Capítulo Coordenadas Cilíndricas e Esféricas-2021 2

832 Calculo 56 Texto Discuta algumas das conexGes entre segdes cénicas e 57 Texto Forneca uma sequéncia de passos para a determinacao tracos de superficies quadricas da superficie quadrica associada a uma equacao quadratica em xyez V RESPOSTAS DOS EXERCICIOS DE COMPREENSAO 117 1 a elipse b elipse c elipse 2 a hipérbole b elipse c hipérbole 3 a parabola b parabola c elipse 4 a paraboloide eliptico b elipsoide c paraboloide hiperboélico d hiperboloide de uma folha e cone eliptico f hiperboloide de duas folhas 118 COORDENADAS CILINDRICAS E ESFERICAS Nesta secdo discutiremos dois novos tipos de sistemas de coordenadas no espago tridimensional que sdo frequentemente mais Uteis que o sistema de coordenadas retangulares no estudo de superficies com simetrias Esses novos sistemas de coordenadas tém também importantes aplicagées na navegacdo na Astronomia e no estudo do movimento rotacional em torno de um eixo Sao necessarias trés coordenadas para estabelecer a localizacao de um ponto no espaco tridimen sional Ja haviamos visto isso em coordenadas retangulares Contudo a Figura 1181 mostra duas outras possibilidades a parte a da figura mostra as coordenadas retangulares x y z de um ponto P a parte b mostra as coordenadas cilindricas r 0 z de P e a parte c mostra as coordenadas esféricas p 0 b de P Em um sistema de coordenadas retangulares as coordena das podem ser quaisquer nimeros reais mas no sistema de coordenadas cilindricas e esféricas ha restrig6es sobre os valores admissiveis das coordenadas conforme indicado na Figura 1181 z z z Pr 8 Z Pp Px y z we z y z y y 0 0 y x x x Coordenad Coordenadas cilindricas Coordenadas esféricas oordenadas regulares r 02 0 0 xy 2 r000 2m p20 0S 027 0 2 a b c Figura 1181 Zo X Xo SUPERFICIES CONSTANTES Zzg Emcoordenadas retangulares as superficies representadas por equagoes da forma y XX0 YYo 2ZH x0 onde xo yo Zp SAO constantes s4o planos paralelos ao plano yz ao plano xz e ao plano xy yy o respectivamente Figura 1182 Em coordenadas cilindricas as superficies representadas Yo 7 por equacgoes da forma Figura 1182 r 0 e z29 Capitulo 11 Espago tridimensional vetores 833 z onde ro 00 Zo S40 Constantes estao mostradas na Figura 1183 r Ka Aa TY Zp e A superficie r ro um cilindro circular reto de raio 79 centrado no eixo z e A superficie 6 0 é um semiplano colado no eixo z e formando um angulo 0 com y 0 1X0 X positivo Yar e A superficie z zo um plano horizontal CAD 0 os Em coordenadas esféricas as superficies representadas por equagdes da forma Figura 1183 Ppo o onde 09 e dp S40 constantes estéo mostradas na Figura 1184 z IZ CD b e A superficie p po consiste em todos os pontos cuja distancia p da origem é po Su ih pondo po nao negativo isso é uma esfera de raio py centrada na origem e Como nas coordenadas cilindricas a superficie 6 6 é um semiplano colado no P fo Vs y eixo z formando um Angulo 6 com 0 eixo x positivo yi e A superficie go consiste em todos os pontos dos quais um segmento de reta até a origem forma um Angulo p com o eixo z positivo Dependendo de 0 y 12 ou mt2 o 7 isso sera a folha de um cone abrindose para cima ou para baixo Se 0 0 oo 12 entao o cone é plano e a superficie é 0 plano xy Figura 1184 CONVERTENDO COORDENADAS Da mesma forma que convertemos entre coordenadas retangulares e polares no espaco bidi mensional precisaremos converter entre coordenadas retangulares cilindricas e esféricas no espaco tridimensional A Tabela 1181 da f6rmulas para fazer essas converses Tabela 1181 FORMULAS DE CONVERSAO PARA SISTEMAS COORDENADOS Cilindricas para retangulares r0z xyz xrcos yrsen0 zzZz Retangulares para cilindricas x y z 7 0 z rVx2y tg 0yx 2z Esféricas para cilindricas p 06 r0z rpsend 00 zpcosd i p 0 020 Cilindricas para esféricas r 02 p06 pVr2 22 080 tg db 7z 0b7 Esféricas para retangulares p 06 xyz x psendcos 6 ypsend send zpcosd Retangulares para esféricas xyz 2 p 06 p Vx 4y 22 tg 0 yx cosh ZVx y 27 Os diagramas da Figura 1185 ajudama entender como foram deduzidas as férmulas na Tabela 1181 Por exemplo a parte a da figura mostra que convertendo entre coordena das retangulares x y z e coordenadas cilindricas r 0 z podemos interpretar r 0 como coordenadas polares de x y Assim as f6rmulas de conversao de polares para retangulares 834 Calculo z e de retangulares para polares 1 e 2 respectivamente da Secdo 102 fornecem a formula pf de conversao entre coordenadas retangulares e cilfndricas na tabela A parte b da Figura 1185 sugere que as coordenadas esféricas p 6 de um ponto P podem ser convertidas em coordenadas cilindricas r 6 z pelas formulas de conversao Zz rpsend 0 zZpcos 7 o 00 1 Além disso uma vez que as coordenadas cilfndricas r 6 z de P podem ser convetidas em y r 8 0 coordenadas retangulares x y z pela f6rmula de conversao x a xrcos yrsen0é z7z 2 z podemos obter férmulas de conversao direta das coordenadas esféricas para as coordenadas retangulares substituindo 1 em 2 Isso resulta em Pfr ne xpsengcos ypsengdsend zpcosd 3 J r 0 z a As outras formulas de conversao da Tabela 1181 sao deixadas como exercicios Zz YY y Ly Exemplo 1 0 S a Determine as coordenadas retangulares do ponto com coordenadas cilfndricas x r 0 z 4 m3 3 b b Determine as coordenadas retangulares do ponto com coordenadas esféricas Comparagao de sistemas coordenados pes 00 4 23 24 Figura 1185 Solucdo a Aplicando a formula de conversfo de cilindricas para retangulares da Tabela z y 1181 LV wat T 7 x re0s8 4cos 2 y rsen 4sen 2V3 z3 3 Jt Assim as coordenadas retangulares do ponto sao x y z 2 23 3 Figura 1186 Solucdo b Aplicando as formulas de conversao de esféricas para retangulares da Tabela cilindricas 4 23 3 1181 obtemos retangulares 2 213 3 XT x psengdcosé 4sen cos 7 J2 Figura 1186 4 3 wv W y psengsend 4sen 7 sen V6 v6 a 2 pcos 4cos 22 Z Z pcosg 4 al 22 As coordenadas retangulares do ponto sao x y z 2 6 22 Figura 1187 7 y AB s Como o intervalo 0 6 27 cobre dois periodos da fungao tangente a formula de conversao tg 6 yx nao determina completamente 6 O exemplo a seguir mostra como tratar essa ambiguidade esféricas 4 773 74 retangulares V2 V6 2V2 Exemplo 2 Determine as coordenadas esféricas do ponto com coordenadas retangulares Figura 1187 xyz 4 4 4v6 Capitulo 11 Espaco tridimensional vetores 835 Solucdo Da fdrmula de conversao de retangulares para esféricas da Tabela 1181 obtemos Como devemos escolher 6 se x 0 Como devemos escolher se y 0 pHVxety22164 164 96 V128 82 tgd y l x z 46 V3 z cos 6 4 Veryt2 82 2 Yo f Da restrigao 0 27 e do valor calculado de tg 6 as possibilidades para 6 sao 6 314 e 0 714 Contudo o ponto dado tem uma coordenada y negativa logo devemos ter 6 714 Além disso da restrigao 0 me do valor calculado de cos a tinica possibilidade para é 16 Assim as coordenadas esféricas do ponto siop 0 8V2 714 16 Figura 1188 4V6 EQUACOES DE SUPERFICIES EM COORDENADAS CILINDRICAS E ESFERICAS J 74 y As superficies de revolugaéo em torno do eixo z de um sistema de coordenadas retangulares pT tém geralmente equacdes mais simples nas coordenadas cilindricas do que nas coordenadas LV retangulares e as equagées de superficies com simetria em torno da origem sao geralmente mais simples nas coordenadas esféricas do que nas coordenadas retangulares Por exemplo x considere a folha superior do cone circular cuja equagao em coordenadas retangulares é retangulares 4 4 Ave 6 esféricas 8 v2 724 16 c Vv x y Figura 1188 Tabela 1182 A equacao correspondente nas coordenadas cilindricas pode ser obtida a par tir da formula de conversao de cilfndricas para retangulares da Tabela 1181 Isso da z Vrcos r send Vr r r logo a equagao do cone nas coordenadas cilfndricas é z r Indo além a equagdo do cone em coordenadas esféricas pode ser obtida da formula de conversao de esféricas para cilindricas da Tabela 1181 Isso resulta em pcospsengd que se p 0 pode ser reescrita como tgg1 ou p ou 6 4 Geometricamente isso nos diz que a reta radial que parte da origem para qualquer ponto do cone faz um Angulo de 74 com 0 eixo z Tabela 1182 x z z Zz L y a y y d y x me J y y x I x s 836 Calculo Exemplo3 Obtenha as equacées do paraboloide z x y em coordenadas cilindricas e esféricas Solucdo Da férmula de conversao de retangulares para cilindricas da Tabela 1181 obtémse Confirme que esto corretas as equa codes para o cilindro e o hiperboloide L r 4 féri ilindri 2 tye gs x oe Seton teres aD oiling que é a equacgdo em coordenadas cilindricas Agora aplicando as formulas de conversao de esféricas para cilfndricas em 4 obtémse pcos p sen que podemos reescrever como p cos cossec Alternativamente poderiamos ter obtido esta equagao diretamente da equagaéo em coordenadas retangulares aplicando as formulas de conversao de esféricas para retangulares verifique Meridiano z principal New te y lm COORDENADAS ESFERICAS NA NAVEGACAO Orleans FE 23S As coordenadas esféricas estao relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usa VA SE A KG Ply Doe RN das na navegacao Para ver por qué vamos construir um sistema de coordenadas retangulares it ky AY Lest satisfazendo a regra da mao direita com a sua origem no centro da Terra 0 seu eixo z positivo eee passando pelo Polo Norte e 0 seu eixo x positivo passando pelo meridiano principal Figura SELLE x 1189 Supondo que a Terra seja uma esfera de raio p 4000 milhas entao cada ponto so Se ipl 7 J bre a Terra tem coordenadas esféricas da forma 4000 0 onde e 6 determinam a latitude Ca LY Oeste e a longitude do ponto E comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano Equador principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador Porém o préximo exemplo mostra que é muito simples determinar e a partir de tais dados Figura 1189 Exemplo4 A cidade de New Orleans nos EVA esta localizada a 90 longitude oeste e 30 latitude norte Determine as coordenadas esféricas e retangulares relativas aos eixos co ordenados da Figura 1189 Suponha que a distancia esteja em milhas rT a a Solucdo Uma longitude de 90 oeste corresponde a 6 360 90 270 ou 6 322 a i L radianos uma latitude de 30 norte corresponde a 90 30 60 ou 73 radianos i 4 Re i 228 Assim as coordenadas esféricas p 6 de New Orleans sao 4000 322 273 Lgl Weve Pie AR oo Para determinar as coordenadas retangulares aplicamos as formulas de conversdo de eS esféricas para retangulares da Tabela 1181 Assim obtemos a x 3m V3 Jon ArnoldDanita Delimont x 4000 sen 3 cos 4000 0 0 milhas Os sistemas de navegagdo modernos 3 V3 a a usam representacoes coordenadas y 4000 sen sen 40001 2000V3 