Slide - Geral - 2023-2

Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Eletromagnetismo UFRN – 2023.2 Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Novo Regimento da UFRN ! Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplos Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Cronograma da Disciplina Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Bibliografia Utilizada e recomendada Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Carga Elétrica Como podemos perceber se um objeto está ou não carregado eletricamente? Eletrostática Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Eletrização por Atrito Afinidade com Elétrons Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Condutores e Isolantes Condutores: Em muitos materiais, como o cobre e outros metais, alguns elétrons são livres para se moverem por todo o material. A estes materiais denominamos de Condutores. Isolantes: Em outros materiais, como a madeira e o plástico, todos os elétrons são ligados aos átomos da vizinhança e nenhum pode se mover livremente. Estes materiais são denominados isolantes. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Quantização da Carga Elétrica Carga do Elétron Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Uma moeda de cobre (Z=29) tem massa de 3,10 gramas. Qual é a carga total de todos os elétrons da moeda? Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Carga Elétrica por indução + + + + ---- - + + + + + + + + + ---- - + + + + + Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET + + + + ---- - + + + + + Carga Elétrica por indução Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Duas esferas condutoras idênticas, uma com carga inicial +Q e outra inicialmente descarregada, são colocadas em contato. (a) Qual é o valor da nova carga em cada uma das esferas? (b) Enquanto as esferas estão em contato, uma barra com carga negativa é aproximada de uma das esferas, fazendo com que ela fique com uma carga igual a +2Q. Qual será o valor da carga na outra esfera? +Q +Q/2 +Q/2 +2Q -Q - - - - Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Coulomb A força entre duas cargas puntiformes é exercida ao longo da linha entre as cargas. Ela varia com o inverso do quadrado da distância que separa as cargas e é proporcional ao produto das cargas. A força é repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e atrativa se elas tiverem sinais opostos Constante de Coulomb Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Coulomb Vetorialmente Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Em um atomo de hidrogênio, o elétron está separado do próton por uma distância média de aproximadamente 5,3 X 10-11m. Calcule a intensidade da força eletrostática de atração exercida pelo próton no elétron. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Coulomb Três cargas puntiformes estão sobre o eixo x; q1 está na origem, q2 esta em x=2m e q0 está em uma posição x(x > 2m). (a) Determine a força elétrica total em q0 devida a q2 e q1 se q1 = + 25nC, q2 = -10nC, q0= +20nC e x=3,5m. (b) Determine a expressão para a força elétrica total em q0 devida a q2 e q1 ao longo da região 2,0m < x < infinito. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET O Campo Elétrico Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET O Campo Elétrico Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET O Campo Elétrico Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Uma carga positiva q1=+8nC é posicionada na origem, e uma segunda carga positiva q2 = +12nC é colocada sobre o eixo x a uma distância a = 4m da origem. Determine o campo elétrico resultante. (a) no ponto P1 sobre o eixo x em x = 7m e (b) no ponto P2 sobre o eixo x em x = 3m. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Uma carga puntiforme q1 = + 8,0 nC está na origem e uma segunda carga q2 = +12nC esta no eixo x em x=4,0m. Determine o campo elétrico no eixo y em y=3,0m. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Linhas de Campo Elétrico As linhas de campo elétrico representam tanto o módulo quanto a direção do CE. O campo elétrico em si é sempre tangencial a linha em qualquer ponto da mesma. O módulo pode ser analisado considerando a quantidade de linhas de campo elétrico em uma determinada região do espaço. Quando existem muitas linhas próximas nesta região significa que o módulo do CE é alto e vice-versa. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Carga elétrica em campos elétricos Quando submetemos uma carga elétrica q em um campo elétrico E esta carga irá experimentar uma força definida por: Assim, se a força elétrica é a única força atuando sobre a carga, esta irá sofre uma aceleração (de acordo com a lei de Newton) dada por O que acontece se a carga é um elétron?????? Massa do elétron ~ 9 × 10-31 kg Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Porque estudar isso?????? Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Carga Elétrica em Campos Elétricos (CE) Um elétron é projetado em um campo elétrico uniforme de E = 1000 N/C i com uma velocidade inicial de v0 = 2 × 106 m/s i na direção do campo. Qual a distância percorrida pelo elétron antes que ele atinja momentaneamente o repouso? Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Carga Elétrica em Campos Elétricos (CE) Um elétron é projetado em um campo elétrico uniforme de E = -2000 N/C j com uma velocidade inicial de v0 = 1 × 106 m/s i perpendicular a direção do campo. (a) Compare a força gravitacional exercida no elétron à força elétrica sobre ele. (b) Qual a deflexão do elétron depois de ele ter percorrido 1,0 cm na direção x? Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Dipolos Elétricos nos Campos Elétricos Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campos Elétricos – Distribuições contínuas Iniciaremos agora cálculos de campos elétricos para distribuições contínuas de cargas elétricas. Nosso objetivo neste capítulo é aplicar a lei de Coulomb para calcular o campo elétrico de diferentes distribuições, como por exemplo: Linhas Carregadas, Anéis carregados, Discos Carregados, etc... Densidades de Cargas Elétricas: Densidade Linear: Densidade Superficial: Densidade Volumétrica: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico de um elemento de Carga dq: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Gerado por um Segmento finito de Carga Considerando que teremos apenas campo na direção x. Podemos, neste caso, calcular apenas o módulo do campo na direção Ex. Assim temos que Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Gerado por um Segmento finito de Carga Integrando e considerando que k e λ são constante neste caso podemos reescrever a ultima equação na forma: Utilizando uma troca de variáveis para resolver este integral (demonstração no quadro) encontramos um campo elétrico sobre o eixo x dado pela seguinte expressão: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico fora do eixo do segmento: O CE do segmento de carga dq no ponto P é dado por: Considerando que teremos campo somente na direção y podemos calcular a componente dEy da seguinte forma: Onde Cos θ pode ser definido a partir do triangulo retângulo formado na figura. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico fora do eixo do segmento: De acordo com a figura, para calcular o CE neste caso, basta integrar a ultima expressão para os limites de x=-L/2 até x = L/2 de acordo com o plano cartesiano que introduzimos para resolver o problema. Partindo da solução da integral acima e substituindo os limites de integração temos que: x y2 x2 + y2 Para x=0 o resultado é nulo Para x= L/2 o resultado é: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico fora do eixo do segmento: Assim o CE na direção do eixo y. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico de um anel carregado Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico de um anel carregado Sendo a integral da carga do anel a própria carga armazenada nele, temos que o CE na direção x é dado por: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico de um disco carregado Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Gauss A lei de Gauss nos possibilita o calculo do campo elétrico através de uma formulação matemática mais refinada e rigorosa. É uma das equações de Maxwell que serão estudadas no final deste curso. Para definir a Lei de Gauss, precisamos inicialmente definir o que é Fluxo Elétrico. Fluxo Elétrico: A quantidade matemática que corresponde ao número de linhas de campo penetrando em uma superfície é denominado de fluxo elétrico Φ. Para uma superfície paralelo (orientado pelo vetor normal) ao CE o fluxo é definido como sendo: = EA F O que nos permite encontrar a unidade para fluxo elétrico como sendo N.m2/C. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Fluxo Elétrico Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Fluxo Elétrico Considerando uma superfície fechada a integral anterior toma a forma: O fluxo resultante para fora de qualquer superfície fechada é igual à carga resultado no interior da superfície dividida por ε0. Lei de Gauss para eletricidade Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico de uma carga pontual Utilizando a Lei de Gauss: E Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Usando a Simetria para o Calculo de E: Simetria Planar: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Simetria Planar – Duas Placas Parelelas CE devido a cada placa em uma região entre as placas Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplos Utilizando a simetria esférica e a Lei de Gauss deduza as expressões do campo elétrico de uma esfera maciça não condutora de raio R carregada com uma densidade de carga ρ uniformemente distribuída nas seguintes regiões do espaço: (a) Em r < R (b) Em r > R Utilizando a simetria esférica e a Lei de Gauss deduza as expressões do campo elétrico de uma fina casca esfera condutora de raio r carregada com uma densidade de carga σ uniformemente distribuída nas seguintes regiões do espaço: (a) Em r < R (b) Em r > R Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Descontinuidade do Campo Elétrico Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET O Potencial Elétrico Em geral quando uma força conservativa F gera um deslocamento dl a mudança na energia potencial dU é dada por: Considerando a força exercida por um campo elétrico em uma carga pontual q0 é: Então teremos que a mudança da energia potencial elétrica devido ao campo elétrico E é Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Com isso temos que a mudança na energia potencial elétrica é proporcional a carga q0. A mudança na energia potencial dividida pela carga é denominada de Diferença de Potencial. (ddp) Unidade no SI É UM ESCALAR!!!! Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Similaridade entre energia potencial elétrica e energia potencial gravitacional Uma carga elétrica positiva vai de um potencial elétrico alto para um potencial elétrico pequeno. Da mesma forma que a massa em um campo gravitacional. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Um campo eletrostático uniforme aponta na direção +x e tem módulo igual a E = 10 N/C = 10V/m. Determine o potencial como uma função de x, considerando que V = 0 em x= 0. Integrando: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Potencial de um Sistema de Cargas Pontuais O potencial elétrico gerado por uma carga pontual a uma distância r da carga q pode ser calculado a partir do campo elétrico criado por ela Para um deslocamento infinitesimal A mudança no potencial é Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Integrando temos que: Considerando que o potencial é nulo no infinito então temos finalmente que Podemos agora calcular a energia potencial eletrostática de um sistema de duas cargas tomando a última equação e multiplicando pela segunda carga dos sistema, ou seja, Potencial de Coulomb Energia Potencial eletrostática Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Duas cargas puntiformes de + 5,0nC estão no eixo x, uma na origem e outra em x = 8,0cm. Determine o potencial (a) no ponto P1 no eixo x em x = 4,0 cm e (b) no ponto P2 no eixo y em y = 6,0 cm. O ponto de referência (onde V=0) está no infinito. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Cálculo de V para distribuições contínuas de carga Podemos utilizar o princípio da superposição para calcular o potencial para um determinado elemento de carga dq e posteriormente integrar com relação a toda esta carga. Normalmente o que temos é que tal distribuição de carga é uniforme, o que significa que temos uma densidade de carga constante na região desejada. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Elétrico a partir do Potencial O módulo de um produto escalar pode ser escrito como sendo: dl E dV cos(q) - = Assim, se o deslocamento for perpendicular ao campo elétrico não haverá variação no potencial elétrico, pois cos(900) = 0. Por outro lado, se o deslocamento estiver na mesma direção do campo elétrico então a diferença de potencial será MÁXIMA. Neste caso temo que: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Relação entre E e V Se o deslocamento dl e em 3D então teremos derivadas parciais para o calculo do Campo Elétrico. Assim, para cada uma das direções temos De onde vem que: Dizemos assim que o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico. z Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Anel carregado Considerando inicialmente um anel de raio a carregado com uma distribuição uniforme de carga resultando em uma carga total q. Vamos calcular o potencial elétrico gerado por este anel em um ponto localizado sobre o seu eixo a uma distância x do centro do anel. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Disco Carregado Vamos calcular novamente o potencial elétrico, porem agora a uma distância z do centro de um DISCO CARREGADO com uma carga Q uniformemente distribuída. Utilizando o exemplo anterior, vamos calcular V de um anel de raio a com uma espessura dA, neste caso temos que a área é E a carga dentro desta superfície é Densidade superficial de carga Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET V de um Disco Carregado Assim, usando o resultado do anel temos que: Devemos integrar em função de da desde a = 0 até a = R, onde R é o raio do disco. Usando uma troca de variáveis igual a realizada no anteriormente em sala de aula, prove que este potencial tem a forma. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET V devido a um Plano infinito de cargas Se tomarmos o raio do disco calculado anteriormente como sendo infinito, temos um plano infinito de carga, contudo nesta situação não é mais válido considerar que o potencial é zero a uma distância infinita da placa. Para calcular o potencial nesta situação devemos inicialmente calcular o campo elétrico de uma paca infinita pela Lei de Gauss, que tem a forma De posse deste campo elétrico utilizamos a seguinte expressão para calcular o potencial De onde vem que Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Integrando esta equação temos que Isso para x > 0, assim, quanto maior a distância do plano o potencial cai linearmente. Para a região de x negativo temos um potencial na forma Com isso podemos verificar que, apesar do CE ser descontínuo na região da placa infinita, o potencial elétrico é contínuo como deveria ser. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Superfícies Equipotenciais Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Capacitância Podemos definir a capacitância como sendo a capacidade que um condutor tem de armazenar carga elétrica. Esta propriedade será fortemente dependente das dimensões do condutor. Uma forma matemática para calcular a capacitância é dada por Lembrando que o potencial de uma esfera de raio R é dado por Substituindo na expressão para capacitância temos que Unidade no SI: Permissividade do vácuo Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Capacitor Objetivo: Armazenar energia elétrica em um circuito elétrico, e proteger o circuito contra variações bruscas de potencial. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Capacitores de Placas Paralelas Podemos perceber que só depende das dimensões das placas e da separação entre elas. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Capacitores de Placas cilíndricas Determine uma expressão para a capacitância de um capacitor cilíndrico que consiste em dois condutores, cada um de comprimento L. Um dos condutores é um cilindro de raio R1 e o segundo condutor é uma casca cilíndrica coaxial de raio interno R2, onde R2, onde R1 < R2 << L, como mostra a figura abaixo Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Capacitores de Placas cilíndricas Assim o campo elétrico entre as placas dos capacitores é dado por A diferença de potencial entre as duas placas é dada por: Substituindo o campo elétrico e integrando temos que: Substituindo V na expressão para C temos: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Armazenamento de Energia Elétrica Vamos considerar inicialmente um capacitor com capacitância C carregado com uma carga q. A diferença de potencial entre as placas deste capacitor é então Se quisermos agora movimentar uma carga dq entre as placas deste capacitor vamos aumentar a energia potencial elétrica de um valor A energia potencial armazenada no capacitor pode ser calculada na forma: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Capacitores, Baterias, Circuitos http://www.youtube.com/watch?v=_VxRtx2q7P 0 Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Símbolos em circuitos elétricos Placa negativa Placa Positiva Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Associação de Capacitores (Paralelo) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Associação de Capacitores (Série) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Material Dielétrico Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Corrente Elétrica e Circuito de CC Unidade no SI (Ampère): Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Resistência e Lei de Ohm Unidade no SI (Ohm): Dizemos que um material é ôhmico se Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Ohm Material Ôhmico Material não Ôhmico L A Resistência Elétrica de um Fio de comprimento L e seção transversal A Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Um fio de Niquel-Cromo (ρ=10-6 Ωm) tem um raio de 0,65mm. Qual é o comprimento necessário para obter uma resistência de 2,0 Ω? Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Resistores Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Energia em um Circuito Elétrico Perda de energia potencial Taxa de perda de energia potencial Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Energia em um Circuito Elétrico A potência dissipada e um resistor é então; Importante: Grande parte da energia elétrica dissipada em um resistor é em forma de calor, denominamos de efeito joule esta dissipação de energia. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET FEM e Baterias Ir V V IR b a - = - = e Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Combinação de Resistores (Série) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Associação de Resistores (Paralelo) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Para o circuito abaixo, encontre (a) a resistência equivalente do circuito. (b) a corrente elétrica sobre a fonte. (c) a queda de potencial em cada resistor. (d) a corrente elétrica em cada resistor. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo (a) Encontre a resistência equivalente do circuito abaixo. (b) considerando que a diferença de potencial entre a e b é de 24V, qual a corrente no resistor de 4Ω? Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Leis de Kirchhoff Ao percorrer qualquer malha fechada, a soma algébrica das variações no potencial ao longo da malha deve ser igual a zero Em qualquer junção (ponto de ramificação) em um circuito onde a corrente pode se dividir, a soma das correntes que chegam na junção deve ser igual à soma das correntes que saem da junção ε1 - R2I2 – ε2 – R3I1=0 I3 I2 I1 Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Suponha que os elementos no circuito na Figura abaixo tenham os valores ε1=12,0V, r1=r2=1,0Ω, R1= R2=5,0Ω e R3=4,0 Ω. (a) Determine os potenciais nos pontos a até e na figura, considerando que o potencial seja zero no ponto e. (b) discuta a transferência de energia no circuito Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET descarga de um capacitor Considerando que a corrente inicial no circuito, após a chave S ser fechada é dada por: Uma corrente irá surgir no circuito devido ao movimento das cargas, contudo esta corrente irá diminuir em função do tempo pois a energia irá dissipar no resistor, assim temos que Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Usando as Leis de Kirchhoff temos que: Substituindo a corrente elétrica vem que Integrando Q0 em t=0s até Q Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET O Campo Magnético Breve história: • Histórias dos gregos; •Willian Gilbert (1600); Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Força exercida por um Campo Magnético Inicialmente não nos preocuparemos com quem gerou ou como é gerado um campo magnético. Vamos apenas analisar as forças envolvidas em campos magnéticos com cargas em movimento. Vamos inicialmente considerar uma região do espaço onde se encontra um campo magnético uniforme B e onde uma partícula carregada com uma carga q atravessa com uma velocidade v. Esta carga estará sujeita a uma força dada por: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Módulo da força magnética Como se trata de um produto vetorial podemos calcular o módulo do vetor força magnética através de: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Carga em Movimento em um Campo Magnético (CM) A força magnética sobre uma partícula carregada se movendo em um CM é sempre perpendicular a direção de velocidade da partícula. Assim esta força magnética não realiza trabalho sobre a partícula e não varia a sua energia cinética (energia relacionada a velocidade). Igualando a força magnética com a segunda lei de Newton vem que: qvB r m v ma F c = = = 2 Com isso podemos encontrar o raio da trajetória que será descrita pela partícula neste CM B. qB r = mv Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Carga em Movimento em um Campo Magnético (CM) O período desta carga está relacionada com a velocidade através de Substituindo r da última equação temos que: Invertendo o período podemos encontrar o que denominamos de freqüência de ciclotron da carga Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Força sobre um fio com corrente elétrica Quando um fio que conduz corrente (carga em movimento) fica sujeito a um CM este fio receberá uma força que é proporcional a esta corrente e tem a seguinte forma: B I L F ´ = Onde L é o vetor que tem a dimensão do fio como módulo e a direção e o sentido da corrente que atravessa o mesmo. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Força sobre um fio com corrente elétrica Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Clássico Um fio curvo na forma de uma espira semicircular de raio R está em repouso no plano xy. Por ele passa uma corrente I de um ponto a até um ponto b, como mostrado na figura ao lado. Existe um campo magnético B=B0k perpendicular ao plano da espira. Encontre a força que atua sobre a parte do fio na forma de espira semicircular. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Solução Inicialmente escrevemos a força na forma Escrevendo o vetor dl em função dos vetores unitários temos que: Calculando usando Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Solução Integrando a última equação com os limites de 00 a π teremos que Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Torque sobre Espiras com corrente e Imãs Onde A é a área do fio dado por A=ab. Se considerar um sistema com N voltas (uma bobina) então o torque será multiplicado por N, de forma que: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Torque sobre Espiras com corrente e Imãs Momento de dipolo magnético (μ): Onde n é o vetor normal ao plano da espira, assim o torque toma a forma: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Em um enrolamento quadrado de 12 voltas, com lado de 40cm, passa uma corrente de 3A. Ele repousa no plano xy, como mostrado na figura abaixo em um campo magnético uniforme B = 0,3 T i + 0,4 T k. Encontre (a) o momento magnético sobre o enrolamento. (b) o torque exercido sobre o enrolamento. (c) Encontre a energia potencial sobre o enrolamento. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Solução (a) Momento de dipolo magnético: (b) Torque: (c) Energia potencial magnética Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET O Efeito Hall Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Fontes de Campo Magnético Uma carga pontual em movimento gera um campo magnético que pode ser calculado como sendo: Onde r é um vetor unitário que aponta desde a carga até o ponto onde se quer calcular o campo magnético (como na figura ao lado) e μ0 a chamada permeabilidade do espaço livre. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Uma partícula pontual com carga q=4,5nC está se movendo com velocidade v = 3,6x107 m/s i paralelamente ao eixo x ao longo da linha y=3m. Encontre o campo magnético na origem produzido por essa carga quando ela está no ponto x=-4m, y=3m, como mostrado na figura abaixo. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Solução Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Biot-Savart Um fio submetido a uma diferença de potencial e conseqüentemente submetido a uma corrente gera um campo magnético que pode ser calculado através da Lei de Biot-Savart Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo devido a uma Espira de Corrente Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético devido a uma Espira de Corrente O elemento de fio Idl de uma espira com raio R gera um campo magnético no centro desta expira como mostrado na figura ao lado. O modulo do campo pode ser calculado como sendo Como neste caso o ângulo entre dl e r é de 900 então temos que Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético devido a uma Espira de Corrente A integral em dl irá resultar no próprio perímetro da expira que é dada por 2πR, desta forma o módulo do campo magnético no centro de uma expira onde passa uma corrente I é dado por Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético sobre o eixo de uma espira Considerando que nesta situação dl e r também formam um ângulo de 900 entre si, o campo magnético póde ser calculado como sendo Podemos calcular a componente do campo magnético na direção do eixo da espira. Para isso precisamos multiplicar a equação acima por sen θ onde θ pode ser obtido do triangulo retângulo na figura acima. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético sobre o eixo de uma espira Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Aproximações Tomando uma distância x grande se comparado as dimensões da espira então podemos fazer a aproximação no denominador da última expressão da seguinte forma: ( ) ( ) 3 2 3/ 2 2 3/ 2 2 x x R x = » + O campo magnético toma a forma: Onde μ é o momento de dipolo magnético da espira. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético devido a um Solenóide Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético devido a um Solenóide Considerando um solenóide de comprimento L e com N voltas de fio que transporta uma corrente I podemos calcular o campo magnético no interior deste solenóide a partir da lei de Biot-Savart. Utilizando a configuração descrita na figura abaixo e considerando um densidade de espira por comprimento dado por n=N/L podemos ter uma corrente por elemento de comprimento na forma di = n I dx. Assim o campo pode ser calculado com: Para calcular o campo basta integrar este expressão para as posições –a até b, assim temos Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético devido a um Solenóide Este integral já foi realizada em outros exemplos de cálculo de campos elétricos nos capítulos anteriores. Assim temos que Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Força Magnética entre fios Paralelos Como vimos, um fio que transporta corrente gera um campo magnético ao seu redor. Vimos também que um fio transportando corrente submetido a um campo magnético fica sujeito a uma força magnética dada pela lei de Biot-Savart. Assim podemos analisar a força existente entre fios paralelos Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Força Magnética entre fios Paralelos Força por unidade de comprimento sobre o fio: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Gauss para o Magnetismo Linhas de Campo Magnético é fechado de forma que o fluxo é sempre nulo. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Ampére Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Aplicações da Lei de Ampére Toróide Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Toróide Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Indução Magnética Fluxo Magnético: Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Faraday Lenz Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Um campo magnético uniforme faz um ângulo de 300 com o eixo de uma bobina circular que tem 300 voltas e raio igual a 4cm. A intensidade do campo magnético aumenta a uma taxa de 85 T/s, enquanto sua direção e sentido permanecem fixos. Determine a intensidade da fem induzida na bobina. ε ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Uma pequena bobina com N voltas tem seu plano perpendicular a um campo magnético uniforme e estático B, como mostrado na figura abaixo. A bobina está conectada a um integrador de corrente (C.I.) que é um dispositivo usado para medir a carga total passando através da bobina. Determine a carga passando pela bobina se ela girar de 1800 em torno do eixo mostrado. ε ε ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET FEM por movimento Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Um bastão com massa m desliza em trilhos condutores sem atrito em uma região que tem um campo magnético uniforme e estático B dirigido para dentro da página.(veja figura abaixo). Um agente externo está empurrando o bastão, mantendo seu movimento para a direita a uma rapidez (velocidade) constante v0. No instante t=0, o agente pára abruptamente de empurrar e o bastão continua se movendo para frente enquanto é desacelerado pela força magnética. Determine a rapidez v do bastão como função do tempo. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Solução ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Indutância L é a auto indutância do solenóide que, similar a capacitância, depende das propriedades físicas do solenóide, propriedades estas tais como: comprimento, numero de espiras, área, etc.. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET FEM auto induzida Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Energia Magnética Multiplicando a equação anterior por I temos, Observando esta equação temos que o termo a esquerda é a potencia liberada na bateria, o termo I2R é a potência dissipada no resistor e o termo da esquerda é a taxa de variação da energia no indutor ε0 ε0 Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Energia Magnética Integrando a última expressão podemos encontrar a energia magnética armazenada no indutor A energia magnética é então: Considerando um indutor formado por um solenóide de N espira, comprimento L submetido a uma corrente I teremos um campo magnético na forma Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Energia Magnética A indutância de um solenóide é dada por: Substituindo L e I dado pela expressão do campo na equação para energia podemos calcular a energia magnética associado a um campo magnético B. esta expressão tem a forma Definindo a grandeza densidade de energia dada por um =Um/Vol Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada Gerador de corrente Alternada LINK Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada Considerando que o ângulo θ é uma função da freqüência angular com que o sistema gira teremos Onde ω é a velocidade angular (freqüência angular) e δ é um ângulo inicial que normalmente definimos como 0 (zero). Substituindo a função de θ na expressão para o fluxo teremos que. A FEM induzida no circuito é calculado tomando a variação temporal do fluxo magnético (de acordo com lei de faraday-lenz. ) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada NBAω 1 2 3 4 5 6 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 -NBAω Tensão Induzida Tempo ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Transformadores Núcleo de Aço Laminado (FeSi) Enrolamento Primário Enrolamento Secundário Vsaida ?????? Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Transformadores Se não houver fugas de fluxo no núcleo do transformador podemos considerar que o fluxo na bobina secundária é igual ao fluxo na bobina primária, assim teremos que Igualando os fluxos podemos encontrar a relação entre as tensões e o numero de espiras Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplos Uma campainha de porta requer 0,4A em 6V. Ela é conectada a um transformador cujo primário contem 2000 voltas e está ligado a uma linha CA de 120V. (a) Quantas voltas deve haver no secundário? (b) Qual é a corrente no primário? (a) (b) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Equações de Maxwell James Clerk Maxwell propôs a união de 4 equações da eletricidade e do magnetismo para formara o que denominamos hoje de equações de Maxwell. Estas equações relacionam os vetores campo elétrico e campo magnético assim como relaciona as fontes destes campos. A princípio, qualquer problema de eletromagnetismo pode ser resolvido com as equações de Maxwell, análogo as equações de Newton para a Mecânica Clássica. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Corrente de Deslocamento de Maxwell Lei de Ampère Corrente de deslocamento de Maxwell Forma generalizada da lei de Ampère Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Corrente de deslocamento de Maxwell Observando a figura anterior verificamos que a corrente entrando no volume delimitado pelas curvas S1 e S2 é dado por Podemos calcular o fluxo elétrico para fora do volume através da equação Derivando a equação em função do tempo. Temos que Esta igualdade nos informa que a corrente para dentro do volume deve ter sempre o mesmo valor que a corrente para fora deste volume, ou seja, I=Id Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Exemplo Um capacitor de placas paralelas tem placas circulares de reio R com pequena distância entre elas. A carga está fluindo para a placa positiva e da placa negativa a uma taxa de I=dq/dt=2.5A. Calcule a corrente de deslocamento através da superfície s entre as placas (ver fig. abaixo) através da determinação direta da taxa de variação do fluxo de E através da superfície S. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Equações de Maxwell Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Gauss: O fluxo de campo elétrico através de qualquer curva fechada é igual a 1/ε0 vezes a carga líquida dentro da superfície. Descreve como as linhas de campo elétrico divergem de uma carga positiva e convergem em uma carga negativa. (base experimental é a lei de Coulomb) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Gauss para o Magnetismo: estabelece que o fluxo do vetor campo magnético B é nulo através de qualquer superfície fechada. Essa equação descreve a observação experimental de que as linhas de campo magnético não divergem nem convergem para qualquer região do espaço, isso implica que não existe pólos magnéticos isolados. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Faraday: ela estabelece que a integral do campo elétrico em torno de qualquer curva fechada C, que é a fem, é igual à taxa (negativa) de variação do fluxo magnético através de qualquer superfície S limitada pela curva. A lei de Faraday descreve como as linhas de campo elétrico circulam qualquer área através da qual o fluxo magnético está variando, e ela relaciona o vetor campo elétrico à taxa de variação do vetor campo magnético. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Lei de Ampère Modificada: descreve como as linhas de campo magnético circulam uma área através da qual uma corrente está passando ou através da qual o fluxo elétrico está variando. Podemos definir que um campo elétrico variável no tampo pode gerar um campo magnético no espaço. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Ondas Eletromagnéticas Campo elétrico e magnético são perpendiculares entre si e também a direção de propagação da onda eletromagnética. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Espectro Eletromagnético Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Aula 10 Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Magnetismo nos Materiais Magnetização e Susceptibilidade magnética: Campo magnético no interior de um material magnético Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Magnetismo nos Materiais Para materiais paramagnéticos e diamagnéticos (que serão discutidos em mais detalhes posteriormente) temos que: Onde cm é uma grandeza adimensional denominada suscetibilidade magnética. Para materiais paramagnéticos e diamagnéticos este valor é pequeno e pode ser positivo (paramagnéticos) ou negativos (diamagnéticos) Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Magnetismo nos Materiais Momento Magnético Atômico Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Magnetismo nos Materiais Diamagnetismo: • Valores pequenos e negativos da suscetibilidade magnética • momento relacionado ao momento magnético atômico de forma que todos elementos apresentam esta propriedade. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Magnetismo nos Materiais Paramagnetismo Suscetibilidade pequena porém positiva Favorece o alinhamento dos momentos magnéticos na direção e no sentido do campo magnético externo Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Magnetismo nos Materiais Ferromagnetismo Suscetibilidade magnética não linear com o campo magnético externo. Ocorre mais fortemente com o Fe, Ni, Co devido a sua distribuição eletrônica Forte acoplamento entre os momentos magnéticos vizinhos favorecendo o alinhamento com o campo magnético. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada Corrente Alternada em um Resistor: Utilizando a lei de kirchhoff temos que Se escolhermos a fase δ = π/2 podemos escrever a corrente sobre o resistor na forma εmax εmax Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada Corrente Alternada em um Indutor: Aplicando novamente a lei de kirchhoff para as malhas teremos Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada Reatância Indutiva ε ε ε ε ε ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada Corrente Alternada em um Capacitor t V pico C w e cos = Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada t CV Q pico cosw = ( )t sen CV I pico w w - = sen t I I w = - max Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos de Corrente Alternada Indutância Capacitiva ε ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos LC e RLC sem um Gerador Consideramos que a carga inicial do capacitor é Q0 . Esta é uma equação diferencial análoga a um oscilador harmônico simples. A solução é na forma. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos LC e RLC sem um Gerador A corrente elétrica alternada no circuito é dado pela derivada temporal da carga assim temos que: Usando as condições de contorno iniciais na forma: Q=Qpico I=0 em t=0 e o ângulo de fase δ=0 então teremos ( ) ( )t I t Q Q pico w w w sin cos - = = Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Energia Total A energia total de um circuito RL é dada pela soma das energia apresentadas anteriormente. Assim temos que: 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuito RLC Quando inserimos um resistor no circuito analisado anteriormente, verificamos que existe uma dissipação de energia neste resistor, assim a oscilação de energia que existia anteriormente será amortecida. Este sistema se comporta de forma muito semelhante a um oscilador harmônico amortecido. A seguir vamos analisar superficialmente a sua equação diferencial. Uma equação diferencial muito semelhante e conhecida é a descrita abaixo, esta EDO é de um oscilador harmônico amortecido. A solução da equação para o circuito RLC tem exatamente a mesma forma desta. Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuito RLC Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos RLC excitados Usando Esta equação diferencial é similar a um oscilador amortecido que tem por equação diferencial: ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Circuitos RLC excitados A corrente no circuito consiste em uma corrente transiente que depende das condições iniciais e a corrente em regime permanente não depende das condições iniciais. Será ignorada a corrente transiente, que diminui exponencialmente como o tempo e eventualmente é desprezível, e a análise será concentrada na corrente em regime permanente. A corrente é obtida através da solução da equação anterior e tem a forma: Onde o ângulo de fase é dado por: A corrente máxima é dada por: Onde Z é a impedância do circuito ε ε Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético devido a um Fio Reto Prof. Marcio Corrêa – Física- DFTE - CCET Campo Magnético devido a um Fio Reto