P3-2022 1

DEMA0084 Equações Diferenciais I 1 a Encontrando a solução homogênea Propondo a seguinte solução Substituindo essa solução na EDO Então a equação característica é A solução homogênea é Resolvendo a solução particular por variação de parâmetros Seja as soluções homogêneas Calculando o respectivo wronskiano Seja A solução particular será Então A solução particular será Então a solução geral é 1 b Encontrando a solução homogênea Propondo uma solução do tipo Substituindo na EDO A equação característica é Então a solução homogênea é Encontrando a solução particular Seja O wronskiano correspondente é Seja Então a solução particular terá a forma Então Então a solução particular será Então a solução geral é 2 Encontrando a solução homogênea 𝐿𝑄 𝑅𝑄 1 𝐶 𝑄 0 Propondo uma solução do tipo 𝑦 𝑒𝜆𝑡 Substituindo na equação 𝐿𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝑅𝜆𝑒𝜆𝑡 1 𝐶 𝑒𝜆𝑡 0 A equação característica é 𝐿𝜆2 𝑅𝜆 1 𝐶 0 As soluções são 𝑥 𝐶𝑅 𝐶2𝑅2 4𝐶𝐿 2𝐶𝐿 x 𝐶𝑅 𝐶2𝑅2 4𝐶𝐿 2𝐶𝐿 Então a função de Green que é a solução homogênea é 𝑦ℎ 𝑐1𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑐2𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 Encontrando a solução particular pela variação de parâmetros Seja 𝑦𝑏1 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑦𝑏2 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 Fazendo o wronskiano 𝑊 𝑑𝑒𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑊 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑊 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝐶𝑅 𝐶2𝑅2 4𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 𝐶𝑅 𝐶2𝑅2 4𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑒 𝐶𝑅𝐶2𝑅24𝐶𝐿 2𝐶𝐿 𝑡 Então a solução particular é