P1 Resolvida-2022 2

IPH 01107 PROVA 1 TURMA A 2022/02 ----"rio utilize ãgua como padrão de densidades e 1>Ag111=1000 kg/m3 e g=9 8 m1s2 sempre que nec- . • 1 Duas placas planas e paralelas, distantes e = 3 _mm entre s1 e com 1,0 m ~e largura (na direção normal ao plano do d~senho) se deslocam na. mesma di~o e sentido (ver figura) com velocidades Vs = 3,4 m/s e Vi = 1,3 m/s, com distribuição linear de velocidades do fluido entre as ~lacas. . . . . s O fluido Newtoniano com densidade 0,9 e coeficiente de viscosidade cinemático 1 Q-4 m2/s preenche totalmente 0 e:paço entre elas, calcule (a) [1,0) a tensao de cisalhamento entre as placas e (b) [1,0) a vazao em massa do fluido, induzida pelo movimento das placas. t .... vs fluido Newtoniano --+ Vi Exercício ( 1) Exercício 2 tl. Patm l r 2) [1,0) O tubo A da figura está cheio de água. Através da leitura dos manômetros e das características dos fluidos, indicadas a seguir, determine a pressão relativa e a absoluta no centro do tubo A da figura, considerando Pa1m=800 mm Hg (considere dHg = 13,45). 3) Considere uma massa gasosa estática com peso 'especifico (Y) variável em função da elevaçao (z), dado por ( 10820,2 Y z) = 200 + ---(em unidades do SI), válidonointervalodaelevaçaoentre 100 me400 m. Se a pressão z em escala absoluta na elevação z = 100 m é igual a 90000 Pa, determine (a) [2,0] a pressão hidrostática na elevaçao z = 400 m e (b) [0,5] o tensor de tensões na elevação z = 400 m, trabalhando com a escala absoluta de pressões nos itens (a) e (b). OBSERVAÇÃO: esta massa gasosa NÃO é composta por gás ideal. 4) No escoamento dado pelo vetor velocidade V = (y - 2x2)t + ( 4xy )j, (a) [0,5] verifique se é satisfeita a condiçao de continuidade de um escoamento permanente de fluido incompressível; (b) [1,0] determine sua Função de Corrente e desenhe as linhas de valor 'I' = 10 e 'I' = 20 no primeiro quadrante do diagrama cartesiano; (e) [0,5] determine sua funçao Potencial de Velocidades, se existir; (d) [0,5] determine a vazão que passa entre os pontos de coordenadas (x,y) (2,0;3,0) e (3,0;3,0); (e) [1,0] determine a expressão do vetor aceleração; (f) [0,5] identifique onde está(ão) o(s) ponto(s) de estagnaçao do escoamento; e (g) [0,5] represente, no mesmo gráfico do item (b), os vetores velocidade do escoamento nos pontos de coordenadas (x,y) (4,0;0,5) e (2,3;1,5). av t=µ- V=~ p y=pg d _ Yfluido fluido - ay nv av (- -k, av av av av -=-+ V•V1v =-+u-+v-+w- Dt ôt ôt âx êJy az ypadrão - Q V=- A fn . y\ = ÔU + ÔV l V V Jzo ax iJy V-+ aw + aw = --1 -J ôy ôx ( --+ t1"\ av au V X V Jzo = ax - ay = ~z [ cr"" T = 'yx 'zx dp -=-y dz Q= f udA A m=pVA -+V ocp ocp = --1--1 ax ay t·dx = ln(x) ,: Questão 1 A) Pelos dados, temos que o perfil de velocidades será dado por: 𝑉(𝑦) = 𝑉𝑖 + (𝑉𝑠 − 𝑉𝑖) 𝑦 𝑒 𝑉(𝑦) = 1,3 + (3,4 − 1,3) 𝑦 0,003 𝑉(𝑦) = 1,3 + 700𝑦 Logo, a tensão de cisalhamento em função de 𝑦 é dada por: 𝜏(𝑦) = 𝜇 𝑑𝑉 𝑑𝑦 𝜏(𝑦) = 𝜇 𝑑[1,3 + 700𝑦] 𝑑𝑦 𝜏(𝑦) = 𝜇 𝑑[700𝑦] 