Slide - Espaços Vetoriais Euclidianos - 2023-2

Espaços Vetoriais Euclidianos Prof. Luiz Carlos Radtke luiz.radtke@ufrn.br Vetores no plano Vetores no plano Consideramos o plano cartesiano que consiste de um sistema de coordenadas dado por um par de retas ortogonais, com orientação. Fixada uma unidade de comprimento, um ponto P do plano pode ser identificado com o par (a, b) de números reais, que são suas coordenadas. Vetores no plano Vetores no plano Dados dois pontos P e Q do plano, podemos considerar o segmento de reta orientado ⃗ PQ, com ponto inicial P e ponto final Q. Note que embora como conjunto de pontos os segmentos ⃗ PQ ⃗ QP sejam iguais, como segmentos orientados eles são distintos. Diremos que eles são opostos. Dois segmentos orientados são equivalentes se tiverem o mesmo comprimento e direção. Vetores no plano Vetores no plano Na figura temos ▶ ⃗ PQ, ⃗KL e ⃗ RS tem a mesma direção. ▶ ⃗ RT e ⃗KL tem o mesmo comprimento; ▶ ⃗ PQ, ⃗ RS e ⃗ ZW tem o mesmo comprimento. ▶ Os segmentos orientados ⃗ PQ e ⃗ RS são equivalentes. Vetores no plano Vetores no plano Para qualquer segmento orientado no plano existe outro equivalente a este cujo ponto inicial é a origem. Por exemplo, A estes segmentos orientados com ponto inicial na origem damos o nome de vetores no plano. Vetores no plano E importante notar que vetores no plano so determinados exclusivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial é fixo na origem. Assim, para cada ponto do plano P(a, b), esta associado um Unico vetor v = OP e, reciprocamente, dado um vetor, associamos um Gnico ponto do plano, que é o seu ponto final. Usando a correspondéncia entre vetores e pontos do plano, costumamos representar um vetor v = OP pelas coordenadas de seu ponto final P(a, b). Notac¢do: _fa = [3] ou v = (a, b) Vetores no plano Vetores Nulo O vetor nulo possui como ponto inicial e ponto final a origem, logo sera representado por v= 0 ai) ou v = (0,0) Vetor Oposto O oposto de um vetor v = OP é0 vetor w = OQ, que tem o mesmo comprimento e direcdo oposta. Em termos de coordenada, se v = (a,b), entdo w = (—a, —b) e, por esta razdo, denotamos w= —-Vv Vetores no plano Operações com vetores no plano a) Multiplicação de um vetor por um número. Multiplicar um vetor por um número k > 0 é considerar um novo vetor w = kv, que possuí a mesma direção de v e tem comprimento k vezes o comprimento de v. Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k|v. Se k = 0, w = kv será o vetor nulo. Obs. A multiplicação de um vetor por um número corresponde a multiplicação da matri-linha (ou coluna) por este número. Assim se v = (a, b) e w = kv, então w = (ka, kb). Vetores no plano Operações com vetores no plano b) Adição de dois vetores. Se v = (a, b) e w = (c, d), então o vetor soma será u = v + w = (a + c, b + d). Observe que somar vetores corresponde simplesmente a somar as matrizes que os representam. Obs. A soma de um vetor v = (a, b) com seu oposto resulta no vetor nulo. Obs. A diferença entre dois vetores v e w é a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor, v − w = v + (−w). Vetores no Espaço Vetores no espaço De forma análoga a do plano, podemos considerar vetores no espaço. Teremos então um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas, perpendiculares duas a duas, e fixada uma unidade de comprimento, cada ponto P do espaço estará identificado com a terna de números reais (x, y, z), que corresponde as suas coordenadas. Vetores no Espaço Vetores no espaço Assim como no plano, no espaço, os vetores são dados por segmentos orientados com ponto inicial na origem e são representados por v =   a b c   ou v = (a, b, c) Vetor nulo no espaço O vetor nulo no espaço é representado por v =   0 0 0   ou v = (0, 0, 0) Vetores no Espaço Operações com vetores no espaço A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um número (escalar) são definidos de forma análoga a do plano. Se