Slide- Definição de Pressão Escalas Instrumentos - 2023-2

IPH01107 – Mecânica dos Fluidos II Aula 6: Definição de pressão, escalas de pressão, instrumentos medidores de pressão e hidrostática dos fluidos Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental) 2 a) Definição de pressão sob a perspectiva de Mecânica dos Fluidos Problema a ser investigado: Como uma força aplicada sobre uma determinada massa de fluido é transmitida para as partículas de fluido? Qual a grandeza responsável por realizar esta distribuição? Para iniciarmos esta análise, consideremos um pequeno recipiente cilíndrico, que possui um êmbolo em sua parte superior, disposto na horizontal. Supondo que este cilindro encontra-se preenchido por diversos elementos esféricos (análogos às partículas de fluido) e que uma força 𝑭 é aplicada perpendicularmente sobre seu êmbolo. Nesse caso, temos que: a) Os elementos irão se mover sempre na mesma direção e sentido da força aplicada; b) A força média Ԧ𝑓 aplicada em cada elemento é aproximadamente igual a: 𝒇 = 𝑭 𝒏º 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔; c) Quanto maior a magnitude de Ԧ𝐹, maior será a força 𝒇 transmitida a cada um dos elementos; d) Quanto maior o número de elementos em contato com a área do êmbolo, menor será a força transmitida para cada um dos elementos. 3 Conclusões... a) Os elementos irão se mover sempre na mesma direção e sentido da força aplicada; b) A força média Ԧ𝑓 aplicada em cada elemento é aproximadamente igual a: 𝒇 = 𝑭 𝒏º 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔; c) Quanto maior a magnitude de Ԧ𝐹, maior será a força 𝒇 transmitida a cada um dos elementos; d) Quanto maior o número de elementos em contato com a área do êmbolo, menor será a força transmitida para cada um dos elementos. A grandeza relacionada é uma grandeza escalar! A grandeza relacionada indica uma distribuição de forças e é transmitida sempre de forma perpendicular à superfície de aplicação. A magnitude de 𝑭 é diretamente proporcional à grandeza relacionada. Quanto maior a área de contato menor será a intensidade da grandeza relacionada (Relação inversamente proporcional). 4 Assim, denominando esta grandeza relacionada como pressão ( 𝒑 ), podemos representar matematicamente todas as conclusões anteriores por: 𝒑 = 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂 Á𝒓𝒆𝒂 Unidade no SI: N/m² ou Pa (Pascal). Lembrando que... a) A pressão é uma grandeza escalar; b) Atua sempre perpendicularmente à superfície onde a força em questão foi aplicada; c) Pressão positiva (escala relativa) = pressão de compressão; d) Pressão negativa (escala relativa) = pressão de vácuo ou sucção. 5 b) A pressão em um ponto Para a análise da pressão em um ponto, consideremos um elemento de fluido infinitesimal em formato de cunha, com base no plano xy. L – largura do elemento (p/ dentro da página) 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒔 𝐹𝑥 = 𝑃𝑥. ∆𝑦. 𝐿 𝐹𝑦 = 𝑃𝑦. ∆𝑥. 𝐿 𝐹𝑠 = 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿 𝐹𝑠𝑥 = 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹𝑠𝑦 = 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑭𝒔𝒙 𝑭𝒔𝒚 𝑾 𝑊 = 𝛾. ∆𝑥. ∆𝑦. 𝐿 2 𝜸 – peso específico do fluido 𝑠𝑒𝑛𝜃 = ∆𝑦 ∆𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ∆𝑥 ∆𝑠 Desta forma: 𝐹𝑅𝑥 = 𝑃𝑥. ∆𝑦. 𝐿 − 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹𝑅𝑦 = 𝑃𝑦. ∆𝑥. 𝐿 − 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝛾.∆𝑥.∆𝑦.𝐿 2 6 Como o elemento é muito pequeno (análise praticamente pontual), 𝐹𝑅𝑥 → 0 e 𝐹𝑅𝑦 → 0. Assim: 0 = 𝑃𝑥. ∆𝑦. 𝐿 − 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 = 𝑃𝑥. ∆𝑦. 𝐿 − 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. ∆𝑦 ∆𝑠 𝑷𝒙 = 𝑷𝒔 0 = 𝑃𝑦. ∆𝑥. 𝐿 − 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝛾.∆𝑥.∆𝑦.𝐿 2 Desprezível 0 = 𝑃𝑦. ∆𝑥. 𝐿 − 𝑃𝑠. ∆𝑠. 𝐿. ∆𝑥 ∆𝑠 𝑷𝒚 = 𝑷𝒔 Caso realizássemos agora uma análise similar no plano yz, por exemplo, obteríamos 𝑷𝒚 = 𝑷𝒛 Então, finalmente: 𝑷𝒙 = 𝑷𝒚 = 𝑷𝒛 = 𝑷𝒔 A pressão é uma grandeza pontual, independente da direção. 7 c) As parcelas de pressão atuantes em um escoamento De uma maneira geral, podemos dizer que a pressão total imposta sobre uma massa de fluido pode ser dividida em duas partes: a) Parte intrínseca à massa de fluido escoada; b) Parte ocasionada por uma força externa sobre a massa de fluido escoada. 𝑷𝒕𝒐𝒕 = 𝑷𝒎𝒇 + 𝑷𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 - Associada à lâmina de fluido (parcela estática); - Associada ao movimento da massa de fluido (parcela dinâmica); - Associada a uma máquina hidráulica (bomba ou turbina); - Associada a um sistema de pressurização (sistemas de ar comprimido); - Associada a fronteiras sólidas em movimento. 8 A parte de pressão intrínseca à massa de fluido escoada é ocasionada por duas parcelas principais: a) Pressão estática (𝑷𝒆𝒔𝒕): parcela referente a coluna de fluido acima de um determinado ponto de referência; b) Pressão dinâmica (𝑷𝒅𝒊𝒏): parcela referente ao movimento da massa de fluido entre dois pontos. 𝑷𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ≈ 𝑷𝒆𝒔𝒕 + 𝑷𝒅𝒊𝒏 É bastante elevada em escoamentos onde se observam grandes lâminas de fluido (que em casos limites, representam grandes reservatórios) Bastante elevada em casos onde o escoamento atinge altas velocidades. 9 d) Variação da pressão dinâmica em função da curvatura das linhas de corrente Considerando o caso de duas linhas de corrente curvilíneas por onde escoa um elemento infinitesimal de fluido, devido a um gradiente de pressões dinâmicas, unicamente. Assim, este gradiente de pressões está relacionado a uma força centrípeta. Em que: 𝒓 − raio de curvatura; 𝝆 − massa específica; 𝒅𝒓 − distância entre duas linhas de corrente; 𝑽 − velocidade do elemento; 𝜶 − ângulo de elemento; 𝑭𝒄 − força centrípeta; 𝒃 − dimensão para dentro da página; 𝑷(𝒓 + 𝒅𝒓) − pressão dinâmica na face superior do elemento; 𝑷(𝒓) − pressão dinâmica na face inferior do elemento. A força centrípeta aponta sempre para o centro, desta forma, vemos que esta força se relaciona com as forças de pressão através da seguinte expressão: 𝐴𝑠𝑢𝑝 ≈ 𝐴𝑖𝑛𝑓 = 𝛼. 𝑟. 𝑏 O elemento 𝒅𝒓 é tão pequeno de tal forma que a face superior e inferior do elemento curvilíneo sejam aproximadamente iguais, assim: 𝐹𝑐 = 𝑃 𝑟 + 𝑑𝑟 𝛼𝑟𝑏 − 𝑃(𝑟)𝛼𝑟𝑏 𝑚𝑉² 𝑟 = 𝑃 𝑟 + 𝑑𝑟 − 𝑃(𝑟) 𝛼𝑟𝑏 10 A massa do elemento é calculada como: 𝑚 = 𝜌. 𝛼. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑏 Assim: 𝜌. 𝛼. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑏. 𝑉² 𝑟 = 𝑃 𝑟 + 𝑑𝑟 − 𝑃(𝑟) . 𝛼. 𝑟. 𝑏 𝑃 𝑟 + 𝑑𝑟 − 𝑃(𝑟) 𝑑𝑟 = 𝜌𝑉² 𝑟 Fazendo 𝐥𝐢𝐦 𝒅𝒓→ 𝟎 𝑷 𝒓+𝒅𝒓 −𝑷(𝒓) 𝒅𝒓 chega-se a: 𝒅𝑷 𝒅𝒓 = 𝝆𝑽² 𝒓 Variação da pressão dinâmica em função do raio de curvatura da linha de corrente 11 Da expressão 𝒅𝑷 𝒅𝒓 = 𝝆𝑽² 𝒓 podemos retirar algumas conclusões importantes: O elemento 𝒅𝒓 é diretamente proporcional ao elemento de pressão 𝒅𝑷 e inversamente proporcional a velocidade do elemento 𝑽. Em regiões onde as linhas de corrente são muito próximas a pressão diminuí e a velocidade aumenta. A) B) Por consequência direta da conclusão (a), conclui-se que em um conduto horizontal, quando ocorre um aumento do diâmetro da seção transversal, a velocidade diminui e a pressão aumenta! Elemento acelera Linhas de correntes ficam mais próximas e a pressão diminui. C) Percebendo que, a medida que duas linhas de corrente se tornam paralelas, o raio de curvatura se modifica: 𝑟 Quando duas linhas de corrente são paralelas, seus raios de curvatura tendem ao infinito! Portanto, não há variação de pressão dinâmica numa direção normal a linhas de corrente retilíneas! O que implica: 𝒅𝑷 𝒅𝒓 = 𝟎 𝑟 12 e) Escalas de pressão Pressão atmosférica (ou barométrica): é a pressão absoluta na superfície terrestre devida ao peso da atmosfera. Esta pressão depende principalmente da altitude do terreno onde ela é medida. Pressão absoluta: é a pressão medida em relação ao vácuo absoluto. O vácuo absoluto sempre tem a pressão igual a zero. A pressão absoluta independe da pressão atmosférica do local onde ela é medida e é sempre positiva. Utilizada ao se trabalhar com gases (lei dos gases perfeitos) e com a pressão de vapor (utilizada, principalmente, na verificação da cavitação). Pressão manométrica (relativa ou efetiva): consiste na medida de pressão resultante da diferença da pressão absoluta e da pressão atmosférica local. Podendo ser positiva (pressão de impulsão) ou negativa (pressão de vácuo). Muito utilizada em condutos forçados. 𝑷𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 = 𝑷𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒂 − 𝑷𝒂𝒕𝒎𝒐𝒔𝒇é𝒓𝒊𝒄𝒂 13 f) Estática dos Fluidos (Hidrostática) A Estática dos Fluidos estuda os fluidos em repouso ou em movimento uniforme (onde a aceleração é nula). Em um fluido em repouso não existem tensões de cisalhamento: a viscosidade não intervém no problema. Desta maneira, dizemos que a pressão hidrostática é o tipo de pressão que ocorre em fluidos em repouso ou em um tipo de movimento que não obriga as partículas de fluido adjacentes a apresentarem deslocamentos relativos. Ou seja, são casos onde as tensões de cisalhamento nas superfícies dos fluidos são nulas. 14 Questão: Onde encontramos este tipo de distribuição de pressões? Reservatórios de água Represas Canais de baixa declividade 15 Rios de baixas declividades Lagos e lagoas Zonas muito profundas em mares e oceanos Recipientes rotativos (com velocidade angular constante) 16 Equacionamento... Se o fluido apresenta um comportamento hidrostático o mesmo não pode apresentar aceleração nem forças de cisalhamento! Dessa forma, as equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas: 𝜌 𝐷𝑉 𝐷𝑡 = −𝛻𝑃 + 𝜌 Ԧ𝑔 + 𝜇∇²𝑉 Parte que envolve a aceleração Parte relacionada à viscosidade 𝜵𝑷 = 𝝆𝒈 Equação fundamental da hidrostática 2ª Lei de Newton Parcela associada à força de pressão Parcela associada à força de campo 17 Considerando o seguinte sistemas de coordenadas e percebendo que 𝒈𝒙 = 𝒈𝒚 = 𝟎 e que 𝒈𝒛 = −𝒈, temos que: < 𝜕𝑃 𝜕𝑥 ; 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ; 𝜕𝑃 𝜕𝑧 > = < 𝜌𝑔𝑥; 𝜌𝑔𝑦; 𝜌𝑔𝑧 > 𝝏𝑷 𝝏𝒙 = 𝝏𝑷 𝝏𝒚 = 𝟎 𝝏𝑷 𝝏𝒛 = −𝝆𝒈 x y z P 𝒉 superfície g Equação fundamental da hidrostática adaptada ao sistema em questão A pressão hidrostática só varia na direção vertical! Em um mesmo plano horizontal a pressão hidrostática não varia! 18 Admitindo que o fluido seja incompressível, a equação anterior pode ser ainda mais simplificada... 𝑑𝑃 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 න 𝑃1 𝑃2 𝑑𝑃 = −𝜌𝑔 න 𝑧1 𝑧2 𝑑𝑧 Considerando que o ponto 1 seja a superfície livre (origem das coordenadas), que a pressão atuante seja a atmosférica e que estamos interessados unicamente na pressão resultante da camada de líquido, tem-se: - 𝒛𝟏 = 𝟎; - 𝒛𝟐 = −𝒉; - 𝑷𝟏 = 𝟎; - 𝑷𝟐 = 𝑷 (em termos relativos). 𝑷 = 𝝆𝒈𝒉 𝑷𝒉𝒊𝒅𝒓𝒐𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝜸𝒉 Profundidade Peso específico O gráfico é uma função linear (RETA) (LEI DE STEVIN) 19 Consequências da Lei de Stevin... Se o fluido possui massa específica constante a pressão cresce linearmente com a profundidade. Em um fluido de massa específica constante, pontos localizados em uma mesma horizontal (ou seja, à mesma profundidade) estão sujeitos a mesma pressão! Por esta razão que tubos interligados, de diversos formatos, dotados de um mesmo fluido de massa específica constante, sujeitos a uma mesma pressão superior, apresentam alturas iguais. (Princípio dos vasos comunicantes) (A) (B) 20 Diagrama de pressões em superfícies planas: (a) paralelas à superfície da água; (b) perpendiculares à superfície da água. Diagrama de pressões em superfícies curvas (C) (D) 21 Casos onde a massa específica varia... É muito importante salientar que a Lei de Stevin é válida quando existe uma camada de fluido, com uma dada espessura, de massa específica constante. Entretanto, existem casos onde a massa específica pode variar com a altura ou com a profundidade, como é o caso de algumas regiões do oceano e da atmosfera. Nestes casos, é imprescindível realizar o cálculo pela equação fundamental da hidrostática. 