milhas miiltiplas para determinar a posido 3 2 2 TU 1 z 4000 cos 3 4000 5 2000 milhas Y EXERCICIOS DE COMPREENSAO 118 Ver pagina 838 para respostas 1 As férmulas de conversao de coordenadas cilfndricas r 6 z 2 As formulas de converséo de coordenadas esféricas p 6 para coordenadas retangulares x y z s4o para coordenadas retangulares x y z sao OO x VSL OF TSH LL Capitulo 11 Espaco tridimensional vetores 837 3 As formulas de conversao de coordenadas esféricas p 0 d 5 Dé uma equagao de uma esfera de raio 5 centrada na origem para coordenadas cilindricas 7 6 z sao em coordenadas a retangulares r b cilindricas 4 Seja P o ponto do espaco tridimensional de coordenadas retan c esfricas gulares V2 2 23 a As coordenadas cilindricas de P sao r 0 z b As coordenadas esféricas de P sao p 6 EXERCICIOS 118 Recurso Grafico CAS 12 Converta as coordenadas de retangulares para cilindricas 1518 VerdadeiroFalso Determine se a afirmagao dada é verda L a 4V34 4 b 55 6 deira ou falsa Explique sua resposta Ml c 0 2 0 d 4 4V3 6 15 Nas coordenadas cilindricas de um ponto r é a distancia do 2 a 2V21 b OLD ponto ao eixo z c 44 7 d 2 2 2 16 Nas coordenadas esféricas de um ponto p é a distancia do pon 34 Converta as coordenadas de cilindricas para retangulares Bi t0 a origem 17 O grafico de 6 6 em coordenadas cilindricas é igual ao gra 3 o S n 3 a o ani fico de 6 0 em coordenadas esféricas 18 O grafico de r f em coordenadas cilindricas sempre pode 4 o os a rn 5 1 ser obtido pela extrusao do grafico polar de r f6 no plano xy 56 Converta as coordenadas de retangulares para esféricas Il 1926 Uma equacao é dada em coordenadas cilfndricas Expresse a equaca4o em coordenadas retangulares e esboce o grafico 5 a 1 V3 2 b 1 1 v2 c 0333 d 5V3 50 19 r3 20 014 21 zr 6 a 4446 b 1 V3 2 22 zrcos0 23 r4sen0 24 r2sec0 c 20 0 d V3 123 3 re1 26 cos 20z 78 Converta as coordenadas de esféricas para retangulares 2734 Uma equagao é dada em coordenadas esféricas Expresse a 7 a 526 74 b 70 2 equaca4o em coordenadas retangulares e esboce o grafico c 1 7 0 d 2 322 22 27 p3 28 073 29 14 8 a 1 273 374 b 3 724 576 30 p2sec gd 31 p4cos 32 pseng1 c 8 26 74 d A 22 23 33 psend2cos0 34 p2sencos90 910 Converta as coordenadas de cilindricas para esféricas Ml 3546 Uma equacdio de uma superficie é dada em coordenadas re 9 a V3 26 3 b C1 24 1 tangulares Determine uma equacfo da superficie em a coordena c 2 374 0 d 6 1 23 das cilindricas e b coordenadas esféricas 10 a 4 576 4 b 20 2 35 23 36 y2 4223 6 72 37 c 3x2 43y 38 c Jaz 3 1112 Converta as coordenadas de esféricas para cilindricas 39 24 y 4 40 24 y 6y0 IL a 6 4 213 b 1 76 m 41 P4y429 2 22 c 3 0 0 d 4 16 22 43 2x3y4z1 44 xy rl 12 a 5 72 0 b 60 34 ees ys c V2 374 2 d 5 273 576 45 xP 162 46 xP y4222 c 13 Use um CAS ou uma calculadora programavel para estabelecer as formulas de conversao da Tabela 1181 e entéo use o CAS ENFOCANDO CONCEITOS ou uma calculadora para resolver os problemas dos Exercicios 4750 Descreva a regiao no espaco tridimensional que satisfaga 13579e 11 as desigualdades dadas Mf c 14 Use um CAS ou uma calculadora programavel para estabelecer 47 P24 48 0r2sen6 0z73 as formulas de conversao da Tabela 1181 e entéo use o CAS ou uma calculadora para resolver os problemas dos Exercicios 49 1p3 50 076 Op2 24 6 8 10 e 12 838 Cálculo 51 São Petersburgo antiga Leningrado na Rússia está localiza da a 30 de longitude leste e 60de latitude norte Determine suas coordenadas esféricas e retangulares relativas aos eixos coordenados da Figura 1189 Tome milhas como a unidade de distância e suponha que a Terra seja uma esfera de raio de 4000 milhas 52 a Mostre que a curva de interseção das superfícies z sen θ e r a coordenadas cilíndricas é uma elipse b Faça um esboço da superfíce z sen θ com 0 θ π2 53 A figura abaixo mostra um cilindro circular reto de raio 10 cm que gira 3 rotações por minuto em torno do eixo z No instante t 0 s um besouro no ponto 0 10 0 começa a andar direta mente para cima na face do cilindro a uma taxa de 05 cmmin a Determine as coordenadas cilíndricas do besouro depois de 2 min b Determine as coordenadas retangulares do besouro depois de 2 min c Determine as coordenadas esféricas do besouro depois de 2 min 0 10 0 y x z 3 rotmin Figura Ex53 54 Em referência ao Exercício 53 use um recurso gráfico compu tacional para fazer o gráfico da distância do besouro à origem como uma função do tempo 55 Texto Discuta algumas aplicações práticas nas quais sejam úteis sistemas de coordenadas não retangulares 56 Texto Na navegação celeste são utilizados os termos zêni te e azimute Quais são as relações desses termos com as coordenadas esféricas RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 118 1 r cos θ r sen θ z 2 ρ sen φ cos θ ρ sen φ sen θ ρ cos φ 3 ρ sen φ θ ρ cos θ 4 a 2 7π4 b 4 7π4 π6 5 a x2 y2 z2 25 b r2 z2 25 c ρ 5 EXERCÍCIOS DE REVISÃO DO CAPÍTULO 11 1 a Qual é a diferença entre um vetor e um escalar Dê um exemplo físico de cada um b Como pode ser determinado se dois vetores são ou não ortogonais c Como pode ser determinado se dois vetores são ou não paralelos d Como pode ser determinado se três vetores com pontos iniciais em comum no espaço tridimensional situamse no mesmo plano ou não 2 a Esboce vetores u e v com os quais u v e u v sejam ortogonais b Como podem ser usados vetores para determinar se quatro pontos no espaço tridimensional situamse no mesmo plano c Se forças F1 i e F2 j forem aplicadas em um ponto no espaço bidimensional quanta força deve ser aplicada nes se ponto para cancelar o efeito combinado de F1 e F2 d Escreva uma equação da esfera com centro 1 2 2 que passa pela origem 3 a Desenhe uma figura que mostre os ângulos diretores α β e γ de um vetor b Quais são os componentes de um vetor unitário no espaço bidimensional que formam um ângulo de 120 com o ve tor i duas respostas c Como podem ser usados vetores para determinar se um triângulo com vértices desconhecidos P1 P2 e P3 tem um ângulo obtuso d Verdadeiro ou falso O produto vetorial de vetores ortogo nais unitários é um vetor unitário Explique o seu raciocínio 4 a Faça uma tabela que mostre todos os possíveis produtos vetoriais dos vetores i j e k b Dê uma interpretação geométrica de u v c Dê uma interpretação geométrica de u v w d Escreva uma equação do plano que passa pela origem e é perpendicular à reta x t y 2t z t 5 Em cada parte determine uma equação da esfera com centro 3 5 4 e que satisfaça a condição dada a Tangente ao plano xy b Tangente ao plano xz c Tangente ao plano yz 6 Determine a maior e a menor distâcia entre o ponto P1 1 1 e a esfera x2 y2 z2 2y 6z 6 0 7 Dados os pontos P3 4 Q1 1 e R5 2 use métodos veto riais para determinar as coordenadas do quarto vértice do para lelogramo cujos lados adjacentes são e 8 Sejam u 3 5 1 e v 2 2 3 Encontre a 2u 5v b c u d u v 9 Sejam a ci j e b 4i 3j Determine c tal que a a e b sejam ortogonais b o ângulo entre a e b seja π4 c o ângulo entre a e b seja π6 d a e b sejam paralelos Anton11indd 838 Anton11indd 838 180714 0954 180714 0954