Integrate A b Exemplos Resolvidos-2021 2

Prove que 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑎 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑎 𝑏 𝑥 𝑥 𝑎 𝑏 𝑢 e 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑥 𝑎 𝑢 𝑏 𝑥 𝑏 𝑢 𝑎 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑎 𝑏 𝑢 𝑑𝑢 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑎 𝑏 𝑢 𝑑𝑢 Trocando os limites de integração 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑎 𝑏 𝑢 𝑑𝑢 Como as variáveis de integração nas integrais definidas acima são mudas temos a propriedade 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑎 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 Calcule 1 1 tan 𝑥 𝑑𝑥 1 1 tan 𝑥 𝑑𝑥 1 1 6sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 1 1 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 1 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 1 cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 e 1 1 tan 𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑖 Usando a propriedade apresentada no início obtemos 1 1 tan 𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 6cos 𝜋 6 𝜋 3 𝑥 6cos 𝜋 6 𝜋 3 𝑥 6sin 𝜋 6 𝜋 3 𝑥 𝑑𝑥 6cos 𝜋 2 𝑥 6cos 𝜋 2 𝑥 6sin 𝜋 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑖 Usando as definições trigonométricas cos 𝜋 2 𝑥 cos 𝜋 2 cos 𝑥 sin 𝜋 2 sin 𝑥 0 cos 𝑥 1 sin 𝑥 cos 𝜋 2 𝑥 sin 𝑥 sin 𝜋 2 𝑥 sin 𝜋 2 cos 𝑥 cos 𝜋 2 sin 𝑥 1 cos 𝑥 0 sin 𝑥 sin 𝜋 2 𝑥 cos 𝑥 e substituindo na integral anterior 𝑖𝑖 temos 6cos 𝜋 2 𝑥 6cos 𝜋 2 𝑥 6sin 𝜋 2 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 Assim escrevemos 1 1 tan 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑖𝑖 Agora definindo a integral que queremos calcular por 1 1 tan 𝑥 𝑑𝑥 𝐼 reescrevemos os resultados 𝑖 e 𝑖𝑖𝑖 acima como 𝐼 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑖 𝐼 sin 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑖𝑖 Somando as equações 𝑖 e 𝑖𝑖𝑖 obtemos 2𝐼 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 2𝐼 cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 2𝐼 𝑑𝑥 𝑥 𝜋 3 𝜋 6 𝜋 6 𝐼 𝜋 12 Concluindo temos o resultado 1 1 tan 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 12