𝑑𝑦 𝜏(𝑦) = 700𝜇 𝜏(𝑦) = 700 𝜈𝜌 Substituindo valores, temos: 𝜏(𝑦) = 700 ∗ 10−4 ∗ (0,9 ∗ 1000) 𝝉(𝒚) = 𝟔𝟑 𝑷𝒂 B) A vazão mássica total é dada pela seguinte integral: 𝑚 = ∫ 𝑑𝑚 𝑒 0 𝑚 = ∫ 𝜌𝑉(𝑦)𝑑𝐴 𝑒 0 𝑚 = 𝜌 ∫ 𝑉(𝑦)𝑤𝑑𝑦 𝑒 0 𝑚 = 𝜌𝑤 ∫ 𝑉(𝑦)𝑑𝑦 0,003 0 𝑚 = 𝜌𝑤 ∫ [1,3 + 700𝑦]𝑑𝑦 0,003 0 Integrando, obtemos: 𝑚 = 𝜌𝑤 [1,3 𝑦 + 700 𝑦2 2 ] 0 0,003 𝑚 = 𝜌𝑤 [1,3 ∗ 0,003 + 700 0,0032 2 ] Substituindo valores, temos: 𝑚 = (0,9 ∗ 1000) ∗ 1,0 [1,3 ∗ 0,003 + 700 0,0032 2 ] 𝒎 = 𝟔,𝟑𝟒𝟓𝒌𝒈 𝒔 Questão 2 Aplicando a equação hidrostática entre o tubo A e a atmosfera, obtemos: 𝑃𝐴 + 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ1 − 𝜌2𝑔ℎ2 − 𝜌1𝑔ℎ3 + 𝜌1𝑔ℎ4 − 𝜌3𝑔ℎ5 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 Logo, a pressão relativa em 𝐴 é dada por: 𝑃𝐴,𝑟 = 𝑃𝐴 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = −[𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔ℎ1 − 𝜌2𝑔ℎ2 − 𝜌1𝑔ℎ3 + 𝜌1𝑔ℎ4 − 𝜌3𝑔ℎ5] 𝑃𝐴,𝑟 = −𝑔[𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ1 − 𝜌2ℎ2 − 𝜌1ℎ3 + 𝜌1ℎ4 − 𝜌3ℎ5] 𝑃𝐴,𝑟 = −𝑔[𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ1 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑑3ℎ2 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑑1ℎ3 + 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑑1ℎ4 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑑3ℎ5] 𝑃𝐴,𝑟 = −𝑔𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎[ℎ1 − 𝑑3ℎ2 − 𝑑1ℎ3 + 𝑑1ℎ4 − 𝑑3ℎ5] Substituindo valores, temos: 𝑃𝐴,𝑟 = −9,8 ∗ 1000[0,16 − 8,3 ∗ 0,26 − 0,7 ∗ 0,18 + 0,7 ∗ 0,22 − 8,3 ∗ 0,16] 𝑃𝐴,𝑟 = 32320,4 𝑃𝑎 𝑷𝑨,𝒓 = 𝟑𝟐,𝟑 𝒌𝑷𝒂 Logo, a pressão absoluta em A é dada por: 𝑃𝐴 = 𝑃𝐴,𝑟 + 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑃𝐴 = (32320,4 𝑃𝑎) + (800 𝑚𝑚 𝐻𝑔) 𝑃𝐴 = (32320,4 𝑃𝑎) + (0,800 ∗ 𝑔 ∗ 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 ∗ 𝑑𝐻𝑔) 𝑃𝐴 = (32320,4 𝑃𝑎) + (0,800 ∗ 9,8 ∗ 1000 ∗ 13,45 𝑃𝑎) 𝑃𝐴 = 137768,4 𝑃𝑎 𝑷𝑨 = 𝟏𝟑𝟕,𝟖 𝒌𝑷𝒂 Questão 3 A) Pelos dados, temos: 𝑃100 = 90000 𝑃𝑎 𝛾(𝑧) = 200 + 10820,2 𝑧 Mas, a equação diferencial para a variação da pressão é dada por: 𝑑𝑃 = −𝛾𝑑𝑧 Logo, integrando de ambos lados, temos: ∫ 𝑑𝑃 𝑃400 𝑃100 = − ∫ 𝛾𝑑𝑧 400 100 𝑃400 − 𝑃100 = − ∫ [200 + 10820,2 𝑧 ] 𝑑𝑧 400 100 𝑃400 − 𝑃100 = −[200𝑧 + 10820,2 ln 𝑧]100 400 Logo, temos: 𝑃400 = 𝑃100 − [200𝑧 + 10820,2 ln 𝑧]100 400 𝑃400 = 𝑃100 − {[200 ∗ 400 + 10820,2 ln 400] − [200 ∗ 100 + 10820,2 ln 100]} 𝑃400 = 𝑃100 − {[200 ∗ (400 − 100) + 10820,2(ln 400 − ln 100)]} 𝑃400 = 90000 − {[200 ∗ 300 + 10820,2 (ln 400 100)]} 𝑃400 = 90000 − [60000 + 10820,2(ln 4)] 𝑷𝟒𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑷𝒂 b) O tensor é dado por: 𝑇 = [ 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 ] Mas, nestas condições, a única tensão que atua sobre o fluido é a pressão atmosférica. Logo, todas as tensões cisalhantes são nulas e temos 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 𝑃400 Logo, o tensor fica: 𝑻 = [ 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 ] 𝑷𝒂 Questão 4 A) Esta condição é dada por: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0 Mas, temos: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕[𝑦 − 2𝑥2] 𝜕𝑥 = 𝜕[−2𝑥2] 𝜕𝑥 = −2 𝜕[𝑥2] 𝜕𝑥 = −4𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕[4𝑥𝑦] 𝜕𝑦 = 4𝑥 𝜕[𝑦] 𝜕𝑦 = 4𝑥 Logo, temos: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = −4𝑥 + 4𝑥 = 0 Logo, a condição de continuidade é satisfeita B) Seja 𝜓 a função de corrente Assim, devemos ter: 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝑢 = 𝑦 − 2𝑥2 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = −𝑣 = −4𝑥𝑦 Integrando ambas equações, obtemos: 𝜓 = 𝑦2 2 − 2𝑥2𝑦 + 𝑓(𝑥) 𝜓 = −2𝑥2𝑦 + 𝑔(𝑦) Por comparação das equações, temos 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑔(𝑦) = 𝑦2 2 Logo, a função corrente fica: 𝝍 = 𝒚𝟐 𝟐 − 𝟐𝒙𝟐𝒚 Assim, temos as seguintes linhas: 𝑦2 2 − 2𝑥2𝑦 = 10 𝑦2 2 − 2𝑥2𝑦 = 20 Estas linhas são mostradas no seguinte gráfico: C) Para que a função potencial de velocidades exista, devemos ter: 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 Mas, temos: 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕[𝑦 − 2𝑥2] 𝜕𝑦 = 𝜕[𝑦] 𝜕𝑦 = 1 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕[4𝑥𝑦] 𝜕𝑥 = 4𝑦 𝜕[𝑥] 𝜕𝑥 = 4𝑦 Logo, não uma função potencial neste caso D) Para obter a vazão, basta calcular a diferença entre os valores da função corrente nestes pontos Assim, temos: 𝑄 = 𝜓(2,3) − 𝜓(3,3) 𝑄 = [32 2 − 2 ∗ 22 ∗ 3] − [32 2 − 2 ∗ 32 ∗ 3] 𝑄 = [−2 ∗ 22 ∗ 3] − [−2 ∗ 32 ∗ 3] 𝑄 = [−6 ∗ 22] + [6 ∗ 32] 𝑄 = 6[32 − 22] 𝑄 = 6[9 − 4] 𝑄 = 6[5] 𝑸 = 𝟑𝟎 E) A aceleração é dada pela seguinte equação: 𝑎⃗ = 𝑢 𝜕𝑉⃗⃗ 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑉⃗⃗ 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑉⃗⃗ 𝜕𝑧 + 𝜕𝑉⃗⃗ 𝜕𝑡 Logo, temos: 𝑎⃗ = [𝑦 − 2𝑥2]𝜕[[𝑦 − 2𝑥2]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗] 𝜕𝑥 + [4𝑥𝑦] 𝜕[[𝑦 − 2𝑥2]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗] 𝜕𝑦 + [0] 𝜕[[𝑦 − 2𝑥2]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗] 𝜕𝑧 + 𝜕[[𝑦 − 2𝑥2]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗] 𝜕𝑡 Calculando, obtemos a aceleração: 𝑎⃗ = [𝑦 − 2𝑥2] 𝜕[[−2𝑥2]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗] 𝜕𝑥 + [4𝑥𝑦] 𝜕[[𝑦]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗] 𝜕𝑦 + 0 + 0 𝑎⃗ = [𝑦 − 2𝑥2][[−4𝑥]𝑖 + [4𝑦]𝑗] + [4𝑥𝑦][[1]𝑖 + [4𝑥]𝑗] 𝑎⃗ = [[−4𝑥[𝑦 − 2𝑥2]]𝑖 + [4𝑦[𝑦 − 2𝑥2]]𝑗] + [[4𝑥𝑦]𝑖 + [4𝑥𝑦][4𝑥]𝑗] 𝑎⃗ = [−4𝑥𝑦 + 8𝑥3]𝑖 + [4𝑦2 − 8𝑦𝑥2]𝑗 + [4𝑥𝑦]𝑖 + [16𝑥2𝑦]𝑗 𝑎⃗ = [8𝑥3]𝑖 + [4𝑦2 − 8𝑦𝑥2]𝑗 + [16𝑥2𝑦]𝑗 𝒂⃗⃗⃗ = [𝟖𝒙𝟑]𝒊 + [𝟒𝒚𝟐 + 𝟖𝒚𝒙𝟐]𝒋 f) A velocidade é dada por: 𝑉⃗⃗ = [𝑦 − 2𝑥2]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗 Os pontos de estagnação são os pontos onde a velocidade é nula, ou seja: 𝑢 = 𝑦 − 2𝑥2 = 0 𝑣 = 4𝑥𝑦 = 0 Assim, só o ponto (𝑥, 𝑦) = (0,0) é ponto de estagnação G) A velocidade é dada por: 𝑉⃗⃗ = [𝑦 − 2𝑥2]𝑖 + [4𝑥𝑦]𝑗 Logo, nestes pontos, temos: 𝑉⃗⃗(4,0.5) = [0,5 − 2 ∗ 42]𝑖 + [4 ∗ 4 ∗ 0,5]𝑗 = [0,5 − 32]𝑖 + [8]𝑗 = [−31,5]𝑖 + [8]𝑗 𝑉⃗⃗(2.3,1.5) = [1,5 − 2 ∗ 2.32]𝑖 + [4 ∗ 2.3 ∗ 1.5]𝑗 = [−9,08]𝑖 + [13,8]𝑗 Representação: