Área 50 Listas de Exercicios-2023 1

Superfícies Planas Superfícies Curvas Volumes UFRGS-IPH-DHH 1 Empuxo – Revisão e Exercícios UFRGS-IPH-DHH 2 Empuxo superfícies planas - expressões Módulo – intensidade da força empuxo Direção – linha de ação da força, ponto de aplicação é chamado de centro de empuxo ou centro de pressões Sentido – contra a superfície γ - peso específico do fluido hCG - profundidade do centro de gravidade da área molhada A - área de superfície em contato com a água αCG - posição do centro de gravidade medido ao longo do plano que contêm a superfície ICG - momento de inércia baricêntrico αCP = αCG + ICG αCG. A 𝐸 = γ hCG 𝐴 Empuxo – superfícies planas Forma Área Centro de gravidade Momento de inércia ICG Raio de giração (k2) y CG a b x b.a 2 a y 2 b x CG CG = = 12 a.b 3 12 a 2 y CG a b x 2 b.a 3 a y 2 b x CG CG = = 36 a.b 3 18 a 2 CG D R 4 R ou .D . 2 2   2 D y 2 D x CG CG = = 64 4 ou .D .R 4 4   16 4 ou D R 2 2 CG b a a b Elipse b.a. a y b x CG CG = = 4 a.b. 3  4 a 2 UFRGS-IPH-DHH 3 Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Para a comporta retangular com 1,5 m de largura e 2,0 cm de espessura, em aço (8000kg/m³), determinar: a) força da água do mar sobre a comporta; e b) esforço para abrir puxando em A (F = ?). 4,5 m 1,8 m 2,4 m F Patm A γ = 10050 N/m³ mar 4 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y tan 𝜃 = 1,8 2,4 𝜃 = 36,87 ° → 5 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: tan 𝜃 = 1,8 2,4 𝜃 = 36,87 ° → 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4,5 l 𝑙 = 7,5 m → θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y 6 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: tan 𝜃 = 1,8 2,4 𝜃 = 36,87 ° → 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4,5 l 𝑙 = 7,5 m → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 1,82. 2, 42 = 3,0 m θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y 7 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: tan 𝜃 = 1,8 2,4 𝜃 = 36,87 ° → θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y 𝐴 = 1,5 . 3,0 = 4,5 m2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4,5 l 𝑙 = 7,5 m → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 1,82. 2, 42 = 3,0 m Força resultante 8 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: 𝐴 = 1,5 . 3,0 = 4,5 m2 θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y αcg tan 𝜃 = 1,8 2,4 𝜃 = 36,87 ° → 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4,5 l 𝑙 = 7,5 m → ∝cg= 7,5 − 1,5 = 6,0 𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 1,82. 2, 42 = 3,0 m 9 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: 𝐴 = 1,5 . 3,0 = 4,5 m2 tan 𝜃 = 1,8 2,4 𝜃 = 36,87 ° → 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4,5 l 𝑙 = 7,5 m → ∝cg= 7,5 − 1,5 = 6,0 𝑚 hcg = 𝑦𝑐𝑔 . sen 𝜃 = 3,6 𝑚 θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y αcg hcg 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 1,82. 2, 42 = 3,0 m 10 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y 𝐸 = 𝛾. ℎ𝑐𝑔. 𝐴 𝐸 = 10050 . 3,6 . 4,5 = 162810 N 11 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y 𝐸 = 𝛾. ℎ𝑐𝑔. 𝐴 𝐸 = 10050 . 3,6 . 4,5 = 162810 N αcp ∝𝑐𝑝=∝𝑐𝑔 + 𝐵. 𝐻3 12 ∝𝑐𝑔. 