u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) temos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3) Como já observamos para o caso do plano, estas operações correspondem exatamente às respectivas operações das matrizes-linha que representam os vetores e gozam de uma série de propriedades. Vetores no Espaço Propriedades i) (u + v) + w = u + (v + w) ii) u + v = v + u iii) Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u (0 é chamado vetor nulo) iv) Existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 v) a(u + v) = au + av vi) (a + b)v = av + bv vii) (ab)v = a(bv) viii) 1u = u Estas propriedades servirão para caracterizar certos conjuntos que, apesar de terem natureza diferente dos vetores no espaço, ”comportam-se” como eles. Estes conjuntos receberão o nome de espaços vetoriais. Espaços vetoriais Definição Um espaço vetorial real é um conjunto V , não vazio, com duas operações: soma V × V + − →V , e multiplicação por escalar, R × V ∗− →V , tais que para qualquer u, v, w ∈ V e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas i) (u + v) + w = u + (v + w) ii) u + v = v + u iii) Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u (0 é chamado vetor nulo) iv) Existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 v) a(u + v) = au + av vi) (a + b)v = av + bv vii) (ab)v = a(bv) viii) 1u = u Espaços vetoriais Vetor A partir de agora utilizaremos a palavra vetor para designar um elemento de um espaço vetorial. Assim, por exemplo, se considerarmos o espaço vetorial V = M(2, 2), os vetores serão matrizes. Obs. M(2, 2) indica as matrizes de ordem 2 × 2 Exemplo Mostre que M(2, 2) é um espaço vetorial. Espaços vetoriais Exemplo V = Rn = {(x1, x2, . . . , xn); xi ∈ R} é um espaço vetorial. Exemplo V = M(m, n), o conjunto das matrizes reais m × n com soma e produto por escalar usuais. Subespaços vetoriais Definição Dado um espaço vetorial V , um subconjunto de W não vazio, será um subespaço vetorial de v se i) Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W . i) Para quaisquer a ∈ R, u ∈ W tivermos au ∈ W . Exemplo Seja V = R2 a reta W que passa pela origem é um subespaço de V Subespaços vetoriais Observações a) As condições da definição apresentadas, garantem que ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar), não obteremos um vetor fora de W . Isto é suficiente para afirmar que W é ele próprio um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas e, além disso, não precisamos verificar as propriedades de (i) a (viii) de espaço vetorial, porque elas são válidas em V , que contem W . b) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) quando a = 0). c) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. Subespaços vetoriais Exemplo V = R3 e W ⊂ V , um plano passando pela origem. Exemplo Mostre que W = {(90, x2, x3, x4, x5); xi ∈ R} é um subespaço de V = R5. Subespaços vetoriais Exemplo O conjunto solução de um sistema linear homogêneo de n incógnitas é um subespaço vetorial de M(n, 1). Vamos verificar para o caso particular, seja o sistema    2x + 4y + z = 0 x + y + 2z = 0 x + 3y − z = 0 verifique que o conjunto solução é um subespaço de M(3, 1) Subespaços vetoriais Teorema (Interseção de subespaços) Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V , a interseção W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de V . Prova: observamos inicialmente que W1 ∩ W2 nunca é vazio pois ambos os subespaços contêm o vetor nulo de V . É necessário então verificar as condições i) e ii) para mostrar que W1 ∩ W2 também é subespaço vetorial de V . i) Dados u, v ∈ W1 ∩ W2, u, v pertencem a W1 e também a W2. Então, u + v ∈ W1 e u + v ∈ W2, sendo W1 e W2 subespaços de V . Portanto u + v ∈ W1 ∩ W2 ii) Dados a ∈ R e u ∈ W1 ∩ W2, u pertencem a W1 e também a W2. Então, au ∈ W1 e au ∈ W2, sendo W1 e W2 subespaços de V . Portanto au ∈ W1 ∩ W2 Subespaços vetoriais Teorema (Soma de subespaços) Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V . Então o conjunto W1 + W2 = {v ∈ V ; v = w1 + w2, w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2} é subespaço de V . Exercício Prove o teorema acima. Subespaços vetoriais Soma Direta Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é chamado de soma direta de W1 com W2, a soma direta é denotada por W1 ⊕ W2 Combinação Linear Definição Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), v1, v2, . . . , vn ∈ V e a1, . . . , an números reais (ou complexos). Então, o vetor v = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de v1, v2, . . . , vn. Combinação Linear Fixado os vetores v1, v2, . . . , vn em V , o conjunto W formado por todos os vetores de V que são combinações lineares destes, é um subespaço vetorial. W é chamado subespaço gerado por v1, v2, . . . , vn e usamos a notação W = [v1, v2, . . . , vn] Formalmente W = {v ∈ V ; v = a1v1 + · · · + anvn, ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} Obs. W = [v1, v2, . . . , vn] é o menor subespaço de V que contém os vetores v1, v2, . . . , vn. Combinação Linear Exemplo 1 V = R3, v ∈ V , v ̸= 0. Então [v] = {av; a ∈ R}, isto é, [v] é a reta que contém o vetor v. Combinação Linear Exemplo 2 Se v1, v2 ∈ R3 são tais que αv1 ̸= v2 para todo α ∈ R, então [v1, v2] será o plano que passa pela origem e contém v1 e v2. Observe que se v3 ∈ [v1, v2], então [v1, v2, v3] = [v1, v2], pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear de v1, v2 e v3 é uma combinação linear apenas de v1 e v2. Dependência e Independência Linear Definição Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V . Dizemos que o conjunto {v1, v2, . . . , vn} é linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, v2, . . . vn são LI, se a equação a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0 implica que a1 = a2 = · · · = an = 0. No caso em que exista algum ai ̸= 0 dizemos que {v1, v2, . . . , vn} é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, v2, . . . , vn são LD. Dependência e Independência Linear Teorema O conjunto {v1, v2, . . . , vn} é LD se, e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros. Prova: (⇒) Sejam v1, v2, . . . , vn LD e a1v1 + a2v2 + · · · + ajvj + · · · + anvn = 0 Segundo a definição dada, um dos coeficientes deve ser diferente de zero. Suponhamos que aj ̸= 0. Então vj = − 1 aj (a1v1 + a2v2 + · · · + aj−1vj−1 + aj+1vj+1 + · · · + anvn) e portanto vj = −a1 aj v1 − a2 aj v2 − · · · − aj−1 aj vj−1 − aj+1 aj vj+1 − · · · − an aj vn Logo, vj é uma combinação linear dos outros vetores. Dependência e Independência Linear (⇐) Se tivermos {v1, v2, . . . , vj, . . . , vn} tal que para algum j, vj = b1v1 + b2v2 + · · · + bj−1vj−1 + bj+1vj+1 + · · · + bnvn temos b1v1 + · · · − 1vj + · · · + bnvn = 0 com bj = −1 e, portanto, {v1, v2, . . . , vn} é LD. Obs. Este teorema é equivalente a: Um conjunto de vetores é LI se, e somente se nenhum deles for uma combinação linear dos outros. Base de Um Espaço Vetorial Agora, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V , um conjunto finito de vetores, tais que qualquer outro vetor de V seja uma combinação linear deles. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere V e tal que todos os elementos sejam realmente necessários para gerar V . Se pudermos encontrar tais vetores, teremos os alicerces de nosso espaço. Denominaremos um conjunto de vetores desse tipo de base. Definição Um conjunto {v1, . . . , vn} de vetores de V será uma base de V se: i) {v1, . . . , vn} é LI ii) [v1, . . . , vn] = V Base de Um Espaço Vetorial Teorema: Sejam v1, v2, . . . , vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V . Então, dentre estes vetores podemos extrair uma base de V . Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, . . . , vn. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores). Corolário Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V , e denotado dim V Obs. Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita. Base de Um Espaço Vetorial Teorema Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V . Corolário Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V . Teorema Dada uma base β = {v1, v2, . . . , vn} de V , cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, . . . , vn. Base de Um Espaco Vetorial Sejam 6 = {v1,...,Vn} base de V ev € V onde V = ajv, +... + aqVp. Chamamos estes nimeros aj,..., an de coordenadas de v em relacdo a base 3 e denotamos por a1 lvis=] : an Obs.: E importante notar que a ordem dos elementos de uma base também influi na matriz das coordenadas de um vetor em relacdo a esta base. Por exemplo, se tivermos: py = {(1, 0), (0, 1)} e bo = {(0, 1), (1, O)}, entao 4 3 (4,3) = | 5 | mas ((4.3)Is. =| 9 Mudança de Base Sejam β = {u1, . . . , un} e β′ = {w1, . . . , wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V . Dado um vetor v ∈ V , podemos escrevê-lo como: v = x1u1 + . . . + xnun (1) v = y1w1 + . . . + ynwn (2) Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base β, [v]β =   x1 ... xn   com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base β′, [v]β′=   y1 ... yn   Mudança de Base Já que {u1, . . . , un} é base de V , podemos escrever os vetores wi como combinação linear dos uj, isto é,          w1 = a11u1 + a21u2 + . . . + an1un w2 = a12u1 + a22u2 + . . . + an2un ... ... ... wn = a1nu1 + a2nu2 + . . . + annun (3) Substituindo em (2) temos: v = y1w1 + . . . + ynwn = y1 (a11u1 + . . . + an1un) + . . . + yn (a1nu1 + . . . + annun) = (a11y1 + . . . + a1nyn) u1 + . . . + (an1y1 + . . . + annyn) un Mas v = x1u1 + . . . + xnun, e como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos: x1 = a11y1 + a12y2 + . . . + a1nyn xn = an1y1 + an2y2 + . . . + annyn Mudança de Base Em forma matricial   x1 ... xn   = ·   a11 . . . a1n ... ... an1 . . . ann     y1 ... yn   Isto é, denotando [I]β′ β =   u11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... an1 un2 . . . ann   temos [v]β = [I]β′ β [v]β′ Mudança de Base A matriz [I]β′ β =   u11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... an1 un2 . . . ann   é chamada matriz de mudança da base β′ para a base β. Compare [I]β′ β com (3) e observe que esta matriz é obtida, colocando as coordenadas em relação a β de wi na i-ésima coluna. Note que uma vez obtida [I]β′ β podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base β, multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base β′ (supostamente conhecidas). Mudança de Base Exemplo: Sejam β = {(2, −1), (3, 4)} e β′ = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2. Procuremos, inicialmente, [I]β′ β . Resolvendo: w1 = (1, 0) = a11(2, 1) + a21(3, 4) donde (1, 0) = (2a11 + 3a21, −a11 + 4a21). Isto implica que a11 = 4 11 e a21 = 1 11. w2 = (0, 1) = a12(2, −1) + a22(3, 4) Resolvendo, a12 = −3 11 e a22 = 2 11. Mudança de Base Exemplo: Sejam β = {(2, −1), (3, 4)} e β′ = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2. Procuremos, inicialmente, [I]β′ β . Resolvendo: w1 = (1, 0) = a11(2, 1) + a21(3, 4) donde (1, 0) = (2a11 + 3a21, −a11 + 4a21). Isto implica que a11 = 4 11 e a21 = 1 11. w2 = (0, 1) = a12(2, −1) + a22(3, 4) Resolvendo, a12 = −3 11 e a22 = 2 11. Mudanca de Base Portanto, 4 3 np=[™ 2 ]-[4 8) 421 422 ll wt Podemos usar esta matriz para encontrar, por exemplo, [v]g para v = (5, —8). [(5, -8)]s = [3 [(5, -8)] 6’ 4 33 5 =-[2 ¥ || -3 Il i [ 7 4 ~ | -1 Isto é, (5, —8) = A(2, —1) a 1(3, 4) Mudança de Base É claro que se o nosso problema fosse só encontrar as coordenadas de (5, −8), em relação à base β, poderíamos simplesmente resolver o sistema (5, −8) = a(2, −1) + b(3, 4). O cálculo feito através da matriz de mudança de base é operacionalmente vantajoso quando trabalharmos com mais vetores, pois neste caso não teremos que resolver um sistema de equações para cada vetor. Mudanca de Base A Inversa da Matriz de Mudanca de Base Se no desenvolvimento anterior comecarmos escrevendo os u; em fun¢do dos w;, chegaremos 4 rela¢ao: Mor = Molva Um fato importante é que as matrizes [5 e Ns sdo inversiveis e 1\-1 (is) = 13.