotas curvilineas de y cosh x no sentido de que o grafico y sie 7c 1 x co Louis nos Estados Unidos estdé ba dessa fungao fica cada vez mais proximo do grafico de y 5e quando x e cada veZ seado em uma curva invertida do cos Mais pr6ximo de y 5e quando x ver Secao 43 Da mesma forma y 5e seno hiperbélico Exercicio 73 y te sao assintotas curvilineas para y senh x quando x ex respecti vamente As demais propriedades das fung6es hiperbdlicas serao exploradas nos exercicios CABOS PENDENTES E OUTRAS APLICACOES As funcées hiperbélicas surgem em movimentos vibrat6rios dentro de sdlidos elasticos e mais geralmente em muitos problemas nos quais a energia mecanica é gradualmente absor vida pelo meio ambiente Elas também ocorrem quando um cabo flexivel e homogéneo é sus penso entre dois pontos como as linhas telef6nicas entre dois postes Tais cabos formam uma curva denominada catendria em latim catena significa cadeia Se como na Figura 692 for introduzido um sistema de coordenadas tal que o ponto mais baixo do cabo esteja no eixo y pode ser mostrado usando principios da Fisica que o cabo tem uma equacao da forma x y acoshc a 476 Calculo y yacoshxae M que os parametros a e c sao determinados pela distancia entre os postes e a composiao 7 do caso et a As fungées hiperb6licas satisfazem varias identidades similares aquelas das funcées trigono métricas A mais fundamental delas é Figura 692 cosh x senhx 1 1 que pode ser provada escrevendose cosh x senh x cosh x senh xcosh x senh x ewe 4 ewe ewte ee 2 2 2 2 ee1 Outras identidades hiperbdlicas podem ser deduzidas de modo semelhante ou alter nativamente executando operacoes algébricas nas identidades conhecidas Por exemplo se dividirmos 1 por cosh x obteremos R oo 1 tgh x sechx 3 e se dividirmos 1 por senh x obteremos eRe ae cotgh x 1 cossech x O teorema a seguir resume algumas das identidades hiperbolicas mais titeis As provas que ainda nao foram feitas serao deixadas como exercicio Larry AuippyMiracomDigital Railroad Inc Um cabo flexivel suspenso entre dois 692 TEOREMA postes forma uma catendria cosh x senh x e senh x y senh x cosh y cosh x senh y cosh x senh x e cosh x y cosh x cosh y senh x senh y cosh x senh x 1 senh x y senh x cosh y cosh x senh y y Payal 1 tgh x sech x cosh x y cosh x cosh y senh x senh y n cos f sent cotgh x 1 cossech x senh 2x 2 senh x cosh x xX cosh x cosh x cosh 2x cosh x senh x senh x senh x cosh 2x 2 senh x 1 2 cosh x 1 a y wteytel POR QUE SAO CHAMADAS DE FUNGOES HIPERBOLICAS Lembre que as equag6es paramétricas cosh senh 1 xcost ysent 0 t 27 x representam 0 circulo unitario x y 1 Figura 693 como pode ser visto escrevendose xy cos t sent 1 Se 0 t 27 entao 0 parametro pode ser interpretado como o Angulo em radianos desde 0 e1xXO x positivo até o ponto cos f sen f ou alternativamente como o dobro da area sombrea b da na Figura 693a verifique Analogamente as equagGes paramétricas Figura 693 xcosht ysenht t 0 Capitulo 6 Aplicagoes da integral definida na Geometria nas Ciéncias e na Engenharia 477 representam uma parte da curva x y 1 como pode ser visto escrevendose x y cosht senht 1 e observandose que x cosh t 0 Essa curva que esta na Figura 693 é a metade direita de uma curva denominada hipérbole unitaria essa é a razao pela qual as fung6es nesta segao sao chamadas de fungées hiperbdlicas Podese mostrar que se t 0 entao o parametro f pode ser interpretado como o dobro da area sombreada na Figura 693b Omitimos os detalhes m FORMULAS PARA AS DERIVADAS