Slide Área 2 - Aula 05 Estado Geral de Tensões em Torno de um Ponto-2022 1

Estado geral de tensões em torno de um ponto Prof. Matheus Erpen Benincá matheus.beninca@ufrgs.br - Área 2 - Aula 05 - Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140 ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 2 O que estudaremos hoje? 1. Seções múltiplas em torno de um ponto – equilíbrio de um cubo elementar • Relação entre componentes de tensão em faces opostas • Relação entre componentes de tensão tangencial em faces adjacentes 2. Estado geral de tensões em 2D • Componentes de tensão: estado plano de tensões • Tensor de tensões 2D 3. Estado geral de tensões em 3D • Componentes de tensão 3D • Tensor de tensões 3D • Lei de Hooke Generalizada • Estado plano de tensões (EPT) versus estado plano de deformações (EPD) • Dilatação volumétrica • Tensor de tensão hidrostático e desviador ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 3 Seções em torno de um ponto: equilíbrio de um cubo elementar • Nas aulas anteriores nós pensamos nas tensões atuantes em uma seção interna. Porém, é possível fazer mais cortes, gerando seções em outros planos, conforme esquematizado na figura abaixo: • Para cada corte realizado, teremos três componentes de tensão atuantes nos pontos da seção. Por exemplo, na seção paralela ao plano yz, teremos a tensão normal 𝜎𝑥 e as tangenciais 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑧 ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 4 Seções em torno de um ponto: equilíbrio de um cubo elementar • Repetindo este procedimento sucessivamente, gerando seções perpendiculares entre si em torno de um ponto, conseguimos obter um cubo de dimensões infinitesimais. • Esse cubo elementar representa o estado de tensões em torno de um ponto qualquer do corpo, onde em cada face temos três componentes de tensão (uma normal e duas tangenciais): Tensões normais 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 → o subíndice de 𝜎 indica a direção normal à seção considerada Tensões tangenciais 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧, 𝜏𝑦𝑥, 𝜏𝑦𝑧, 𝜏𝑧𝑥, 𝜏𝑧𝑦 → o 1º subíndice de 𝜏 indica a direção normal à seção considerada → o 2º subíndice de 𝜏 indica a direção da tensão tangencial atuante na seção ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 5 Seções em torno de um ponto: equilíbrio de um cubo elementar • Como o corpo estava originalmente em equilíbrio, este cubo elementar também estará em equilíbrio, já que representa uma parte que foi isolada do corpo completo; • Consequentemente, as tensões aplicadas em faces opostas devem apresentar mesmo módulo e direção, porém com sentidos contrários (uma abordagem mais formal, levando em consideração as pequenas variações devido às forças de volume, foge ao escopo da disciplina, mas pode ser encontrada em livros de mecânica do contínuo. Para nossos objetivos, esta abordagem simplificada é suficiente, pois quando tomamos o limite do cubo tendendo a um ponto, o equilíbrio é verificado). Por isso, trabalhamos apenas com 3 faces do cubo; • No caso de estarmos na vizinhança de uma superfície externa do corpo, as tensões naquele ponto devem ser iguais às pressões externas ali aplicadas. Na ausência de forças externas aplicadas, as tensões internas naquele ponto devem ser iguais a zero. ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 6 Seções em torno de um ponto: equilíbrio de um cubo elementar • Agora tomemos um estado de tensões 2D, para verificar algumas questões de equilíbrio: Como tomamos as tensões em faces opostas com sentidos contrários, o equilíbrio de forças já está garantido. Porém, falta verificar o equilíbrio de momentos. Tomemos o ponto O: - As tensões normais não entram na equação, pois os momentos gerados pelas forças normais em faces opostas se anulam. - As tensão tangenciais na face inferior e à esquerda não entram na equação, pois não há braço de alavanca até o ponto O. - As tensões tangenciais na face à direita e superior entram na equação da seguinte forma (força x braço de alavanca): Σ𝑀𝑂 = 𝜏𝑥𝑦. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 . 𝑑𝑥 − 𝜏𝑦𝑥. 