𝝏𝑷 𝝏𝒛 = −𝝆𝒈 Eq. fundamental da hidrostática. Exemplo de massa específica variável ponto a ponto Como o ar é um gás, segue a Lei dos Gases perfeitos e tem sua massa específica variada em função da temperatura. O gráfico ao lado mostra que a temperatura varia com a altura e, como consequência, ocorre uma variação na pressão. 22 g) Instrumentos medidores de pressão A pressão de um fluido pode ser medida por diversos aparelhos, alguns voltados a um determinado tipo de pressão (absoluta, relativa ou negativa). a) Barômetro: utilizado para medir a pressão atmosférica (absoluta), geralmente é dotado de mercúrio. 1 atm = 101325 Pa = 760 mmHg Atmosfera padrão 23 b) Vacuômetro: utilizado para medir uma pressão relativa negativa (vácuo). Sistemas de recalque Pontos sujeitos a pressões negativas Vertedores Sifões 24 c) Transdutores de pressão: estes dispositivos medem a pressão num determinado local do sistema, logo em seguida, convertem a informação em um sinal elétrico, o qual pode ser lido por um instrumento. Existem diversos modelos no mercado, uns medem pressões relativas, alguns pressões absolutas e outros o vácuo. 25 d) Manômetros: corresponde a uma família de dispositivos responsáveis por medir pressões relativas (geralmente positivas, o manômetro de pressão negativa é o vacuômetro). Podem ser dispositivos de funcionamento mecânico ou dotados por colunas de líquidos imiscíveis. Manômetros de Bourdon Manômetros de colunas líquidas 26 d.1) Piezômetro: tipo mais simples de manômetro. Muito utilizado em sondagens em geotecnia para estimar o nível de água no solo, ou em medição de níveis em reservatórios. Piezômetro de Casagrande Instalação de piezômetros em barragens de rejeitos 𝑷𝑨 = 𝑷𝟎 + 𝒉𝜸 27 d.2) Manômetro em U: pode ser utilizado para medição de pressão de gases, ao contrário dos piezômetros onde o mesmo escaparia para a atmosfera. O equacionamento utiliza princípios de hidrostática e é efetuado como no exemplo a seguir. O problema pode ser solucionado calculando e igualando as pressões hidrostáticas nos pontos 1 e 2: 𝑃1 = 𝑃𝐴 + ℎ1. 𝛾1 𝑃2 = 𝑃𝑜 + ℎ2. 𝛾2 𝑃𝐴 + ℎ1. 𝛾1 = 𝑃𝑜 + ℎ2. 𝛾2 𝑷𝑨 = 𝑷𝒐 + 𝒉𝟐. 𝜸𝟐 − 𝒉𝟏. 𝜸𝟏 OBSERVAÇÃO - Se estivermos trabalhando com pressão relativa, então 𝑃𝑜 = 0; - Se o fluido em A for um gás a contribuição de pressão devido a sua coluna líquida pode ser desprezada (exceto em casos especiais que devem ser informados), então: 𝑷𝑨 = 𝑷𝒐 + 𝒉𝟐. 𝜸𝟐 28 d.3) Manômetro diferencial: mede uma diferença de pressões. O equacionamento pode ser efetuado segundo o exemplo a seguir. 29 d.4) Manômetro inclinado: se a pressão medida é muito pequena, então uma coluna inclinada fornece uma maneira apropriada de obter um movimento maior do manômetro (leitura mais fácil). Um equacionamento típico é mostrado no exemplo abaixo. 30 h) Exemplos Ex 1: Considere o tanque composto de água e gasolina. Qual é a pressão exercida no fundo do tanque? 31 Ex 2: O Empire State Building de NY, uma das construções mais altas do mundo, apresenta uma altura de aproximadamente 381 m. Estime a relação entre as pressões no topo e na base do edifício: a) Admitindo que a temperatura é constante e o fluido compressível; a) Admitindo o ar como incompressível (𝜸𝒂𝒓 = 𝟏𝟐, 𝟎𝟏 𝑵/𝒎³). Ex 3: Considere o seguinte manômetro, de cavidade aberta à atmosfera em seu lado direito. Dados: γ₁ = 9810 N/m³ γ₂ = 11500 N/m³ γ₃ = 14000 N/m³ z₁ = 0,95 m z₂ = 0,70 m z₃ = 0,52 m z₄ = 0,65 m z₅ = 0,72 m D = 0,20 m d = 0,01 m a) Qual o valor da pressão em 1? b) Se a pressão em 1 aumentar 100 Pa, qual será o acréscimo ocorrido em “H”? 33 i) Cálculo da força resultante de uma distribuição de pressão Definimos a pressão como a distribuição de uma força concentrada ao longo de todos os elementos que compõem uma superfície, atuando sempre perpendicularmente à mesma. Elemento de força 𝑑𝐹 concentrada em um elemento de área 𝑑𝐴. Pressão distribuída no elemento de área 𝑑𝐴 𝒑𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝒅𝑭 𝒅𝑨 𝒅𝑭 𝒑𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝑨 𝒅𝑨 34 𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒅𝑭𝟏 + 𝒅𝑭𝟐 + 𝒅𝑭𝟑 + ⋯ 𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒑𝟏. 𝒅𝑨𝟏 + 𝒑𝟐. 𝒅𝑨𝟐 + 𝒑𝟑. 𝒅𝑨𝟑 + ⋯ No limite... 𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = ඵ 𝒑. 𝒅𝑨 Força resultante de uma distribuição de pressões 𝑭 𝒑 graficamente... Pressão = grandeza distribuída 𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = Volume do diagrama de pressões Obs: a força resultante atua no centroide deste volume! 35 Desenvolvimento de uma expressão genérica para o cálculo da pressão hidrostática sobre superfícies planas 𝑭𝒉 Centróide da superfície plana Centro de pressões (coincide com o centroide do diagrama de pressões) Superfície livre do fluido x 𝛼 𝛼𝐶𝐺 36 𝑑𝐹 x 𝛼 𝜶𝑪𝑮 𝜶𝑪𝑷 𝜶 𝒉 𝒉𝑪𝑮 𝒉𝑪𝑷 𝑭𝒉 Superfície livre do fluido 𝐹ℎ = ඵ 𝑝𝑑𝐴 𝐹ℎ = ඵ 𝛾ℎ𝑑𝐴 ℎ = 𝛼𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹ℎ = ඵ 𝛾𝛼𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴 𝟏 𝑨 𝐹ℎ = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 𝟏 𝑨 ඵ 𝛼𝑑𝐴 𝐹ℎ = 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝛼𝐶𝐺. 𝐴 𝑭𝒉 = 𝜸. 𝒉𝑪𝑮. 𝑨 Força hidrostática sobre uma superfície plana. Para descobrir o ponto de atuação de 𝐹ℎ utilizamos o conceito do momento resultante em relação à “O”: 𝐹ℎ. 𝛼𝐶𝑃 = 𝑑𝐹1. 𝛼1 + 𝑑𝐹2. 𝛼2 + 𝑑𝐹3. 𝛼3 + ⋯ 𝐹ℎ. 𝛼𝐶𝑃 = න 𝛼 𝑑𝐹 37 𝐹ℎ. 𝛼𝐶𝑃 = න 𝛼 𝑑𝐹 Lembrando que 𝑑𝐹 = 𝑝 𝑑𝐴: 𝐹ℎ. 𝛼𝐶𝑃 = ඵ 𝛼. 𝑝. 𝑑𝐴 𝐹ℎ. 𝛼𝐶𝑃 = ඵ 𝛼. ℎ. 𝛾. 𝑑𝐴 𝐹ℎ. 𝛼𝐶𝑃 = ඵ 𝛼. 𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝛾. 𝑑𝐴 𝐹ℎ. 𝛼𝐶𝑃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝛾 ඵ 𝛼². 𝑑𝐴 𝛾. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝛼𝐶𝐺. 𝐴. 