E AS INTEGRAIS As formulas para as derivadas de senh x e cosh x podem ser obtidas expressandose estas fun cdes em termos de ee e d d ee ee ax senh x ax 5 5 cosh x d d ee ee cosh x senhx dx dx 2 2 As derivadas das fungées hiperbdlicas restantes podem ser obtidas expressandoas em termos de senh e cosh e aplicandose as identidades apropriadas Por exemplo d d d d senhx cosh x senh x senh x cosh x tghx 44 dx dx coshx cosh x cosh x senh x 1 2 ech x cosh x cosh x O teorema a seguir fornece uma lista completa de formulas de derivacao e de integrag4o para as fungdes hiperbdlicas 693 TEOREMA d du senh u cosh u coshu du senhu C dx dx d d lcosh u senh noe senh u du coshu C dx dx d d tghu sech u sect wa tghuC dx dx d du 2 cotgh u cossech u cossech udu cotghu C dx dx d du sech u sech u tgh u sech u tghu du sechu C dx dx d du Aen u cossech u cotgh u ax cossech u cotgh u du cossech u C x x Exemplo 2 d 3 3 223 2 3 coshx senhx x 3x senhx dx dx qi tgh x 1 teh sech x in XxX x dx S tghx dx S tgh x 478 Calculo Exemplo 3 5 1 6 u senhx sen x cosh x dx senh x C senh rsnvax seme dx cosh x u coshx in cosh C Incosh x C Como cosh x 0 em cada x estamos autorizados a abolir os sinais de valor absoluto Exemplo4 Umcabo de 100 pés esta preso pelas pontas no alto de dois postes de 50 pés posicionados a 90 pés de distancia Figura 694 A que altura acima do solo esta 0 ponto médio do cabo Solucdo Pelo que vimos acima o cabo forma uma catendria de equacio x y acosh c a onde a origem esta no solo a meio caminho entre os dois postes Usando a Formula 4 da Secdo 64 para o comprimento da catendria temos 45 2 d 100 1 dx 45 dx 45 2 d simetriz of 0 dx pelo eixo y 45 2 1 senh as 0 a 45 x 2 cosh dx 0 a coshx 0 45 45 2asenh 2a senh a o a y Usando o recurso numérico de uma calculadora para resolver 50 45 40 100 2a senh a 20 10 em a obtemos a 5601 Entao x 45 45 45 50 y45 5601 cosh 5601 c 7508 y 5601 cosh 2508 de modo que c 2508 Assim 0 ponto médio do cabo esta a y0 5601 2508 3093 Figura 694 pés acima do solo Figura 694 lM FUNCOES INVERSAS DAS FUNCOES HIPERBOLICAS A partir da Figura 691 é evidente que os graficos de senh x tgh x cotgh x e cossech x pas sam pelo teste da reta horizontal mas os graficos de cosh x e sech x nao No Ultimo caso restringir x como nao negativo torna as funcgOes invertiveis Figura 695 Os graficos das Capitulo 6 Aplicagées da integral definida na Geometria nas Ciéncias e na Engenharia 479 y seis fungées hiperbolicas inversas na Figura 696 foram obtidos por reflexao em torno da reta y x com as restrigdes apropriadas A Tabela 691 resume as propriedades basicas das funcées hiperbdlicas inversas O leitor deve confirmar que os dominios e as imagens na tabela estéo de acordo com os graficos ycoshx na Figura 696 y sechx x y y yo Com a restrigao de que x 0 as curvas y cosh x e ysechx x x x passam pelo teste da reta horizontal 1 vl 1 Figura 695 y arc senh x y arc cosh x y are tgh x y y y I x x x 1 jl 1 Figura 696 y arc cotgh x y arc sech x y arc cossech x Tabela 691 PROPRIEDADES DAS FUNCOES HIPERBOLICAS INVERSAS FUNCAO DOMINIO IMAGEM RELAGOES BASICAS arc senh senh x x se x0 arc senh x c 00 00 00 senh arc senh x x se x0 arc cosh coshx x se x20 arc cosh x 1 00 0 00 cosh arc cosh x x se x21 arc tgh tghxx se x00 are tgh x 1 1 co 00 tgh arc tghxx se lxl tgh cotgh x 0 0 are cotgh x 1 U 1 2 2 0 U0 0 Me CotsH Cotgh x se x Dour cotgh arc cotgh x x se xloux1 are sech x 01 0 20 arc sech sech x x se x20 sech arc sechx x se O0x1l arc cossech cossech