Slide - Equação Integral da Conservação da Energia Pt2 -2023-2

Aula 13 – Equação integral da conservação da energia (parte 2) e considerações importantes sobre a análise integral Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. Em Recursos Hídricos) Email: enggfv.aulas@gmail.com 2 PRINCIPAIS FORMAS DA EQUAÇÃO DA ENERGIA 1) Forma geral ሶ𝑸𝒆 − ሶ 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐𝒔 − ሶ 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 ׮ 𝒆 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝝆 𝑽𝟐 𝟐 + 𝒈𝒉 + 𝒑 𝝆 + 𝒖 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 Obs: a dimensão dos termos corresponde a uma potência (Energia/Tempo, no SI: Watts ou J/s). 2) Eq. da Energia (Regime permanente + Energia, Pressao e Massa específica constantes em uma seção transversal + Escoamento 1D e Uniforme em todas seções + Aplicação ao longo de um tubo de corrente dotado de uma entrada e uma saída) ሶ𝑸𝒆 − ሶ 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐𝒔 − ሶ 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = − ሶ 𝒎𝟏 𝑽𝟏 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒉𝟏 + 𝒉𝒆𝟏 + ሶ 𝒎𝟐 𝑽𝟐 𝟐 𝟐 + 𝒈𝒉𝟐 + 𝒉𝒆𝟐 Obs: 𝒉𝒆 - Entalpia (no SI, m²/s² ou J/kg); Eq. Bastante adequada aos problemas que envolvem fluxos e trocas de calor. 3 PRINCIPAIS FORMAS DA EQUAÇÃO DA ENERGIA 3) Eq. da Energia (Regime permanente + Energia e Pressão uniforme em uma mesma seção transversal + Massa específica constante em todo o escoamento + Escoamento 1D e Uniforme em todas seções + Aplicação ao longo de um tubo de corrente dotado de uma entrada e uma saída) ሶ𝑸𝒆 − ሶ 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐𝒔 − ሶ 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = ሶ𝒎 𝑽𝟐 𝟐 − 𝑽𝟏 𝟐 𝟐 + 𝒈 𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 + 𝒉𝒆𝟐 − 𝒉𝒆𝟏 Obs: Equação adequada aos escoamentos incompressíveis em todo o campo, com transferência de calor. Lembrando que: 𝑪𝒑 = 𝒅𝒉𝒆 𝒅𝑻 Calor específico à pressão constante 𝒉𝒆 ≈ 𝑪𝒑. 𝑻 Aproximação para entalpia Obs: Temperatura em K. Para o Ar Para a água: 𝐶𝑝 ≈ 4210 𝐽 𝑘𝑔.𝐾 4 4) Eq. da Energia (Regime permanente + Energia e Pressao constantes em uma seção transversal + Escoamento incompressível, 1D e Uniforme em todas seções + Sem fluxo de calor para o sistema + Aplicação ao longo de um tubo de corrente dotado de uma entrada e uma saída) 𝑽𝟏 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟏 𝜸 + 𝒉𝟏 − 𝑯𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔 ± 𝑯𝒆𝒊𝒙𝒐𝒔 = 𝑽𝟐 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟐 𝜸 + 𝒉𝟐 Obs 1: a equação acima representa uma aproximação para o cálculo da relação de energias entre 2 pontos, considerando estes sempre no sentido do fluxo, o que significa o transporte da energia por uma linha de corrente.Cada parcela é denominada carga (no SI, em “m”). Obs 2: No caso de um escoamento inviscito (sem atrito – sem perdas de energia),a equação acima representa uma conservação “perfeita” de energia e é chamada de Equação de Bernoulli. 