Slide - Transformações Lineares - 2023-2

Transformações Lineares Prof. Luiz Carlos Radtke radtke.luiz@gmail.com Sumário Transformações lineares Introdução Transformações do Plano no Plano Conceitos e Teoremas Aplicações Lineares e Matrizes Introdução Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis. Exemplo 1 Se de um quilograma de soja, são extraídos 0, 2 litros de óleo, de uma produção de x kg de soja, seriam extraídos 0, 2x litros de óleo. Escrevendo na forma de função, temos: Q(s) = 0, 2s, onde Q é a quantidade em litros de óleo de soja e s é a quantidade em kg de soja. Neste exemplo simples duas caracteristicas são importantes: i) Q(s1 + s2) = Q(s1) + Q(s2) ii) Q(k · s1) = k · Q(s1) Introdução Exemplo 2 A quantidade em litros de óleo extraída por quilograma de cereal segundo determinado processo pode ser descrita pela tabela Soja Milho Algodão Amendoim Óleo (l) 0, 2 0, 06 0, 13 0, 32 A quantidade total de óleo produzido por x kg de soja, y kg de milho, z kg de algodão e w kg de amendoim é dada por Q(x, y, z, w) = 0, 2x + 0, 06y + 0, 13z + 0, 32w, na forma matricial Q       x y z w       = [0, 2 0, 06 0, 13 0, 32]   x y z w   Introdução Exemplo 2 Formalmente, estamos trabalhando com a função Q : A ⊂ R4 → R   x y z w   → [0, 2 0, 06 0, 13 0, 32]   x y z w   que assim como o exemplo 1, goza das seguintes propriedades i) Q       x1 y1 z1 w1   +   x2 y2 z2 w2       = Q       x1 y1 z1 w1       + Q       x2 y2 z2 w2       ii) Q    k   x y z w       = k · Q       x y z w       Transformações Lineares Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear (aplicação linear) é uma função de V em W , F : V → W , que satisfaz as seguintes propriedades i) Para quaisquer ⃗u e ⃗v em V , temos F(⃗u + ⃗v) = F(⃗u) + F(⃗v) ii) Para qualquer k ∈ R e ⃗v ∈ V , temos F(k⃗v) = kF(⃗v) Transformacées Lineares Verifique se as seguintes aplicacdes sdo transformacées lineares i F:R + R u +> au ou F(u)=au iy F:R + R u + u® ou F(u) =u? i) F:R? > R?3 Ml (x,y) + (2x,0,x+y) ou F(x,y) = (2x,0,x+y) Transformacées Lineares Exemplo (Derivada de Polinémios) Sejam V = W =P, (polindmios de grau<n)e D:P, — Py fw f' a aplicacdo derivada que a cada polinémio f associa sua derivada, a qual também é um polindmio (com 1 grau a menos). Como para quaisquer funcées derivaveis, D(f + g) = D(f) + D(g) e D(k- f) =k- D(f), logo D é uma aplica¢4o linear. Transformacées Lineares Exemplo (Aplica¢ao Nula) A aplicacdo nula F:V —+ V linear. ue 0 Sejam V = R", W=R™ e A uma matriz m x n. Definimos La: R"” — R"™ | onde V é tomado como vetor coluna. Mostre Vw Av que La é uma transformacao linear. Transformacdes do Plano no Plano Expansdo (ou Contracdo) Uniforme T:R + R Vir av Transformacées do Plano no Plano T:R? + R Vi+> 2V, ou T(x,y) = 2(x,y) Esta funcdo leva cada vetor do plano num vetor de mesma direcdo e sentido de V, mas com modulo maior. Fly} w a Observe que, escrevendo na forma de vetores-coluna, [eel] @ [ebefe alle! ry 2 ou + y y y 0 2} Ly Transformacdes do Plano no Plano Reflexdo em torno do Eixo-x Rx :R? > R? (x, y) > (x,—-y) v _Fey Flv) Na forma de vetores-coluna, lets] [le lo IE] Ky ou Ky y -y y 0 -1 y Transformacdes do Plano no Plano Reflexdo na Origem Ro: R? — R? (x,y) a (—x, -y) ‘ _fF , Tt) Na forma de vetores-coluna, sd ad > ou > y -y y 0 -lj}ly Transformacdes do Plano no Plano Rotacado de um Angulo @ (no sentido anti-horario) Ro: R? — R? (x,y) ++ (xcosé—ysen@, ycos@ + xsen 6) yl booog Rglvh ¥ Te Ag ¥r- NA | Ara | ry | en i | x x! x Na forma de vetores-coluna, x}, xcos?