x x se x Qoux0 arc cossech x 0 U 00 00 0 U 0 2 cossech arc cossech x x se x OQoux0 480 Calculo FORMAS LOGARITMICAS DAS FUNGOES HIPERBOLICAS INVERSAS Como as fungoées hiperbdlicas podem ser expressas em termos de e nao deve constituir uma surpresa que as fungoes hiperbélicas inversas possam ser expressas em termos dos logaritmos naturais O pr6ximo teorema mostra isso 694 TEOREMA As seguintes relag6es valem em cada x do dominio das fungées hiper bolicas inversas dadas arc senh x Inx Vx21 arc cosh x Inx Vx 1 1 1 1 1 arc tgh x In t arc cotgh x In Ft 2 1x 2 x1 Sy 2 1 vVix2 arc sech x In arc cossech x In x x x Vamos mostrar como deduzir a primeira formula desse teorema deixando as restantes como exercicio A ideia basica é escrever a equacao x senh y em termos de fungdes exponenciais e resolvéla para y como uma fungao de x Isso ira produzir a equagao y arc senh x em que arc senh x esta expressa em termos de logaritmos naturais Expressando x senh y em termos de exponencias obtemos ev e senh y x senhy 5 a qual pode ser reescrita como e 2xe0 Multiplicando essa equagao por e obtemos e 2xe 10 e aplicando a férmula quadratica obtemos 2x V4x2 4 eo ee xt x24 Uma vez que e 0 a solucao envolvendo o sinal menos deve ser descartada Assim extVx241 Tomando o logaritmo natural obtemos yInwvVx21 ou arcsenh x Inx Vx1 Exemplo 5 arc senh 1 In1 12 1 In1 V2 08814 1 1 143 1 tgh In In3 05493 are tah 5 si i zn Capítulo 6 Aplicações da integral defi nida na Geometria nas Ciências e na Engenharia 481 DERIVADAS E INTEGRAIS DE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS As fórmulas para as derivadas das funções hiperbólicas inversas podem ser obtidas do Teo rema 694 Por exemplo Esse cálculo leva a duas fórmulas de integração a que envolve arc senh x e uma fórmula equi valente envolvendo logaritmos Os dois teoremas a seguir dão uma lista das fórmulas de derivação e das corresponden tes fórmulas de integração para as funções hiperbólicas inversas Algumas das provas apare cem como exercícios 695 TEOREMA 696 TEOREMA Se a 0 então Mostre que a derivada de arc senh x pode também ser obtida tomando y arc senh x e então diferenciando implicitamente a equação x senh y Anton06indd 481 Anton06indd 481 200514 1539 200514 1539 482 Calculo dx 3 Exemplo6 Calcule J x V4x2 9 2 Solucdo Sejau 2x Assim du 2 dxe dx i 2dx 1 du V4xr29 25 Vax29 2S Vu 32 nc ne arc COS arc COS a 2 3 2 3 Alternativamente podemos utilizar 0 equivalente logaritmico de arc cosh 2x3 2x arc cosh In2x V4x2 9 1n3 verifique e expressar a resposta como dx 1 S InQ2QxV4x29C V4x29 2 Y EXERCICIOS DE COMPREENSAO 69 Ver pagina 485 para respostas d d 1 cosh x senh x 4 coshx senh x dx dx tghx d 2 Complete a tabela ay igh x poo TT tghx dx SS d d 3 As equacdes paramétricas 6 ay ere cosh x ay Late senh x xcosht ysenht tf f tare tgh x dx representam o lado direito de uma curva chamada Eliminando o parametro a equacdo dessa curva é dada por EXERCICIOS 69 Recurso Grafico 12 Aproxime a expressfo até quatro casas decimais apropriadas para encontrar os valores exatos das cinco restan 1 a senh3 b cosh 2 c tgh In 4 a funePes meen xy c tehxo d arc senh2 e arc cosh3 f arc tgh 3 o on 4 Bn xo 5 2 a asec seh n2 eg 6 omens iy rae acc d arc sech e arccotgh3 f arc cossech V3 8 sao Pp ene a 7 Obtenha as derivadas de arc cosh x e arc tgh x diferenciando as 3 Encontre o valor numérico exato de cada expressao formulas do Teorema 694 a senh In 3 b cosh In 2 c tgh 21n5 d senh 3 In 2 8 Obtenha as coordenadas de