𝑑𝑥. 𝑑𝑧 . 𝑑𝑦 = 0 Portanto: Obs. 1: 𝑑𝑧 é a dimensão perpendicular ao plano xy 𝜏𝑥𝑦 − 𝜏𝑦𝑥 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 → 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 Obs. 2: para simplificar a dedução, foram desprezadas as pequenas variações de tensões ao longo do elemento infinitesimal. Uma abordagem mais formal pode ser encontrada em livros de mecânica do contínuo. ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 7 Seções em torno de um ponto: equilíbrio de um cubo elementar • O raciocínio do slide anterior pode ser desenvolvido para os planos yz e xz de forma análoga. Assim, obtemos: 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 • Essa ideia pode ainda ser generalizada para tensões tangenciais convergentes atuantes em dois planos perpendiculares entre si: Planos 𝜋1 e 𝜋2 perpendiculares entre si ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 8 Estado geral de tensões em 2D Em muitos problemas de Engenharia temos um estado plano de tensões em determinados pontos de um elemento estrutural. Alguns exemplos são: uma placa fina submetida a forças que atuam no plano médio da espessura da placa (Fig. 1), ou uma superfície livre de um elemento estrutural, isto é, em qualquer ponto da superfície daquele elemento que não esteja submetido a uma força externa (Fig. 2). ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 9 Estado geral de tensões em 2D: tensor de tensões No caso de trabalharmos no plano xy, teremos apenas 3 componentes de tensões para definir o estado de tensões 2D: 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 A convenção de sinais positivos está ilustrada na figura ao lado: • Tensões normais são positivas em tração • Tensões tangenciais são positivas se suas direções nas faces direita e superior estão orientadas no mesmo sentido dos eixos x e y Podemos representar essas componentes de tensão em uma matriz simétrica, que na realidade é uma representação de um objeto matemático denominado tensor de tensões: 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 10 Estado geral de tensões em 2D: tensor de tensões 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 O tensor de tensões é representado por uma matriz, mas em realidade possui um significado mais amplo: ele pode descrever o estado de tensões em um ponto para diferentes sistemas de coordenadas, a partir de leis de transformações. Além disso, há alguns invariantes do tensor de tensões que independem do sistema de coordenadas utilizado, como, por exemplo, as tensões principais. Esse assunto será alvo de estudo da nossa próxima aula. Por ora, tenha em mente que a matriz é apenas uma representação, considerando esse sistema de eixos. ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 11 Estado geral de tensões em 3D: tensor de tensões O caso geral, contudo, é dado em 3 dimensões. Nesse caso, temos 6 componentes de tensões independentes entre si: 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 e 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥, 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥, 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 Essas 6 componentes descrevem o estado de tensões em torno de um ponto para esse sistema de eixos, mas, como veremos na próxima aula, é possível fazer a transformação para outros sistemas de eixos, rotacionados em relação a este, a partir de leis de transformações de tensores. O tensor de tensões em 3D pode ser representado pela matriz simétrica a seguir, considerando este sistema de eixos: 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 A convenção de sinais positivos é dada pela figura acima ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 12 Estado geral de tensões em 3D: tensor de tensões 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 A convenção de sinais positivos é dada pela figura acima No caso 2D (EPT - estado pano de tensões), em realidade teremos algumas dessas componentes zeradas. Exemplo: EPT no plano xy: 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 0 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 0 0 0 0 ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 13 Lei de Hooke generalizada Considere um elemento de um material isotrópico na forma de um cubo, submetido a tensões normais 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧. Podemos supor que as arestas do cubo tenham um comprimento inicial unitário, desde que seja sempre possível considerar a aresta do cubo como uma unidade de comprimento. Sob o carregamento multiaxial dado, o elemento se deformará, transformando-se em um paralelepípedo retangular de lados respectivamente iguais a 1 + 𝜖𝑥, 1 + 𝜖𝑦, e 1 + 𝜖𝑧, em que 𝜖𝑥, 𝜖𝑦 e 𝜖𝑧 são os valores da deformação específica normal nas direções dos três eixos coordenados. Material isotrópico: Que se comporta da mesma forma em todas as direções. • Aço é isotrópico; • Madeira não é isotrópica. 𝜖𝑥 = 𝛿 𝐿0, se 𝐿0 = 1 → 𝜖𝑥 = 𝛿 ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 14 Lei de Hooke generalizada Para expressarmos as componentes de deformação 𝜖𝑥, 𝜖𝑦 e 𝜖𝑧 em função das componentes de tensão 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧, consideraremos separadamente o efeito de cada componente de tensão e combinaremos os resultados obtidos (princípio da superposição). Para esse procedimento de análise ser válido, devemos satisfazer duas hipóteses: 1. Cada efeito está linearmente relacionado com a força que o produz (regime elástico-linear). 2. A deformação resultante de determinada força é pequena e não afeta as condições de aplicação das outras forças (regime de pequenas deformações). 𝜎𝑥 provoca: • Deformação específica 𝜖𝑥 igual a 𝜎𝑥/𝐸 na direção x; • Deformações específicas iguais a −𝜈. 𝜎𝑥/𝐸 em cada uma das direções y e z. ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 15 Lei de Hooke generalizada 𝜎𝑥 provoca: • Deformação específica 𝜖𝑥 igual a 𝜎𝑥/𝐸 na direção x; • Deformações específicas iguais a −𝜈. 𝜎𝑥/𝐸 em cada uma das direções y e z. 𝜎𝑦 provoca: • Deformação específica 𝜖𝑦 igual a 𝜎𝑦/𝐸 na direção y; • Deformações específicas iguais a −𝜈. 𝜎𝑦/𝐸 em cada uma das direções x e z. 𝜎𝑧 provoca: • Deformação específica 𝜖𝑧 igual a 𝜎𝑧/𝐸 na direção z; • Deformações específicas iguais a −𝜈. 𝜎𝑧/𝐸 em cada uma das direções x e y. Superposição de efeitos: ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 16 Lei de Hooke generalizada 𝜖𝑥 = 𝛿 𝐿0, se 𝐿0 = 1 → 𝜖𝑥 = 𝛿 Hipóteses: • Material isotrópico • Regime elástico-linear • Pequenas deformações Lei de Hooke Generalizada ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 17 Lei de Hooke generalizada Considerando também tensões de cisalhamento atuantes, que geram deformações tangenciais, podemos sintetizar as relações entre tensões e deformações em um ponto submetido a um estado geral de tensões: ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 18 Estado plano de tensões (EPT) Em um estado plano de tensões, já estudado anteriormente, temos que as tensões na direção z são nulas. Porém, aplicando a Lei de Hooke generalizada, temos que: Isto é, no EPT em xy, embora não haja tensões na direção z, há deformações normais na direção z: 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 0 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 0 0 0 0 ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 19 Estado plano de deformações (EPD) Em corpos com uma dimensão muito maior do que as demais e submetidos a carregamentos semelhantes em todas as direções, temos que essa dimensão muito maior (às vezes chamada de “dimensão infinita”) impede a deformação naquela direção. Nesse caso, aplicando a Lei de Hooke Generalizada, temos: Isto é, no EPD em xy, embora não haja deformações na direção z, há tensões normais na direção z: 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 0 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 0 0 0 𝜎𝑧 Essa tensão normal em z garante que não haja deformações normais em z. ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 20 Dilatação volumétrica 𝜖𝑥 = 𝛿 𝐿0, se 𝐿0 = 1 → 𝜖𝑥 = 𝛿 Voltemos agora ao nosso cubo com aresta unitária, submetido a tensões normais. O volume inicial 𝑉𝑖 é unitário. Após a deformação, seu volume final é dado por: 𝑉𝑓 = 1 + 𝜖𝑥 . 1 + 𝜖𝑦 . 