Slide Tensões e Deformações Devidas ao Esforço Normal-2022 1

Tensões e Deformações devidas ao Esforço Normal Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 3 - Aula 01 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Princípio de Saint-Venant; 2. Deformação elástica em carregamento axial; 3. Concentrações de tensões; 4. Círculo de Mohr para o estado uniaxial; 5. Exemplo; 6. Problemas. ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Princípio de Saint-Venant Considere uma barra na qual são marcadas linhas longitudinais e transversais indicando sua forma geométrica indeformada, como mostrado abaixo. Aplicando cargas axiais concentradas em suas extremidades, de tal forma que a linha de ação das cargas coincida com o eixo geométrico da barra e o comportamento do material mantenha-se elástico, observa-se que as linhas marcadas inicialmente sobre a peça encontram-se: • Encurvadas junto aos pontos de aplicação na configuração deformada, próximo ao eixo geométrico; • Praticamente retilíneas em seções mais afastadas da aplicação da carga. ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Princípio de Saint-Venant Conclusões: • Deformações localizadas ocorrem nas extremidades da barra, as quais diminuem em medições feitas cada vez mais afastadas, onde as deformações igualam-se e tornam-se uniformes. • Como a deformação está relacionada à tensão no interior da barra, podemos dizer que a tensão distribui-se mais uniformemente ao longo de seções transversais afastadas dos pontos de aplicação da carga. ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Princípio de Saint-Venant Essas observações foram feitas primeiramente pelo cientista francês Barré de Saint-Venant em 1855 e constituem o chamado Princípio de Saint Venant. Essencialmente, este princípio afirma que a tensão e deformação produzidas em pontos afastados suficientemente dos pontos de aplicação de carga serão as mesmas, independentemente da forma de distribuição da carga, desde que estas formas sejam estaticamente equivalentes. Distribuições de tensão complexas ocorrendo junto aos pontos de aplicação de carga podem ser desconsideradas se quisermos estudar a distribuição de tensões em um corpo em regiões afastadas destes pontos, como mostram as figura abaixo. ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 6 Deformação elástica em carregamento axial Nosso objetivo é calcular o deslocamento relativo δ de uma extremidade em relação à outra, o qual é gerado pelo carregamento atuante. Pelo Princípio de Saint Venant sabemos que os efeitos localizados junto aos pontos de aplicação de carga ou em zonas de mudança súbita de seção transversal podem ser desprezados, pois ocorrem em regiões de pequena extensão em comparação ao comprimento total da barra e, portanto, têm pouca influência no resultado final. Assim, em sua maior parte, a barra deforma-se uniformemente, de modo que a tensão normal distribui-se uniformemente pela seção transversal. ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Deformação elástica em carregamento axial Isolando um elemento infinitesimal da barra de comprimento dx e área de seção transversal A(x) em uma posição qualquer definida por x, obtém-se o diagrama de corpo livre mostrado ao lado, onde N(x) é a força interna axial resultante, a qual varia ao longo de x devido ao carregamento externo. Assim, a tensão e a deformação no elemento são dadas por: ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Deformação elástica em carregamento axial Considerando que o material comporta-se de acordo com o regime elástico linear, podemos aplicar a Lei de Hooke, obtendo: ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Deformação elástica em carregamento axial No caso de barras com seção transversal constante, submetidas a carga externa normal e constante, de forma que a distribuição de esforço normal ao longo da barra seja também constante, a expressão dada acima reduz-se a: Alongamento ou encurtamento 𝛿 Esforço normal N Comprimento inicial L Área transversal A Módulo de Elasticidade E ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Deformação elástica em carregamento axial Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes ou se a seção transversal mudar abruptamente de uma região para outra da barra, podemos aplicar a equação anterior para cada segmento da barra onde essas quantidades são constantes. O mesmo vale para mudanças no Módulo de Elasticidade E. Desta forma, o deslocamento δ da barra em sua extremidade pode ser obtido pela soma das parcelas referentes a cada segmento, ou seja: Exemplo: Cada trecho (AB, BC, CD) possui um valor de N ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Concentração de tensões Em regiões onde há mudanças bruscas de seção transversal ou zonas próximas a furos, temos a ocorrência de concentrações de tensões. Nestes casos, a distribuição de tensões é geralmente complexa, sendo determinada apenas a partir de métodos experimentais ou através de modelos numéricos. Entretanto, devemos lembrar que nos problemas de Engenharia não se deseja obter a distribuição verdadeira de tensões, mas a tensão máxima gerada no material quando submetido a carga. Assim, em muitas situações é possível utilizar métodos simples de aproximação para a determinação da tensão máxima com um bom nível de precisão. Para casos que envolvam peças ou elementos estruturais com furos ou apresentando mudança de seção transversal, empregam-se os chamados fatores de concentração de tensões. ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Concentração de tensões ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Concentração de tensões Exemplos de ábacos para concentrações de tensões ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Círculos de Mohr para tensões devidas ao esforço normal 𝜏𝑚á𝑥 = 𝜎𝑥 2 • Estado plano de tensões: ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Exemplo A barra mostrada na figura abaixo tem largura de 35 mm e espessura de 10 mm. a) Determine a maior tensão normal atuando na barra quando ela está sujeita ao carregamento indicado. b) Calcule o alongamento total da barra. Á𝑟𝑒𝑎 = (35 𝑚𝑚). (10 𝑚𝑚) = 350 𝑚𝑚² 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 2,5 𝑚 𝐵𝐶 = 3 𝑚 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 = 200.000 𝑀𝑃𝑎 ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Exemplo ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 17 Exemplo Obs.: note que 1 𝑀𝑃𝑎 = 1 𝑁/𝑚𝑚2 ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 18 Exemplo Para calcular o alongamento total, fazemos: 𝛿 = 𝛴 𝑁𝑖. 𝐿𝑖 𝐸𝑖. 𝐴𝑖 = 12000 𝑁 . 2500 𝑚𝑚 200000 𝑀𝑃𝑎 . (350𝑚𝑚2) + 30000 𝑁 . 3000 𝑚𝑚 200000 𝑀𝑃𝑎 . (350𝑚𝑚2) + 22000 𝑁 . 2500 𝑚𝑚 200000 𝑀𝑃𝑎 . (350𝑚𝑚2) 𝛿 = 2,5 𝑚𝑚 Obs.: note que 1 𝑀𝑃𝑎 = 1 𝑁/𝑚𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎 = (35 𝑚𝑚). (10 𝑚𝑚) = 350 𝑚𝑚² 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 2,5 𝑚 𝐵𝐶 = 3 𝑚 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 = 200.000 𝑀𝑃𝑎 ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 19 Problemas propostos 1. Determine o alongamento da barra de aço (E = 200000 MPa) abaixo sob a ação das cargas indicadas na figura. Gabarito: ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 20 Problemas propostos 2. Calcule o alongamento total da peça abaixo, desprezando as concentrações de tensões Considere que a espessura da peça é de 5 mm e que o módulo de elasticidade do material é igual a 200000 MPa Gabarito: ResMat: A3 - Aula 01 Prof. Matheus Benincá Slide 21 Referências desta aula Notas de aula do professor Alexandre Braun Livros: Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011. Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997. Tensões e Deformações devidas ao Momento Fletor Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 3 - Aula 02 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Tensões e deformações na flexão • Hipóteses básicas • Deformações ao longo da seção • Linha neutra • Tensões ao longo da seção • Seções com e sem eixo(s) de simetria • Estado de tensões na flexão – círculo de Mohr para o EPT 2. Exemplo 3. Problemas ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Hipóteses básicas Observando a flexão de uma viga em cuja superfície foi traçada uma malha, vê-se que: • As linhas horizontais se transformam em curvas, • As linhas verticais giram, mas permanecem retas e perpendiculares às primeiras, • A parte superior da viga fica mais curta (compressão) e mais larga (efeito Poisson) e a parte inferior fica mais longa (tração) e mais estreita (efeito Poisson). Daí assumir-se a existência de um plano médio denominado plano neutro no qual as fibras longitudinais nele contidas não sofrem deformação. Vista lateral ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Hipóteses básicas A partir destas observações, as seguintes hipóteses para a formulação podem ser feitas : • O eixo longitudinal, sobre o plano neutro, não tem deformação. • Todas as seções normais da viga permanecem planas e normais ao eixo encurvado da viga após a deformação (hipótese das seções planas). • Qualquer deformação da seção normal no seu próprio plano é desprezada. As hipóteses anteriores efetivamente se verificam desde que as seguintes hipóteses também sejam respeitadas (as quais também serão assumidas na formulação): • O material da viga está no regime elástico linear. • As deformações são pequenas. • As infinitas seções da viga estão submetidas somente à flexão, sem a presença de qualquer outra solicitação (esforço normal, de corte e torção). Vista lateral ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Análise de fatia infinitesimal Será observada em detalhe a deformação de uma "fatia" da viga de comprimento 𝐿𝑜, infinitesimal. O sistema de eixos x, y, z tem origem em um ponto sobre o plano neutro de uma das seções transversais, sendo o eixo x orientado na direção do eixo da barra. O alongamento/encurtamento cresce linearmente com a distância ao plano neutro: 𝐶1 = constante de proporcionalidade ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 6 Distribuição de deformações ao longo da altura da seção A deformação cresce linearmente com a distância ao plano neutro: Considerando que todas as fibras tinham o mesmo comprimento original 𝐿𝑜 antes da deformação: A distribuição da deformação é linear ao longo da altura da seção, e igual a zero na linha neutra 𝐶2 = constante de proporcionalidade ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Considerando que o material está no regime elástico linear e a seção é homogênea: 𝐶3 = constante de proporcionalidade Distribuição de tensões ao longo da altura da seção A distribuição de tensões normais é linear ao longo da altura da seção, e a tensão normal é igual a zero na linha neutra ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Distribuição de tensões ao longo da altura da seção Tração Compressão ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Relação entre solicitações e tensões As solicitações são as resultantes das tensões. Esforço normal = 0 (flexão pura): Momento estático de primeira ordem. Só é igual a zero se o eixo z passa pelo CG. Conclusão: a origem do sistema de eixos considerado está sobre o eixo z central da seção. Assim, o plano neutro passa pelo CG da seção. ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Relação entre solicitações e tensões As solicitações são as resultantes das tensões. Momento em torno de y = 0 (flexão em um único plano): Produto de inércia. Só é igual a zero se os eixos y e z são eixos principais de inércia (já que z é central). Conclusão: Os eixos y e z são os eixos principais de inércia passando pelo CG da seção. Neste caso, o eixo z é usualmente chamado de linha neutra (𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜎 = 0). ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Relação entre solicitações e tensões As solicitações são as resultantes das tensões. Momento em torno de z = 𝑀𝑧 Momento de inércia 𝐼𝑧 Equação da flexão 𝑑𝐹 = 𝜎. 𝑑𝐴 𝑑𝑀𝑧 = 𝑦. 𝑑𝐹 𝑑𝑀𝑧 = 𝜎. 𝑦. 𝑑𝐴 ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Relação entre solicitações e tensões Onde: 𝑀𝑧 é o momento fletor atuante na seção considerada y é a distância do ponto ou fibra considerada ao plano neutro, que passa pelo baricentro da seção 𝐼𝑧 é o momento de inércia baricêntrico da seção em relação ao eixo z. A equação acima indica que as maiores tensões normais aparecerão nos pontos mais afastados da linha neutra. ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Seções com dois eixos de simetria Em seções que apresentem dois eixos de simetria, estes eixos são os eixos principais centrais de inércia. Os pontos com as maiores tensões de tração e compressão estarão igualmente afastados da linha neutra, de modo que as tensões, em módulo, serão iguais. Considerando c a distância dos pontos mais afastados da seção em relação à linha neutra, e aplicando a equação anterior, resulta: 𝑐 = 𝑦𝑚á𝑥 Exemplo ao lado: 𝑐 = 170 𝑚𝑚 Sendo: Wz = módulo de resistência à flexão [m³] Exemplo c ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Seções com um eixo de simetria A mesma equação da flexão pode ser aplicada no ao caso de secções com um eixo de simetria, como as seções "T" e "U" indicadas na figura ao lado. Porém, nesse caso o plano neutro poderá não estar na metade da altura da seção. Será necessário calcular a posição do centroide da seção: em seções homogêneas, o plano neutro passará por ele. A equação de flexão permanece igual, mas deve-se ter em consideração que a fibra mais afastada em tração e a fibra mais afastada em compressão estão agora a diferentes distâncias até o plano neutro. A máxima tensão de compressão e a máxima tensão de tração têm agora módulos diferentes. O conceito de um único módulo resistente à flexão somente é válido, neste caso, apenas para materiais dúcteis, que apresentam igual resistência à tração e à compressão. Nesse caso, toma-se 𝑊 = 𝐼𝑧/𝑐. No caso de materiais frágeis, é necessário avaliar a região comprimida e tracionada separadamente. ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Seções sem eixo de simetria Nas seções sem eixo de simetria, a posição do centroide e dos eixos principais centrais de inércia devem ser determinados conforme estudado em Mecânica (ENG01156). O momento fletor deve ser decomposto em parcelas segundo os eixos principais centrais de inércia, e, para cada eixo, ser aplicada a fórmula de flexão. A tensão normal resultante em cada ponto será a soma algébrica das parcelas obtidas de cada componente do momento fletor. ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Círculo de Mohr na flexão: EPT ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 17 Exemplo A viga I abaixo, simplesmente apoiada em suas extremidades, está submetida a um carregamento vertical uniformemente distribuído de 5 kN/m. Determine a máxima tensão normal devida ao momento fletor que atua na viga e a sua localização. Seção transversal ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 18 Exemplo Diagrama de momento fletor: 15 kN 15 kN 𝑀 𝑥 = 15 ∙ 𝑥 − 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 2 𝑀 3 = 15 ∙ 3 − 5 ∙ 3 ∙ 3 2 𝑀 3 = 22,5 𝑘𝑁. 𝑚 x 𝑀𝑚á𝑥 = 22,5 𝑘𝑁. 𝑚 ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 19 Exemplo Como a seção possui dois eixos de simetria, a linha neutra é horizontal e passa pela metade da altura. Momento de inércia de área: Usando o Teorema dos eixos paralelos e dividindo a seção em três retângulos: ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 20 Exemplo Calculando a tensão normal máxima com a equação da flexão: 𝑀 = 22,5 𝑘𝑁. 𝑚 = 22,5.103 𝑁. 𝑚 𝑐 = 17 𝑐𝑚 = 0,17 𝑚 𝐼 = 301,3.10−6 𝑚4 Tração Compressão ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 21 Exemplo 2 A viga da figura tem seção em forma de U. Determinar a máxima tensão de flexão que atua na seção a-a. ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 22 Exemplo 2 A seção tem um eixo de simetria vertical, portanto a linha neutra é horizontal. Contudo, como não há eixo de simetria horizontal, é necessário calcular o centroide da seção para determinar a posição da linha neutra em y (aqui, calculou-se em relação à face superior da seção): 𝑦𝐺 = 59,09 𝑚𝑚 59,09 mm ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 23 Exemplo 2 Calculando agora o momento de inércia da seção em relação ao eixo z baricêntrico (linha neutra): 59,09 mm - = z z 15 140,91 15 250 59,09 250 39,09 ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 24 Exemplo 2 O momento fletor atuante na seção a-a é dado por: 𝑀 𝑥 = −3. 