arc senh arc cosh e arc tgh deri 4 Em cada parte reescreva a expressaéo como uma razao de po vando as equagoes x senh y x cosh ye x tgh y implici ane tamente lindmios a cosh In x b senh In x 928 Encontre dydx c tgh 2 Inx d cosh In x 9 y senh 4x 8 10 y cosh x4 5 Em cada parte um valor para uma das funcées hiperbdlicas é dado em um ponto nao especificado xo Use as identidades 11 y cotgh In x 12 y In igh 2x Capitulo 6 Aplicagées da integral definida na Geometria nas Ciéncias e na Engenharia 483 13 y cossech 1x 14 y sech e 53 Encontre o comprimento de arco da catenaria y cosh x entre 15 y V4x cosh5x 16 y senh 2x xOexIn2 54 Encontre o comprimento de arco da catenaria y a coshxa a 2 17 yx tghx 18 y senh cos 3x entre x Oex x 0 1 19 y arc senh 32 20 y are senh 1x 55 Nas partes a a f encontre os limites e confirme que esto de 21 y In arc cosh x 22 y arc cosh are senhx acordo com os graficos nas Figuras 691 e 696 l a lim senhx b lim senhx 23 y 24 y arc cotgh x vote woe arc tgh x c lim tghx d lim tghx x 00 xo 25 y arc cosh cosh x 26 y arc senh tgh x e lim are sen x f lim are tg x xX 00 x 17 27 y e arc sech x 28 y 1 x are cossech x 6 56 Explique como podem ser obtidas as assintotas de y tgh x 29 senh x cosh x dx 30 cosh2x 3 dx a partir das assintotas curvilineas de y cosh x e y senh x 31 ighx sech x dx 32 cossech 3x dx 57 Prove que senh x é uma funcao impar de x que cosh x é uma funcao par de x e verifique que isso é consistente com os graficos na Figura 691 33 tgh x dx 34 cotgh x cossech x dx In3 In3 et e 35 tgh xX sech x dx 36 eo te dx Ino 9 ere 5859 Prove as identidades Ml dx dx 37 SS 38 SS x 2 58 a coshx senhxe V1 9x vx2 b coshx senh x e 39 dx 0 40 sen 0 dO c senh x y senh x cosh y cosh x senh y 1 2x 1 cos 6 d senh 2x 2 senh x cosh x dx dx e cosh x y cosh x cosh y senh x senh y 41 42 x 53 f cosh 2x cosh x senh x xv 1 4x Vv 9x 25 g cosh 2x 2 senh x 1 V2 ay 3 at h cosh 2x 2 cosh x I 43 1x2 44 2 1 59 a 1 tgh x sech x b tghx y tghx tghy x 4548 VerdadeiroFalso Determine se a afirmagao dada é verda s 1tghxtghy deira ou falsa Explique sua resposta 2tghx c tgh2x 45 A equacdo cosh x senh x nado tem solucao I tgh x ope ay wy 60 Prove 46 Exatamente duas das fungées hiperbdlicas sao limitadas s P a arccosh x InxwVx21 x21 47 Exatamente uma das fung6ées hiperbdlicas fx é tal que a equa 1 lx cdo fx a tem uma Unica solugdo x qualquer que seja o nu b are tgh x 2 In i lx mero real a 61 Use o Exercicio 60 para obter as formulas de derivacao para 48 As identidades do Teorema 692 podem ser obtidas das corres arc cosh x e arc tgh x pondentes identidades trigonométricas substituindo as fungdes trigonométricas pelas fungdes hiperbdlicas andlogas 62 Prove 49 Encontre a 4rea delimitada por y senh 2x yOexIn3 are sech x arc cosh 1x Oxl 50 Encontre o volume do sélido gerado quando a regiao limitada arc cotgh x arc tgh 1x x 1 por y sech x y 0 x O ex In 2 gira em torno do eixo x arc cossech x arc senh 12 x0 51 Encontre 0 volume do sélido gerado quando a regiao limitada por y cosh 2x y senh 2x x 0 ex 5 gira em torno do 63 Use o Exercicio 62 para expressar a integral 1X0 x du 52 Aproxime o valor positivo da constante a de tal modo que a 1w2 area englobada por y cosh ax y 0 x 0ex 1 sejade 2 unidades de drea Expresse sua resposta com pelo menos cinco totalmente em termos de arc tgh casas decimais 484 Calculo 64 Mostre que a Use um recurso computacional para fazer o grafico da cur d 1 va central do arco a lare sech x dx xVT x2 b Encontre o