𝐴 ∝𝑐𝑝= 6,0 + 1,5.3, 03 12 6,0.4,5 ∝𝑐𝑝= 6,0 + 3,375 6,0.4,5 = 6,125 𝑚 12 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 3 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: 𝐸 = 𝛾. ℎ𝑐𝑔. 𝐴 𝐸 = 10050 . 3,6 . 4,5 = 162810 N θ 1,8 m 4,5 m 2,4 m x Y αcp ∝𝑐𝑝=∝𝑐𝑔 + 𝐵. 𝐻3 12 ∝𝑐𝑔. 𝐴 ∝𝑐𝑝= 6,0 + 1,5.3, 03 12 6,0.4,5 ∝𝑐𝑝= 6,0 + 3,375 6,0.4,5 = 6,125 𝑚 𝑦𝑐𝑝 =∝𝑐𝑝 13 UFRGS-IPH-DHH 𝑥𝑐𝑝 = 𝑥𝑐𝑔 Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: 1,2 m F = ? Wcomp E bE b) esforço para abrir puxando em A (F = ?). 14 UFRGS-IPH-DHH Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝 = 4,5x 0,02x 8000x 9,8 = 7056𝑁 1,2 m F = ? Wcomp Er bE 15 UFRGS-IPH-DHH Área = 1,5x 3,0 m² Espessura (m) Massa específica aço (kg/m³) Aceleração gravidade (m/s²) Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: Wcomp = 4,5x 0,02x 8000x 9,8 = 7056N bE = l − ycp = 7,5 − 6,125 = 1,375 m 1,2 m F = ? Wcomp E bE 16 UFRGS-IPH-DHH 𝐸 = 10050 . 3,6 . 4,5 = 162810 N Exemplo 1 -Esforços sobre superfícies planas- Resolução: F = 162810 x 1,375 + 7056 x 1,2 2,4 = 96805N 1,2 m F = ? Wcomp E bE 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝 = 4,5x 0,02x 8000x 9,8 = 7056𝑁 bE = l − ycp = 7,5 − 6,125 = 1,375 m 17 UFRGS-IPH-DHH ෍ 𝑀𝑜 = 0 ∴ 𝐸. 𝑏𝐸 + 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑏𝑊 − 𝐹. 𝑏𝐹 = 0 2,4 m Exemplo de Aplicação 2 Uma comporta tipo CHANOINE, é composta por uma série de placas articuladas conforme a figura a seguir, as dimensões assim como o eixo de giro estão representadas na figura. Para a configuração da figura, determine qual será a altura de lâmina d’água que fará a comporta desarmar (desarmar significa a resultante dos esforços fica acima do eixo de giro). 2,0 m 1,2 m UFRGS-IPH-DHH 19 Força escora resiste: 28045 N UFRGS-IPH-DHH 20 Módulo – intensidade da força empuxo Direção – linha de ação da força, ponto de aplicação é chamado de centro de empuxo ou centro de pressões Sentido – contra a superfície Empuxo superfícies curvas - expressões EV = γ"Volume" EH = γ. hCGv. AV Linha ação – vertical que passa pelo centro de gravidade do volume ∝cpv=∝cgv + ICGV ∝cgv. AV Linha ação – posição do CP da área projetada em plano vertical: horizontal vertical horizontal vertical Exemplo 3 - Esforços sobre superfícies curvas L = 2,0 m 1,5 m Determine o esforço resultante sobre a superfície curva que possui 2 m de largura em contato com água. 21 UFRGS-IPH-DHH Resolução: COMPONENTE HORIZONTAL 0,5 m 2,0 m Z 1,0 m y x projeção da superfície em plano vertical Exemplo 3 -Esforços sobre superfícies curvas- 22 UFRGS-IPH-DHH Resolução: COMPONENTE HORIZONTAL 0,5 m 2,0 m Z 1,0 m H R F y x cp α cg cg h α = identificação de CG e CP CG CP 23 Exemplo 3 -Esforços sobre superfícies curvas- UFRGS-IPH-DHH 0,5 m Resolução: COMPONENTE HORIZONTAL ቑ hcg = αcg = 1,0m γ = 9800N/m3 A = 2,0m2 FR H = 9800 .1,0 .2,0 𝐸𝐻 = 19600N ∝cp= 1,0 + 2. 13 12 1,0.2,0 ∝𝑐𝑝= 1,0 + 1 12 = 1,083𝑚 EH = γ. hcg. A ∝cp=∝cg + B. H3 12 ∝cg. A 24 Exemplo 3 -Esforços sobre superfícies curvas- UFRGS-IPH-DHH Linha de ação: Módulo : Resolução: COMPONENTE VERTICAL - módulo 2 V 1 V 0,5 m 2,0 m Z 1,0 m H R F y x cp α cg cg h α = ቑ V1 = π. 12 4 . 2,0 = π 2 m3 V2 = 1,0 .0,5 .2,0 = 1,0m3 V1 + V2 = 2,5708m3 EV = 2,5708 .9800 ≅ 25194N 25 Exemplo 3 -Esforços sobre superfícies curvas- UFRGS-IPH-DHH Resolução: COMPONENTE VERTICAL 0,549 m 0,417 m ycp = 1,083 m 0,451 m V R F H R F 𝑍𝑐𝑝 = 0,42 . π .12 4 + 0,5 . 