Exercício Resolvido-2021 2

1 Encontre a área englobada pelas curvas 𝑥 1 𝑦 𝑥 0 𝑦 1 𝑦 𝑒 Esboçando as curvas e a região temos Assim 𝐴 𝜔𝑦 𝑑𝑦 1 𝑦 𝑑𝑦 𝐴 𝑑𝑦 𝑦 ln𝑦 𝐴 ln 𝑒 ln 1 1 0 𝐴 1 𝑢 𝑎 2 Encontre a área englobada pelas curvas 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 𝑥 0 𝑥 ln 2 Esboçando as curvas e a região temos Assim 𝐴 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝐴 𝑒 𝑒 𝑑𝑥 𝐴 𝑒 𝑑𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝑢 2𝑥 𝑑𝑢 2 𝑑𝑥 𝑥 0 𝑢 0 𝑥 ln 2 𝑢 2 ln 2 𝐴 1 2 𝑒 𝑑𝑢 𝑒 𝑑𝑥 𝐴 1 2 𝑒 𝑒 𝐴 1 2 𝑒 1 2 𝑒 𝑒 𝑒 𝐴 1 2 4 1 2 2 1 𝐴 1 2 𝑢 𝑎 3 Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas abaixo gira em torno do eixo 𝑥 𝑦 sin 𝑥 𝑦 cos 𝑥 𝑥 0 𝑥 𝜋 4 Esboçando as curvas e a região temos Assim 𝑉 𝜋𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑉 𝜋 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 cos𝑥 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 cos2𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑉 𝜋 cos2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 2𝑥 𝑑𝑢 2 𝑑𝑥 𝑥 0 𝑢 0 𝑥 𝜋 4 𝑢 𝜋 2 𝑉 1 2 cos𝑢 𝑑𝑢 1 2 sin 𝑢 𝑣 1 2 Gsin 𝜋 2 sin 0H 1 2 1 0 𝑉 1 2 𝑢 𝑣 4 Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região englobada pelas curvas abaixo gira em torno do eixo 𝑦 𝑦 1 𝑥 1 𝑦 0 𝑥 0 𝑥 1 Esboçando as curvas e a região temos Assim 𝑉 2𝜋𝑥𝑓𝑥 𝑑𝑥 2𝜋 𝑥 1 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑉 2𝜋 1 𝑥 1 𝑥𝑑𝑥 𝑢 𝑥 1 𝑑𝑢 2 𝑥𝑑𝑥 𝑥 0 𝑢 1 𝑥 1 𝑢 2 𝑉 2𝜋 1 𝑢 𝑑𝑢 2 𝜋 𝑑𝑢 𝑢 𝜋ln 𝑢 𝑉 𝜋ln 2 ln 1 𝜋ln 2 0 𝑉 𝜋 ln 2 𝑢 𝑣 5 Encontre o comprimento de arco da curva abaixo 𝑥 cos 𝑡 𝑡 sin 𝑡 𝑦 sin 𝑡 𝑡 cos 𝑡 0 𝑡 𝜋 Aqui veja o exercício 26 da seção 64 𝐿 L𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Derivando obtemos 𝑑𝑥 𝑑𝑡 sin 𝑡 sin 𝑡 𝑡 cos 𝑡 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 cos 𝑡 cos 𝑡 𝑡 sin 𝑡 𝑡 sin 𝑡 Assim 𝐿 M𝑡 cos 𝑡 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 M𝑡 cos 𝑡 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 M𝑡cos 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 M𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 N𝑡 2 O 𝜋 2 0 𝐿 𝜋 2 𝑢 𝑐 6 A figura abaixo mostra uma calota esférica azul na Figura de altura ℎ cortada de uma esfera de raio 𝑟 Mostre que a área da superfície 𝑆 da calota é 𝑆 2𝜋𝑟ℎ Sugestão Faça uma parte apropriada do círculo 𝑥 𝑦 𝑟 girar em torno do eixo 𝑦 Aqui 𝑆 2𝜋𝑥L1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 e 𝑥 𝑦 𝑟 𝑥 M𝑟 𝑦 Aqui escolhemos a origem dos eixos 𝑥 e 𝑦 no centro da esfera ponto 00 na Figura Tomamos o segundo ponto no centro da circunferência azul ponto 0 𝑟 ℎ na Figura Agora tomamos o valor positivo de 𝑥 no primeiro quadrante ou seja 𝑥 𝑔𝑦 M𝑟 𝑦 𝑟 𝑦 e giramos em torno do eixo 𝑦 Derivando 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 2 𝑟 𝑦0 2𝑦 𝑦 M𝑟 𝑦 Assim 𝑆 2𝜋M𝑟 𝑦L1 N 𝑦 M𝑟 𝑦O 1 102 𝑑𝑦 𝑆 2𝜋 M𝑟 𝑦L1 𝑦 𝑟 𝑦 1 102 𝑑𝑦 𝑆 2𝜋 M𝑟 𝑦L𝑟 𝑦 𝑟 𝑦 𝑦 𝑟 𝑦 1 102 𝑑𝑦 𝑆 2𝜋 M𝑟 𝑦L𝑟 𝑦 𝑦 𝑟 𝑦 1 102 𝑑𝑦 𝑆 2𝜋 M𝑟 𝑦 𝑟 M𝑟 𝑦 1 102 𝑑𝑦 𝑆 2𝜋𝑟 𝑑𝑦 1 102 2𝜋𝑟𝑦102 1 𝑆 2𝜋𝑟V𝑟 𝑟 ℎW 2𝜋𝑟𝑟 𝑟 ℎ 𝑆 2𝜋𝑟ℎ