𝑥 𝑘𝑁. 𝑚 x 𝑀 2 = −6 𝑘𝑁. 𝑚 ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 25 Exemplo 2 Finalmente, podemos aplicar a equação da flexão. A máxima tensão normal (em módulo) ocorre no ponto mais afastado da seção transversal. Nesse caso, é o plano inferior da viga (onde a tensão é de compressão, pois o momento é negativo). A máxima tensão normal de tração está no plano superior da viga e é dada por: Tensão máxima de compressão Tensão máxima de tração 59,09 mm Compressão Tração ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 26 Exemplo 2 Repare que, em função da viga estar em balanço, o momento torna-se negativo na seção a-a. Assim, a fibra superior é tracionada e a inferior é comprimida (contrário do exemplo anterior). Por isso, ao traçar um diagrama de momento fletor, é tão importante definir onde temos momentos positivos ou negativos. 𝑀 𝑥 = −3. 𝑥 𝑘𝑁. 𝑚 x 𝑀 2 = −6 𝑘𝑁. 𝑚 59,09 mm Compressão Tração ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 27 Problemas 1. Se a seção da viga ilustrada abaixo está submetida a um momento fletor de 10 kN.m, determine a tensão normal atuante nos pontos A e B, e desenhe os resultados em cubos elementares em torno destes pontos. Gabarito: ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 28 Problemas 2. Se a seção da viga ilustrada abaixo está submetida a um momento fletor de 50 kN.m, determine a tensão normal máxima atuante na seção e a sua posição na seção. Gabarito: 𝜎𝑚á𝑥 = 40,2 𝑀𝑃𝑎 ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 29 Problemas 3. Se a viga ilustrada abaixo é composta por um material com: • Tensão admissível em tração igual a 125 MPa; • Tensão admissível em compressão igual a 150 MPa; Determine o momento interno máximo M (no sentido indicado) que pode ser aplicado à seção da viga. Gabarito: M = 123 kN.m ResMat: A3 - Aula 02 Prof. Matheus Benincá Slide 30 Referências desta aula Notas de aula do professor Alexandre Braun Livros: Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011. Hibbeler, R. C. Mechanics of Materials. Hoboken: Perason, 2015. Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997. Tensões e Deformações devidas ao Esforço Cortante Parte 1: Cisalhamento convencional Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 3 - Aula 03 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Cisalhamento convencional • Hipóteses e limitações • Corte simples • Corte duplo • Círculo de Mohr no cisalhamento convencional 2. Exemplo 3. Problema ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Cisalhamento convencional O cisalhamento convencional é geralmente adotado na descrição de problemas envolvendo ligação de peças de pequena espessura através de pinos ou soldas. Nestes casos, verifica-se que os valores de Momento Fletor são baixos, uma vez que a ligação envolve chapas de pequena espessura em comparação com suas demais dimensões. Sendo assim, é possível desprezar os efeitos produzidos pelo Momento Fletor diante dos efeitos gerados pelo Esforço Cortante. A aula A03 – pt. 1 tratará do cisalhamento convencional, onde essa hipótese pode ser assumida. Na próxima (A03 – pt. 2) estudaremos o cisalhamento real, onde o efeito do momento fletor não será desprezado. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Cisalhamento convencional A tensão tangencial média deve ser considerada mais como um índice do estado de solicitação do material do que propriamente o valor real das tensões tangenciais atuando ao longo do plano de corte, pois esta distribuição implicaria na presença de tensões tangenciais nas faces superior e inferior da peça submetida à ação da força P, o que não é justificado por nenhuma carga externa. Entretanto, em peças como pinos, parafusos, rebites, cordões de solda e demais elementos submetidos fundamentalmente ao corte, nos quais os efeitos de flexão são pequenos, a utilização da tensão tangencial média oferece bons resultados. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Cisalhamento convencional A distribuição elástica de tensões de cisalhamento sobre uma barra com seção transversal retangular, por exemplo, é parabólica. O valor máximo vale 1,5 V/A e está situado sobre o eixo geométrico da barra, agindo na direção perpendicular à linha de ação do Esforço Cortante (estudaremos melhor essa parte na A03 – pt. 2). Contudo, se o material for dúctil e as cargas aplicadas levarem a tensões acima do limite elástico linear, a parte central da seção será submetida progressivamente a tensões tangenciais equivalentes ao escoamento do material, de modo que, próximo da carga limite de ruptura, a distribuição real de tensões ficará bastante próxima da distribuição uniforme (próxima à tensão média), como mostrado abaixo. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 6 Cisalhamento convencional O emprego da fórmula da tensão média é restrito a situações em que as peças são pequenas ou delgadas, de modo que o efeito da flexão pode ser desprezado. A sua aplicação necessita de dois passos: (a) determinação do Esforço Cortante na seção a partir do diagrama de corpo livre; (b) determinação da área resistente ao cisalhamento. A tensão de cisalhamento média atua na mesma direção e sentido do Esforço Cortante V. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Corte simples A figura abaixo mostra uma ligação de chapas de aço através de um pino e de placas de madeira coladas. Considerando um plano de corte entre as peças unidas, obtêm-se os diagramas de corpo livre. Dado que as peças são delgadas, podemos desprezar o momento gerado pela força P. Assim, vê-se que em ambos os casos obtém-se um Esforço Cortante V=P, o qual será empregado para determinar a tensão média de cisalhamento. Como a tendência de ruptura ocorre ao longo de somente uma seção transversal, esta situação é chamada de corte simples, onde temos: ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Corte duplo Quando as ligações são construídas como indicam as configurações mostradas na figura abaixo, devemos considerar duas seções de corte para o pino ou dois planos de união colada. Observando os diagramas de corpo livre correspondentes, constatamos que a tensão média de cisalhamento é determinada por: Note que, em realidade, a formula é a mesma (𝜏𝑚é𝑑 = 𝑉/𝐴), mas aqui V=P/2 em cada seção. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Círculo de Mohr no cisalhamento convencional Um prisma elementar no entorno de um ponto pertencente à seção de corte ou cisalhamento estará submetido apenas a tensões tangenciais. O círculo de Mohr correspondente é um círculo centrado na origem e as tensões principais máximas de tração e compressão serão iguais em módulo ao valor da tensão tangencial encontrada, ocorrendo em planos inclinados de 45º em relação à seção de corte, como podemos observar na figura a seguir. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Exemplo As duas chapas abaixo estão unidas por dois cordões de solda de comprimento a e submetidas a um esforço de tração de 3000 kgf. Sabendo que os cordões de solda têm seção triangular, como mostrado abaixo, calcule o comprimento dos mesmos com um coeficiente de segurança igual a 4. A solda tem tensão tangencial de ruptura 𝜏𝑅 igual a 2000 kgf/cm2 , e as placas de 1700 kgf/cm2 . ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Exemplo Dados: S = 4 a = ? Tensões ruptura: Solda: 𝜏𝑅 = 2000 kgf/cm² Placas: 𝜏𝑅 = 1700 kgf/cm² Ao tracionar as placas, podem ocorrer dois tipos de ruptura, como indicado a seguir: (a) ruptura por cisalhamento no material das placas; (b) ruptura por cisalhamento no material da solda. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Exemplo Dados: S = 4 a = ? Tensões ruptura: Solda: 𝜏𝑅 = 2000 kgf/cm² Placas: 𝜏𝑅 = 1700 kgf/cm² ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Exemplo Dados: S = 4 a = ? Tensões ruptura: Solda: 𝜏𝑅 = 2000 kgf/cm² Placas: 𝜏𝑅 = 1700 kgf/cm² ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Exemplo Dados: S = 4 a = ? Tensões ruptura: Solda: 𝜏𝑅 = 2000 kgf/cm² Placas: 𝜏𝑅 = 1700 kgf/cm² ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Problema proposto Gabarito: 𝑃 ≅ 9,2 𝑘𝑁 ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 1 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Referências desta aula Notas de aula do professor Alexandre Braun Livros: Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011. Hibbeler, R. C. Mechanics of Materials. Hoboken: Perason, 2015. Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997. Tensões e Deformações devidas ao Esforço Cortante Parte 2: Cisalhamento na flexão Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 3 - Aula 03 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Cisalhamento na flexão • Esforço cortante e tensões de cisalhamento • Dedução da equação do cisalhamento • Limitações da equação do cisalhamento 2. Exemplo: viga retangular 3. Problema proposto: viga I ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Esforço cortante e tensões de cisalhamento O esforço cortante V irá gerar tensões de cisalhamento em vigas (isto é, tensões tangenciais). Pelo princípio da reciprocidade das tensões tangenciais, a tensão de cisalhamento transversal terá o mesmo valor da tensão de cisalhamento longitudinal em cada ponto, conforme ilustrado na figura. Além disso, nas faces superior e inferior da viga, no caso de não ser aplicada nenhuma força tangencial externa, a tensão de cisalhamento tem que ser nula. Portanto, a distribuição real das tensões de cisalhamento ao longo da seção transversal não é uniforme: ela parte de zero nas faces extremas e chega a uma valor máximo em algum ponto mais central da seção. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Esforço cortante e tensões de cisalhamento Considere uma viga dividida em três pranchas longitudinais, como na figura ao lado (a). Se essas pranchas não estiverem coladas entre si, ao aplicar uma carga P, elas irão deslizar umas em relação às outras (figura (b)). Contudo, no caso de aplicarmos apenas um momento M no extremo da viga (figura (c)), a viga estará em flexão pura (sem esforço cortante). Nesse caso, as várias pranchas se flexionarão em arcos de círculo concêntricos e não deslizarão umas em relação às outras. Conclusão: É o esforço cortante V que gera essa tendência das pranchas deslizarem umas em relação às outras. (a) (b) (c) Flexão pura ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Esforço cortante e tensões de cisalhamento No caso de as várias pranchas estarem “coladas” entre si, o deslizamento relativo entre as várias “pranchas” não irá ocorrer, porém essa tendência irá continuar existindo. São justamente as tensões de cisalhamento as responsáveis por evitar esse deslizamento relativo, mantendo a seção unida. Repare que, como já citado, as tensões de cisalhamento longitudinais terão que ter pares de tensões de cisalhamento transversal em cada ponto (reciprocidade). O mesmo ocorre em uma seção cheia de material homogêneo e coesivo como o aço. Pranchas sem acoplamento Pranchas coladas (ou seção cheia homogênea) ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 6 Análise de fatia infinitesimal Agora vamos isolar uma fatia infinitesimal de uma viga submetida ao momento fletor e esforço cortante. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Análise de fatia infinitesimal Mas, ao invés de analisar toda a fatia, vamos considerar apenas a porção superior indicada na figura. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Análise de fatia infinitesimal 𝜏 = tensão de cisalhamento na altura da seção horizontal considerada 𝑡 = largura da viga na altura considerada 𝑑𝑥 = comprimento infinitesimal da fatia 𝐴′ = área da porção superior considerada Para a análise do equilíbrio deste elemento, serão consideradas as seguintes hipóteses: • As tensões tangenciais nas seções transversais são paralelas ao eixo y e independentes de z (não há variação ao longo da largura da viga). • A presença do esforço cortante não altera a distribuição de tensões normais devidas à flexão. x y z ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Análise de fatia infinitesimal Isolando 𝜏: 𝜏 = tensão de cisalhamento na altura considerada 𝑡 = largura da viga na altura considerada 𝑑𝑥 = comprimento infinitesimal da fatia 𝐴′ = área da porção superior considerada Usando a equação da flexão (A02): ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Análise de fatia infinitesimal 𝜏 = tensão de cisalhamento na altura considerada 𝑡 = largura da viga na altura considerada 𝑑𝑥 = comprimento infinitesimal da fatia 𝐴′ = área da porção superior considerada Temos que: V = Esforço cortante Q = Momento estático de primeira ordem da área A’ em relação ao eixo baricentrico da seção ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Equação do cisalhamento Sendo: 𝜏 = tensão de cisalhamento na altura considerada (longitudinal ou transversal); 𝑡 = largura da viga na altura considerada; 𝐴′ = área da porção superior considerada; 𝑄 = ഥ𝑦′. 𝐴′ = momento estático de 1ª ordem da área A’ em relação ao eixo z central da seção; 𝐼 = momento de inércia de inércia de área de toda a seção em relação ao eixo z central. Assim, finalmente, chegamos a: Equação do cisalhamento ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Limitações da equação do cisalhamento A distribuição não é perfeitamente uniforme ao longo da largura t. Em seções muito largas, isso pode ser um problema. Consequentemente, numa viga I, a fórmula é apropriada para as tensões de cisalhamento na alma, mas não tanto nas mesas. A equação também não funciona muito bem nos extremos de vigas com extremidades irregulares (pois a tensão de cisalhamento é sempre tangente ao contorno) ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Exemplo: Viga retangular Momento estático de primeira ordem da área superior: ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Exemplo: Viga retangular Aplicando a equação do cisalhamento: Parábola ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Exemplo: Viga retangular Em y = 0 (na linha neutra): Tensão de cisalhamento máxima é 1,5 vezes maior do que a tensão de cisalhamento média em uma seção retangular! 𝑦 = 0 → 𝜏 = 6𝑉 𝑏. ℎ3 . ℎ2 4 − 0 = 1,5 𝑉 𝐴 ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Exemplo: Viga retangular ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 17 Exemplo: Viga retangular Um modo de falha comum em vigas de madeira é por cisalhamento na seção onde o esforço cortante é máximo. Essa falha ocorre perto da linha neutra, onde a tensão de cisalhamento é máxima. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 18 Problema proposto: viga I Determine a distribuição de tensões tangenciais ao longo da altura da viga I detalhada abaixo. Desenhe essa distribuição em um gráfico ao longo da altura. Gabarito: Dica: considere três casos para aplicar a equação do cisalhamento: 1) Em y = 0 (na linha neutra); 2) Em y = 100 mm , usando t = largura da alma; 3) Em y = 100 mm, usando t = largura da mesa. ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 19 Problema proposto: viga I No mesmo problema, estime a tensão de cisalhamento pelas fórmulas abaixo: 𝜏 = 𝑉 𝐴 𝜏 = 𝑉 𝐴𝑤 a) b) Onde 𝐴 é a área de toda a seção, e 𝐴𝑤 é a área da alma. Qual resultado se aproxima mais do valor real da 𝜏𝑚á𝑥 calculado pela equação do cisalhamento? Como você explica essa conclusão? ResMat: A3 - Aula 03 - pt. 2 Prof. Matheus Benincá Slide 20 Referências desta aula Livros: Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011. Hibbeler, R. C. Mechanics of Materials. Hoboken: Perason, 2015. Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997. Flexão em vigas compostas Método da seção transformada Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 3 - Aula 04 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Seções compostas 2. Método da seção transformada 3. Exemplo: viga composta de aço e madeira 4. Exemplo: viga de concreto armado 5. Tarefas ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Revisão: equação da flexão para seções homogêneas Na aula A02 nós deduzimos a equação da flexão para seções homogêneas, que era dada por: Onde: 𝑀𝑧 é o momento fletor atuante na seção considerada y é a distância do ponto ou fibra considerada ao plano neutro, que passa pelo baricentro da seção 𝐼𝑧 é o momento de inércia baricêntrico da seção em relação ao eixo z. Uma hipótese fundamental utilizada na dedução foi de a seção ser homogênea: todos os elementos diferenciais dA da seção possuíam o mesmo módulo de elasticidade E. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Seções compostas Porém, podemos trabalhar com seções compostas pela união e diferentes materiais, de modo que essa hipótese de mesmo módulo de elasticidade E ao longo de toda a seção não se verifica. Viga composta de aço e madeira Viga de concreto armado Viga de concreto reforçada por barras de aço na região tracionada ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Seções compostas: método da seção transformada Assim, a equação da flexão da aula A02 não pode ser aplicada diretamente para vigas compostas. Na aula de hoje, iremos desenvolver um método, denominado “método da seção transformada”, para estudar a flexão em vigas compostas. A mesma equação da aula A02 poderá ser utilizada depois que a seção for transformada, isto é, será aplicada de forma indireta. O método da seção transformada partirá de algumas hipótese importantes: 1. Todos os materiais da seção encontram-se no regime elástico linear; 2. Os materiais estão perfeitamente aderidos (colados) entre si, de modo que não há deslizamentos relativos entre eles; 3. A hipótese das seções planas continua válida (resultando na distribuição linear de deformações). Essas hipóteses nem sempre condizem com a realidade, portanto esse método deve ser aplicado com cautela. Por exemplo, em vigas de concreto armado, sabe-se que para cargas próximas à ruptura o concreto apresenta distribuição de tensões não linear, de modo que a hipótese 1 seria falsa neste contexto. Além disso, em alguns casos a aderência concreto-aço pode não ser perfeita. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 6 A ideia básica do método consiste em modificar a geometria da seção transversal de tal forma que ela torne- se uma seção constituída de um único material equivalente. Uma vez realizada esta modificação, poderemos aplicar livremente as fórmulas de flexão para materiais homogêneos. Considere a viga abaixo, composta por dois materiais 1 e 2, com módulos de elasticidade 𝐸1 e 𝐸2 Método da seção transformada Lei de Hooke: 𝜎 = 𝜖. 𝐸 Para uma mesma deformação 𝜖, temos 𝜎 ∝ E O material mais rígido (com maior E) tenderá a suportar maior parcela do momento, apresentando maiores tensões. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Por este método, ao invés de pensarmos na distribuição real de tensões nos dois materiais diretamente, iremos antes considerar que toda a viga é composta do mesmo material, mas com uma seção equivalente. - Cada força elementar agindo em um elemento diferencial dA é dada por: 𝑑𝐹1 = 𝜎1(𝑦). 𝑑𝐴1 = 𝐸1. 𝜖. 𝑑𝐴1 𝑑𝐹2 = 𝜎2(𝑦). 𝑑𝐴2 = 𝐸2. 𝜖. 𝑑𝐴2 Método da seção transformada Multiplicando e dividindo 𝑑𝐹2 por 𝑛 = 𝐸2 𝐸1 : 𝑑𝐹2 = 𝑛 𝑛 . 𝐸2. 𝜖. 𝑑𝐴2 = 𝐸1. 𝜖. 𝑛. 𝑑𝐴2 Criando um elemento fictício 𝑑𝐴2 ′ = 𝑛. 𝑑𝐴2 = (𝑛. 𝑑𝑧). 𝑑𝑦 𝑑𝐹2 = 𝐸1. 𝜖. 𝑑𝐴2 ′ 𝑛. 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝐴2’ No material 1: No material 2: ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Na prática, o que fizemos foi “alargar” todos os elementos diferenciais 𝑑𝐴2 na direção z, resultando em um alargamento de toda a porção composta de material mais rígido. Como a distribuição de tensões depende apenas de y (eq. da flexão), podemos fazer isso sem prejudicar o equilíbrio estático do problema: o que aumentamos em área, reduzimos em tensão, já que o módulo de elasticidade do material 2 (mais rígido) foi substituído pelo módulo de elasticidade do material 1 (menos rígido). Método da seção transformada 𝑑𝐴2 ′ = 𝑛. 𝑑𝐴2 = (𝑛. 𝑑𝑧). 𝑑𝑦 𝑑𝐹2 = 𝐸1. 𝜖. 𝑑𝐴2 ′ 𝑛. 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝐴2’ Note que: 𝐸2. 𝜖. 𝑑𝐴2 = 𝐸1. 𝜖. 𝑛. 𝑑𝐴2 ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Método da seção transformada Temos assim uma seção equivalente homogênea (toda com 𝐸1): 𝑑𝐹1 = 𝜎1(𝑦). 𝑑𝐴1 = 𝐸1. 𝜖. 𝑑𝐴1 𝑑𝐹2 = 𝜎2 𝑦 . 𝑑𝐴2 = 𝐸1. 𝜖. 𝑛. 𝑑𝐴2 = 𝐸1. 𝜖. 𝑑𝐴2 ′ Seção equivalente homogênea A porção mais rígida da seção original deve ser alargada Após realizada essa transformação, seguimos o seguinte procedimento: 1) Analisamos a seção equivalente homogênea normalmente, como fizemos na aula A02; 2) Na área que não foi alterada, já obtemos diretamente a distribuição de tensões pela equação da flexão; 3) Na área alargada, multiplicamos a tensão encontrada para a seção homogênea por n, para obter a tensão real na seção original. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Método da seção transformada O procedimento pode ainda ser generalizado para qualquer transformação (inclusive com + de 2 mat): • Um dos materiais deve ser tomado como referência, e sua área não sofre alterações; • Áreas mais rígidas são alargadas na seção equivalente homogênea; • Áreas menos rígidas ficam mais estreitas na seção equivalente homogênea. 𝐼𝑧∗ é o momento de inércia da seção homogênea equivalente Usar eq. da flexão normalmente na seção homogênea Usar eq. da flexão e multiplicar 𝜎 encontrado por 𝑛 = 𝐸𝑖/𝐸𝑟𝑒𝑓 Seção equivalente se 𝐸1 > 𝐸2 Seção equivalente se 𝐸1 < 𝐸2 Aqui, 𝐸𝑟𝑒𝑓 = 𝐸1 ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Exemplo 1 Uma viga composta com seção indicada na figura abaixo é feita de madeira e reforçada com uma chapa de aço em sua superfície inferior. Para um Momento Fletor de 2 kN.m, determine qual será a tensão normal nos pontos B e C. Adotar 𝐸𝑚𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 = 12 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Exemplo 1 Seção composta original Seção equivalente homogênea Material de referência: aço Estratégia: estreitar área da madeira, que é menos rígida 𝑛 = 𝐸2 𝐸1 = 12 200 = 0,06 𝐸𝑚𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 = 12 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎. Largura da seção na área da madeira: 150 ∙ 0,06 = 9 𝑚𝑚 ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Exemplo 1 Realizada a transformação, analisamos a seção homogênea equivalente como na aula A02: Posição do centroide (Linha Neutra): Momento de inércia da seção homogênea em relação ao eixo da linha neutra (usando o Teorema dos Eixos Paralelos): ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Exemplo 1 Aplicamos então a fórmula da flexão na seção homogênea equivalente: O ponto C está sobre uma região que não foi alterada na seção homogênea, portanto 𝜎𝐶 já é a tensão real naquele ponto. Já o ponto B’ está acima de uma área artificialmente alterada (que ficou mais estreita). Para calcular a tensão real no ponto B original de madeira, precisamos multiplicar 𝜎𝐵′ por n. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Exemplo 1 Ajustando as tensões na região de madeira (multiplicando por n), obtemos: Na madeira ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Vigas de concreto armado A resistência à tração do concreto é muito baixa. Por outro lado, sua resistência à compressão é considerável. Assim, em uma viga de concreto armado em flexão, a parte tracionada necessariamente tem que ser reforçada por barras de aço para evitar a ruína da peça. Na prática de projeto, inclusive, usualmente desconsideramos a resistência do concreto à tração, já que ele apresenta fissurações para tensões de tração relativamente baixas. Deste modo, o mecanismo de resistência da peça geralmente é composto pela ação de tensões de compressão no concreto e de tensões de tração nas barras de aço, gerando um binário de forças que resulta no momento resistente. Além das vantagens de resistência, a composição de aço e concreto em vigas permite que as barras de aço fiquem protegidas pelo concreto de agentes corrosivos (desde que garantido um cobrimento mínimo) e apresente maior tempo de resistência ao fogo, no caso de incêndios. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 17 Vigas de concreto armado O estudo do comportamento de vigas de concreto armado em maiores detalhes foge ao escopo desta disciplina, e usualmente é abordado em disciplinas específicas. Contudo, tendo em vista que a maior parte das obras civis brasileiras utiliza o concreto armado, optei por apresentar aqui uma abordagem simplificada para vocês terem uma noção sobre o seu princípio de funcionamento. Iremos usar o método da seção transformada. Algumas simplificações/limitações dessa abordagem são: • A distribuição de tensões no concreto é considerada linear (na realidade não é); • A aderência entre aço-concreto é considerada perfeita (nem sempre é). Método da seção transformada ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 18 Exemplo 2 A viga de concreto tem a seção transversal indicada na figura e está submetida a um momento fletor de 60 kN.m Determine a tensão em cada uma das barras de aço e a tensão normal máxima no concreto. Adote 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑐 = 25 𝐺𝑃𝑎. Desprezaremos a resistência do concreto à tração. Área de aço: 𝐴 = 2. 𝜋. 12,52 = 982 𝑚𝑚² Vamos transformar a área de aço em uma área equivalente de concreto (alargando a área de aço): 𝑛 = 200 25 = 8 𝐴′ = 8 ∙ 982 𝑚𝑚2 = 7856 𝑚𝑚² ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 19 Exemplo 2 A seção equivalente homogênea é ilustrada na figura ao lado. Calculando a posição do centroide (exercício!) encontramos: ℎ′ = 120,90 𝑚𝑚 A linha neutra passa pelo centroide, logo toda área acima da linha neutra está comprimida (pois o momento é positivo). Calculando o momento de inércia da seção homogênea em relação à linha neutra (exercício!), encontramos: 𝐼𝑧∗ = 788,67.106 𝑚𝑚4 ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 20 Exemplo 2 Aplicando a equação da flexão, obtemos diretamente as tensões no concreto. Já para as tensões nas barras de aço, é necessário multiplicar as tensões da seção homogênea por n. A finalização deste exemplo fica de exercício. Os resultados estão indicados abaixo. ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 21 Tarefas Nesta aula não serão deixados problemas específicos. Tarefas: - Finalizar o exemplo da viga de concreto armado, resolvendo todos os passos que foram ocultados. - O que aconteceria neste exemplo caso o momento atuante fosse negativo? Justifique. - Finalizar os problemas das aulas anteriores e revisar mecânica (momento de inércia e centroide). ResMat: A3 - Aula 04 Prof. Matheus Benincá Slide 22 Referências desta aula Notas de aula do professor Alexandre Braun. Livros: Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011. Hibbeler, R. C. Mechanics of Materials. Hoboken: Perason, 2015. Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997. Tensões e deformações devidas ao Momento Torçor Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 3 - Aula 05 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Discussões preliminares 2. Barra de seção circular ou coroa circular • Deformações devidas ao momento torçor • Tensões devidas ao momento torçor no regime elástico • Círculo de Mohr • Ângulo de torção 3. Exemplos 4. Tópicos adicionais 5. Problemas ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Barras cilíndricas de seção cheia ou coroa circular Em Engenharia, o momento que tende a torcer uma barra em torno de seu eixo longitudinal é usualmente chamado de torque ou de momento torçor. Tensões provocadas por torque aparecem em eixos e árvores de transmissão, além de vigas, pórticos e grelhas, onde elas ocorrem combinadas com tensões de flexão. Inicialmente, vamos analisar o caso de uma barra cilíndrica de seção circular a fim de determinarmos a distribuição de tensões atuantes em um ponto qualquer no interior da barra e o ângulo de torção quando o material comporta-se de forma elástica linear. Um eixo de transmissão conecta o gerador com a turbina ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Discussões preliminares Equilíbrio de torques: 𝑑𝐹 = força elementar atuando em uma área dA 𝜌 = distância de cada força elementar dF até o eixo da barra ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Discussões preliminares Equilíbrio de torques: Embora a relação obtida expresse uma importante condição que deve ser satisfeita pelas tensões de cisalhamento em qualquer seção transversal do eixo, ela não nos informa como essas tensões são distribuídas na seção transversal. Antes de tentar compreender como ocorre essa distribuição de tensões, precisamos entender como ocorre a distribuição de deformações. Faremos isso logo adiante. ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 6 Discussões preliminares Equilíbrio de torques: Outro ponto que merece atenção são as tensões de cisalhamento atuantes. Pelo princípio da reciprocidade de tensões tangenciais, sabemos que elas também ocorrem na direção longitudinal da barra: Em uma barra maciça de material coesivo, essa tendência ao deslizamento relativo é impedida por tensões tangenciais longitudinais ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Deformações em uma barra de seção circular Hipótese das seções transversais planas Quando uma barra circular é submetida à torção, toda seção transversal plana permanece plana e indeformada. Em outras palavras, embora as várias seções transversais ao longo da barra sofram rotações de diferentes valores, cada seção transversal gira como um disco rígido. A hipótese é válida para seções circulares, mas não é válida para seções retangulares. ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Deformações em uma barra de seção circular Ângulo de torção 𝝓 Se um torque T é aplicado à outra extremidade, a barra sofrerá rotação, com sua extremidade livre girando em um ângulo 𝜙, chamado de ângulo de torção. A observação mostra que, dentro de determinado intervalo de valores de T, o ângulo de torção f é proporcional a T. Ela mostra também que f é proporcional ao comprimento L da barra. ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Deformações em uma barra de seção circular Relação entre ângulo de torção 𝝓 e ângulo de distorção 𝜸 Observamos que, para pequenos valores de 𝛾, podemos expressar o comprimento do arco AA’ como AA’ = 𝐿. 𝛾. Mas, em contrapartida, temos AA’=𝜌. 𝜙. Segue que: 𝐿. 𝛾 = 𝜌. 𝜙 Isolando 𝛾: Para um dado c = 𝜌𝑚á𝑥 (raio da barra cilíndrica = c), temos: Variação linear! 𝛾 ∝ 𝜌 ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Tensões no regime elástico em barras de seção circular Lei de Hooke para cisalhamento (regime elástico linear): 𝜏 = 𝐺. 𝛾 Onde: 𝐺 = 𝐸 2. 1+𝜈 é o módulo de elasticidade transversal. Retomando a equação anterior: Multiplicando ambos os lados da eq. por G: Variação linear! 𝜏 ∝ 𝜌 ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Tensões no regime elástico em barras de seção circular Conclusão: No regime elástico linear e na condição de pequenas deformações, considerando uma barra cilíndrica (base circular ou de coroa circular) submetida a um torque, temos que: - A variação das deformações tangenciais ao longo do raio é linear! - A variação das tensões tangenciais ao longo do raio é linear! Variação linear! 𝜏 ∝ 𝜌 Variação linear! 𝛾 ∝ 𝜌 ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Tensões no regime elástico em barras de seção circular Retornando agora à condição de equilíbrio de torques: Equilíbrio de torques: Momento polar de inércia J ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Tensões no regime elástico em barras de seção circular Resumo – barras com seção circular ou coroa circular: Tensão máxima de cisalhamento (na borda): Tensão máxima de cisalhamento em um ponto: 𝜌 = distância do ponto até o eixo da barra 𝑐 = raio externo da barra Momento de inércia polar: Círculo: Coroa circular: ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Exemplo Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento, diâmetros interno = 40mm, diâmetro externo = 60mm. (a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa? (b) Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular? ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Exemplo Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento, di = 40mm, de = 60mm. (a)Torque máximo aplicado para a tensão de cisalhamento não exceder 120 MPa: ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Exemplo Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento, di = 40mm, de = 60mm. (b) Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular? ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 17 Tensões em função do diagrama de momento de torção As fórmulas de torção foram deduzidas para uma barra de seção transversal circular uniforme submetida a torques em suas extremidades. No entanto, elas também podem ser utilizadas para uma barra de seção transversal variável ou para uma barra submetida a torques aplicados em pontos diversos. Para tanto, basta considerar o momento de inércia na seção considerada, e traçar um diagrama de momento torçor (conforme área 1) para determinar o valor de T naquela seção. ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 18 Círculo de Mohr ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 19 Círculo de Mohr ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 20 Rupturas típicas de materiais dúcteis e frágeis em torção Como vimos na área 2, os materiais dúcteis geralmente falham em cisalhamento. Portanto, quando submetido à torção, um corpo de prova feito de um material dúctil rompe-se ao longo de um plano perpendicular ao seu eixo longitudinal. Por outro lado, materiais frágeis falham mais comumente em tração do que em cisalhamento. Assim, quando submetido à torção, um corpo de prova feito de um material frágil tende a se romper ao longo das superfícies perpendiculares à direção na qual a tensão de tração é máxima, isto é, ao longo das superfícies que formam um ângulo de 45° com o eixo longitudinal do corpo de prova Ruptura típica de material dúctil em torção Ruptura típica de material frágil em torção ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 21 Ângulo de torção no regime elástico Das equações anteriores, tínhamos: Manipulando essas duas equações e isolando 𝜙: Ângulo de torção ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 22 Ângulo de torção no regime elástico No caso de barras submetidas a vários momentos de torção e/ou com seções variáveis em trechos: Ângulo de torção Neste caso, é necessário analisar a estrutura em trechos e desenhar o diagrama do momento torçor! ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 23 Ângulo de torção no regime elástico No caso de barras submetidas momentos de torção e/ou seções variáveis de forma contínua: Ângulo de torção ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 24 Exemplo O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido aos torques mostrados na figura. Foi feito um furo de 44 mm de diâmetro na parte CD do eixo. Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço com G = 77 GPa, determine o ângulo de torção na extremidade A. ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 25 Exemplo G = 77 GPa. Ângulo de torção na extremidade A? Diagrama de momento torçor: Fazendo duas seções: Como não há torque aplicado entre B e D: ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 26 Exemplo G = 77 GPa. Ângulo de torção na extremidade A? Momentos polares de inércia: ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 27 Exemplo G = 77 GPa. Ângulo de torção na extremidade A? Finalmente, calculamos o ângulo de torção: ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 28 Tópicos adicionais Não abordarei esses tópicos em detalhes por considerá-los muito específicos. Caso você tenha interesse, recomendo estudar pela bibliografia indicada. 1. Barras retangulares em torção ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 29 Tópicos adicionais Não abordarei esses tópicos em detalhes por considerá-los muito específicos. Caso você tenha interesse, recomendo estudar pela bibliografia indicada. 2. Torção em barras de paredes finas ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 30 Tópicos adicionais Não abordarei esses tópicos em detalhes por considerá-los muito específicos. Caso você tenha interesse, recomendo estudar pela bibliografia indicada. 3. Projetos de eixos de transmissão A potência P associada à rotação de um corpo rígido submetido a um torque T é em que 𝜔 é a velocidade angular do corpo expressa em radianos por segundo. Torque necessário para determinada potência. Depois, verificamos se o material resiste a esse torque, pelas equações anteriores. ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 31 Tópicos adicionais Não abordarei esses tópicos em detalhes por considerá-los muito específicos. Caso você tenha interesse, recomendo estudar pela bibliografia indicada. 4. Concentrações de tensões ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 32 Problemas 1. Para o eixo cilíndrico mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima provocada por um torque de intensidade T = 1,5 kN.m Gabarito: 89,7 MPa ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 33 Problemas 2. A tensão tangencial admissível é de 50 MPa na barra de latão AB e de 25 MPa na barra de alumínio BC. Sabendo que um torque de intensidade T = 1250 N.m é aplicado em A, determine o diâmetro necessário (a) da barra AB e (b) da barra BC. Gabarito: ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 34 Problemas 3. A barra de alumínio AB (G=27 GPa) está ligada à barra de latão BD (G=39 GPa). Sabendo que a parte CD da barra de latão é vazada e tem um diâmetro interno de 40 mm, determine o ângulo de torção em A. Gabarito: ResMat: A3 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 35 Referências desta aula Notas de aula do professor Alexandre Braun. Livros: Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011. Hibbeler, R. C. Mechanics of Materials. Hoboken: Perason, 2015. Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997. Solicitações Compostas Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 3 - Aula 06 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Solicitações compostas ◦ Introdução ◦ Momento Fletor + Esforço Normal (flexo-tração ou flexo-compressão) ◦ Flexão oblíqua ◦ Flexão composta oblíqua ◦ Esforço cortante + Momento torçor ◦ Caso geral: Esforço Normal + Esforço cortante + Momento Torçor + Momento Fletor 2. Exemplos ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Introdução Ao longo das últimas aulas desenvolvemos uma série de fórmulas para a determinação da distribuição de tensões em barras sujeitas a Esforço Normal, Esforço Cortante, Momento Fletor e Momento Torçor. Estas distribuições de tensão foram obtidas considerando determinadas cargas que geravam a ação isolada de cada uma destas solicitações sobre a seção transversal das barras. No entanto, é comum observarmos situações onde o carregamento aplicado leva ao surgimento de mais do que uma única solicitação atuando sobre a seção transversal. Neste caso usaremos o Princípio da Superposição. Contudo, é importante lembrar que ele só pode ser empregado desde que exista uma relação linear entre cargas e tensões e a geometria do elemento não sofra mudança significativa. Delimitaremos nossa a análise a tais casos. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Esforço Normal + Momento Fletor (flexo-compressão ou flexo-tração) Ambas as solicitações provocam tensões normais na seção transversal de referência. As tensões normais resultantes são a soma de uma distribuição uniforme de tensões causada por uma carga axial e uma distribuição linear de tensões causada pela flexão em torno de um dos eixos principais de inércia da seção. Assim, a distribuição de tensão resultante pode ser expressa por: Nesta condição, a linha neutra permanece paralela ao eixo principal central de inércia em torno do qual ocorre a flexão, mas não mais contém o centroide da seção. Quanto maior for a influência do Esforço Normal sobre as tensões resultantes, mais distante estará a linha neutra do centroide. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Flexão oblíqua (Momento em torno de y + Momento em torno de z) Quando uma peça está submetida à flexão oblíqua em relação ao eixos principais centrais de inércia da seção transversal, é necessário decompor o momento fletor atuante em componentes em torno dos eixos principais. Neste caso, a linha neutra se torna oblíqua em relação aos eixos principais de inércia, mas continua passando pelo baricentro da seção. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 6 Esforço Normal + Flexão Oblíqua (Flexão composta oblíqua) Todas as solicitações geram tensões normais. A distribuição de tensões resultante é a soma das distribuições individuais de cada solicitação. A linha neutra é oblíqua em relação aos eixos principais centrais de inércia e deslocada em relação ao baricentro, podendo ser obtida igualando a equação acima a zero. Lembre que, na linha neutra, as tensões normais e as deformações normais são nulas. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Compressão ou Tração Excêntrica É um caso particular de combinação de esforço normal e flexão composta. Considere-se uma peça submetida à ação de uma força de tração ou compressão cuja linha de atuação não passa pelo baricentro da seção. Se esta carga for transladada estaticamente ao baricentro da seção, obtém-se uma carga centrada (esforço normal) e, no caso geral, dois momentos fletores (flexão composta). As tensões resultantes podem ser obtidas pela equação: Mz My ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Esforço cortante + Momento Torçor Ambas as solicitações provocam tensões tangenciais à seção transversal de referência. As tensões provocadas pelo esforço cortante (cisalhamento convencional) têm distribuição uniforme, na direção do esforço. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Esforço Normal + Esforço cortante + Momento Fletor + Torçor Quando o estado de carregamento for tal que apareçam tensões normais à seção (Esforço Normal e/ou Flexão) e tensões tangenciais (Esforço Cortante e/ou Torção) é preciso calcular a tensão equivalente através de uma teoria de resistência, a partir de um prisma retirado com uma das faces contidas no plano da seção transversal, orientado segundo as tensões tangenciais atuantes. A partir das tensões principais obtidas, pode-se calcular a tensão equivalente aplicando qualquer teoria de resistência. Nestes casos, pode não haver coincidência entre os pontos de tensão normal máxima e tensão tangencial máxima na seção, devendo-se pesquisar pontos em que as tensões tangenciais são máximas (mas as normais não são), em que as tensões normais são máximas (mas as tangenciais não são) e pontos intermediários, os quais não maximizam nem as tensões normais nem as tangenciais, mas podem maximizar a tensão equivalente. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Exemplo 1 Um eixo de seção circular de 120 mm de diâmetro deve transmitir um torque de 1000 kgf.m. O eixo é feito de aço com peso específico de 7850 kgf/m³. O eixo tem 4 m de comprimento e está apoiado em dois mancais nas extremidades. Determinar a tensão de escoamento do material para um coeficiente de segurança igual a 5, utilizando von Mises. Desprezar o esforço cortante. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Exemplo 1 O peso do eixo, por metro de comprimento, pode ser obtido pelo produto da área da seção transversal pelo peso específico (7850 kgf/m³). Seção transversal circular 120 mm de diâmetro Os diagramas de solicitação ficam: ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Exemplo 1 A seção mais crítica (onde flexão e torção atuam com intensidade máxima) é a seção central. Verificando-se a distribuição de tensões devidas a cada uma das solicitações, seleciona-se dois pontos críticos na seção crítica. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Exemplo 1 Sendo o material dúctil, com igual resistência à tração e à compressão, os dois pontos nos extremos inferior e superior estão igualmente solicitados. Calculando as tensões obtém-se Tensão normal máxima devida ao momento fletor: Tensão tangencial máxima devida ao momento torçor: 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 = 1,04 0 2,94 0 0 0 2,94 0 0 ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Exemplo 1 Calculando a tensão equivalente pelo critério de Von Mises: Calculamos então a tensão de escoamento necessária para que o coeficiente de segurança seja igual a 5 ( o material escolhido deve ter tensão de escoamento maior do que essa). 𝜎𝑒 = 𝑆. ത𝜎 = 5 ∙ 5,2 = 26 kgf mm2 A título de ilustração, o aço ASTM A 572 Grau 50 possui 𝜎𝑒 = 345 𝑀𝑃𝑎 ≅ 34,5 𝑘𝑔𝑓 𝑚𝑚2 , portanto poderia ser utilizado no eixo. Alternativamente, poderíamos calcular as tensões principais e usar a equação padrão de von Mises. 𝜎𝑒𝑞 = 1 2 . 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 + 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧 2 + 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 2 + 3. 𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜏𝑥𝑧 2 + 𝜏𝑦𝑧 2 𝜎𝑒𝑞 = 1 2 . 1,04 − 0 2 + 0 − 0 2 + 0 − 1,04 2 + 3. 0 + 2,942 + 0 = 5,2 𝑘𝑔𝑓 𝑚𝑚2 𝜎 = 1,04 0 2,94 0 0 0 2,94 0 0 𝜎𝑥 = 1,04 𝑘𝑔𝑓/𝑚𝑚2 e 𝜏𝑥𝑧= 2,94 𝑘𝑔𝑓/𝑚𝑚2 ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Exemplo 2 Uma força de 15000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na figura. Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C (considere as tensões devidas ao esforço normal e ao momento fletor). ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Exemplo 2 Solicitações internas. Fazemos uma seção passando por B e C. Por equilíbrio de forças e momentos, determinamos que nesta seção o momento fletor é igual a 750.000 N.mm e o esforço normal é igual a 15.000 N. Perceba que: |𝑀𝑧| = |𝑃. 𝐿𝑦| = 15 000𝑁. 50 𝑚𝑚 = 750.000 𝑁. 𝑚𝑚 𝑀𝑦 = 0 pois a carga é centrada em relação a y 𝑁 = −15 000 𝑁 (compressão) ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 17 Exemplo 2 Solicitações internas. Fazemos uma seção passando por B e C. Por equilíbrio de forças e momentos, determinamos que nesta seção o momento fletor é igual a 750.000 N.mm e o esforço normal é igual a 15.000 N. |𝑀𝑧| = |𝑃. 𝐿𝑦| = 15 000𝑁. 50 𝑚𝑚 = 750.000 𝑁. 𝑚𝑚 𝑀𝑦 = 0 pois a carga é centrada em relação a y 𝑁 = −15 000 𝑁 (compressão) Recomendo não pensar no sinal do momento fletor neste momento, mas, sim, avaliar qualitativamente as zonas comprimidas e tracionadas. Pela figura, fica claro que o momento comprime o ponto C e traciona o ponto B. Logo, no ponto C a tensão normal devida ao momento fletor será somada com a tensão normal devida ao esforço cortante (compressão). Já no ponto B, a tensão de tração devida ao momento terá sinal oposto à tensão de compressão devida ao esforço normal. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 18 Exemplo 2 Tensões máximas devidas ao momento fletor. (compressão em C e tração em B) 𝜎𝑥,𝑚á𝑥 = ± 𝑀𝑧. 𝑦𝑚á𝑥 𝐼𝑧 𝜎𝑥,𝑚á𝑥 = ± 750000 𝑁𝑚𝑚 ∙ 50 𝑚𝑚 1 12 ∙ 40 𝑚𝑚 ∙ 100 𝑚𝑚 3 𝜎𝑥,𝑚á𝑥 = ±11,25 𝑁 𝑚𝑚2 = ±11,25 𝑀𝑃𝑎 ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 19 Exemplo 2 Tensões devidas ao esforço normal. (compressão em C e em B) 𝜎𝑥 = 𝑁 𝐴 = − 15000 𝑁 40 𝑚𝑚 ∙ 100 𝑚𝑚 𝜎𝑥 = −3,75 𝑁 𝑚𝑚2 = −3,75 𝑀𝑃𝑎 ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 20 Exemplo 2 Superposição. (compressão em C e em B) 𝜎𝑥 = −3,75 𝑁 𝑚𝑚2 = −3,75 𝑀𝑃𝑎 (compressão em C e tração em B) 𝜎𝑥,𝑚á𝑥 = ±11,25 𝑁 𝑚𝑚2 = ±11,25 𝑀𝑃𝑎 No ponto B: No ponto C: Tensões devidas a N: Tensões devidas a M: 𝜎𝑥 = −3,75 + 11,25 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑥 = 7, 5 𝑀𝑃𝑎 (Tração) 𝜎𝑥 = −3,75 − 11,25 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑥 = −15 𝑀𝑃𝑎 (Compressão) ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 21 Exemplo 2 Superposição. Linha neutra: Esforço normal Momento Fletor ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 22 Tarefas Estudar a teoria e refazer os dois exemplos trabalhados em aula (busque entender todos os passos). Na próxima aula irei resolver mais um problema e recomendar outros para vocês resolverem. ResMat: A3 - Aula 06 Prof. Matheus Benincá Slide 23 Referências desta aula Notas de aula do professor Alexandre Braun. Livros: Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011. Hibbeler, R. C. Mechanics of Materials. Hoboken: Perason, 2015. Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997.