Slide - Camada Limite em Placas Plana - 2024-1

Camada Limite em Placas Planas Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental Email: enggfv.aulas@gmail.com 2 Em casos de escoamentos reais, a condição de não deslizamento, imposta pelos contornos sólidos, ocasiona uma diminuição da velocidade em regiões adjacentes às paredes. Esta zona, denominada CAMADA LIMITE (Boundary Layer), geralmente pouco espessa, apresenta grandes gradientes de velocidade, fazendo com que a velocidade cresça, a partir de um valor nulo na parede, até a velocidade característica do escoamento livre (também chamado de escoamento/perfil de aproximação, cuja velocidade é denotada por 𝑼𝟎). Camada Limite sobre uma placa plana 3 Na Camada Limite as forças viscosas são bastante significativas. Sua espessura 𝜹 varia com o número de Reynolds e é definida como a distância perpendicular à parede onde a velocidade 𝑽𝒙 (na direção x) atinge 99% de 𝑼𝟎. Fora desta região as forças de inércia dominam o escoamento. -O valor de 𝜹 é maior para valores de 𝑹𝒆 menores. -Nos escoamentos externos em que 𝑹𝒆 < 𝟏𝟎𝟎𝟎 , não se aplicam as teorias de camada limite, pois o escoamento não é linear e apresenta um difícil tratamento matemático, necessitando de estudos experimentais ou modelagem em CFD. - Em camadas delgadas ( 𝜹 pequeno), o escoamento externo é dominante. Assim o campo de pressões externo “dirige” o escoamento (𝝏𝑷 𝝏𝒙 pode ser modelado pela teoria não-viscosa.) 4 Ludwig Prandtl (1875-1953) fundamentou em 1904 a Teoria da Camada Limite, além de contribuir significativamente para o desenvolvimento e compreensão das teorias a respeito dos escoamentos turbulentos. Os principais estudos a respeito da Camada Limite referem-se ao escoamento sobre placas planas, o qual se mostra bastante adequado aos corpos longos e delgados posicionados paralelamente ao fluxo. Entretanto, para corpos rombudos, a teoria da Camada Limite é um tanto quanto complicada de ser abordada matematicamente, fato pelo qual ainda não existem teorias bem estabelecidas nesta área. Como alternativa, frequentemente são utilizadas as análises via estudos experimentais em laboratório ou baseadas em modelos numéricos em CFD (Computational Fluid Dynamics). 5 Von Kármán (1921) utilizou as equações integrais da continuidade e da conservação da quantidade de movimento para calcular a força de arraste, resultante do escoamento, sobre uma placa plana. LEMBRANDO... Equação integral da continuidade: 𝝏 ׮ 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ׭ 𝝆 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨 = 𝟎 Equação integral da conservação da quantidade de movimento: σ 𝑭 = 𝝏 ׮ 𝝆𝑽𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ׭ 𝝆𝑽 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨 𝑼𝟎 𝑼𝟎 Linha de corrente desviada em função da presença da placa 𝑽𝒙(𝒚) Entrada Saída 6 Hipóteses adotadas: - Escoamento permanente; - Escoamento incompressível; - Escoamento 1D (Ao longo de x); - Perfil de velocidades uniforme na entrada; - Forças de pressão na entrada e na saída são aproximadamente iguais e se anulam; - Força de arraste ( 𝑭𝒅 ) exercida pela parede; - Placa retangular de largura “𝑩”. − ඵ 𝜌𝑉𝑒𝑛𝑡 2𝑑𝐴𝑒𝑛𝑡 + ඵ 𝜌𝑉𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 2𝑑𝐴𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 = −𝐹𝑑 𝜌𝑈0 2ℎ𝐵 − 𝜌 න 0 𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥 2𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐹𝑑 𝜌𝑈0 2ℎ𝐵 − 𝜌𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥 2𝑑𝑦 = 𝐹𝑑 Empregando a Eq. da Continuidade... −𝑈0𝐵ℎ + 𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑈0ℎ = න 0 𝛿 𝑉𝑥𝑑𝑦 𝜌𝑈0 1 ℎ න 0 𝛿 𝑉𝑥𝑑𝑦 ℎ𝐵 − 𝜌𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥 2𝑑𝑦 = 𝐹𝑑 𝜌𝑈0𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥𝑑𝑦 − 𝜌𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥 2𝑑𝑦 = 𝐹𝑑 𝜌𝐵 න 0 𝛿 𝑈0𝑉𝑥 − 𝑉𝑥 2𝑑𝑦 = 𝐹𝑑 𝝆𝑩 න 𝟎 𝜹 𝑽𝒙(𝑼𝟎 − 𝑽𝒙) 𝒅𝒚 = 𝑭𝒅 Digite a equação aqui. Tendo em vista a facilidade de trabalhar com o perfil uniforme 𝑈0, Kármán pensou em como reproduzir o efeito da Camada Limite assumindo escoamento sem atrito, ou seja, mantendo a velocidade 𝑈0. Para tal, levamos em consideração que a diminuição ocorrida na velocidade, pelo efeito de camada limite, ocasionaria uma diminuição na vazão mássica que seria transportada caso 𝑈0 se mantivesse constante. Dessa forma, mantemos 𝑈0 fixo e variamos a seção da saída, diminuindo seu valor (por meio do aumento da espessura 𝜹∗ do fundo). Sendo assim: ሶ𝑚𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐵𝜌 න 0 𝛿 𝑉𝑥𝑑𝑦 ሶ𝑚𝑎𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝐵𝜌 න 0 𝛿 𝑈0𝑑𝑦 − 𝐵𝜌 න 0 𝛿∗ 𝑈0𝑑𝑦 = 𝐵𝜌 න 0 𝛿 𝑈0𝑑𝑦 − 𝐵𝜌𝑈0𝛿∗ 𝐵𝜌 න 0 𝛿 𝑉𝑥𝑑𝑦 = 𝐵𝜌 න 0 𝛿 𝑈0𝑑𝑦 − 𝐵𝜌𝑈0𝛿∗ න 0 𝛿 𝑉𝑥𝑑𝑦 = න 0 𝛿 𝑈0𝑑𝑦 − 𝑈0𝛿∗ න 0 𝛿 𝑉𝑥 𝑈0 𝑑𝑦 = න 0 𝛿 𝑑𝑦 − 𝛿∗ 𝛿∗ = න 0 𝛿 𝑑𝑦 − න 0 𝛿 𝑉𝑥 𝑈0 𝑑𝑦 𝜹∗ = න 𝟎 𝜹 𝟏 − 𝑽𝒙 𝑼𝟎 𝒅𝒚 Espessura de deslocamento Fazendo: ሶ𝒎𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 = ሶ𝒎𝒂𝒅𝒂𝒑𝒕𝒂𝒅𝒐 7 8 De forma similar, a diferença entre a velocidade da entrada 𝑈0 e a velocidade de saída 𝑉𝑥 ocasiona uma variação na quantidade de movimento. Esta diferença poderia ser associada a uma elevação do fundo 𝜽 caso 𝑈0 se mantivesse constante, sendo assim podemos associar a força de arrasto 𝐹𝑑 ao valor 𝜃: 𝐹𝑑𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝜌𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥(𝑈0 − 𝑉𝑥) 𝑑𝑦 𝐹𝑑𝑎𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝐵𝜌 න 0 𝜃 𝑈0 2𝑑𝑦 = 𝐵𝜌𝑈0²𝜃 𝐵𝜌𝑈0²𝜃 = 𝜌𝐵 න 0 𝛿 𝑉𝑥(𝑈0 − 𝑉𝑥) 𝑑𝑦 𝜃 = 1 𝑈0² න 0 𝛿 𝑉𝑥(𝑈0 − 𝑉𝑥) 𝑑𝑦 𝜽 = න 𝟎 𝜹 𝑽𝒙 𝑼𝟎 (𝟏 − 𝑽𝒙 𝑼𝟎 ) 𝒅𝒚 Espessura de quantidade de movimento Fazendo: 𝑭𝒅𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑭𝒅𝒂𝒅𝒂𝒑𝒕𝒂𝒅𝒐 Diferença entre os tipos de espessuras 9 Em 1904 Prandtl, partindo das equações de Navier-Stokes, deduziu as expressões gerais para as equações da Camada Limite. Hipóteses adotadas: -Escoamento incompressível, permanente, bidimensional (x e y), escoamento laminar, forças de gravidade desprezíveis (só importantes em camadas onde o empuxo é dominante). 10 Vamos agora fazer uma análise sobre as ordens de grandeza, para tal vamos observar as dimensões abaixo. A equação da continuidade fornece: 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 = 𝟎 Da figura temos que 𝑥 é da ordem de 𝐿𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 e que 𝑦 é da ordem de 𝛿, e que 𝐿𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 ≫ 𝛿. Assim, a ordem de grandeza da equação da continuidade resulta em: 𝑳𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 𝑽𝒙 𝑳𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 + 𝑽𝒚 𝜹 = 𝟎 𝑽𝒙 𝑳𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 = − 𝑽𝒚 𝜹 𝜹 𝑳𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 = − 𝑽𝒚 𝑽𝒙 Então: 𝑽𝒚 𝑽𝒙 ≈ 𝟎 𝑽𝒙 ≫ 𝑽𝒚 O que leva a: Assim: 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 ≈ 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 ≈ 𝟎 11 Voltando as equações de NS: 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 0 indica que a pressão não varia ao longo de y, o que sugere variação apenas em x. Sendo assim, é possível concluir que a pressão em x na região fora da camada limite é aproximadamente igual a dentro da mesma. Assim: 𝝏𝑷 𝝏𝒚 = 𝟎 𝑷 = 𝑷(𝒙) Fora da camada Limite a equação de Bernoulli é valida, dessa maneira: 𝑷 + 𝝆𝑼𝟎 𝟐 𝟐 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. 𝝏𝑷 𝝏𝒙 = −𝝆𝑼𝟎 𝝏𝑼𝟎 𝝏𝒙 12 Ao fim, as equações da Camada Limite são dadas por: 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 = 𝟎 − 𝝏𝑷 𝝏𝒙 + 𝝁 𝝏²𝑽𝒚 𝝏𝒚² = 𝝆 𝑽𝒙 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝑽𝒚 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝑷 𝝏𝒙 = −𝝆𝑼𝟎 𝝏𝑼𝟎 𝝏𝒙 Estas equações devem ser resolvidas para um valor conhecido de 𝑈0(𝑥), juntamente com as seguintes condições de contorno: - Quando 𝒚 = 𝟎, 𝑽𝒙 = 𝑽𝒚 = 𝟎; - Quando 𝒚 = 𝜹 𝒙 , 𝑽𝒙 = 𝑼𝟎 𝒙 . Características do desenvolvimento da Camada Limite 13 Esta teoria é bastante importante para a área de aerodinâmica e hidrodinâmica, como o projeto mecânico de aviões, submarinos e modelagens em túneis de vento. Sua principal contribuição se deve aos cientistas Kármán (Teoria integral da Camada Limite) e Blasius (Expressão exata para a Camada Limite em Escoamento Laminar). A Camada Limite que se desenvolve em uma placa plana é caracterizada segundo o comprimento de placa 𝑥, percorrido horizontalmente. A velocidade de aproximação é admitida como um perfil de velocidades uniforme de magnitude 𝑈0, o qual entra em contato com a placa no bordo de ataque e tem seu perfil modificado até o bordo de fuga, na extremidade oposta. As forças de atrito com a superfície da placa ocasionam tensões de cisalhamento, as quais são responsáveis por frear o escoamento, fazendo com que a energia das camadas adjacentes à superfície seja drenada. Este processo de perda de energia é responsável por gerar instabilidades ao longo do percurso percorrido, razão esta pela qual geralmente se observam três regimes de escoamento sobre a placa plana: regime laminar, transição e turbulento. O número de Reynolds de placa é dado por: 𝑹𝒆 = 𝑼𝒐.𝒙 𝝂 A transição ocorre geralmente entre os números de Reynolds de 3. 105 e 107. Munson, Young e Okiishi (2002) recomendam adotar 𝑹𝒆𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊çã𝒐 ≈ 𝟓. 𝟏𝟎𝟓 14 De forma prática, as equações referentes à teoria da Camada Limite em placa plana, são dadas a seguir: a) Espessura da Camada (𝜹): 𝜹 𝒙 = 𝟓 𝑹𝒆𝒙 𝟎,𝟓 𝜹 𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟔 𝑹𝒆𝒙 𝟏/𝟕 b) Perfil de velocidades: Laminar Turbulento 𝑽𝒙 𝑼𝒐 = −𝟏, 𝟎𝟖𝟑𝟓 𝒚 𝜹 𝟐 + 𝟐, 𝟏𝟐𝟑𝟐 𝒚 𝜹 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟑 𝑽𝒙 𝑼𝒐 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟓𝟐 𝒍𝒏 𝒚 𝜹 + 𝟎, 𝟗𝟖𝟖𝟒 Laminar Turbulento 15 c) Espessura de deslocamento (𝜹∗): 𝜹∗ 𝒙 = 𝟏, 𝟕𝟐𝟏 𝑹𝒆𝒙 𝟎,𝟓 𝜹∗ = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 𝜹 Laminar Turbulento d) Espessura de quantidade de movimento (𝜽): 𝜽 𝒙 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟒 𝑹𝒆𝒙 𝟎,𝟓 𝜹∗ = 𝟐, 𝟓𝟗 𝜽 𝜹∗ = 𝟏, 𝟑 𝜽 𝜽 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟕𝟐𝟐 𝜹 Turbulento Laminar 16 e) Tensão na parede (𝝉𝒑): É calculada com base no coeficiente de atrito de parede 𝑪𝒇. 𝑪𝒇 = 𝝉𝒑 𝟎, 𝟓𝝆𝑼𝟎 𝟐 𝑭𝒅 = ඵ 𝝉𝒑 𝒅𝑨 𝑪𝒇𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟒 𝑹𝒆𝒙 𝟎,𝟓 𝑪𝒇𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟕 𝑹𝒆𝒙 𝟏/𝟕 f) Força de arraste (𝑭𝒅): 𝑭𝒅 = 𝟎, 𝟓𝑪𝒅𝝆𝑼𝟎 𝟐 Á𝒓𝒆𝒂𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒅𝒂 𝑪𝒅𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 = 𝟏, 𝟑𝟐𝟖 𝑹𝒆𝒙 𝟎,𝟓 𝑪𝒅𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟏 𝑹𝒆𝒙 𝟏/𝟕 17 Munson, Young e Okiishi (2002) recomendam que o 𝑪𝒅𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐 seja estimado segundo os intervalos a seguir. 𝟓. 𝟏𝟎𝟓 ≤ 𝑹𝒆𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟕 𝑪𝒅𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟒𝟓𝟓 𝒍𝒐𝒈𝑹𝒆𝒙 𝟐,𝟓𝟖 − 𝟏𝟕𝟎𝟎 𝑹𝒆𝒙 𝑹𝒆𝒙 > 𝟏𝟎𝟕 𝑪𝒅𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟒𝟓𝟓 𝒍𝒐𝒈𝑹𝒆𝒙 𝟐,𝟓𝟖 Em caso de placas planas dotadas de uma rugosidade específica 𝜺, o cálculo de 𝑪𝒅𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐 pode ser estimado pela seguinte expressão: 𝑪𝒅𝒕𝒖𝒓𝒃_𝑹𝒖𝒈𝒐𝒔𝒐 = 𝟏, 𝟖𝟗 − 𝟏, 𝟔𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝜺 𝑳 −𝟐,𝟓 18 As zonas de separação podem ocorrer na presença de gradientes adversos de pressão (onde 𝝏𝑷 𝝏𝒙 > 𝟎). O ponto de separação ocorre próximo ao local onde 𝜕²𝑉𝑥 𝜕𝑦² = 0. A separação é responsável por ocasionar a geração de vórtices que drenam energia cinética do escoamento e dão origem a um espectro de escalas turbulentas. Este fenômeno é responsável por retardar a velocidade dos corpos em movimento no escoamento. Camadas-limite Escoamento central quase não viscoso Bocal: área e pressão decrescentes Velocidade crescente Gradiente favorável Garganta: área e pressão constantes Velocidade constante Gradiente zero Difusor: área e pressão crescentes Velocidade decrescente Gradiente adverso (a camada-limite engrossa) Separação Linha de corrente divisória Refluxo Ponto de separação τₚ = 0 Ponto de inflexão do perfil Separação em uma asa de avião 22 Separação em uma elevação de fundo de um canal 23 Escoamento ideal (sem atrito) Escoamento Real 24 Problemas estruturais (Vibração induzida por vórtices) 25 A principal estratégia para retardar a separação do escoamento reside em aumentar a rugosidade da superfície, favorecendo a turbulência. A camada limite turbulenta representa melhor aderência à superfície, prevenindo a separação. 26 Exercício 1 Um hidrofólio de 0,37 m de comprimento e 1,83 m de largura é colocado em um escoamento de água de 12,2 m/s. (Dados: 𝝆 = 𝟏𝟎𝟐𝟓 𝒌𝒈/𝒎³; 𝝂 = 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐/𝒔) Calcule: a) A espessura da camada limite ao fim da placa; b) O arraste considerando toda placa com o mesmo regime de escoamento; c) O arraste pelo método direto; d) O arraste com uma análise completa das regiões envolvidas; e) O arraste para placa rugosa (𝜀 = 0,12 𝑚𝑚). 0,37 m 1,83 m 12,2 m/s Exercício 2 Um escoamento de ar, com perfil de velocidades uniforme, ataca uma placa plana (L=1m, ε=0) que dispõe de duas tomadas de pressão, conforme indica a figura. Os centros das tomadas de pressão encontram-se 3 mm acima da superfície da placa. Considere que a transição laminar/turbu-lento ocorre para Re=5×10⁵. Ar: U=10 m/s p=100 kPa ρ=1,2 kg/m³ ν=15,2×10⁻⁶ m²/s Manômetros 0 0,2 0,7 1,0 (m) x (m) a) Determine a força de arrasto por unidade de largura da placa. b) Estime os valores da pressão relativa indicados pelos manômetros. Camada Limite em Placas Planas Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental Email: enggfv.aulas@gmail.com