—ysen@ |_| cos? —sené x y ycosO+xsen@ | | sen@ cosé y Transformacées do Plano no Plano Nol -\er- (ke es Neste caso, cos? = 0 e send = 1, entdo Ry: R?2 > R? (x, y) > (—y,x) ¥ Aglvi y Re z Na forma de vetores-coluna, x -y | |0 -1 Xx Pleled-b cl] Transformacdes do Plano no Plano Cisalhamento horizontal C:R*? > R? (xy) WH (x+ay,y),aeER v ivi __f_, Na forma de vetores-coluna, le defo T][7] b> = y y 0 1 y Transformacdes do Plano no Plano Como ja resaltamos, as transformacées do plano no plano apresentadas através dos exemplos anteriores sdo lineares, pois sdo dadas por V+> A- V onde A é uma matriz 2 x 2. A aplicacdo que sera mostrada a seguir ndo é linear!! aR eles rleclom@\ elon Mitr] a) T:R? + R (x,y) — (x+a,y+b),aebeR Na forma de vetores-coluna, x x+a 1 0 x a = = + y y+b 0 1 y b Esta é uma transla¢do do plano segundo o vetor (a, b) e, a menos que a= b=0, T nao é linear!!! Transformações Lineares Nesta aula veremos alguns resultados que propiciarão um estudo mais fecundo das transformações lineares. Um fato importante sobre as aplicações lineares é que elas são perfeitamente determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base. Transformações Lineares Teorema Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V , {⃗v1, . . . , ⃗vn}, sejam ⃗w1, . . . , ⃗wn elementos arbitrários de W . Então existe uma única aplicação linear T : V → W tal que T(⃗v1) = ⃗w1, . . . , T(⃗vn) = ⃗wn. Esta aplicação é dada por: se ⃗v = a1⃗v1 + · · · + an⃗vn, T(⃗v) = a1T(⃗v1) + · · · + anT(⃗vn) = a1⃗w1 + · · · + an ⃗wn Transformações Lineares Exemplo Qual é a transformação linear T : R2 → R3 tal que T(1, 0) = (2, −1, 0) e T(0, 1) = (0, 0, 1)? Solução: Neste caso e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) formam uma base de R2 e ⃗w1 = (2, −1, 0) e ⃗w2 = (0, 0, 1) são vetores arbitrários de R3. Dado ⃗v = (x1, x2) arbitrário temos ⃗v = x1e1 + x2e2 e T(⃗v) = x1T(e1) + x2T(e2) = x1(2, −1, 0) + x2(0, 0, 1) = (2x1, −x1, x2) Transformações Lineares Exemplo Qual é a transformação linear T : R2 → R3 tal que T(1, 0) = (2, −1, 0) e T(0, 1) = (0, 0, 1)? Solução: Neste caso e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) formam uma base de R2 e ⃗w1 = (2, −1, 0) e ⃗w2 = (0, 0, 1) são vetores arbitrários de R3. Dado ⃗v = (x1, x2) arbitrário temos ⃗v = x1e1 + x2e2 e T(⃗v) = x1T(e1) + x2T(e2) = x1(2, −1, 0) + x2(0, 0, 1) = (2x1, −x1, x2) Transformações Lineares Definição: Imagem Seja T : V → W uma aplicação linear. A imagem de T é o conjunto dos vetores ⃗w ∈ W tais que existe um vetor ⃗v ∈ V , que satisfaz T(⃗v) = ⃗w. Ou seja Im(T) = {⃗w ∈ W ; T(⃗v) = ⃗w para algum ⃗v ∈ V } Observe que Im(T) é um subconjunto de W e, além disso, é um subespaço vetorial de W . Transformações Lineares Definição: Núcleo Seja T : V → W uma aplicação linear. O conjunto de todos os vetores ⃗v ∈ V tais que T(⃗v) = 0) é chamado de nucleo de T, sendo denominado por ker(T). Isto é ker(T) = {⃗v ∈ V ; T(⃗v) = 0} Observe que ker(T) ⊂ V é um subconjunto de V e, ainda mais, é um subespaço