1,0 .0,5 π .12 4 + 1,0 .0,5 𝑍𝑐𝑝 = 0,5799 1,2854 = 0,451 𝑚 Zcp 26 Exemplo 3 -Esforços sobre superfícies curvas- UFRGS-IPH-DHH 𝑋𝑐𝑔 = 4 𝑅 3 𝜋 = 0,4244 . 1 = 0,42 𝑚 → 1 4 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑋𝑐𝑔 = 𝑏 2 = 1 2 = 0,5 𝑚 → 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 Resolução: ER = 196002 + 251942 = 31920N θ = tan−1 25194 19600 ≅ 52,1° 25194 N θ 19600 N 0,549 m 0,417 m ycp = 1,083 m 0,451 m V R F H R F Zcp 27 Exemplo 3 -Esforços sobre superfícies curvas- UFRGS-IPH-DHH UFRGS-IPH-DHH 28 Empuxo sobre volumes Empuxo sobre superfície ABC Todo o corpo imerso em um fluido recebe um empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido por ele deslocado. + Empuxo sobre superfície ADC Empuxo resultante Princípio de Arquimedes Exemplo 03 - Esforços sobre volumes L = 15,0 m Um caixão de concreto armado com 15m de comprimento, 6m de largura e massa de 180 toneladas é lançado na água. Qual o volume de água deslocado e qual a massa do lastro que deve ser adicionado para que ele chegue ao fundo? Considere que a profundidade do local é de 6m. 29 UFRGS-IPH-DHH 7,0 m 6,0 m 6,0 m lastro Exemplo 03 - Esforços sobre volumes - resolução a) volume de água deslocado: 30 UFRGS-IPH-DHH peso do caixão: Wc = mc. g = 180x103x9,806 = 1765,08x103N 𝑊𝑐 = 𝛾𝑎. 𝑉 → 𝑉 = 𝑊𝑐 𝛾𝑎 = 1765,08𝑥103 1000 ∗ 9,806 = 180 𝑚³ volume água deslocado : no equilíbrio, empuxo: 𝐸 = Wc = 1765080 𝑁 Submersão: 𝑉 = 6 . 15 . ℎ → ℎ = 180 15 . 6 = 2 𝑚 L = 15,0 m 7,0 m 6,0 m 6,0 m 2,0 m como o empuxo é igual ao peso do volume de água deslocado pelo corpo, o caixão irá submergir até atingir uma profundidade que exponha ao contato da água um volume que gere um empuxo que iguale seu peso. Assim: b) massa do lastro: Caso se deseje uma submersão maior do que 2m, aquela que corresponde ao peso do caixão, deve-se aumentar seu peso através da colocação de um lastro. 31 UFRGS-IPH-DHH E = Wc + 𝑊𝐿 𝑚𝐿 = 𝑊𝐿 𝑔 = 3530160 𝑁 9,806 = 360000 𝑘𝑔 = 360 𝑡 Na condição de equilíbrio: Com este volume, o empuxo é de : 𝐸 = 𝛾𝑎. 540 = 9806𝑥540 = 5295240 𝑁 Para a submersão desejada de 6m, o volume de água deslocado deve ser: 𝑉 = 6 . 15 . 6 = 540 𝑚³ L = 15,0 m 7,0 m 6,0 m 6,0 m lastro Wc WL E 5295240 = 1765080 + 𝑊𝐿 𝑊𝐿 = 3530160𝑁 Massa do lastro: Exemplo 03 UFRGS-IPH-DHH 32 FIM MEC – UFRGS – IPH LISTA DE EXERCÍCIOS DHH – IPH 01 102 CONDUTOS FORÇADOS - ENVELHECIMENTO DE CONDUTOS - SISTEMAS DE CONDUTOS FORÇADOS 12/03/2004 1) Uma adutora nova, de aço, com 500mm de diâmetro e 1500m de comprimento total (Lreal + Σ Leq ) tem uma perda de carga de 5,0208m quando transporta 245,4 l/s de água a 15o C. De acordo com a tabela abaixo, quais são as condições do revestimento interno do conduto desta adutora ? Dados: Tabela de rugosidade uniforme em condutos de Aço Estado do conduto Rugosidade absoluta (mm) Grandes incrustações 2,40 a 12,00 Tuberculização geral 0,90 a 2,40 Pintura a brocha com asfalto 0,60 Leve enferrujamento 0,25 Revestimento interno em boas cond. 0,10 Revestimento Epoxi 0,06 Resp: Pintura a brocha com asfalto 2) Dois reservatórios cujas superfícies livres apresentam um desnível H encontram-se interligados