comprimento da curva central com quatro d l casas decimais b ay are cossech x Jian c Para quais valores de x a altura do arco é 100 pés Arre xvi x donde sua resposta para quatro casas decimais 65 Em cada parte encontre o limite d Aproxime até o grau mais proximo o Angulo agudo que cosh x a reta tangente a curva central faz com o solo no final do a lim arccoshx Inx b lim xX 00 xX 00 e arco 66 Use as derivadas primeira e segunda para mostrar que o grafico 74 Suponha que um tubo oco gire com uma velocidade angular de y arc tgh x é sempre crescente e tem um ponto de inflexdo constante de w rads em torno de um eixo horizontal em um na origem extremo do tubo conforme a figura a seguir Suponha que um objeto deslize sem atrito dentro do tubo enquanto o tubo es 5 i a a 2 q2 eA wa 67 As ermal de integragao para 1 re ano fore 028 tiver girando Seja r a distancia do objeto ao ponto pivé no sao validas se u a Mostre que a f6rmula a seguir é valida se instante 0 e suponha que quando t 0 0 objeto esteja em usa repouso e r 0 Podese mostrar que se 0 tubo estiver na hori du u zontal em t 0 e girando conforme a figura entao Ss arc cosh C ou In u Vue C y2 a2 a r senhwt senwt 2w a 68 Mostre que senh x cosh x senh nx cosh nx durante o periodo em que o objeto estiver no tubo Suponha 69 Mostre que que f esteja em segundos r esteja em metros g 98 ms e a 2 rads dx 2 senh at a Faga o grafico de r versus t para0 t 1 a t b Supondo que o tubo tenha um comprimento de m aproximadamente quanto tempo o objeto levara para 70 Um cabo esta suspenso entre dois postes conforme a Figura ingir o final do tubo 692 Suponha que a equacdo da curva formada pelo cabo seja atingir 0 Hina do tbo 7e OUP q q s P J c Use o resultado de b para aproximar drdt no momento y acoshxa onde a é uma constante positiva Suponha que wn em que o objeto atingir o fim do tubo as coordenadas x dos pontos de suporte sio x bexb sendo b 0 a Mostre que o comprimento de arco L do cabo é dado por Tn b va L 2a senh o a Figura Ex74 b Mostre que a flecha S distancia vertical entre 0 ponto mais alto e 0 mais baixo ao longo do cabo é dada por 75 A figura a seguir mostra uma pessoa puxando um barco por b uma corda de comprimento a amarrada na proa e andando na S acosha beirada de um cais Supondo que a corda esteja sempre tangen a te 4 curva tracgada pela proa ento essa curva que é chamada 7172 Estes exercicios referemse ao cabo suspenso descrito no de tractriz tem a propriedade de que 0 segmento da reta tan Exercicio 70 gente entre ela e 0 eixo y tem comprimento constante a Pode se provar que a equacao dessa tractriz é 171 Supondo que os postes estejam a 400 pés de distancia e que a flecha no cabo seja de 30 pés aproxime 0 comprimento do y a are sech x y a2 x2 cabo aproximando a Expresse sua resposta final até o décimo a de pé mais préximo Sugestdo Faca primeiro u 200a a Mostre que para mover a proa do barco até um ponto 72 Supondo que o cabo tenha 120 pés de comprimento e que os x y a pessoa precisa andar uma distancia de postes estejam a 100 pés de distancia aproxime a flecha no x cabo aproximando a Expresse sua resposta final até o décimo D a are sech a de pé mais proximo Sugestdo Faga primeiro u 50a da origem 73 O projeto do Gateway Arch em St Louis Missouri foi elabo b Se acorda tiver um comprimento de 15 m quanto a pes rado pelo arquiteto Eero Saarinan e implementado usando as soa precisaré andar a partir da origem para trazer 0 barco equacoées fornecidas pelo Dr Hannskarl Badel