Resistência dos Materiais para Entender e Gostar - Cap 15 ao 33 pdf

Estudando as vigas hiperestáticas — Equação dos três momentos e Método de Cross Sejam as três estruturas seguintes: Na Figura 1 temos uma prensa comprimindo com força F duas peças de materiais com E diferentes. Quanto de força vai para cada peça? Qual a tensão em cada peça? A Figura 2 representa uma parede de concreto engastada na base e apoiada em três outros apoios. Quanto da força se divide por cada apoio? Na Figura 3 temos um peso suspenso por três cabos de aço. Qual a força existente em cada cabo? Essas três estruturas são hiperestáticas e para elas valem as três famosas condições: ΣFF = 0, ΣFV = 0 e ΣMF = 0, mas a aplicação dessas condições não é suficiente para levantar os dados das reações nos apoios. É necessário usar a teoria das deformações, que se baseia na lei de Hooke. Neste capítulo, vamos estudar as vigas contínuas, que são as vigas com três ou mais apoios e, portanto, uma estrutura hiperestática. Resistência dos Materiais 15.1 — Exemplos de vigas contínuas Para resolver vigas contínuas existem muitos processos, dos quais dois são os mais importantes: • a equação dos três momentos (importante pelo seu aspecto conceitual); • método de Cross (importante pelo seu aspecto prático). A equação dos três momentos é usada na preparação de programas de computador por permitir fácil tratamento matemático. 15.1.2 — Resolução de uma viga contínua pela equação dos três momentos Numa viga contínua, pode-se provar que os valores dos momentos fletores de três apoios sucessivos estão relacionados por uma equação que leva em conta tanto os aspectos geométricos da viga como o tipo da carga. Essa equação tem o nome de equação dos três momentos ou equação de Clapeyron. 15.1.3 — Resolução de uma viga contínua pelo método de Cross O método de Cross(*), que é um método de aproximações sucessivas, inicia-se com a divisão de uma viga contínua em n tramos independentes e com o cálculo de seus momentos fletores nos apoios. Por essa razão, apresentamos nesta página uma tabela de momentos fletores nos apoios, em vigas de um só tramo. A fim de facilitar a compreensão, estamos anexando a tabela de Grinter, que será usada no método de Cross. A tabela de Grinter fornece momentos de engastamento já com sinal de Grinter para vigas de um só vão. (*) O método de Hardy Cross é um método geral e é usado também no dimensionamento de redes hidráulicas. Estudando as vigas hiperestáticas — equação dos três momentos 15.2 — Tabela de barras prismáticas (seção constante) Convenção de Grinter para os sinais Tipos de carregamento Hióteses de tipos de apoios Ma, Mb L = vão — P = carga centrada — p = carga distribuída 108 Resistência dos Materiais 15.3 – Método de Cross Estudaremos a resolução das vigas contínuas pelo método de Cross. A viga-exemplo é mostrada a seguir: 320 kgf/m 500 kgf/m 300 kgf 720 kgf 3,80 m Vão 1 B 4,20 m Vão 2 0,60 1,40 1,20 2,60 m A C D Seções transversais da viga (cm) 1040 4530 2020 AB Trecho AB Trecho BC Trecho CD Construtivamente, a viga seria: apoio A: engastamento apoios B, C e D: articulação (apoio simples) Essa viga tem três vãos e quatro apoios, A, B, C e D. São dados os valores dos vãos, as seções da viga nos seus três vãos e as cargas externas. Cabe agora determinar as reações nos apoios e os momentos fletores nos apoios. Isso será obtido a partir da determinação dos momentos fletores internos nos apoios e, para isso, usaremos o método de Cross. 109 Estudando as vigas hiperestáticas — equação dos três momentos Inicialmente será calculado, para cada vão, o seu índice de rigidez pelo quociente entre o momento de inércia e o tamanho do vão. Haverá três momentos de inércia e três índices de rigidez. b h³ 12 20 40³ 106,666 cm⁴ = Wj Ib L b 20 280 cm² 361 cm 30 230 cm 131 cm 151,875 cm⁴ 45³ 265,875 cm⁴ 20³ Wj = J L W índice de rigidez P. Para balancear os momentos nos apoios internos, usamos os coeficientes que resultam das fórmulas: 0,4370,5630,7360,264 4Wi 4Wj 2 4Wj\nA Wj = 280 small B Wj = 361 Wj = 173 C β BA = 4Wi = 4 x 280 = 1.120\nβ BC = 4Wi = 4 x 361 = 1.444 β BC β BA β CD = 1.200 β BC 1,120 + 1,444 1,120 + 1,444 4Wi 1 - 0,437 = 0,563 β CD = 3Wj = 3 x 173 = 519 β BC 1,444 β BC β CD = 0,736 β CD - 0,736 = 0,264 β BA 4 x 361 = 1,444 Multiplicados Informação: β BA, β BC e β CD são valores Wi por 4, por serem direcionados para engastamento (em A) ou apoios internos B e C. β CD vale 3Wi por ser direcionado para apoio externo (apoio simples). 