através de um conduto de diâmetro φ e comprimento L. Quando foi instalado o sistema, a vazão que escoava entre os dois reservatórios era Q0. Com o passar do tempo, e conseqüente aumento da rugosidade devido ao surgimento de incrustações calcáreas nas paredes do conduto, a vazão diminuiu; dez anos depois a vazão era Q10. Supondo que o aumento da rugosidade tenha uma variação linear no tempo, determine a vazão que passará entre os reservatórios quando o mesmo tiver 30 anos de serviço. Despreze o efeito das perdas localizadas. Dados: φ = 250 mm; L = 3 km; H = 150 m; Q0 = 0,1247 m3/s; ΘH2O = 25o C; Q10 = 0,1176 m3/s. Resp: Q30 = 0,108 m3/s 3) Para transportar 0,050 m3/s de óleo cru a baixas temperaturas ( ν = 5 X 10-4 m2/s) de uma região situada na cota 1750m a outra situada na cota 1300m a 35km de distância, pretende-se utilizar somente o peso próprio do óleo (adução por gravidade), e deseja-se ter a mesma pressão nos dois pontos extremos do conduto. Pede-se: a) determine o diâmetro mínimo do conduto para que ocorra este transporte em um conduto de ferro fundido (e=0,2mm); b) caso haja aquecimento do óleo de tal forma que a sua viscosidade passe para ν = 2 X 10-5 m2/s, qual será a perda de carga entre os dois pontos extremos ? Dados: γóleo cru = 8390 N/m3 ; g = 9,77 m/s2. Resp: (a) D = 0.30m; (b) hp = 93.6m 4) Dois reservatórios são interligados por duas canalizações curtas de 250m e 300m de comprimento, unidas em série. A primeira canalização é de ferro fundido novo (e=0,26mm) e a MEC – UFRGS – IPH LISTA DE EXERCÍCIOS DHH – IPH 01 102 CONDUTOS FORÇADOS - ENVELHECIMENTO DE CONDUTOS - SISTEMAS DE CONDUTOS FORÇADOS 12/03/2004 segunda é de ferro fundido com incrustações (e=1,5mm), tendo respectivamente 0,5m e 0,4m de diâmetro. Sabendo que a cota do reservatório superior é de 89,32m, pede-se: a) qual será a cota do reservatório inferior para que escoe no mínimo 0,50 m3/s entre os dois reservatórios ? A entrada e a saída do conduto são de bordos vivos e no conduto de menor diâmetro está colocada uma válvula gaveta aberta a meia seção. b) qual deverá ser o diâmetro de uma canalização a ser colocada entre os dois reservatórios, em paralelo com os condutos em série, para dobrar a capacidade da instalação ? Esta nova canalização terá L = 550m; e=0,26mm; entrada e saída de bordos vivos. Dados: Θ = 15o C; Ks entrada = 0,5; Ks saida = 1,0; Ks válvula gaveta 50% = 5,3; Ks redução = 0,10. Resp: (a) zB = 64,18m; (b) D ≅ 0,385m 5) O desnível entre os dois reservatórios da figura é de 14,29m. Qual será o diâmetro no conduto 3 para que a vazão que passa neste conduto seja a metade da vazão que passa no conduto 2 ? Dados: Θ = 10o C Conduto Diâmetro (mm) Rugosidade (mm) Comprimento (m) 01 500 1,50 200 02 400 2,00 850 03 ? 