As equagées a 10 m do cais Arredonde sua resposta para duas casas usadas para curva central do arco foram decimais y 6938597 687672 cosh 00100333x pés c Encontre a distancia percorrida pela proa ao longo da trac triz quando ela se move de sua posicao inicial para um com x entre 2992239 e 2992239 ponto que esta4 a 5 m do cais Capitulo 6 Aplicagées da integral definida na Geometria nas Ciéncias e na Engenharia 485 y Dado qualquer numero real f defina x cosh te y senh t como os tinicos valores de x e y tais que i 0 ponto Px y esta no ramo direito da hipérbole unitaria royal ii te y tém o mesmo sinal ou séo ambos nulos x y ili a area da regido delimitada pelo eixo x o ramo direito da hipérbole unitaria e o segmento de reta da origem até P é x igual a t2 Cais a 0 a Discuta quais propriedades deveriam ser verificadas inicial Posiao mente para garantir que isso seja uma definiao legitima inicial Figura Ex75 77 Texto Investigue quais propriedades de cosh fe senh t podem 76 Texto Suponha que analogamente as fungées trigonométri ser p rovadas diretamente a partir da definigao geometrica no cas definamos cosh t e senh t geometricamente usando a Figu Exercicio 76 Escreva uma breve descricao dos resultados de ta 693b sua investigaao V RESPOSTAS DOS EXERCICIOS DE COMPREENSAO 69 1 ete ee ee 2 2 7 ee 3 hipérbole unitaria er y 1 4 senhx coshx sechx 5 senhxC coshxC IncoshxC 6 1 1 1 Vx 1 VT 22 12 EXERCICIOS DE REVISAO DO CAPITULO 6 1 Descreva 0 método do fatiamento para encontrar volumes e c Encontre o volume do sélido gerado quando R gira em tor useo para deduzir uma férmula integral para obter volumes no do eixo x por integracd4o em relac4o a x pelo método dos discos d Encontre o volume do sélido gerado quando R gira em tor do ei int a laga 2 Enuncie uma formula integral para encontrar um volume pelo NO GO 1X0 X POF I eerage om Felagao ay ae e Encontre 0 volume do sdlido gerado quando R gira em tor método das camadas cilindricas e use somas de Riemann para x x derivar a férmula dada no do eixo y por integracao em relacao a x f Encontre o volume do sélido gerado quando R gira em tor 3 Enuncie uma formula integral para encontrar 0 comprimento no do eixo y por integracao em relacao a y de arco de uma curva lisa y fx acima de um intervalo a b g Encontre o volume do solido gerado quando R gira em tor e use somas de Riemann para derivar a formula dada no da reta y 3 por integrac4o em relacao a x h E t 1 do solid ds do R gi tor 4 Enuncie uma formula integral para o trabalho W realizado por h Encontre o volume oso aaa 0M irgem ror i Le no da reta x 5 por integracao em relacao a x uma forga varidvel Fx aplicada na direcgao e no sentido de movimento de um objeto que se desloca de x a parax be 7 a Apresente uma soma de integrais definidas que represente use somas de Riemann para derivar a férmula dada a area total entre as curvas y fx e y gx na figura Z abaixo 5 Enuncie uma formula integral para a forcga fluida F exercida b Encontre a area total delimitada por y x3 e y x no in sobre uma superficie plana verticalmente submersa em um ope tervalo 1 2 fluido de peso especifico p e use somas de Riemann para deri var a formula dada y 6 Seja R aregiao no primeiro quadrante delimitada por y x yf y2xex 0 Em cada parte monte mas ndo cal Ll cule uma integral ou uma soma de integrais que resolva o problema a b 7 a a Encontre a 4rea de R por integracAo em relagao a x Wy YJ b Encontre a area de R por integracao em relac4o a y y 8 Figura Ex7