Slide - Teorema de Transporte de Reynolds - 2023-2

Aula 10 – Análise Integral – Teorema de transporte de Reynolds; Equação integral da continuidade Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. Em Recursos Hídricos) Email: enggfv.aulas@gmail.com PROPRIEDADES EXTENSIVAS E INTENSIVAS 2 Propriedade extensiva (𝜷): é toda propriedade associada à massa da substância considerada. Exemplos: força, quantidade de movimento, energia, volume... Propriedade intensiva (𝒃): é uma propriedade que independe da massa da substância. Exemplos: temperatura, velocidade, massa específica, ponto de fusão, ponto de ebulição... A cada propriedade extensiva existe uma propriedade intensiva associada, sendo a relação entre elas expressa por: Onde “m” é a massa. 𝒃 = 𝜷 𝒎 3 ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES Sistema: é uma quantidade de matéria com massa e identidade fixas, que escolhemos como objeto de estudo (abordagem Lagrangeana). Exemplos: Rio Canal Piscina 4 Volume de controle: corresponde a uma parte do sistema, na qual se estuda a variação de alguma propriedade de interesse (abordagem Euleriana). As “paredes” que limitam um volume de controle são denominadas superfícies de controle. Onde “𝑛” é um vetor unitário que aponta sempre perpendicularmente para fora de uma superfície. Tipos de volumes de controle 5 TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS Seja 𝜷 uma propriedade extensiva, cuja dimensão é 𝐷𝑝. 𝑀, que dependa do espaço e do tempo. Sendo assim, podemos estudar a variação desta propriedade por meio da derivada substancial 𝑫𝜷 𝑫𝒕. Dimensões básicas: L – comprimento T – tempo M – massa Dp – dimensão de uma determinada propriedade Vamos estudar a variação de uma propriedade 𝜷 em um sistema (Rio), relacionando esta variação com uma região de estudo (Volume de controle). Propriedade 𝜷 Vol. Controle (VC) 6 𝒕𝟎 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝒕𝟒 Variação ocorrendo somente dentro do V.C Em 𝒕𝟎 - quantidade de propriedade: ∆𝜷𝟎 Em 𝒕𝟏 - quantidade de propriedade: ∆𝜷𝟎 + ∆𝜷𝟏 Em 𝒕𝟐 - quantidade de propriedade: ∆𝜷𝟎 + ∆𝜷𝟏 + ∆𝜷𝟐 Em 𝒕𝟑 - quantidade de propriedade: ∆𝜷𝟎 + ∆𝜷𝟏 + ∆𝜷𝟐 + ∆𝜷𝟑 Variação ocorrendo fora do V.C A partir de 𝒕𝟒 passa a existir fluxo pelas paredes do V.C 7 Variação ocorrendo somente dentro do V.C 𝜷𝑽𝑪 = ∆𝜷𝟎 + ∆𝜷𝟏 + ∆𝜷𝟐 + ∆𝜷𝟑 + ⋯ 𝜷𝑽𝑪 = න 𝒅𝜷 No limite: Porém para expressar a relação da propriedade com o V.C, lembramos que 𝒃 = 𝒅𝜷 𝒅𝒎 . Podemos inclusive escrever 𝑑𝑚 em termos do fluido analisado: 𝒅𝒎 = 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍. Assim 𝒅𝜷 = 𝒃𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍, o que nos leva a: 𝜷𝑽𝑪 = න 𝒃𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 Como estamos interessados na variação da propriedade com o tempo: 𝝏𝜷𝑽𝑪 𝝏𝒕 = 𝝏 ׬ 𝒃𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 Variação ocorrendo fora do V.C Podemos pensar no fluxo de propriedade como um transporte de propriedade ocasionado pelo campo de velocidades (associado à vazão), dado por: 𝑭𝒍𝒖𝒙𝒐 𝒅𝒆 𝜷 = න 𝜷 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 Vamos efetuar uma analise dimensional do termo ׬ 𝜷 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨: 𝑫𝒑. 𝑴. 𝑳 𝑻 . 𝑳² A dimensão da derivada substancial deve ser 𝑫𝒑.𝑴 𝑻 , o que nos diz que a expressão anterior deve ser divida por um termo de volume. Sabemos que 𝜷 = 𝒃𝝆𝑽𝒐𝒍 , utilizando esta informação chegamos a expressão final para o termo de fluxo: 𝑭𝒍𝒖𝒙𝒐 𝒅𝒆 𝜷 = න 𝒃𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 8 Sendo assim, a variação da propriedade em um sistema pode ser relacionada a uma análise em um volume de controle pela seguinte expressão: 𝑫𝜷 𝑫𝒕 = 𝝏 ׬ 𝒃𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + න 𝒃𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 𝑫𝜷 𝑫𝒕 = 𝝏 ׮ 𝒃𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝒃𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 Teorema de Transporte de Reynolds Algumas simplificações que podem ou não ocorrer, dependendo do caso: - Escoamento permanente: 𝝏 ׬ 𝒃𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 = 𝟎; - Massa específica constante - 𝜌 pode ser colocado para fora da integral; - Escoamento unidimensional (na direção do escoamento): 𝑽. 𝒏 = 𝑽𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐; - Perfil de velocidades uniforme – o termo de velocidade pode ser colocado para fora da integral; - Velocidade média: 𝑽𝒎𝒆𝒅 = 𝟏 𝑨 ׭ 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨, que também é um perfil uniforme. 9 EQUAÇÃO INTEGRAL DA CONTINUIDADE A equação integral da continuidade pode ser deduzida utilizando-se o teorema de transporte de Reynolds: Sendo assim, 𝜷 = 𝒎 e 𝒃 = 𝟏. O que resulta em: 𝑫𝒎 𝑫𝒕 = 𝝏 ׮ 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 Entretanto, a massa do sistema não varia no tempo e nem no espaço, logo sua derivada substancial é nula! 𝝏 ׮ 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 = 𝟎 Variação de massa dentro do V.C (associado a uma variação de volume) Fluxo de massa pelas paredes do V.C (ESTA EXPRESSÃO REPRESENTA UMA SOMA DE ENTRADAS E SAÍDAS!!) 10 Exemplo 1: A figura a seguir mostra o desenvolvimento de um escoamento laminar de água em um tubo reto de raio R. O perfil de velocidades na seção (1) é uniforme com velocidade U paralela ao eixo do tubo. O perfil de velocidade na seção (2) é parabólico, com velocidade nula na parede do tubo e velocidade máxima 𝑢𝑚á𝑥. Responda: a) Qual a expressão para 𝑢𝑚á𝑥? b) Qual é a relação entre a velocidade média na seção (2) e 𝑢𝑚á𝑥? Resposta: a) U = Vmáx/2 b) Vmed2= Vmáx/2 11 Exemplo 2: Qual a taxa pela qual o nível de água aumenta ou diminuí em um recipiente aberto se a água que entra por uma tubulação de 0,10 m² tem a velocidade de 0,5 m/s e a vazão de saída é 0,2 m³/s. Dado: diâmetro da seção transversal do recipiente = 0,5 m. Resposta: -0,764m/s 12 Exemplo 3: Resposta: 2,514 kg/s ou 9050,4 kg/h 13 Exemplo 4: A figura mostra uma seringa para vacinar bois. A área da seção transversal é de 500 mm². Qual deve ser a velocidade do êmbolo para que a vazão de líquido na agulha seja igual a 300 cm³/min. Admita que ocorre um vazamento de líquido entre o êmbolo e a seringa com vazão igual a 10% daquela na agulha. Resposta: -0,011 m/s (negativo pois indica que o V.C está diminuindo) Aula 10 – Análise Integral – Teorema de transporte de Reynolds; Equação integral da continuidade Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. Em Recursos Hídricos) Email: enggfv.aulas@gmail.com