0,50 900 04 600 0,42 100 Resp: D3 = 290 mm. SISTEMAS DE CONDUTOS Exemplos de cálculo de Condutos em série e em paralelo Sistemas de condutos forçados: União de vários elementos de canalizações (trechos de condutos e singularidades) com a função de, captando água, em um ou vários pontos, transportá-la para um ou mais pontos. a) Sistema único: contêm um único conduto, ao longo do qual se podem inserir vários elementos (singularidades); SISTEMAS DE CONDUTOS b) Sistema múltiplo: contêm múltiplos condutos, os quais poderão se dispor em série ou em paralelo. UFRGS-IPH-DHH 2 Formado por diversos trechos de condutos que diferem pelo diâmetro, pela rugosidade equivalente ou por ambos. Vazão: Perda de Carga: Q = Qi  = = n i hpi hp 1 Q= vazão no conduto; Qi = vazão num trecho qualquer; hp= perda de carga no conduto misto, hpi= perda de carga em um trecho i qualquer do conduto e n = número de trechos do conduto em série Q1 Linha de energia Linha piezométrica (D) J1,2.L1,2 hp1 J3,4.L3,4 J2,3.L2,3 (D) Q3 (D) Q2 3 2 1 3 2 1 ) ( Q Q Q Q hp hp hp hp t t = = = + + = Neste exemplo: Conduto em série ou misto UFRGS-IPH-DHH 3 Formado por dois ou mais condutos que partem de um nó comum (nó A), seguindo com diâmetros, rugosidades e comprimentos diferentes até outro nó comum (nó B). Vazão: Perda de Carga: Plano horizontal Plano de carga inicial Plano de referencia 1 2 3 HA HB hpAB a b A B Q Q  = = n 1 i Qi Q hpi hp = n é o número de trechos de condutos em paralelo 3 2 1 3 2 1 ) ( hp hp hp hp Q Q Q Q t t = = = + + = Neste exemplo: Condutos em paralelo UFRGS-IPH-DHH 4 Deverá ser de tal que conduza a perdas de carga iguais entre as canalizações em paralelo. perda hpAB é única Filosofia: Características físicas do sistema (temperatura da água, comprimento, diâmetro e rugosidade dos condutos) não variam, o único fator que pode variar é o fator de perda de carga f. Hipótese: Distribuição de vazões entre os condutos permanecerá, a grosso modo, constante, independente da real vazão que passa no sistema. Distribuição de vazões no trecho em paralelo hpAB é a perda entre os nós A e B UFRGS-IPH-DHH 5 1. Arbitrar uma valor qualquer para a perda de carga entre nós (hpAB); Distribuição de vazões no trecho em paralelo – como fazer: 2. Com a perda arbitrada, calcular a vazão que estaria passando em cada um dos trechos (ramais) do conduto em paralelo (q’i); 3. Calcular a vazão que estaria entrando no trecho com condutos em paralelo: 4. Calcular a proporção de vazão que passará em cada ramal (vazão fictícia), partindo da suposição de que esta proporção independe da vazão escoada: 5. Calcular a vazão que passará em cada ramal, aplicando a proporção à vazão real que está entrando no nó A, início do trecho de condutos em paralelo: UFRGS-IPH-DHH 6 Condutos em paralelo x conduto único Q Q Q’ Q’ hpAB hpA’B’ A ZA LPA B LPB ZB Datum ZR1 ZR2 R1 R2 Q’ > Q Logo: com paralelo sem paralelo UFRGS-IPH-DHH 7 A inserção de um conduto em paralelo a um trecho de canalização permite um aumento de vazão no sistema, devido ao fato de que, como há divisão da vazão neste trecho, perda no trecho em paralelo fica menor do que aquela que teria com o trecho único: (hpAB > hpA’B’): Condutos equivalentes Um conduto é equivalente a um sistema de condutos se ambos transportam a mesma vazão sob a mesma perda de carga. Q Q hp hp Dequiv=? Conduto equivalente 𝑄 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑄𝑖 ℎ𝑝 = ℎ𝑝𝑖 Substituição de vários condutos por um único. Q= vazão total do sistema e hp= perda no trecho. Lembre-se: esse D calculado é o interno (DI) a) Dados: comprimento (Lequiv) e a rugosidade do conduto equivalente (equiv) b) Com a perda de carga (hp) entre nós e a vazão total (Q), estima-se o diâmetro do conduto (D), pelo método de tentativa-erro. Determinação: UFRGS-IPH-DHH 8 𝑄 = 𝑄𝑖 ℎ𝑝 = ෍ 𝑖=1 𝑛 ℎ𝑝𝑖 Condutos em série Condutos em paralelo UFRGS-IPH-DHH 9 Exemplo 1 : cálculo sistema de condutos Cálculo do desnível Exemplo de cálculo sistema de condutos Cálculo do desnível Para a instalação a seguir, determine as vazões que passam por (2) e (3) para que escoe 0,1885 m³/s entre os reservatórios. Determine o desnível entre os reservatórios e o conduto equivalente ao trecho em paralelo (adote: L = 2800 m e rugosidade = 1,0 mm) Resp: %Q2 = 62 % % Q3 = 38% - b) D Z = 40,3 m UFRGS-IPH-DHH 10 Conduto 1 Conduto 2 Conduto 3 Conduto 4 D = 400 mm 300 mm 250 mm 400 mm  = 0,5 mm 1 mm 1 mm 1 mm L = 350 m 2800 m 2750 m 450 m Ks = 0,5 0,6 0,6 1,0 T= 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC =??? a) Aplicando a equação de conservação da energia entre as superfícies livres dos reservatórios P e Q (equação 1) b) Como os condutos 2 e 3 estão em paralelo, para calcular a perda de carga que eles causam é preciso proceder ao cálculo da divisão de vazões. Arbitrando uma perda entre nós de 1m, temos: Conduto 2: Conduto 3: UFRGS-IPH-DHH 11 c) Cálculo das perdas de carga nos trechos que compõem o sistema: Conduto 1: Q=0,1885 m³/s D= 400mm e= 0,5 mm L= 350m Conduto 2: (trecho paralelo) Q=0,1885 x 0,6167= 0,1162 m³/s D= 300mm e= 1,0 mm L= 2800m UFRGS-IPH-DHH 12 c) Cálculo das perdas de carga nos trechos que compõem o sistema: Conduto 4: Q=0,1885 m³/s D= 400mm e= 1,0 mm L= 450m d) Cálculo do desnível entre reservatórios: Aplicando na equação (1) os valores das perdas calculadas, temos: Resp: Para que a vazão de 188,5 l/s circule entre os reservatórios, é preciso que eles operem com uma diferença de cotas da superfície livre de 40,5m. UFRGS-IPH-DHH 13 d) Para a instalação anterior, determine o diâmetro equivalente de um conduto único que substitua o trecho em paralelo. Adote, para o conduto equivalente, o comprimento de 2800m e a rugosidade de 1,0 mm O trecho em paralelo (entre os nós A e B), ao receber a vazão de 0,1885 m³/s, desenvolve uma perda de carga igual a 35,01m (conforme calculado no exemplo anterior). Considerando o comprimento de 2800m, a perda de carga unitária é de 0,0125 m/m. Calculando o diâmetro do conduto equivalente, com rugosidade de 1mm, comprimento de 2800m e submetido a perda de carga unitária de 0,0125m/m (problema do tipo 1), obtêm-se : D= 360mm. conduto equivalente UFRGS-IPH-DHH 14 O trecho em paralelo deve ser substituído por canalização com 360mm, para que o sistema de condutos continue a conduzir a vazão de projeto de 188,5 l/s. Exemplo Cálculo do conduto equivalente SUGESTÕES DE OUTRAS ABORDAGENS DO PROBLEMA ANTERIOR: Sugestão 1 – Cálculo da vazão que passa no sistema: Considerar que o desnível entre reservatórios é de 40,5m e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. Sugestão 2 – Cálculo do diâmetro do conduto 2: Considerar que o desnível entre reservatórios é de 40,5m, que a vazão é 0,1885 m³/s e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. Sugestão 3 – Cálculo do diâmetro do conduto 4: Considerar que o desnível entre reservatórios é de 40,5m, que a vazão é 0,1885 m³/s e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. UFRGS-IPH-DHH 15 Como proceder: ver o exemplo 2 SUGESTÕES DE OUTRAS ABORDAGENS DO PROBLEMA ANTERIOR: Considerar que o desnível entre reservatórios é de 40,5m, que a vazão é 0,1885 m³/s e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. UFRGS-IPH-DHH 16 Conduto 1: Q=0,1885 m³/s D= 400mm e= 0,5 mm L= 350m V1= 1,5 m/s f1= 0,02118 J1= 0,006075 hp1= 2,126m Conduto 4: Q=0,1885 m³/s D= 400mm e= 1,0 mm L= 450m V4= 1,5 m/s f4= 0,02514 J4= 0,00721 hp4= 3,245m 40,5 = 2,126 + ℎ𝑝𝐴𝐵 + 3,245 → ℎ𝑝𝐴𝐵 = 35,0424 𝑚 Aplicando Bernoulli: Calculando as variáveis hidráulicas para os trechos 1 e 4: ℎ𝑝3 = ℎ𝑝𝐴𝐵= 35,0424 𝑚 Sugestão 2 – Cálculo do diâmetro do conduto 2: Sugestão 2 – Cálculo do diâmetro do conduto 2 UFRGS-IPH-DHH 17 Conduto 3: D= 250mm e= 1,0 mm L= 2750m Do problema tipo 7 – V3 = 1,475 m/s f3= 0,022872 Q3= 0,07239 Calculando as variáveis hidráulicas para os trechos 3: 𝐽3 = 35,0424 2750 = 0,01274 𝑚 𝑚 𝑄3 𝑄 = 0,07239 0,1885 = 0,384 (38,4%) 𝑄2 = 𝑄 − 𝑄3 = 0,1885 − 0,07239 = 0,11611 Conduto 2: D= ??? e= 1,0 mm L= 2800m Q2= 0,11611 𝐽2 = 35,0424 2800 = 0,012541 𝑚 𝑚 Do problema tipo 1: D2 = 299,99 ~ 300 mm f2= 0,02722 V2= 1,644 m/s Considerar que o desnível entre reservatórios é de 40,5m, que a vazão é 0,1885 m³/s e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. UFRGS-IPH-DHH 18 Q=0,1885 m³/s D= 400mm e= 0,5 mm L= 350m Calcular as variáveis hidráulicas do trecho 1 : V1= 1,5 m/s f1= 0,02118 J1= 0,006075 hp1= 2,126m Determinar a divisão de vazões: Q2/Q = 61,67% e Q3/Q = 38,33% Q=0,1162 m³/s D= 300mm e= 1,0 mm L= 2800m Calcular as variáveis hidráulicas do trecho 2 : V2= 1,644 m/s f2 = 0,02722 J2= 0,0125 hp2= 35,01m 40,5 = 2,126 + 35,01 + ℎ𝑝4 → ℎ𝑝4 = 3,364 𝑚 Calcular diâmetro do trecho 2 : 𝐽4 = 3,364 450 = 0,00747 𝑚 𝑚 𝑒4 = 1𝑚𝑚 𝑄4 = 0,1885 𝑚3/𝑠 𝐷4 = 397,3 𝑚𝑚 𝐷4 = 400 𝑚𝑚 Assim: (problema tipo 1) Sugestão 3 – Cálculo do diâmetro do conduto 4: UFRGS-IPH-DHH 19 Exemplo 2 : cálculo sistema de condutos Cálculo da vazão Exemplo de cálculo sistema de condutos Cálculo da vazão Para a instalação a seguir, determine a vazão que passa no sistema de condutos, considerando que o desnível entre os reservatórios é de 29,846m. Conduto 1 Conduto 2 Conduto 3 Conduto 4 D = 600 mm 400 mm 350 mm 400 mm e = 2,5 mm 1,5 mm 0,2 mm 5 mm L = 2500 m 3782 m 3040 m 400 m Ks = 0 0 0 0 T= 25 ºC 25 ºC 25 ºC 25 ºC UFRGS-IPH-DHH 20 =29,846 a) Aplicando a equação de conservação da energia entre as superfícies livres dos reservatórios P e Q (equação 1) b) Como os condutos 2 e 3 estão em paralelo, para calcular a perda de carga que eles causam é preciso proceder ao cálculo da divisão de vazões. Arbitrando uma perda entre nós de 15m, temos: Conduto 2: Conduto 3: J2 = hpparalelo L2 = 15 3782 = 0,003966 𝐽3 = ℎ𝑝𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝐿3 = 15 3040 = 0,00493 f2 = 0,02814 V2 = 1,052 m/s q2 = 0,1312 m3/s f3 = 0,01804 V3 = 1,375 m/s q3 = 0,1318 m3/s qtotal = 0,263 m3/s q2 𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 50,1% q3 𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 49,9% UFRGS-IPH-DHH 21 c) Cálculo das perdas de carga nos trechos que compõem o sistema, visando estabelecer uma lei que vincule a perda de carga unitária com a vazão: 𝐽 = 𝑎𝑄𝑏 Conduto 1: D= 600mm e= 2,5 mm L= 2500m Procedimento: arbitram-se duas vazões escoando no conduto e para elas se calcula a perda de carga que elas causariam nos condutos. Qarb=0,2 m³/s V1=0,707 m/s f1= 0,02899 J1= 0,001233 Qarb=0,28 m³/s V1=0,9903 m/s f1= 0,02893 J1= 0,002411 ൝ 0,001233 = 𝑎 0,2 𝑏 0,002411 = 𝑎 0,28 𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 0,001233 0,002411 𝑙𝑜𝑔 0,2 0,28 = 1,993 𝑎 = 0,001233 0,21,993 = 0,03048 𝐽1 = 0,03048 𝑄1 1,993 UFRGS-IPH-DHH 22 ou duas velocidades V<4m/s Conduto 2 (trecho em paralelo): D= 400mm e= 1,5 mm L= 3782m Qarb2=0,2*0,501=0,1002 m³/s V2=0,7958 m/s f2= 0,02822 J2= 0,002278 Qarb2=0,28*0,501=0,14028 m³/s V2=1,116 m/s f2= 0,02812 J2= 0,004467 ൝ 0,002278 = 𝑎 0,1002 𝑏 0,004467 = 𝑎 0,14028 𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 0,002278 0,004467 𝑙𝑜𝑔 0,1002 0,14028 = 1,999 𝑎 = 0,002278 0,10021,999 = 0,22637 𝐽2 = 0,22637 𝑄2 1,999 UFRGS-IPH-DHH 23 Qarb=0,2 m³/s Qarb=0,28 m³/s Conduto 4: D= 400mm e= 5,0 mm L= 400 m Qarb=0,2 m³/s V4=1,592 m/s f4= 0,04101 J4= 0,01324 Qarb=0,28 m³/s V4=2,228 m/s f4= 0,04099 J4= 0,02594 ൝ 0,01324 = 𝑎 0,2 𝑏 0,02594 = 𝑎 0,28 𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 0,01324 0,02594 𝑙𝑜𝑔 0,2 0,28 = 1,9988 𝑎 = 0,01324 0,21,9988 = 0,33037 𝐽4 = 0,33037 𝑄4 1,9988 UFRGS-IPH-DHH 24 UFRGS-IPH-DHH 25 𝐽4 = 0,33037 𝑄4 1,9988 𝐽2 = 0,22637 𝑄2 1,999 𝐽1 = 0,03048 𝑄1 1,993 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 J (m/m) Q (m³/s) J= a Qb conduto 1 conduto 2 conduto 4 D= 600mm e= 2,5 mm L= 2500m D= 400mm e= 1,5 mm L= 3782m D= 400mm e= 5,0 mm L= 400 m d) Perda de carga total no sistema de condutos: Uma vez que o desnível entre os reservatórios é de 29,846m, temos que: ℎ𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ℎ𝑝1 + ℎ𝑝𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 + ℎ𝑝4 ℎ𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐽1 𝐿1 +𝐽2 𝐿2 +𝐽4 𝐿4 ℎ𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (0,03048 𝑄1 1,993 ∗ 2500) + (0,22637 𝑄2 1,999 ∗ 3782)+(0,33037 𝑄4 1,9988 ∗ 400) ℎ𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (76,20 𝑄1 1,993) + (856,13 𝑄2 1,999)+(132,15 𝑄4 1,9988) 29,846 = (76,20 𝑄1,993) + (215,04 𝑄1,999)+(132,15 𝑄1,9988) Q = 0,26496 m3/s ℎ𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (76,20 𝑄1,993) + (856,13 ((0,501𝑄)1,999)+(132,15 𝑄1,9988) Substituindo os valores das vazões que passam em cada ramal pelo valor da vazão que entra no sistema Q: Resolvendo a expressão anterior obtêm-se a vazão que passará no sistema: Resp: Q = 265 l/s e) Vazão que escoa no sistema de condutos: UFRGS-IPH-DHH 26 SUGESTÕES DE OUTRAS ABORDAGENS DO PROBLEMA ANTERIOR: Sugestão 1 – Cálculo do desnível entre os reservatórios: Considerar que a vazão escoada é de 265 litros/segundo e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. Sugestão 2 – Cálculo da rugosidade do conduto 3: Considerar que o desnível entre reservatórios é de 29,846m, que a vazão é 0,265 m³/s e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. Sugestão 3 – Cálculo do diâmetro do conduto 1: Considerar que o desnível entre reservatórios é de 29,846m, que a vazão é 0,265 m³/s e que todos os dados dos condutos permanecem iguais. UFRGS-IPH-DHH 27 UFRGS-IPH-DHH 28 FIM