vetorial de V . Transformacées Lineares T:R? > R Neste caso temos (x,y) He xt+y ker(T) = {(x, y) € R*;x + y = 0}, isto é, ker(T) é a reta y = —x. Podemos dizer ainda que ker(T) = {(x, —x);x € R} = {x(1, -1); x € R} = [(1, -1)]. Im(T) =R, pois dado w € R, w= T(w,0). ¥ te, * imT=R - OG york Transformações Lineares Exemplo T : R3 → R3 dada por T(x, y, z) = (x, 2y, 0), determine a imagem de T e o núcleo de T Resposta: Im(T) = [(1, 0, 0), (0, 2, 0)] ker(T) = [(0, 0, 1)] Transformações Lineares Exemplo T : R3 → R3 dada por T(x, y, z) = (x, 2y, 0), determine a imagem de T e o núcleo de T Resposta: Im(T) = [(1, 0, 0), (0, 2, 0)] ker(T) = [(0, 0, 1)] Transformações Lineares Nesta seção veremos que num certo sentido o estudo das transformações lineares pode ser reduzido ao estudo das matrizes. Já vimos que a toda matriz m × n está associada uma transformação linear: T : Rn → Rm. Vamos formalizar, a seguir, este resultado para espaços vetoriais V e W e também estabelecer o seu recíproco, isto é, veremos que uma vez fixadas as bases, a toda transformação linear T : V → W estará associada uma única matriz. Inicialmente veremos como, dados dois espaços vetoriais V e W com bases β e β′ e uma matriz A, podemos obter uma transformação linear. Transformacées Lineares Consideremos R? e as bases p= {(1, 0), (0, 1)} € a = {(1, 1), (-1, 1)} ea matriz A= |G ‘|: Queremos associar a esta matriz A uma aplicacdo linear que depende de A e das bases dadas e {3’, isto é, Ta : R* — R? ve> Ta(v) Transformacées Lineares Considere v = (x,y). Seja X = [v]g = y | 2 0 Xx 2x [3 2} [s]-[]-mon Ta (v) y +--/----. vin, ¥) x Entdo, Ta(v) = 2x(1,1) + y(—1,1) = (2x — y,2x + y). Por exemplo, se v = (2,1), entdo Ta(2,1) = (3,5). Transformações Lineares Note que se tivéssemos partido de β = β′ = {(1, 0), (0, 1)}, teríamos obtido TA(v) = (2x, y) = Av Transformacées Lineares De um modo geral, fixadas as bases 3 = {v1,..., Vp} e 6! = {wy,...,Wm}, a matriz. aii -s. Aln A= : : aAam1 --+ amn mxn podemos associar Ta >R7 > R™ ve> Ta(v) como: Transformações Lineares Seja X = [v]β =   x1 ... xn   A · X =   a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn   ·   x1 ... xn   =   y1 ... ym   Então, TA(v) = y1w1 + . . . + ymwm onde yi = Ai · X e Ai é a i-ésima linha de A. Em geral, dada uma matriz Am×n, ela é encarada como uma aplicação linear TA : Rn → Rm em relação às bases canônicas de Rn e Rm. Transformacées Lineares Sejam a matriz A e as bases e £3’, dadas abaixo 1 -—3 5 A=|5 4 1 | 8={0.0).(0,) B= {(1, 0,0), (0, 1,0), (0,0, 1)}. Determine a transformacao linear Ta : R? > R?. Transformacées Lineares SCC Resposta: Seja x X= ]|y Zz 1 -3 5 * x—3y+5z ax=| 5 4 me : =| 3% | Entdo Ta(x, y,z) = (x — 3y + 5z)(1,0) + (2x + 4y — z)(0,1) = = (x — 3y + 5z, 2x + 4y — z) Transformações Lineares Agora iremos encontrar a matriz associada a uma transformação linear. Seja T : V → W linear, β = {v1, . . . , vn} base de V e β′ = {w1, . . . , wm} base de W . Então T (v1) , . . . , T (vn) são vetores de W . e portanto T (v1) = a11w1 + . . . + am1wm T (vn) = a1nw1 + . . . + amnwm A transposta da matriz de coeficientes deste sistema, anotada por [T]β β′ é chamada matriz de T em relação às bases β e β′. ⌊T}β β′=   a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn   = A Observe que T passa a ser a aplicação linear associada à matriz A e bases β e β′, isto é T = TA. Transformacées Lineares Exemplo 1 Seja T : R? > R? tal que T(x, y,z) = (2x + y — z, 3x — 2y + 4z). Sejam 3 = {(1,1,1), (1,1, 0), (1,0,0)} e 6’ = {(1, 3), (1, 4)}. Procuremos [7]. Transformacées Lineares Exemplo 1 Seja T : R? > R? tal que T(x, y,z) = (2x + y — z, 3x — 2y + 4z). Sejam 3 = {(1,1,1), (1,1, 0), (1,0,0)} e 6’ = {(1, 3), (1, 4)}. Procuremos [7]. Resposta: Calculando T nos elementos da base 3, temos: T(1,1,1) = (2,5) = 3(1,3) — 1(1,4) T(1, 1,0) = (3,1) = 11(1,3) — 8(1,4) T(1,0,0) = (2,3) = 5(1,3) — 3(1, 4) Entdo 6 [| 3 ll 5 [Tle = “1-8 -3 Observe que se fixarmos outras bases 3 e 6’, teremos uma outra matriz para a transformacdo T. Transformacées Lineares Exemplo 2: Seja T a transformacdo linear do Exemplo 1 e sejam 6 = {(1,0, 0), (0, 1,0), (0,0,1)} e 6’ = {(1, 0), (0, 1)}. Transformacées Lineares Exemplo 2: Seja T a transformacdo linear do Exemplo 1 e sejam 6 = {(1,0, 0), (0, 1,0), (0,0,1)} e 6’ = {(1, 0), (0, 1)}. Resposta: Calculemos [7], T(1,0,0) = (2,3) = 2(1,0) + 3(0, /) T(0, 1,0) = (1, —2) = 1(1,0) — 2(0, 1) T(0,0,1) = (—1,4) = —1(1,0) + 4(0, 1) Entdo s _f2 1-1 =| 3 —2 ‘| Observac¢ao: Usa-se denotar simplesmente por [7] a matriz de uma transformacdo linear T : R™ — R” em relacdo as bases can6nicas. Assim, no Exemplo 2 [71% = [T]. Também é comum usar-se a nota¢do simplificada: Tv = T(v). Transformacées Lineares Exemplo 3: Seja a transformacdo linear T:V>V VeeV Isto é, T @a identidade. Sejam 6 = {vi,...,Vn}e B' = {vi,...,v)} bases de V. Calcule [T]%,. Transformações Lineares Como Tv1 = v1 = a11v′ 1 + . . . + an1v′ n ... ... Tvn = vn = a1nv′ 1 + . . . + annv′ n, [T]β β′ =   a11 . . . a1n ... ... an1 . . . ann   = [I]β β′ a matriz mudança de base. Transformações Lineares Exemplo 4: Dadas as bases β = {(1, 1), (0, 1)} de R2 e β′ = {(0, 3, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 1)} de R3, encontremos a transformação linear T : R2 → R3 cuja matriz é [T]β β′ =   0 2 −1 0 −1 3   Transformações Lineares Interpretando a matriz, temos: T(1, 1) = 0(0, 3, 0) − 1(−1, 0, 0) − 1(0, 1, 1) = (1, −1, −1) T(0, 1) = 2(0, 3, 0) + 0(−1, 0, 0) + 3(0, 1, 1) = (0, 9, 3) Devemos encontrar agora T(x, y). Para isto escrevemos (x, y) em relação à base β : (x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) Aplicando T e usando a linearidade, temos: T(x, y) = xT(1, 1) + (y − x)T(0, 1) = x(1, −1, −1) + (y − x)(0, 9, 3) = (x, 9y − 10x, 3y − 4x) Transformações Lineares Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais, α base de V , β base de W e T : V → W uma aplicação linear. Então, para todo v ∈ V vale: [T(v)]β = [T]α β · ⌊v]α, Transformações Lineares Exemplo: Seja a transformação linear T : R2 → R3 dada por [T]α β =   1 −1 0 1 −2 3   onde α = {(1, 0), (0, 1)} é base de R2, β = {(1, 0, 1), (−2, 0, 1), (0, 1, 0)} é base de R3. Queremos saber qual é a imagem do vetor v = (2, −3) pela aplicação T. Transformacées Lineares OOOO—OO—e—e—eeeeerrrr Resposta: Determinamos as coordenadas do vetor v em relacdo a base a, obtendo \. = 2, , a seguir, usando o teorema, temos 1 —-1 9 5 [Tv]e = [7] a = 0 1 3 | = —3 —2 3 —13 ou seja, Tv = 5(1,0, 1) — 3(—2,0, 1) — 13(0, 1, 0) = (11, —13, 2)