Apostila Mecflu2-2022 2

IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 1 - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE PESQUISAS HIDRÁULICAS DEPARTAMENTO DE HIDROMECÂNICA E HIDROLOGIA DISCIPLINA: Mecânica dos Fluidos II / IPH 01107 Prof.: Luiz Augusto Magalhães Endres A disciplina fornece conteúdos básicos para o estudo da Hidráulica, Hidrologia, Estruturas Hidráulicas, Saneamento e Gerenciamento de Recursos Hídricos. CONTEÚDO: Histórico e Propriedades Físicas dos Fluidos Mecânica: Estática Cinemática Dinâmica Análise Dimensional e Semelhança Escoamentos Reais: Equações Diferenciais do Movimento Noções sobre Camada Limite Noções sobre Turbulência OBJETIVOS: Fornecer aos alunos os conhecimentos básicos das propriedades dos fluidos, dos esforços mecânicos e das leis de conservação de massa, quantidade de movimento e energia. Apresentar noções e conceitos básicos do escoamento real. BIBLIOGRAFIA: Os principais textos utilizados no preparo destas notas de aula foram: SHAMES, Irving H.. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Edgard Blucher, 1973. 2 v. : il. FOX, Robert W.. McDONALD, Alan T.. Introdução à mecânica dos fluidos. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. xii, 504 p. : il. WHITE, Frank M.. Mecânica dos fluidos. 4.ed. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1999. xiii, 570 p. : il. + 1 cd-rom. Apostilas sobre os experimentos de laboratório, assim como listas de exercícios, complementam a apresentação dos conteúdos. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 2 - ÍNDICE 1 Introdução ............................................................................................................................................. 4 1.1 Interesse nas engenharias ............................................................................................................ 4 1.2 Histórico resumido ...................................................................................................................... 4 1.3 Sistema de unidades .................................................................................................................... 4 1.4 Conceito de fluido ....................................................................................................................... 5 1.5 Fluido como meio contínuo ........................................................................................................ 5 1.6 Propriedades físicas dos fluidos .................................................................................................. 6 1.6.1 Massa específica ..................................................................................................................... 6 1.6.2 Peso específico ....................................................................................................................... 6 1.6.3 Volume específico .................................................................................................................. 6 1.6.4 Densidade ............................................................................................................................... 7 1.6.5 Compressibilidade .................................................................................................................. 7 1.6.6 Pressão de vapor ..................................................................................................................... 8 1.6.7 Tensão superficial ................................................................................................................... 8 1.6.8 Viscosidade ........................................................................................................................... 10 1.7 Noções sobre Reologia ............................................................................................................. 11 1.8 Noções sobre relações de estado para gases.............................................................................. 12 1.9 Meios contínuos - esforços internos (tensões e pressões) ......................................................... 13 1.9.1 Definições ............................................................................................................................. 13 1.9.2 Tensões em um ponto no interior de fluidos ......................................................................... 14 1.9.3 Relação esforço X variação de pressão ................................................................................. 15 2 Estática dos fluidos ............................................................................................................................. 17 2.1 Equilíbrio hidrostático - equação fundamental ......................................................................... 17 2.2 Variação da pressão no interior de fluidos estáticos ................................................................. 17 2.2.1 Fluido compressível com variação de temperatura na vertical ............................................. 17 2.2.2 Fluido compressível isotérmico ............................................................................................ 18 2.2.3 Fluido incompressível ........................................................................................................... 18 2.2.4 Manometria ........................................................................................................................... 19 3 Cinemática dos fluidos ....................................................................................................................... 21 3.1 Representação gráfica do escoamento ...................................................................................... 21 3.2 Dimensões no escoamento ........................................................................................................ 21 3.3 Derivada material ...................................................................................................................... 22 3.4 Sistema e volume de controle ................................................................................................... 23 3.5 Vazão e velocidade média......................................................................................................... 23 3.6 Equação da continuidade .......................................................................................................... 24 3.7 Circulação - Vorticidade ........................................................................................................... 25 3.8 Potencial de velocidades ........................................................................................................... 26 3.9 Função corrente ......................................................................................................................... 27 3.10 Rede de fluxo ............................................................................................................................ 29 3.11 Escoamentos elementares ......................................................................................................... 30 3.11.1 Escoamento uniforme ....................................................................................................... 30 3.11.2 Escoamentos fonte e sumidouro ....................................................................................... 30 3.11.3 Escoamento vórtice simples ............................................................................................. 31 3.11.4 Escoamento par fluido ...................................................................................................... 32 3.12 Superposição de escoamentos ................................................................................................... 32 3.12.1 Escoamento em torno do cilindro fixo ............................................................................. 33 3.12.2 Escoamento em torno do cilindro giratório ...................................................................... 34 3.13 Métodos de cálculo do escoamento potencial ........................................................................... 34 3.13.1 Rede gráfica de escoamento ............................................................................................. 34 3.13.2 Analogia elétrica .............................................................................................................. 35 3.13.3 Análise numérica - método de diferenças finitas .............................................................. 35 4 Dinâmica dos fluidos .......................................................................................................................... 36 4.1 Propriedades das substâncias .................................................................................................... 37 4.2 Teorema do transporte de Reynolds .......................................................................................... 37 4.3 Conservação de massa: integral ................................................................................................ 38 4.3.1 Exemplo: escoamento permanente com perfis unidimensionais .......................................... 38 4.3.2 Exemplo: conservação de massa em formulação diferencial ................................................ 39 4.4 Conservação de quantidade de movimento linear: integral ....................................................... 39 4.4.1 Exemplo: visualização de grandezas .................................................................................... 40 IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 3 - 4.4.2 Exemplo: jato livre sobre anteparo curvo móvel .................................................................. 41 4.5 Conservação de energia aplicada .............................................................................................. 41 4.5.1 Exemplo: balanço de energia ................................................................................................ 43 4.6 Conservação de quantidade de movimento linear: diferencial .................................................. 44 4.6.1 Equação de Euler .................................................................................................................. 44 4.6.2 Equação de Navier-Stokes .................................................................................................... 45 4.6.3 Equação de Bernoulli ............................................................................................................ 46 5 Análise Dimensional e semelhança .................................................................................................... 52 5.1 Leis fundamentais da análise dimensional ................................................................................ 52 5.2 Teorema de Bridgman ............................................................................................................... 52 5.2.1 Exemplo: relação entre grandezas ........................................................................................ 52 5.3 Teorema de Buckingham .......................................................................................................... 53 5.3.1 Exemplo: números adimensionais na hidráulica ................................................................... 54 5.4 Noções sobre teoria de modelos reduzidos ............................................................................... 56 5.4.1 Exemplo: determinação de escala de velocidade .................................................................. 57 6 Escoamento Viscoso ........................................................................................................................... 58 6.1 Regimes do número de Reynolds .............................................................................................. 58 6.2 Escoamentos viscosos: Interno X Externo ................................................................................ 59 6.3 Escoamento na camada limite ................................................................................................... 59 6.3.1 Introdução ............................................................................................................................. 59 6.3.2 Espessuras características ..................................................................................................... 60 6.4 Camada limite em escoamentos externos ................................................................................. 60 6.4.1 Teoria de Prandtl (1905) ....................................................................................................... 60 6.4.2 Equações na camada limite ................................................................................................... 61 6.4.3 Escoamento sobre uma placa plana ...................................................................................... 61 6.5 Separação / Arrasto - Sustentação ............................................................................................. 67 6.5.1 Introdução ............................................................................................................................. 67 6.5.2 Coeficientes de arrasto e sustentação .................................................................................... 68 6.6 Correlações entre velocidades: cisalhamento turbulento .......................................................... 70 6.6.1 Médias temporais de Reynolds ............................................................................................. 71 6.6.2 Leis da velocidade ................................................................................................................ 72 6.7 Escoamento Interno - tubo de seção circular ............................................................................ 74 6.7.1 Introdução ............................................................................................................................. 74 6.7.2 Equações do movimento ....................................................................................................... 75 6.7.3 Solução para escoamento laminar......................................................................................... 76 6.7.4 Solução para escoamento turbulento .................................................................................... 77 6.7.5 Efeito das paredes rugosas .................................................................................................... 78 6.7.6 Diagrama de Moody ............................................................................................................. 79 IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 4 - 1 Introdução 1.1 Interesse nas engenharias Introdução ao estudo da Mecânica dos Fluidos e Recursos Hídricos ELÉTRICA: base para geração de energia; METALÚRGICA e MATERIAIS: escoamentos: água óleo metais fundentes bifásicos transporte: massa calor MINAS: geração, escoamentos, transporte e bombeamento de suspensões CIVIL, HÍDRICA e AMBIENTAL: geração, escoamentos, transporte, bombeamento e deposição de rejeitos análise de impactos. 1.2 Histórico resumido As disciplinas científicas tiveram seu início, em geral, com algumas realizações e descobertas que remontam ao início dos registros da história. Durante o século XIX e até meados do século XX, no entanto, sua sistematização e organização de ideias tiveram o maior impulso, inclusive com desenvolvimentos que perduram até nossos dias. Atualmente, estas disciplinas têm como base a busca de soluções mais racionais para os problemas do homem. A Mecânica dos Fluidos, especificamente, teve seu início, provavelmente, na pré-história da humanidade com a busca de respostas para os problemas que envolviam as necessidades de navegação e irrigação, de nossos ancestrais. Os Gregos e Romanos, até por volta de 400 A.C., resolveram seus problemas dentro daquelas necessidades iniciais e deixaram alguns registros de outros estudos pela simples busca da ciência enquanto Arquimedes (em torno de 200 A.C.) ficou "famoso" pela formulação de leis de flutuação. Até aqui, inclusive com muitas outras contribuições, o forte da pesquisa era o estudo da influência de líquidos sobre os objetos que nele se moviam ou que por eles eram movidos. Entre muitos outros nomes que mereceriam ser citados, Leonardo da Vinci (séculos XV e XVI) é tido como responsável por estudos organizados de escoamentos em torno de objetos e por considerações sobre o voo de pássaros, ou seja, movimento no fluido ar. Isaac Newton, nos séculos XVII e XVIII, apresentou estudos sobre o movimento de fluidos considerando seu efeito viscoso. A partir do século XVIII, duas escolas de pesquisadores eram notáveis: a dos matemáticos, Hidrodinâmica, que não conseguiam equacionar escoamentos mais complexos, em que a viscosidade e/ou turbulência não pudessem ser desconsideradas e a dos empíricos, Hidráulica, que pecavam por não ser possível montar "tabelas" tão genéricas quanto se desejava. A partir do início do século XX, devido a um trabalho de Ludwig Prandtl, as escolas até então antagônicas foram reunidas em uma só, a Hidromecânica ou Mecânica dos Fluidos de hoje. Com este trabalho ficou estabelecido que tanto o equacionamento matemático puro, baseado nas leis da física clássica, como a experimentação racional seriam necessários ao menos enquanto não fosse descoberta a ordem das coisas nos escoamentos de fluidos que ocorrem na natureza, se é que esta ordem existe. Os desenvolvimentos atuais são motivados, principalmente, por novas necessidades da indústria e emprego de novas substâncias com comportamento de característica fluida. Alguns exemplos são voos além da barreira do som, dispersão de lixo, fluxo sanguíneo, gases em foguetes, simulação atmosférica, movimentação dos oceanos e a mecânica dos fluidos envolvida em áreas tais como medicina, meteorologia, astronáutica, oceanografia e engenharia. 1.3 Sistema de unidades Os engenheiros necessitam números precisos para quantificar grandezas claramente em seus projetos  envolvimento de riscos; IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 5 - O sistema inglês possui muitos fatores "quebrados" para conversão entre suas grandezas; O sistema internacional de medidas é exigido por uma série de associações internacionais de técnicos. Sistema Internacional (mais usuais) Grandezas fundamentais massa (kg) comprimento (m) tempo (s) temperatura (K) ou (ºC) corrente elétrica (A) Grandezas derivadas força (N) - pode ser adotada como fundamental pressão (Pa) energia (J) potência (W) 1.4 Conceito de fluido O fluido é um dos estados físicos da matéria Sob o ponto de vista da reação da matéria a um esforço cisalhante: A matéria no estado sólido, resiste ao esforço cisalhante, com deformação elástica e A matéria no estado fluido, não resiste ao esforço cisalhante (), por menor que seja, resultando deformação () contínua (crescente em instantes consecutivos 1, 2, ...) e em caráter permanente  movimento de fluido  escoamento.    2 1 elemento de fluido Figura 1: Deformação de um elemento de fluido = escoamento Se a aplicação de um esforço cisalhante resulta em movimento, então o fluido em repouso deve estar submetido a um estado de esforços cisalhantes nulo  estado hidrostático. Entre os fluidos os gases possuem forças coesivas negligenciáveis e expandem-se livremente até o confinamento, enquanto os líquidos possuem forças coesivas expressivas e retêm um volume, formando superfície quando submetidos a um campo gravitacional, sem confinamento superior. A maioria dos problemas de engenharia trata com: líquidos comuns: água, óleos, mercúrio, gasolina, álcool gases comuns: vapor de água, hélio, hidrogênio, em faixas normais de temperatura e pressão. Porém, existem substâncias que se deformam elasticamente e continuamente (asfalto, chumbo, vidro, parafina, etc) cujos comportamentos são estudados na Reologia. Além disso, podem ocorrer problemas além das faixas críticas de temperaturas e pressões, por exemplo: Tcrít. (H2O) = 647 K; pcrít. (H2O) = 219 atm. 1.5 Fluido como meio contínuo Por tratarem-se de agregados de partículas em constante movimento e colisão, os fluidos poderiam ser analisados pela Teoria Cinética dos Gases ou pela Mecânica Estatística (estudo de cada pequeno grupo de partículas). IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 6 - No entanto, na Engenharia estamos interessados, principalmente, em manifestações médias de grandes grupos de partículas. O tamanho destes grandes grupos deve ser tal que, em termos de ordem de grandeza [unidade de volume analisado] > [espaçamento entre partículas]3 Nestas condições, o número de partículas contidas em um volume unitário permanece, aproximadamente, constante, apesar da constante troca natural de posições entre partículas. A distribuição de matéria nesta unidade de volume é, então, tomada como contínua e não mais serão consideradas as "falhas" ou "faltas" de matéria em determinados pontos do volume. A matéria, assim convenientemente distribuída, obedece a hipótese do contínuo que tem como exigência formal [menor comprimento característico do volume analisado] > [livre caminho médio das partículas] sendo este livre caminho a distância média percorrida entre colisões pelas partículas. 1.6 Propriedades físicas dos fluidos O primeiro grupo inclui as propriedades cujo valor é função das quantidades de matéria presentes em um volume unitário: massa, peso e volume específicos. 1.6.1 Massa específica  = quantidade de matéria contida em uma unidade de volume   3 3 m kg SI) ( L M     água (15 ºC, 1 atm) = 999,1 kg/m3 1.6.2 Peso específico  = força da gravidade agindo sobre a matéria contida em uma unidade de volume   2 2 3 3 s. m kg m N SI) ( L F      água (15 ºC, 1 atm) = 9798 N/m3 Relação  X   2ª lei de Newton   = .g 1.6.3 Volume específico v = volume ocupado por uma unidade de massa   kg m (SI) M L v 3 3    v água (15 ºC, 1 atm) = 1,001x10-3 m3/ kg VOLUME UNITÁRIO (vu): adotando a massa específica e o significado de sua determinação v m lim vu v   a partir de valores de massa (m) e volume (v), obtém-se o seguinte resultado típico, em forma de gráfico: IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 7 - v  vu  10-9 mm3 Figura 2: Incerteza na determinação da massa específica / volume unitário O interesse dos problemas de engenharia está no trecho horizontal da curva, após o valor de volume unitário que, no caso de líquidos e gases em temperatura e pressão normal é de, aproximadamente, 10-9 mm3, que corresponde a um número de moléculas em torno de 3x107. VARIAÇÃO COM A TEMPERATURA (t) / PRESSÃO (p): t () + p (cte) ou p () + t (cte)  movimento e distância entre partículas ()  número de partículas no vu ()   () 1.6.4 Densidade d = relação entre massa ou peso específico de uma substância e a massa ou peso específico de um padrão (normalmente água sob 4 ºC e 1 atm: PADRÃO = 1000 kg/m3)   d   OBS.: O termo "density", em inglês, é utilizado para representar a grandeza aqui definida como a massa específica 1.6.5 Compressibilidade Como os fluidos podem ser comprimidos sob ação de uma pressão e... ...o volume comprimido retorna à posição original após cessar a pressão, os fluidos são meios elásticos que, como os sólidos, são caracterizados por um módulo E, sendo definido pela declividade inicial da curva resultante entre pressão X relação entre volumes (final/inicial): F Vi Vf/Vi p=F/A 1 A Figura 3: Determinação do módulo de elasticidade A aplicação da força (F) sobre uma área de superfície (A), que resulta em uma pressão (p), em contato com o fluido que ocupa, inicialmente o volume Vi, reduz este volume para um volume final Vf. Define-se o módulo de elasticidade (E) como sendo: V dV dp E 1 V V i f          VARIAÇÃO COM A TEMPERATURA (t) / PRESSÃO (p): t () + p (cte) ou p () + t (cte)  movimento e distância entre partículas () IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 8 -  dificuldade de compressão ()  E ()   Pa SI) ( L F E 2    Eágua (15 ºC, 1 atm) = 2,15x106 kPa 1.6.6 Pressão de vapor A vibração natural das partículas nos líquidos... ...faz com que estas se percam para a massa gasosa que as circunda. Esta pressão exercida é denominada pressão de vapor (pv) VARIAÇÃO COM A TEMPERATURA (t) / PRESSÃO (p): t () + p (cte) ou p () + t (cte)  movimento e distância entre partículas ()  fuga de partículas para a camada gasosa ()  pv ()   Pa SI) ( L F p 2 v    pv (água) (15 ºC, 1 atm) = 1,7 kPa pv (água) (100 ºC, 1 atm) = 101,33 kPa  1 atm 1.6.7 Tensão superficial Propriedade característica dos líquidos, associada à formação de superfícies... ...quando em contato com sólidos ou com outros fluidos. Neste contato são desenvolvidas forças com origem em coesão e adesão inter-partículas. Uma tentativa para descrição deste fenômeno de natureza complexa é a seguinte: Na interface fluido / líquido: as partículas da superfície são atraídas para o fundo e lateralmente, sem uma contrapartida da camada superior (gasosa), com menor número de partículas; No interior da massa de líquido: todos os esforços entre partículas são equilibrados; A partir deste cenário ocorre aglutinação entre as partículas da interface... ...com consequente diminuição da área da superfície... ...resultando no surgimento de uma capacidade de suporte nesta interface. O coeficiente de tensão superficial () representa a relação:  = (força que atua no plano de uma superfície) / (comprimento da linha de atuação dessa força) VARIAÇÃO COM A TEMPERATURA (t) / PRESSÃO (p): Sendo a tensão superficial função de coesão inter-partículas e do contato existente com o fluido, t () + p (cte) ou p () + t (cte)  movimento e distância entre partículas ()  fuga de partículas para a camada gasosa ()  equilíbrio entre esforços sobre a interface ()   ()   m N (SI) L F      (água / ar) (20 ºC, 1 atm) = 0,073 N/m  (mercúrio / ar) (20 ºC, 1 atm) = 0,48 N/m Sobre uma interface curva, existe diferença de pressão através da superfície... ...com pressão maior (pi) no lado côncavo em relação a (pe) no lado convexo: IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 9 -  dx  dx R2 R2 pe pi    dy  dy R1 R1 pe pi       dx dy Figura 4: Diferença de pressão na interface curva - expressão de Laplace 0 p p 0 p e i      , por balanço de esforços sobre a superfície Forças sobre a superfície: (pi-pe).dx.dy 2..dy.sen  + 2..dx.sen  No equilíbrio de esforços:  F  0  (pi-pe).dx.dy = 2..dy.sen  + 2..dx.sen  Como: 2 1 .2 R dy .2 R ;sen dx sen     resulta             2 1 e i R 1 R 1 p p expressão de Laplace para a diferença de pressão através de superfícies curvas. O fenômeno está presente em elevação capilar, formação de bolhas e gotas, interrupção de jatos e interpretação de resultados em modelos reduzidos: Em gotas: R1 = R2 = R com 1 superfície de separação  (pi - pe) = (2.)/R Em bolhas: R1 = R2 = R com 2 superfícies de separação  (pi - pe) = (4.)/R Em jatos: R1 = R; R2 =  com 1 superfície de separação  (pi - pe) = /R No contato {interface líquida} X {superfície sólida}  ângulo de contato, de natureza complexa e determinação experimental a partir de substâncias puras IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 10 - ar mercúrio vidro 130º   > 90º  o líquido não "molha" o vidro atração Hg/Hg > Hg/vidro  ar água vidro 0º  < 90º  o líquido "molha" o vidro atração H2O/H2O < H2O/vidro Figura 5: Ângulo de contato na interface curva - exemplos 1.6.8 Viscosidade Quando um fluido é cisalhado entre duas placas... movimenta-se continuamente... enquanto persistir a tensão: placa móvel placa fixa dy dV d    d dV.dt dy Figura 6: Deformação do elemento de fluido entre placas - lei de Newton da viscosidade Assim, o ângulo de deformação (d) cresce continuamente com o tempo (dt); Segundo Newton (1687), para alguns fluidos comuns como água, óleo e ar:    = (esforço cisalhante) é diretamente proporcional a    dt d = taxa de deformação No triângulo da figura, a diferença de velocidade entre as placas (dV) e a distância entre as placas (dy) podem ser relacionadas:     d dy dV.dt tan d , se os valores de d forem reduzidos, então dy dV dt d   = gradiente de velocidade. Finalmente, através da lei de Newton da viscosidade, dy    dV sendo  a constante de proporcionalidade, denominada coeficiente de viscosidade absoluto ou dinâmico. O fenômeno ocorre entre camadas contíguas no escoamento laminar... ...manifestando-se na forma de tensões de cisalhamento sendo, porém,... ...função de coesão e transferência de quantidade de movimento entre "lâminas" de fluido. OBS.: Nos sólidos este efeito resulta no atrito entre superfícies, portanto, com natureza diferente do ocorrido entre fluidos. VARIAÇÃO COM A TEMPERATURA (t) / PRESSÃO (p): Sendo a viscosidade função de coesão inter-partículas (preponderante nos líquidos) e da transferência de quantidade de movimento em choques (preponderante nos gases), IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 11 - t () + p (cte) ou p () + t (cte)  movimento e distância entre partículas ()  coesão inter-partículas (principal nos líquidos) ()  líquidos ()  transferência de quantidade de movimento - choques ()  gases ()     2 2 m Ns SI) ( L FT dy dV            (água) (15 ºC, 1 atm) = 1,145x10-3 N.s/m2 A relação     define o coeficiente de viscosidade cinemático       s m (SI) T L 2 2         (água) (15 ºC, 1 atm) = 1,146x10-6 m2/s LUBRIFICAÇÃO Aplicações em que os termos infinitesimais da lei de Newton da viscosidade são substituídos... ...por valores finitos (em termos de diferenças)... ...assumindo-se, portanto, um perfil linear de velocidades entre as placas. V2 V1 y y2 y1 2,1 2,1 y V      Figura 7: Representação esquemática da movimentação entre placas lubrificadas 1.7 Noções sobre Reologia Existem materiais cuja relação {tensão} X {deformação} não é linear,... ...sendo denominados não-Newtonianos: o tipo de relação que apresentam é estudada na Reologia; Reologia é o estudo da deformação e escoamento da matéria (Bingham); Existem materiais: (a) com correspondência bem definida entre tensão e deformação; (b) cuja permanência de tensões pode "quebrar" a resistência, transformando-a quando submetidos ao cisalhamento; com tensões menores podem comportar- se como no caso anterior; Aguardando-se um longo período tudo pode escoar (Reiner)... ..."the mountains flow before the Lord" (Deborah); A lenta deformação sob carga constante é denominada "creep"; A viscosidade aparente pode reduzir (+ comum) / elevar (+ raro) com o aumento da tensão em bifásicos, ...tais como suspensões (partículas sólidas) ou emulsões (partículas líquidas) em meio líquido. Os comportamentos reológicos são, normalmente, os apresentados na Figura 8... ...onde c representa um valor crítico de tensão a ser atingido antes do escoamento... ...k é um coeficiente de viscosidade aparente e n um expoente >, < ou = a 1. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 12 - pseudo plástico: 1 ;n dy dV k n          (água + cal) dV/dy  dilatante: 1 ;n dy dV k n          (água + areia) plástico real: 1 ;n dy dV k n c            plástico Bingham:           dy k dV c (tinta óleo, pasta de dente) fluido Newtoniano c c Figura 8: Diagramas reológicos O comportamento dependente do tempo (apresentação de "histerese") é caracterizado... viscosidade aparente ()  material tixotrópico viscosidade aparente ()  material reopético Modelos reológicos: Os materiais reais são representados por associações em série e/ou paralelo dos modelos reológicos apresentados na Figura 9. Hook Newton Saint-Venant Figura 9: Representação esquemática dos modelos reológicos 1.8 Noções sobre relações de estado para gases As propriedades físicas dos fluidos (líquidos e gases)... ...são relacionadas entre si, por comprovação teórica e experimental. Estas relações entre as propriedades são denominadas relações de estado... ...e, sob um ponto de vista rigoroso, são diferentes para cada substância. Restringindo o estudo a substâncias puras - monofásicas,... ...usualmente ar (entre 160 K e 2200 K) gases em geral, longe dos pontos críticos,... admite-se o comportamento de acordo com a lei dos gases perfeitos que relaciona pressão absoluta (p), massa específica (), constante do gás (R = cp - cv) e temperatura absoluta (T): .R.T p   , sendo M R   , onde  = constante universal dos gases e M = peso molecular do gás. A relação entre os valores da constante universal dos gases, em unidades do sistema internacional,  = 8310 (N.m)/(kg.K) e da massa molecular do ar M = 28,97 resulta, por exemplo, na constante do gás ar Rar = 287 (N.m)/(kg.K), a ser empregado na resolução de problemas. Como exemplo, a determinação da massa específica do vapor de água a uma pressão absoluta p=689500 Pa e temperatura relativa t=204 ºC, conduz a: T=273+204=477 K Mágua=2.MH + MO=2.1 + 16=18 IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 13 - Rágua = 8310/18 = 462 (N.m)/(kg.K) 3 m ,313 kg 462 x 477 689500 .T R p     ...que comparado ao valor fornecido pela ASME (3,25 kg/m3) difere em menos de 4%. 1.9 Meios contínuos - esforços internos (tensões e pressões) 1.9.1 Definições Grandezas: para a caracterização de grandezas (ou quantidades) usuais em engenharia... ...podem ser necessários diferentes números de especificações:  1 especificação: grandeza escalar;  3 especificações: grandeza vetorial; e  9 especificações: grandeza tensorial. Campos: tratam-se de distribuições contínuas de grandezas... ...descritas por funções do espaço e do tempo. exemplos: campo escalar: distribuição de temperaturas de um corpo T(x,y,z,t) campo vetorial: velocidades )t,z ,y ( ,x w )t,z ,y ( ,x v )t,z ,y ( ,x u ou )t,z ,y V( ,x  com wk vj ui V        campo tensorial: estado de tensões em um ponto de um corpo T Forças: de campo: forças externas que agem sobre o material, sem contato físico de contato: forças exercidas sobre o contorno do material, através do contato direto com as vizinhanças Visualizando um ponto ampliado de um corpo (fluido ou sólido)... ...o estado de tensões reinante pode ser descrito (coordenadas cartesianas)... ...pelos vetores de tensões z y x t, t, t    ,... ...correspondentes aos planos perpendiculares aos eixos x, y, z, respectivamente: xx xy xz zz zx zy yy yx yz x y z nt  Figura 10: Tensões em um ponto em meios contínuos Cada vetor de tensão é descrito por 3 componentes escalares:  k j i t xz xy xx x             k j i t yz yy yx y             k j i t zz zy zx z            e à matriz formada pelas componentes dos vetores de tensão denominamos... ...tensor de tensões... ...em um ponto de um corpo T: T                     zz zy zx yz yy yx xz xy xx IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 14 - A operação do {tensor de tensões} pelo {vetor unitário normal ao plano genérico n}... ...fornece o vetor de tensões   nt  , correspondente a este plano genérico n. 1.9.2 Tensões em um ponto no interior de fluidos 1.9.2.1 Fluido estático ou em movimento uniforme forças de campo: atração gravitacional forças de contato: fluido estático: ij = 0 (não resiste ao cisalhamento) movimento uniforme:     0 y V ij = 0 Assim, em ambos os casos não há tensão de cisalhamento. Para um elemento simples (Figura 11): xx zz yy x y z nn   dx dy dz 2 dx.dy.dz  ds Figura 11: Elemento simplificado de fluido força de campo: 2  dx.dy.dz forças de contato: somente as normais às faces, pois não há cisalhamento no equilíbrio:  F  0  , pois não há aceleração nas direções y e x:  Fy  0 e Fx  0 -yy.dx.dz + nn.dx.ds.cos = 0 cos = dz/ds então yy = nn e, analogamente xx = nn na direção z:  Fz  0 -zz.dx.dy + nn.dx.ds.sen - 2  dx.dy.dz = 0 sen = dy/ds   0 dz lim ponto elemento   então zz = nn Do resultado obtido, xx = yy = zz = nn e ij = 0 conclui-se que... ...para o fluido estático ou em movimento uniforme... ...a tensão em um ponto é caracterizada por apenas 1 grandeza escalar... ...e adota-se xx = yy = zz = nn = –p = pressão hidrostática. Resulta para o tensor de tensões T             p 0 0 0 p 0 0 0 p IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 15 - 1.9.2.2 Fluido com aceleração e viscosidade (por hipótese) nula Hipótese válida para casos de efeitos viscosos desconsideráveis. forças de campo: atração gravitacional forças de contato: ij = 0, pois hipótese = 0 Assim, não há tensão de cisalhamento. Com base na Figura 11, no equilíbrio:     massa a. F   e nas direções x e y resultará xx = nn e yy = nn na direção z:     z z massa a. F -zz.dx.dy + nn.dx.ds.sen - 2  dx.dy.dz = az 2  dx.dy.dz sen = dy/ds   0 dz lim ponto elemento   então zz = nn Do resultado obtido, xx = yy = zz = nn e ij = 0 conclui-se, da mesma forma que no caso do item 1.9.2.1 que... ...para o fluido com aceleração e hipótese de viscosidade nula... ...a tensão em um ponto é caracterizada por apenas 1 grandeza escalar... ...e adota-se xx = yy = zz = nn = –p = pressão hidrostática. Resulta para o tensor de tensões T             p 0 0 0 p 0 0 0 p 1.9.2.3 Fluido viscoso com aceleração Pode ser demonstrado que... ...a soma dos termos da diagonal principal do tensor de tensões é invariante com o sistema de eixos adotado. Para os sistemas 1, 2, 3 ou 1', 2', 3', etc. temos que 11 + 22 + 33 = 1'1' + 2'2' + 3'3' = ... = constante... ...e define-se   mecânica tt ss rr p 3 1        OBS.: (a) a pressão mecânica é a responsável por processos de compressão / distensão; (b) no repouso pmecânica = p; e (c) a pressão mecânica é a que surge na lei dos gases ideais R.T v.p  1.9.3 Relação esforço X variação de pressão Para o elemento de fluido estático, em movimento uniforme ou com hipótese de viscosidade nula... ...considerando, apenas, os esforços de contato: Figura 12: Elemento de fluido - esforço de contato X pressão Sendo p a pressão no ponto mais próximo à origem,... ...analisando a resultante dos esforços nas faces (1) e (2), na direção y: IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 16 - resulta y dy p y dy p 2 dz z p 2 dx x p p 2 dz z p 2 dx x p p                                 e a variação elementar da força, em y, será: y dx.dy.dz p dFy     De maneira análoga, em x, teremos: x dx.dy.dz p dFx     e em z: z dx.dy.dz p dFz     A variação total por volume será: p z k p y j p x i p v d F d contato                        com dx.dy.dz v d  ou seja,... {força por unidade de volume} para o elemento de fluido = {gradiente (-)do campo de pressões} IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 17 - 2 Estática dos fluidos Ao tratarmos com fluidos estáticos as partículas de fluido: não possuem qualquer movimento, ou possuem, todas, idêntica velocidade ...em relação a um referencial e sabemos, também, que (a) não há tensões de cisalhamento e (b) a distribuição de pressões é dada por um campo escalar. 2.1 Equilíbrio hidrostático - equação fundamental A partir do exposto no item 1.9.3 e combinando à ação do esforço gravitacional sobre o elemento de fluido da Figura 12 k v d F d campo     resulta, no equilíbrio dos esforços, 0 p k       ou seja           z p 0 y p 0 x p caracterizando a inexistência de variação de pressão no plano horizontal. Obtém-se, assim, a expressão da equação fundamental da hidrostática   dz dp 2.2 Variação da pressão no interior de fluidos estáticos Para a obtenção da distribuição de pressões p... ...entre limites estabelecidos 1 e 2... deve-se resolver a equação diferencial   dz dp na forma      2 1 2 1 z z p p dz dp ou seja, queremos obter a variação da pressão no interior do fluido estático, entre pontos com cotas diferentes, a partir do peso específico do fluido e da diferença entre estas cotas. 2.2.1 Fluido compressível com variação de temperatura na vertical Hipóteses:  = função(z) T = função(z)  T2 = T1 + K.z (sendo K = taxa de variação linear de temperatura com a elevação, normalmente aceita em atmosfera politrópica - Figura 13) z T z2 T2 z1 T1 Figura 13: Variação linear temperatura X elevação validade da hipótese dos gases ideais R.T v.p  aceleração da gravidade constante A partir de T2 = T1 + K.(z2 - z1)  dT = K.dz ou dz = dT/K e na troca de limites para z = z1  T = T1 para z = z2  T = T2 IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 18 - e a partir de .T R g.p R.T g.p R.T p R.T v.p           Substituindo na resolução da equação fundamental da hidrostática          2 1 2 1 2 1 2 1 T T p p T T p p T dT .K R g p dp K dT .T R g.p dp que resulta              2 1 e 1 2 e T T .K log R g p p log ou              .K R g 1 2 1 1 1 2 z K z T T p p 2.2.2 Fluido compressível isotérmico Hipóteses:  = função(z) T = constante validade da hipótese dos gases ideais (isotérmico)  v.p constante aceleração da gravidade constante A partir de  v.p constante     ... p v pv 1 1 constante       ... p p 1 1 constante chega-se a 1 1 p p    Substituindo na resolução da equação fundamental da hidrostática            2 1 2 1 2 1 2 1 z z 1 1 p p z z 1 1 p p dz p p dp p dz p dp que resulta  1 2 1 1 1 2 e z z p p p log           ou         2 1 1 1 z z p 1 2 p e p 2.2.3 Fluido incompressível Hipóteses:  = constante (caso dos líquidos, em geral) T = constante aceleração da gravidade constante Considerando a posição 1 sobre a superfície livre do líquido estático,... ...submetida à pressão atmosférica (patm) e... a posição 2 no interior do líquido, a uma profundidade h (Figura 14) Figura 14: Variação de pressão em fluido incompressível e substituindo na resolução da equação fundamental da hidrostática IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 19 -     2 1 2 1 z z p p dz dp resulta p2 - p1 =  (z1 - z2); denominada fórmula de Stevin. ou p - patm = .h; sendo a diferença (p - patm) = pressão efetiva e h = profundidade do ponto. Dessas relações é possível concluir que... ...a pressão em todos os pontos de profundidade h... ...de um fluido com peso específico constante , ... ...permanece constante em toda a massa de fluido. 2.2.4 Manometria Conjunto de técnicas para medição de pressões. As escalas adotadas diferem pelo referencial adotado: (a) escala absoluta  referencial (fixo) = zero absoluto de pressão; (b) escala relativa  referencial (móvel) = pressão atmosférica local. A Figura 15 representa, esquematicamente as escalas usuais,... ...sendo pabs = pressão em escala absoluta e... prel = pressão em escala relativa.: A B pabs(A) pabs(B) prel(A) prel(B) patm(local) zero relativo (móvel) zero absoluto (fixo) Figura 15: Representação gráfica das escalas manométricas Desta forma, os valores admissíveis serão pabs > 0 prel > 0  pressão positiva prel = 0  pressão atmosférica prel < 0  pressão negativa (vácuo parcial). OBS.: Na utilização do tubo em "U" deve-se trabalhar em trechos de colunas de fluidos... ...quando da aplicação da fórmula de Stevin, com diferentes ,... ...de maneira a respeitar a hipótese de continuidade assumida,... ...que não permite variações bruscas na distribuição desta propriedade. Exemplo: Para o manômetro tubo em "U" da Figura 16, determinar a pressão no centro do balão (ponto F). pB - pA = x h1  pB = pA + x h1 pC = pB  pC = pA + x h1 pC - pD = x h2  pD = pC - x h2  pD = pA + x h1 - x h2  pD = pA + x (h1 - h2) pD - pE = y h3  pE = pD - y h3  pE = pA + x (h1 - h2) - y h3 pF = pE  pF = pA + x (h1 - h2) - y h3 sendo pA = patm  pF = patm + x (h1 - h2) - y h3, com pF em escala absoluta... ...e pF = x (h1 - h2) - y h3, com pF em escala relativa. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 20 - A B C D E F h1 h2 h3 x y patm Figura 16: Manômetro tubo em "U" - exemplo De maneira geral, a medição de pressão é feita indiretamente... ...com a avaliação dos efeitos mecânicos das pressões sobre materiais. Trabalha-se com as relações entre força  e  deslocamento: BALANÇO DE FORÇAS Utilizado para calibração de equipamentos corriqueiros de medição. ALTURA DE COLUNA DE LÍQUIDO Fórmula de Stevin: tubos em "U"  prel barômetro Hg  pabs MEDIÇÃO DIRETA DE DESLOCAMENTOS manômetro Bourdon  prel barômetro aneróide  pabs MEDIÇÃO INDIRETA DE DESLOCAMENTOS Reação imediata a mudanças de pressão medidores resistivos, capacitivos, indutivos, piezo-elétricos FORÇA X DESLOCAMENTO Figura 17: Relações força X deslocamento utilizadas em manometria IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 21 - 3 Cinemática dos fluidos Formulações matemáticas para a... ...descrição do movimento de partículas de fluido. Normalmente, para os corpos rígidos (meios indeformáveis)... ...descreve-se o movimento de uma partícula n, em função do tempo,... ...pois suas posições relativas não se alteram: abordagem Lagrangeana. Por exemplo, a velocidade da partícula n: un = f(t) vn = g(t) wn = h(t) sendo w k v j u i V n n n n        Por outro lado, para os fluidos (meios deformáveis)... ...descreve-se o movimento das partículas... ...em uma posição (x, y, z), em função do tempo: abordagem Euleriana. Por exemplo, a velocidade em uma posição: u = f(x, y, z, t) v = g(x, y, z, t) w = h(x, y, z, t) sendo wk vj ui V        No caso de as propriedades do escoamento... ...permanecerem constantes com o tempo (t)... ...o escoamento é dito permanente e... ...não há variação das propriedades do escoamento com relação a esta variável. 3.1 Representação gráfica do escoamento É a apresentação na forma de "desenho" do escoamento, representando a velocidade V  , aceleração a , etc. As representações principalmente utilizadas aqui serão:  linha de trajetória (de 1 partícula) = caminho percorrido pela partícula em um pequeno intervalo de tempo ou direção da velocidade, no intervalo de tempo;  linha de corrente (de um conjunto de partículas) = caminho "médio" percorrido pelo conjunto de partículas em escoamento. Características: a linha de corrente é tangente aos vetores velocidade e... ... as partículas movem-se ao longo das linhas de corrente sem as interceptar. No escoamento permanente linhas de trajetória  linhas de corrente e no escoamento não - permanente, as linhas de corrente "valem" apenas no instante.  tubo de corrente = passagem entre as linhas de corrente traçadas apoiadas sobre uma linha fechada (esta passagem é impermeável ao escoamento pois é formada por linhas de corrente, sempre tangentes aos vetores velocidade). 3.2 Dimensões no escoamento No que diz respeito à representação espacial os escoamentos, a rigor, são tridimensionais. No entanto, para o escoamento entre duas fronteiras conforme representado na Figura 18,... ...ao longo da direção y, em cada uma das seções (1 e 2), não há variação na forma do perfil,... ...ou seja, entre as seções )z,x V  f (  ,... ...caracterizando o escoamento bidimensional (por hipótese). IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 22 - Figura 18: Escoamento bidimensional - representação esquemática Simplificando ainda mais o perfil de velocidades,... ...desconsiderando a curvatura do perfil de velocidades junto às fronteiras sólidas,... ...formula-se a hipótese do perfil unidimensional,... ...associado à definição de velocidade média, apresentada a seguir (item 3.5). Figura 19: Escoamento unidimensional - representação esquemática 3.3 Derivada material Avaliação da variação temporal de propriedades do escoamento, de qualquer natureza. Para uma propriedade  do escoamento, função da posição e do tempo (x, y, z, t), a derivada total é dt dz z dt dy y dt dx x t dt d              sendo que w dt dz v dt dy u dt dx    são as componentes da velocidade do escoamento wk vj ui V        então a variação temporal de  resulta w z v y u x t Dt D              = derivada material de . IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 23 - O operador derivada material é w z v y u x t Dt D             e para um sistema de coordenadas genérico         V t Dt D Adotando o termo "aceleração" como indicativo da variação temporal de uma grandeza, denomina-se t  = "aceleração" local e      V = "aceleração" convectiva (ou de transporte). A aceleração do escoamento, propriamente dita, é obtida por:   z w V y v V x u V t V V V t V Dt V D                           ou seja z w w y v w x u w t w a z w v y v v x u v t v a z w u y v u x u u t u a z y x                                     sendo a k a j a i a z y x        3.4 Sistema e volume de controle Sistema: porção fixa de matéria Volume de controle (VC): região fixa do espaço Superfície de controle (SC): contorno do volume de controle 3.5 Vazão e velocidade média Examinando um trecho de conduto em escoamento (Figura 20): permanente, unidimensional e de fluido compressível. I II III ds1 ds2 1 2 sistema em t sistema em (t + dt) Figura 20: Escoamento em conduto - vazão e velocidade média Seja o VC = {tubo de corrente} + {seção 1} + {seção 2} = {volume I} + {volume II} então: {sistema em t} = {sistema em (t + dt)} ou seja, as massas (m): (mI + mII)t = (mII + mIII)t+dt como o escoamento é permanente: (mII)t = (mII)t+dt então: (mI)t = (mIII)t+dt ou, ainda: 1.{volume I} = 2.{volume III} Sendo A1 e A2 as áreas das seções: 1.A1.ds1 = 2. A2.ds2 que dividido pelo tempo dt: 1.A1.(ds1)/(dt) = 2. A2. (ds2)/(dt) IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 24 - e como (ds)/(dt) = V: 1.A1.V1 = 2. A2. V2 onde V1 e V2 representam as velocidades unidimensionais nas duas seções transversais e... ...o produto .A.V = m = vazão em massa. A vazão em massa m no escoamento permanente,... ...através de um tubo de corrente... ...permanece constante em todas as seções transversais. No escoamento incompressível teremos 1 = 2 e A1.V1 = A2. V2 e... ...o produto A.V = Q = vazão volumétrica Para perfis de velocidade não unidimensionais vale Q = A. V ... ...sendo   A dA A 1 V = velocidade média da seção transversal de área A,... ...com perfil analítico de velocidade  variável sobre A. 3.6 Equação da continuidade Apresentada na forma diferencial para utilização na resolução de problemas de escoamentos. Ampliando o conceito de perfil unidimensional de velocidades... ...tomando um volume de controle infinitesimal (dx.dy)... ...com espessura unitária (normal ao desenho)... ...sendo a massa =  e velocidades em x  u e em y  v: determina-se a vazão em massa VA) (m    ... u v  A B C D dx dy x y Figura 21: Volume de controle infinitesimal ...através de AB: 2 dx 1. dy y v v 2 dy y                    ...através de BC: dy 1. 2 dx x u u 2 dx x                    ...através de CD: 2 dx 1. dy y v v 2 dy y                    ...através de DA: 2 dy 1. dx x u u 2 dx x                   No balanço de escoamento de massa, através da superfície de controle em escoamento permanente, bidimensional:     0 y v x u v y y v u x x u m m m m AB CD AD BC                               que resulta, para o caso tridimensional V  0    , equação da continuidade, na forma diferencial, para escoamento permanente de fluido compressível. No caso de fluido incompressível, em que a massa específica não é função das coordenadas espaciais: V  0    A expressão desta equação, para fluido compressível em coordenadas polares (bidimensional) será: IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 25 - x y r dr vR v d (r+dr)d   Figura 22: Volume de controle infinitesimal (polar)     0 r v r v r v R R            3.7 Circulação - Vorticidade linhas de corrente superfície de controle V   VN VT dl Figura 23: Componentes da velocidade em relação à SC Análise das componentes da velocidade do escoamento em um ponto da superfície de controle: VN (normal à SC): responsável pela vazão no escoamento através da SC; e VT (tangencial à SC): responsável pela rotação no fluido, no plano da SC, que é avaliada pela circulação. Definição: para uma superfície de controle (SC) fixa,... ...com  = ângulo entre as linhas de corrente e a superfície de controle e... ...dl = elemento da linha de comprimento L que define a SC no plano representado,... define-se o diferencial de circulação V.cos( ).dl d    e, portanto,... a circulação =           L L L V dl V.cos( ).dl d   A vorticidade, é calculada a partir da circulação em torno de um elemento (dx.dy), a partir de um ponto (A), ou seja: u v A dx dy x y sentido de integração Figura 24: Circulação em torno do elemento ... dy 2 dx x v v 2 dx dy y u u d                       dy 2 dx x v v 2 dx dy y u ... u                    y dx dy u x v d              sendo dx dy = área no interior da SC. Definição: vorticidade = (circulação infinitesimal em torno da SC) / (área contida na SC) = ... ... y u x v dy dx y dx dy u x v Z                     resultando a componente na direção perpendicular ao plano xy (direção z) do vetor vorticidade (Z). No caso tridimensional, o vetor vorticidade (ou turbilhão) é obtido por: w v u z y x k j i V                 IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 26 - O caso bidimensional, em coordenadas polares, resulta            r v r v r v R Z OBSERVAÇÕES: (1) A rotacionalidade de elementos do fluido é avaliada através da vorticidade, sendo rotacional o escoamento com   0  . (2) O caso em que   0  , Escoamento Irrotacional, tem tratamento matemático simplificado, que emprega a teoria potencial (linear) do eletro-magnetismo. Por este motivo, o Escoamento Irrotacional é denominado, também, de Escoamento Potencial. (3) A rotação de uma partícula fluida... ...pressupõe a existência de tensão de cisalhamento: n v      função de viscosidade do fluido e gradientes de deformação. Para fluidos de baixa viscosidade em escoamento irrotacional... ...emprega-se tratamento matemático simplificado em todo o domínio... ...exceto junto aos contornos das fronteiras sólidas...  princípio do não-deslizamento ...e em misturas de escoamentos com diferentes velocidades. elevados n v   : escoamento rotacional U0 U0 contorno da fronteira sólida, bidimensional Figura 25: Escoamento rotacional junto aos contornos da fronteira sólida (4) Teorema de Stokes: avaliação da circulação     L dl V   através do V rot  ... ...e da área cujo contorno é L. Para um elemento de fluido tínhamos y dx dy u x v d              , com dx.dy = área do elemento, e... ...para o conjunto de elementos da figura com contorno L e área A... L A dA=dx.dy Figura 26: Circulação para uma superfície genérica Na soma dos d, cancelam-se os valores para os lados comuns a dois elementos vizinhos, restando os valores calculados na periferia. Então         A L rotV dA dl V    ... ...já generalizado para o caso 3-D. Assim, a circulação no campo de velocidades (integral de linha) = integral de superfície da componente normal do rotacional do campo, sobre a superfície que tem L como contorno. 3.8 Potencial de velocidades Teorema: se as componentes da velocidade ,v w) V( ,u  de um escoamento podem ser representadas por derivadas parciais contínuas de uma função escalar (x,y,z,t) na forma z y ;w x ;v u             então o escoamento é irrotacional... ...e a função  é o potencial de velocidades do escoamento. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 27 - Demonstração: no escoamento irrotacional   0  , ou seja... em x: 0 z y y z y z z y z v y w 2 2                                          ; em y: 0 x z z x z x x z x w z u 2 2                                          ; e em z: 0 y x x y x y y x y u x v 2 2                                          . Sendo assim,   0  e o escoamento é irrotacional. Pelo enunciado do teorema, podemos representar o campo de velocidades V  através de ...     V Observação: qualquer campo que pode ser representado pelo gradiente de uma função escalar tem seu rotacional nulo (irrotacional) Para que a expressão de V  represente um escoamento, a equação da continuidade deve ser satisfeita,... ...então de V  0    e     V resulta... ...o laplaciano de uma função potencial representativa de um escoamento é nulo, ou seja... ... 0 2    , equação da continuidade em termos do potencial de velocidades. 3.9 Função corrente Nesta abordagem serão tratados escoamentos bidimensionais, permanentes, irrotacionais... ...de fluidos incompressíveis. A função corrente caracteriza, para uma posição (x, y), ... ...(quantidade de fluido escoado através de uma superfície) / (tempo de observação) = q, ...onde q é uma vazão (bidimensional) ... ...ou seja, utilizando (x0, y0) como referência, ... (x,y) q 0 0 0 0 x y x y   , ou (vazão a partir da referência) = (função da posição) sendo  = função corrente x0; y0 x; y x y   linhas de corrente Figura 27: Definição da função corrente A vazão em escoamento entre os pontos de coordenadas... (x0, y0) e (x, y) ...independe do caminho entre os dois pontos, ou seja, o saldo de "entradas" e "saídas" de fluido através de  ou  (genéricos) terá como resultado o mesmo valor numérico IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 28 - (x1;y1) (x2;y2) (xk;yk) (x0;y0) (x3;y3) (x;y)=K Figura 28: Representação gráfica da função corrente  A Figura 28 mostra a representação gráfica dos pares de pontos (x1;y1), (x2;y2), (x3;y3), ..., (xk;yk) que resultam um valor constante para a função corrente  = K;  Como o valor da  é constante, a vazão através das linhas entre a referência (x0;y0) e os pontos 1, 2, 3, ...,k, é sempre a mesma, indicando que não há escoamento através dos segmentos entre os pontos 1 e 2, 2 e 3, etc;  A conclusão é de que os vetores velocidade do escoamento devem ser tangentes à representação gráfica da função corrente e que, portanto, coincide com as linhas de corrente do escoamento. Assim, se a função corrente representa analiticamente a posição das linhas de corrente do escoamento, para duas linhas de corrente de valores  e ( + d) segue que: x y v.dx u.dy   + d d O Figura 29: Relação função corrente - velocidade  entre O e , a vazão pode ser caracterizada por ; e  entre O e ( + d), a vazão pode ser caracterizada por ( + d);  então, entre as duas linhas de corrente, a vazão será dada por d. Para estas relações e atendendo à equação da continuidade aplicada ao elemento triangular da Figura 29, com espessura unitária na direção z, resulta: udy vdx d    Por outro lado, a derivada total da função corrente (x,y) será y dy x dx d        Para que tenhamos igualdade entre os primeiros membros das equações apresentadas, deve-se chegar a: y u     x v    Relembrando a relação entre o campo de velocidades e o potencial de velocidades, estabelecida no item 3.8, são montadas as equações de Cauchy - Riemann... y x      x y       ... que permite o estabelecimento de uma das funções a partir da outra, conhecida. A condição de irrotacionalidade, apresentada no item 3.7, quando escrita em termos da função corrente terá o seguinte aspecto: 0 y y x x y u x v 2 z                                    ou seja, a função corrente do escoamento irrotacional tem o laplaciano nulo ( é definida no plano). IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 29 - 3.10 Rede de fluxo É o traçado do conjunto de linhas de corrente e linhas equipotenciais, representativas das funções corrente e do potencial de velocidades, respectivamente, de um escoamento. Nas interseções entre as linhas uma condição deve ser satisfeita: 1 2 1 2 A x y Figura 30: Rede de fluxo  sobre a linha 1, d = 0, ou seja 0 y dy x dx       então y x 1 dx dy                é a declividade da linha 1;  analogamente, sobre a linha 1, d = 0, ou seja 0 y dy x dx       então y x 1 dx dy                é a declividade da linha 1;  se na primeira expressão da declividade (da linha 1) substituirmos  por  (Cauchy - Riemann), obteremos x y 1 dx dy               . Para o ponto A (interseção entre as duas linhas analisadas), substituindo as coordenadas (xA; yA) nas duas expressões de declividades determinamos 1 1 dx dy 1 dx dy                 ... ...relação que caracteriza linhas ortogonais entre si. Em coordenadas polares, as relações apresentadas até aqui são as seguintes:  potencial de velocidades:                        r r r V  função corrente:                       r r r V Comparando os termos que representam as velocidades radial e tangencial, obtém-se as relações de Cauchy - Riemann. A aplicação prática da cinemática está na combinação de situações matematicamente ideais (Escoamentos Elementares), com "significados físico" por vezes falho... ...que resultam em escoamentos mais próximos a situações tomadas como reais por hipótese. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 30 - 3.11 Escoamentos elementares Idealizações matemáticas que, através de superposições,... ...representam escoamentos "aproximadamente reais",... ...através de funções corrente e potencial de velocidades. A partir destas funções é possível a determinação de velocidades, acelerações, vazões, etc. 3.11.1 Escoamento uniforme Exemplo na direção x positiva com velocidade V0. 1 2 1 2 x y V0 Figura 31: Escoamento uniforme As linhas de corrente obedecem à equação y = constante e as equipotenciais x = constante, ou seja:   V0y   V0x 3.11.2 Escoamentos fonte e sumidouro O escoamento parte da origem em trajetórias radiais. 1 2 1 2 x y Figura 32: Escoamento fonte As linhas de corrente são radiais e as linhas equipotenciais são círculos concêntricos na origem; Sendo q uma constante positiva e (r; ) coordenadas a partir da origem teremos:      2 q 2 ln r q     Observação: A fonte na eletrostática caracteriza o potencial de um campo elétrico ln r 2 V 0    , sendo  = carga. O caso inverso da fonte,... ...em que o fluido escoa em direção à origem é o sumidouro:     2 q 2 ln r q    IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 31 -  Determinação do campo de velocidades do escoamento:                        r r r V 2 r q 2 ln r q r Vr               , sempre positivo, confirmando a característica da fonte; e 0 2 ln r q r 1 V               , confirmando que não há componente tangencial na fonte.  O ponto de coordenada r = 0, resulta indeterminação na componente radial da velocidade... ...sendo denominado ponto singular.  O cálculo da vazão através de uma S. C. circular, em torno da origem (espessura unitária): q 2 2 q rr d 2 q V rd VdA q 2 0 2 0 r A                ... ... o que significa dizer, a constante positiva (negativa) da fonte (sumidouro) denominada magnitude equivale à vazão através de "caminhos" que envolvam a origem do escoamento.  O cálculo da circulação em torno da mesma linha: 0 V rd dl V 2 0 L             ... o que significa dizer, a circulação da fonte (sumidouro) é nula em torno de "caminhos" que envolvam a origem do escoamento. 3.11.3 Escoamento vórtice simples O escoamento circunda a origem em trajetórias circulares. 1 2 1 2 x y Figura 33: Escoamento vórtice simples As linhas de corrente são círculos concêntricos na origem e as linhas equipotenciais são radiais; Sendo  uma constante positiva e (r; ) coordenadas a partir da origem teremos: 2 ln r          2  Velocidade: Vr = 0 V =  / (2r) (valor positivo que caracteriza o vórtice anti-horário e com valor indeterminado em r = 0: ponto singular);  Circulação:             rr d 2 dl V 2 0 L   ... ... a magnitude do vórtice equivale à circulação em torno dos "caminhos" que envolvam a origem. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 32 - vórtice simples (irrotacional) vórtice forçado (rotacional) 0 2    0 2    Figura 34: Vórtice simples X forçado 3.11.4 Escoamento par fluido Uma fonte (q) e um sumidouro (-q), a uma distância "a" da origem, sobre o eixo x... ...são considerados na situação em que a  0 e q  , quando obtém-se: 2 2 y x y r sen        2 2 y x x r cos         onde  é a magnitude do par e (r; ) é a posição. OBS.: As expressões encontradas são análogas às do dipolo elétrico bidimensional.  Rede de fluxo: Para o traçado da linha de potencial igual a K (genérica)... K y x x 2 2    ou 0 K x y x 2 2     que é a equação da circunferência com centro sobre o eixo x; e De forma análoga, para o traçado da linha de corrente de valor C (genérica)... 0 C y y x 2 2     que é a equação da circunferência com centro sobre o eixo y. Resulta... 1 2 1 2 x y Figura 35: Escoamento par fluido 3.12 Superposição de escoamentos Nas soluções de ... ... 0 2    (continuidade) e 0 2    (irrotacionalidade)... ...o operador laplaciano é linear. Assim, ... ...as soluções para uma função corrente R (ou potencial R) podem ser encontradas... ...a partir de superposições de N funções corrente i (ou potenciais i)... IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 33 - ...mais simples, obtidas de       N i 1 i i R 3.12.1 Escoamento em torno do cilindro fixo Resulta da superposição do escoamento uniforme e do par fluido, da seguinte forma: uniforme par fluido = em torno do cilindro fixo x y V0 x y = ?     V0 rsen r   sen             r V r sen 0 R O traçado da linha de corrente de valor igual a zero, resulta: 0 r V r sen 0            ou seja       n 0 sen com n = 0, 1, 2, ... (o eixo "x"); e 0 V 2 0 r 0 V r       (o círculo de raio r). Como as linhas de corrente não se interceptam, as demais terão o aspecto representado a seguir (sem apresentar as linhas no interior do círculo de raio r): x y V0 r   A B Figura 36: Escoamento em torno do cilindro fixo  Velocidade do escoamento: 2 0 r r cos V cos r V          2 0 r sen V sen r V           que calculada nos pontos A       ; V0 e B      0 ; V0 resulta 0 V V B A     . Os pontos A e B, com velocidade nula, são denominados pontos de estagnação.  No caso em que fonte e sumidouro não estiverem sobre a origem (no par fluido), a superposição anterior resulta no escoamento em torno do corpo oval de Rankine, exemplificado a seguir. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 34 - Figura 37: Exemplo da oval de Rankine 3.12.2 Escoamento em torno do cilindro giratório Resulta da superposição entre escoamento uniforme, par fluido e vórtice simples e... ...os pontos A e B aproximam-se em função da magnitude do vórtice simples. x y A B Neste caso, a circulação em torno do círculo que representa o cilindro bidimensional é diferente de zero, e este valor caracteriza a sustentação (L = função [; V0; ]), que é o esforço normal a V0 exercido sobre o cilindro pelo contato com o fluido em movimento (ver "escoamento de fluidos reais"). OBSERVAÇÃO: A resolução da equação de Laplace de uma função genérica , 0 2    é empregada neste estudo de escoamentos potenciais, da mesma forma que no estudo de fluxo permanente de correntes elétricas e de fluxo de calor em meio homogêneo. 3.13 Métodos de cálculo do escoamento potencial O escoamento potencial (irrotacional) é o que admite uma função potencial . Resolução matemática: Algumas soluções da equação de Laplace são conhecidas VANTAGEM: solução genérica DESVANTAGEM: complexidade matemática, mesmo em casos simples Alternativos: gráfico Aplicáveis a alguns casos de escoamento irrotacional e bidimensional, mesmo com contornos complexos VANTAGEM: aplicável à maioria dos casos práticos correntes, com a precisão que for necessária DESVANTAGEM: apresenta soluções particulares aproximadas por analogia numérico 3.13.1 Rede gráfica de escoamento Consiste no traçado (gráfico) do conjunto de linhas de corrente  e equipotenciais . Sobre um cruzamento entre  e , sendo "s" a direção do escoamento e "n" a direção normal:   n s V  Figura 38: Rede gráfica do escoamento O módulo da velocidade V  , tangente a  no nó entre as linhas vale: IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 35 - s n s n V             ; expressões que concordam com V = Q / A Aplicação do método: 1) Escolher o número de linhas de corrente em função da precisão desejada; e 2) traçado das linhas  e , interceptando-se segundo ângulos de 90o O resultado é aplicável a distribuições de pressões e escoamento sob barragens, por exemplo. 3.13.2 Analogia elétrica Método baseado na analogia existente entre... ...(fluxo de fluido irrotacional, bidimensional)  (fluxo da corrente elétrica em condutor bidimensional). Por exemplo, escoamento em torno de um cilindro, representado nas figuras a seguir: O trecho do escoamento reproduzido (figura da esquerda) é representado por um condutor bidimensional (figura da direita) com 2 fronteiras isoladas e 2 em contato com uma diferença de potencial. Os símbolos representam as posições referentes às leituras constantes de um voltímetro que, após unidas, são equivalentes às linhas de corrente do escoamento. A inversão entre os contornos isolados e condutores, em processo semelhante, fornece as linhas equipotenciais do escoamento. 3.13.3 Análise numérica - método de diferenças finitas O método consiste em, adotada uma rede de fluxo inicial, ... ...que é sistematicamente ajustada, ... ...satisfazer a equação de Laplace e condições de contorno do problema 0 2    . 1 2 3 4 A B 0 a x y a Figura 39: Malha para solução numérica Seja um escoamento representado por uma malha quadrada de lado "a"; Nos nós, os valores de  valem 1, 2, 3 e 4; e Pretende-se obter o valor de 0. Se a malha é pequena o suficiente,  varia linearmente entre as interseções e teremos, para os pontos A e B: a x 0 1 A            e a x 3 0 B            No ponto central, na direção x: 2 0 3 1 B A 0 2 2 a 2 a x x x                                     De forma análoga, na direção y resulta 2 0 4 2 0 2 2 a 2 y                  ... ...e como buscamos 0 a 4 y x 2 0 4 3 2 1 2 2 2 2 2                                      ... ...trabalharemos com a aproximação 4 4 3 2 1 0          em cada ponto da malha.