Exercícios Equações Diferenciais do Escoamento com Resposta-2020 2

IPH01107 – turmas B e C – 2020/2 - Aula 27 Exercícios Equações Diferenciais do Escoamento. 1) Um escoamento é considerado irrotacional quando as velocidades angulares são nulas. Considerando que a velocidade angular (w) em torno de cada um dos eixos, x, y e z, pode ser obtido por: 𝑤𝑥 = 1 2 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑧) 𝑤𝑦 = 1 2 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑧 − 𝜕𝑤 𝜕𝑥) 𝑤𝑧 = 1 2 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦) Avalie se os seguintes campos de velocidade são irrotacionais e se satisfazem a equação de conservação de massa. a) 𝑢 = 𝑎(𝑥2 − 𝑦2) 𝑣 = −2𝑎𝑥𝑦 𝑤 = 0 b) 𝑢 = 4𝑥𝑦 𝑣 = 2(𝑥2 − 𝑦2) 𝑤 = 0 c) 𝑉→ = 3(𝑥2 − 𝑦2) 𝑖→ − 6𝑥𝑦 𝑗→ d) 𝑉→ = −𝑥𝑦3 𝑖→ + 𝑦4 𝑗→ e) 𝑢 = 2𝑥𝑦 𝑣 = 𝑥2 − 𝑦2 2) As medições de velocidade em um escoamento 3D incompressível indicam que 𝑢 = 6𝑥𝑦2e 𝑣 = −4𝑦2𝑧. Há alguns dados conflitantes quanto a componente da velocidade na direção z. Um grupo de dados indica que 𝑤 = 4𝑦𝑧2e outro conjunto indica que 𝑤 = 4𝑦𝑧2 − 6𝑦2𝑧. Qual você acredita estar correto? Justifique. 3) Um fluido viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais conforme mostra a figura. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. A gravidade atua no sentido do eixo y negativo. a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. Expresse dp/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q). b) diga qual seria a vazão se dp/dy = 0 ? Resposta: a) 𝑑𝑝/𝑑𝑦 = −[𝛾 + (3𝑞𝜇/2ℎ3)], b) 𝑞 = −2ℎ3𝛾/(3𝜇) 4) Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido viscoso (figura). O movimento da correia é vertical e ascendente e a velocidade da correia é V0. As forças viscosas provocam o arrastamento de um filme de líquido que apresenta espessura h. Note que a aceleração da gravidade força o líquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir das equações de Navier-Stokes. Admita que o escoamento é laminar, unidimensional e que o regime de escoamento é o permanente. Resposta: 𝑉 = 𝑉0 − (𝛾ℎ2/3𝜇)