𝑽𝟏 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟏 𝜸 + 𝒉𝟏 = 𝑽𝟐 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟐 𝜸 + 𝒉𝟐 Equação de Bernoulli 5 ANÁLISE DO TERMO CARGA DE EIXOS (𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠) Algumas máquinas podem transferir ou retirar energia de um escoamento por meio da aplicação da rotação (torque) de eixos mecânicos. Estes, por sua vez, estão associados a uma potência de eixo, que pode representar um trabalho transferido para o sistema (ganho de energia) ou retirado dele (perda de energia). Vamos aplicar uma análise dimensional sobre a potência, possibilitando escrever expressões para o cálculo da mesma.. 𝑷𝒐𝒕 → 𝑱 𝒔 = 𝑵. 𝒎 𝒔 𝑷𝒐𝒕 = 𝑭𝒐𝒓ç𝒂. 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝑷𝒐𝒕 = 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐. 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 Potência associada ao movimento translacional de uma dada quantidade de massa (no caso de um escoamento, representa a potência hidráulica). Potência associada ao giro de um eixo (Potência de eixo). 𝑷𝒐𝒕𝑯𝒊𝒅 = 𝑭. 𝑽 𝑷𝒐𝒕𝒆𝒊𝒙𝒐 = 𝑴. 𝝎 6 COMO CALCULAMOS A POTÊNCIA HIDRÁULICA? CASO 1: Escoamento confinado (ocorre dentro de máquinas/Escoamento limitado por paredes) Considerações: - A maquina tem dimensões relativamente pequenas; - Escoamento dominado pelas forças de pressão (Carga de Pressão >> Carga de Velocidade); - Grande carga de pressão < - > Perdas de carga desprezíveis. ℎ1 + 𝑃1 𝛾 + 𝑉1 2 2𝑔 − ℎ𝑝 + 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 = ℎ2 + 𝑃2 𝛾 + 𝑉2 2 2𝑔 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 = ∆𝑃 𝛾 mas 𝐹 = ∆𝑃. 𝐴 Assim: 𝐹 = 𝛾. 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜. 𝐴 𝑃𝑜𝑡𝐻𝑖𝑑 = 𝛾. 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜. 𝐴. 𝑉 𝑷𝒐𝒕𝑯𝒊𝒅 = 𝜸. 𝑯𝒆𝒊𝒙𝒐. 𝑸 7 CASO 2: Escoamento não-confinado (ocorre de forma externa à máquina/não limitado por paredes) Considerações: - A maquina tem dimensões relativamente pequenas; - Escoamento dominado pelas forças inerciais (Carga de velocidade >> Carga de Pressão); - Grande carga cinética < - > Perdas de carga desprezíveis. - A área das seções possuem dimensões da mesma ordem de grandeza (𝐴 ≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒). Sentido do fluxo 1 2 ℎ1 + 𝑃1 𝛾 + 𝑉1 2 2𝑔 − ℎ𝑝 + 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 ∗ = ℎ2 + 𝑃2 𝛾 + 𝑉2 2 2𝑔 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 ∗ = 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2𝑔 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 ∗ = 𝜌𝐴(𝑉2 2 − 𝑉1 2) 2𝜌𝐴𝑔 2𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 ∗ = ∆𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝜌𝐴𝑔 Continua sendo uma carga! Reescrevemos como 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 = 2 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 ∗ 𝛾. 𝐴. 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 = ∆𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝛾. 𝐴. 𝑽. 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜 = 𝑽. ∆𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑷𝒐𝒕𝑯𝒊𝒅 = 𝜸. 𝑯𝒆𝒊𝒙𝒐. 𝑸 8 Conclusão: A potência hidráulica é sempre calculada por: 𝑷𝒐𝒕𝑯𝒊𝒅 = 𝜸. 𝑯𝒆𝒊𝒙𝒐. 𝑸 Define-se rendimento “𝜼” de uma máquina hidráulica como: 𝜼 = 𝑷𝒐𝒕𝑹𝒆𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂𝑫𝒐𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑷𝒐𝒕𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒊𝒅𝒂𝑨𝒐𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 São exemplos de máquinas hidráulicas (eixos): Bombas hidráulicas, Ventiladores, Turbinas de avião, Propulsores de navios – fornecem energia mecânica ao escoamento, transformando-a em energia hidráulica (FAMÍLIA DAS BOMBAS). Turbinas hidráulicas, Turbinas eólicas – retiram energia hidráulica do escoamento, transformando-a em energia mecânica (FAMÍLIA DAS TURBINAS). Desta forma... 𝜼𝑩𝒐𝒎𝒃𝒂 = 𝜸. 𝑯𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂. 𝑸 𝑷𝒐𝒕𝑬𝒊𝒙𝒐 𝑷𝒐𝒕𝑩𝒐𝒎𝒃𝒂 = 𝜸. 𝑯𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂. 𝑸 𝜼 𝜼𝑻𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂 = 𝑷𝒐𝒕𝑬𝒊𝒙𝒐 𝜸. 𝑯𝑻𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂. 𝑸 𝑷𝒐𝒕𝑻𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂 = 𝜸. 𝑯𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂. 𝑸. 𝜼 9 TURBINAS HIDRÁULICAS Componentes de uma turbina hidráulica Tipos clássicos de turbinas hidráulicas Aplicações: Hidrelétricas, Conversores de energia de ondas, Usinas de maré, Reatores... 10 BOMBAS HIDRÁULICAS Componentes de uma bomba hidráulica Sistemas hidráulicos clássicos 11 Carga hidráulica (m) Ponto de funcionamento de uma bomba em um sistema de condutos forçados (Equação quadrática) Escolha de um modelo de bomba em um catálogo de um fabricante BOMBAS HIDRÁULICAS 12 ANÁLISE DO TERMO DAS PERDAS DE ENERGIA (𝐻𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠) Em um escoamento presente em um sistema de condutos ocorrem basicamente dois tipos de perdas: A) PERDA LINEAR (𝒉𝒑𝑳): ocorre em função do contato do fluido com as paredes de um conduto, ocasionando a transformação da energia em calor por atrito. É a maior contribuição de perdas observada nos sistemas de condutos forçados. B) PERDA LOCALIZADA OU SINGULAR (𝒉𝒑𝒔): ocorre em função de mudanças locais na geometria de um conduto, modificando significativamente a carga cinética do escoamento (presença de válvulas, curvas, junções, etc). Desenvolvimento do escoamento em condutos forçados. 𝒉𝒑𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒉𝒑𝑳 + 𝒉𝒑𝑺 13 CÁLCULO DA PERDA DE CARGA LINEAR (ℎ𝑝𝐿) 𝒉𝒑𝑳 = 𝒇𝑳𝑽² 𝟐𝒈𝑫 Onde 𝒇 corresponde ao fator de atrito, dependente do tipo de material do conduto de rugosidade 𝜺 , diâmetro 𝑫 e comprimento 𝑳 . Eq. De Darcy-Weisbach (Eq. Universal) Diagrama de Moody 14 CÁLCULO DA PERDA DE CARGA LINEAR (ℎ𝑝𝐿) O fator de atrito pode ser determinado também através de expressões analíticas (Regime Laminar) e experimentais (Regime Turbulento). 𝒇 = 𝟔𝟒 𝑹𝒆 𝒇 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝜺 𝟑, 𝟕. 𝑫 + 𝟓, 𝟕𝟒 𝑹𝒆𝟎,𝟗 𝟐 Escoamento Laminar (𝑹𝒆 < 𝟐𝟐𝟎𝟎) Escoamento Transição e Turbulento (𝑹 > 𝟐𝟐𝟎𝟎) Observações: -> 𝑹𝒆 = 𝑽.𝑫 𝝂 -> Essa faixa de números de Reynolds é válida somente para condutos forçados! Equação de Swamee-Jain 15 CÁLCULO DA PERDA DE CARGA LOCAL (ℎ𝑝𝑠) Cada singularidade foi estudada numérica ou experimentalmente e seus coeficientes de perdas (ks) encontram-se presentes em tabelas. 𝒉𝒑𝒔 = σ 𝑲𝒔 𝑽² 𝟐𝒈 Exemplos de acessórios 16 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS SIMPLIFICAÇÕES UTILIZADAS NA ANÁLISE INTEGRAL A) Regiões onde a equação simplificada da energia é válida A forma simplificada apresenta problemas em regiões onde os efeitos viscosos são bastante influentes (região de camada limite, por exemplo) e também em regiões muito próximas a fontes de calor. 