𝛼𝐶𝑃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝛾 ඵ 𝛼². 𝑑𝐴 𝛼𝐶𝑃 = 1 𝛼𝐶𝐺. 𝐴 ඵ 𝛼². 𝑑𝐴 Mas ׭ 𝛼2𝑑𝐴 é o momento de inércia de área da superfície plana em torno do eixo x: 𝛼𝐶𝑃 = 𝐼𝑥 𝛼𝐶𝐺. 𝐴 Uma relação entre o momento de inércia de área central (𝐼𝑥𝑐) e 𝐼𝑥 pode ser obtida pela aplicação do teorema dos eixos paralelos: 𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑐 + 𝛼𝐶𝐺2. 𝐴 𝛼𝐶𝑃 = 𝐼𝑥𝑐 + 𝛼𝐶𝐺2. 𝐴 𝛼𝐶𝐺. 𝐴 𝜶𝑪𝑷 = 𝑰𝒙𝒄 𝜶𝑪𝑮. 𝑨 + 𝜶𝑪𝑮 Determinação do ponto de aplicação da força hidrostática sobre a superfície 38 As expressões práticas para o cálculo de 𝑰𝒙𝒄 podem ser obtidas em tabelas presentes nos livros de Mecânica Geral, Mecânica dos Fluidos e/ou Hidráulica. 𝑰𝒙𝒄 = 𝒃𝒉³ 𝟏𝟐 𝑰𝒙𝒄 = 𝒃𝒉³ 𝟑𝟔 𝑰𝒙𝒄 = 𝝅𝑹𝟒 𝟒 𝑰𝒙𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟒𝟖𝟖𝑹𝟒 Algumas geometrias básicas... Retângulo Triângulo retângulo Círculo 1/4 Círculo 39 Alguns exemplos de diagramas de pressões em superfícies planas imersas em um fluido incompressível... Superfície plana genérica Superfície plana retangular Superfície plana triangular Vista lateral de superfícies planas imersas em um fluido incompressível 40 ATENÇÃO CAROS ALUNOS! As fórmulas desenvolvidas anteriormente para as superfícies planas aparentam ser muito práticas e atrativas, porém, em diversos casos, as mesmas resultarão em processos de resolução muito trabalhosos. No caso de superfícies planas retangulares (enfoque desta disciplina; outras superfícies serão abordadas em maior detalhe em Hidráulica) o método de resolução que geralmente é bastante adequado é o geométrico (através de princípios de geometria plana, espacial e mecânica básica). Lembre-se: - A força resultante é igual ao volume do sólido formado pelo diagrama de pressões; - A força resultante atua no centroide deste sólido. 41 j) Cálculo da força hidrostática em superfícies planas paralelas à superfície livre Sup. Livre de fluido Superfície plana de área A Conforme mostra a figura ao lado, para o caso de uma placa plana paralela a superfície da água, a distribuição de pressões é uniforme sobre toda superfície. Desta forma: 𝐹ℎ = ඵ 𝑝𝑑𝐴 = ඵ ℎ𝛾 𝑑𝐴 = ℎ𝛾𝐴 Mas ℎ. 𝐴 representa o volume de fluido acima da superfície plana. Assim, a parcela ℎ𝛾𝐴 denota o peso de fluido acima desta superfície. Quando a superfície plana for paralela à linha d’água, a força hidrostática é igual ao peso de fluido acima desta superfície. 42 k) Princípio de Arquimedes (Empuxo) 43 l) Exemplos Ex 1: Qual o valor de “F” a ser aplicado em “d” para evitar que a comporta retangular abra? 44 Ex 2: Uma embarcação, com 30 m de comprimento e seção transversal mostrada na figura abaixo, deve carregar uma carga de 6000 kN. A que distância o nível de água estará do topo da embarcação, se a massa da embarcação for de 100 000 kg? IPH01107 – Mecânica dos Fluidos II Aula 6: Definição de pressão, escalas de pressão, instrumentos medidores de pressão e hidrostática dos fluidos Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental)