Trabalho 2 - 2023-2

Universidade Federal do Rio Grande do Norte rae Disciplina: Algebra Linear Para Engenharia de Producao Professor: Luiz Carlos Radtke 2° Trabalho — Data de Entrega: 20/11/2023 — Peso 1,0 ¥ Nome [I Matricula:| or Obs. Todas as quest6es devem ser justificadas Exercicio 1 Mostre que os seguintes subconjuntos de R* sao subespacos a) W ={(2,y,2,t) €R* | r+y=0e z-t=0} b) U={(z,y,2,t) € R* | 2r+y-t=0 e z=0} Exercicio 2 Verifique se os subconjuntos abaizo sao subespagos de M(2,2) (Espaco Vetorial das Matrizes 2 x 2). Em caso afirmativo exiba geradores a) v={{° b | com a,b,c,d ER coal c d b) w={|° 1 | com a,b,c,dé€R cbc} Exercicio 3 Considere dois vetores (a,b) e (c,d) no plano. Se ad — bc = 0, mostre que eles sao LD (Linearmente Dependentes). Se ad — bc £0, mostre que eles sao LI (Linearmente Independentes). Exercicio 4 Verifique se os conjuntos abaixo sao espaco vetoriais reais, com as operagoes usuats. a) |; a Jaber} b) V = {(a,a,...,a) © R” |a eR} c) {(1,a,b) | a,b e R} d) A reta {(x,~ +3) |ae€R} e) {(a, 2a, 3a) | a € R} Exercicio 5 Considere o subespaco de R4 S = {(1,1,—2,4), (1, 1, 1,2), (1,4, 4, 8)} Obs. A notagao acima indica que o subespago S é gerado pelos vetores {(1, 1, -—2,4), (1,1, -1, 2), (1,4, —4,8)}. a) O vetor (Gt 1.2) pertence a S? b) O vetor (0,0,1,1) pertence a S'? Exercicio 6 Seja W o subespago de M(2,2) definido por 2a a+2b |. wa f[2 9] ance] 0 —2 9 a) 0 1 | eW* 0 2 9 b) 3 4 | eW* 0 0 0 1 0 1 Exercicio 7 Seja W o subespago de M(3,2) gerado por | 1 1]|,{/ 0 -1 | e} 0 0}. O vetor 0 0 1 O 0 0 0 2 3 4 | pertence a W ? 5 0 Exercicio 8 Sejam W, = {(z,y,z,t)|€ R’|e+y=0 e z-t=O0} e Wy = {(a,y,2,t) €R* | a—y—z+t=0} subespacos de R4 a) Determine W, NW. b) Determine W, + W). c) Wi +W2, € soma direta? Justifique. Exercicio 9 Sejam a b ; w= {| 1 | tais ea =deb=c} e W2 = ab uea=ceb=d a c d|? 7 7 subespacos de M(2, 2) a) Determine W101 W3. b) Determine W, + Wo. E soma direta? Exercicio 10 Sejam WwW, = {(x, Y; 2) | rt+y—z= 0} W = {(2, Y; 2) | t= yt subespacos de R°. Determine W, + Wo. E soma direta? Exercicio 11 Mostre que 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0;’]0 OF] 1 OF’ | 0 1 é base de M(2, 2). Exercicio 12 Quais sao as coordenadas de x = (1,0,0) em relagao a base 6 = {(1,1,1), (—1,1,0), (1,0, -1)}? Exercicio 13 Seja V o espaco das matrizes 2 x 2 sobre R, e seja W o subespacgo gerado por 1 —5 1 1 2 —4 1 -7 —4 2)?} -1 5]?} -5 7I}?} -5 1 Encontre uma base, e a dimensao de W. Exercicio 14 Determine quais das seguintes fungoes sao aplicacgoes lineares: a) f:R? > R b)g:R?>R (r,y) > xy c) h: Mo +R a b a b [ 1 | — ae |! 1 | d) M:R? > R? 1 2 (x,y,z) > (x,y,z) | 0 —-1 1 1 e) N:R->R rH |a| Exercicio 15 Ache a transformacdao linear T : R® — R? tal que T(1,0,0) = (2,0), 7(0,1,0) = (1,1) e T(0,0,1) = (0,—-1). Encontre v de R® tal que T(v) = (3, 2). Exercicio 16 Considere a transformacdo linear T : R? + R® dada por T(x, y, z) = (z,v — y, —2) a) Determine uma base do niicleo de T. b) Dé a dimensao da imagem de T. Exercicio 17 Sejam a = {(0,2), (2,-1)} e 6 = {(1,1,0), (0,0, —1), (1,0,1)} bases de R? e R°. 2 0 isig=]4 0 0 —4 Dé a expressao para S(x,y). Exercicio 18 Considere a matriz: A= 1 -1 4 | -2 1 8 Determine a transformagao linear T : R? + R? cuja matriz é A nas bases B = {(1, 1,0), (1,0, 1), (0,0, 1)} de R°e B’ = {(1,2), (0, -1)} de R?