1 + 𝜖𝑧 Expandindo a expressão: 𝑉𝑓 = 𝜖𝑥. 𝜖𝑦. 𝜖𝑧 + 𝜖𝑥. 𝜖𝑦 + 𝜖𝑥. 𝜖𝑧 + 𝜖𝑦. 𝜖𝑧 + 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧 + 1 No regime de pequenas deformações, as parcelas com 𝜖 em ordem superiores podem ser desprezadas. Assim, 𝑉𝑓 ≅ 1 + 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧 Chamamos 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧 = 𝑒 (dilatação volumétrica específica). Por fim, 𝑉𝑓 = 1 + 𝑒 → Vf Vi = 1 + 𝑒 1 → 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = Δ𝑉 = 𝑒. 𝑉𝑖 ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 21 Dilatação volumétrica Chamamos 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧 = 𝑒 (dilatação volumétrica específica). Temos que: Δ𝑉 𝑉𝑖 = 𝑒 Perceba que 𝑒 representa a variação de volume por unidade de volume inicial. Aplicando a Lei de Hooke Generalizada, obtemos: ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 22 Módulo de compressibilidade volumétrica Um caso especial é o de um corpo sujeito a uma pressão hidrostática p. Nesse caso, 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = −𝑝. Substituindo na expressão anterior: 𝑘 é chamada de módulo de compressibilidade do material. Repare que se 𝜈 → 0,5, então 𝑘 tende a infinito e a dilatação volumétrica específica 𝑒 tende a zero. Nesse caso, dizemos que o material é incompressível (perfeitamente incompressível se 𝜈 = 0,5). ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 23 Tensão hidrostática e desviadora É possível demonstrar que apenas as tensões normais podem alterar o volume de um material. As tensões tangenciais, por sua vez, apenas distorcem o material, sem alterar o seu volume. Por essa razão, é conveniente separar o tensor de tensões em parcela hidrostática e parcela desviadora. Temos que a tensão normal média (também chamada de tensão hidrostática) é dada por: 𝜎ℎ = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 3 Podemos então escrever o tensor de tensões na seguinte forma: 𝜎 = 𝜎ℎ 0 0 0 𝜎ℎ 0 0 0 𝜎ℎ + 𝜎𝑥 − 𝜎ℎ 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 − 𝜎ℎ 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎ℎ = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 Tensor de tensão hidrostático Tensor de tensão desviador ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 24 Exemplo 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 = 82 0 0 0 0 0 0 0 138 MPa Tensor de tensões – EPT em xz, sem tensões de cisalhamento. ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 25 Exemplo 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 = 82 0 0 0 0 0 0 0 138 MPa, 𝜈 = 1 3 e 𝐸 = 69 𝐺𝑃𝑎 Lei de Hooke generalizada: ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 26 Exemplo ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 27 Questão proposta No exemplo anterior, suponha que ao invés de estarmos trabalhando com estado plano de tensões (EPT), estivéssemos trabalhando com estado plano de deformações (EPD) em xz (𝜖𝑦 = 0). Nesse caso teríamos uma tensão normal aplicada na direção y (𝜎𝑦) para garantir que a deformação da placa nessa direção fosse zero. Admita que as demais informações do problema são as mesmas, de modo que o tensor de tensões é dado por: 𝜎 = 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 = 82 0 0 0 𝜎𝑦 0 0 0 138 MPa Calcule: a) O valor da tensão 𝜎𝑦 a ser aplicada na placa para garantir que 𝜖𝑦 = 0; b) As deformações normais 𝜖𝑥 e 𝜖𝑧 e as variações dos diâmetros AB e CD. c) A dilatação volumétrica 𝑒 e a variação de volume Δ𝑉 da placa. O valor de 𝑒 foi alterado em relação ao problema anterior? Faça uma análise crítica sobre o que ocorreu. ResMat: A2 - Aula 05 Prof. Matheus Benincá Slide 28 Referências desta aula Notas de aula do professor Alexandre Braun. Livros: Masuero, J. R.; Creus, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural - Isostática - Resistência dos Materiais. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1997. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Estática e mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2013. Beer, F. P.; Johnston, E.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecânica dos materiais. Editora AMGH, 2011