110 Resistência dos Materiais No método de Cross, adota-se a pressuposição de que cada vão seja duplamente engastado, com exceção do vão 3, que, já sabemos, tem um apoio simples na extremidade. Para o sinal do momento fletor das extremidades de cada uma dessas três vigas será empregado a notação de Grinter. Admitindo-se esse duplo engastamento, ocorrerão nos apoios internos B e C dois momentos, que teremos de balancear: um pela direta e outro pela esquerda, e esse balanceamento de apoio por apoio é feito utilizando-se o método de Cross. Para calcular os momentos fletores de engastamento perfeito com a convenção de Grinter, 320 kgf/m A B ZA 3,80 MB A2 BL² = p L² Mp 1,6320x3,8 = 388 = M 12 12 - 388 500 kgf/m 300 kgf B A B C 375 0,66 L p L² = 500 x 4,20 5L + 375 x L² - 45 + 375 x 3 + 0,60 x BL² = p L² 2,6 + 1,2 B 2,6 2,6 C D 3W P -L+b 2L² L+b -6 W 400 cm Primeiro D R 210 500 kgf/m 300 kgf B C 315 500 x 500 x 0,6 75 240 p Acabamento C Mc = Mc = P 150 = Mc 2 - W x L+b 2L P b L+b =dummy L+3b 3607 12 12 (a) P = p 0,75 Athen Estudando as vigas hiperestáticas — equação dos três momentos 111 kgfm. Esse valor é distribuído à direita e à esquerda usando-se os fatores de distri- buição 0,736 e 0,264. Fica agora equilibrado o nó C e propagam-se os valores que equilibram esse nó para os apoios da direita e da esquerda. Para a direita, a propa- gação é nula, pois D é uma articulação. Para a esquerda, a propagação é de 50%, o que acarreta nova perturbação e perda de equilíbrio em B. Faz-se novo equilíbrio em B, e assim sucessivamente. Após vários pareqções, todos os nós internos (B e C) estão equilibrados, e conhecemos os momentos fletores em todos os apoios. 320 kgf/m 560 kgf/m 300 kgf 720 kgf A Vão 1 B Vão 2 C D 3,80 4,20 0,60 1,40 1,20 Seções transversais da viga 40 45 A B C D 1 ajuste = 0,437 0,563 0,736 0,264 0 885 163 609 548 84 2º ajuste = 51 232 50% + 464 + 167 0 – 3º ajuste = 51 – 102 130 50% – 24 65 48 17 4º ajuste = 5 10 14 50% 7 0 – 50% + 1 2 50% + 2 0 + 248 – 661 – 661 + 526 + 526 0 Momentos balanceados Os momentos nos apoios resultam em: A = + 248 kgfm B = – 661 kgfm C = – 526 kgfm D = 0 Resistência dos Materiais 112 Note que agora abandonamos a convenção de Grinter para os momentos e volta- mos à convenção original usada neste livro. Conhecidos os valores dos momentos fletores nos apoios, a viga não é mais hiper- estática. Calcularamos as reações nos apoios. MF = -248 661 661 526 526 (661 - 248) = 413 A B C D 3,80 4,20 320 3,6 0,6 1,40 1,20 Cargas nos apoios Efeito 1,050 1,050 carga 608 608 43 257 Efeito do 32 momento 28 fletor 500 716 500 kgf 1.841 kgf 1.809 kgf 186 kgf Conhecidos os momentos fletores nos apoios e as reações em cada apoio, pode- mos traçar os diagramas de momentos fletores e os diagramas de força cortante ao longo da viga. Para calcular os momentos fletores positivos no meio do vão: Z1 = 248 – ; 320 x 1,56² ; + ; 500 x 1,56 = 638 kgfm. Z2 = 248 + 500 x ( 3,80 + 2,25) - 320 x ( 1,00 + 4,25 + ) + ; 1,841 x 2,95 - 500 x 0.25 x 2.25 = 608 kgfm. Z3 = 186 x 1,40 = 290 kgfm Estudando as vigas hiperestáticas — equação dos três momentos 113 320 kgf/m 560 kgf/m 300 kgf 720 kgf 3,80 3,60 0,60 1,40 1,20 A B C D 500 1.841 1.809 186 1.125 + 500 + B C D (-) 716 675 975 300 Força cortante 188 260 Momento x1 = 500/3,2; fletor a = 248 + 661 1,56 – 638 608 526 – 526 1.275 – 275 = 1,125/500 D + 260 Em função dos valores do momento fletor e de forças cortantes, dimensionamos a estrutura, seja ela do material que for. Claro que o peso próprio da estrutura deve ser considerado. 114 Resistência dos Materiais Nota: Recomendamos a consulta do Vol. 1 do livro "Concreto Armado Eu Te Amo" onde há outras explicações do Método de Cross e outros exemplos.