17 B) Fator de correção da energia cinética (Coeficiente de Coriolis) Em escoamentos muito turbulentos, o perfil de velocidades uniforme se ajusta muito bem. Entretanto, em casos de escoamentos muito irregulares (com perfis de velocidade não usuais), é necessário majorar o termo de energia cinética (pela aplicação de um termo 𝜶 na carga de energia cinética da equação da energia), a fim de compensar os efeitos de escoamento quando comparados ao regime uniforme. 𝜶 = 𝟏 𝑨 න 𝑽 𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝟑 𝒅𝑨 Escoamento Laminar Escoamento Turbulento 𝜶 𝑽𝟐 𝟐𝒈 Termo corrigido 18 C) Fator de correção da quantidade de movimento (Coeficiente de Boussinesq) De maneira similar ao tópico B, onde propõe-se um fator de correção 𝜶 na carga de energia cinética, devemos introduzir um fator de correção 𝜷 às forças inerciais da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento. 𝜷 = ׬ 𝝆𝑽2𝒅𝑨 𝝆𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝟐𝑨 = ׬ 𝑽2𝒅𝑨 𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝟐𝑨 𝜷. 𝑭𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍 Termo corrigido 𝜷. 𝝆𝑽2𝑨 Escoamentos turbulentos em condutos forçados: Escoamentos laminares em condutos forçados: Escoamentos turbulentos à superfície livre: 𝜷 > 𝟏, 𝟏𝟎 𝜷 > 𝟏, 𝟑𝟑 𝟏, 𝟎𝟐 ≥ 𝜷 ≥ 𝟏, 𝟏𝟎 19 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 22 m -2 m 0 m Dc = 163 mm Rug = 0,4 mm Ks = 15 L = 8 m Dc = 142 mm Rug = 0,3 mm Ks = 13 L = 400 m Potência = 10 kW Rendimento = 70 % Calcule a vazão do sistema e as pressões nos pontos A e B. A B - 6 m Dados: 𝜸á𝒈𝒖𝒂 = 𝟗𝟖𝟏𝟎 𝑵/𝒎³ 𝝂á𝒈𝒖𝒂 = 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐/𝒔 20 Resolução... O primeiro passo a ser considerado nesta questão é a escolha dos pontos de aplicação da equação da energia (caso de líquidos incompressíveis). Como estamos trabalhando com dois reservatórios sujeitos à pressão atmosférica (presença de ar livre), é interessante e prático escolhermos como pontos de referência, ao longo de uma linha de corrente, os pontos 1 e 2, que correspondem às superfícies líquidas de ambos reservatórios. Assim: Linha de corrente por onde a energia é transportada entre os pontos 1 e 2. 𝑍1 + 𝑉1 2 2𝑔 + 𝑃1 𝛾 − ℎ𝑝𝑐𝑜𝑛𝑑.1 − ℎ𝑝𝑐𝑜𝑛𝑑.2 + 𝐻𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 𝑍2 + 𝑉2 2 2𝑔 + 𝑃2 𝛾 Como nos pontos 1 e 2 a pressão atuante é a pressão atmosférica, temos que, em termos relativos, 𝑷𝟏 = 𝑷𝟐 = 𝟎. Como estes pontos correspondem às superfícies dos níveis dos reservatórios e o diâmetro de saída é bem pequeno, quando comparado ao tamanho dos reservatórios, temos que as velocidades de variação dos níveis em 1 e 2, são muito baixas, podendo ser desprezadas (𝑽𝟏 = 𝑽𝟐 = 𝟎). Sendo assim: 𝑍1 − 𝑍2 − ℎ𝑝𝑐𝑜𝑛𝑑.1 − ℎ𝑝𝑐𝑜𝑛𝑑.2 + 𝐻𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 0 21 Agora podemos perceber que as perdas de carga dos condutos 1 e 2 são diferentes, pois os mesmos possuem rugosidades e diâmetros diferentes, além disso as perdas localizadas também são diferentes, em função dos valores de ks serem diferentes. Denominando as perdas de carga lineares como 𝒉𝒑𝑳 , e as localizadas como 𝒉𝒑𝒔 , reescrevemos a equação encontrada anteriormente: 𝑍1 − 𝑍2 − ℎ𝑝𝑠1 − ℎ𝑝𝑠2 − ℎ𝑝𝐿1 − ℎ𝑝𝐿2 + 𝐻𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 0 - Sabe-se que as perdas singulares podem ser calculadas pela expressão: ℎ𝑝𝑠 = σ 𝐾𝑠 𝑉² 2𝑔 = σ 𝐾𝑠 𝟒𝑸 𝝅𝑫² 2 2𝑔 = 𝟖𝑸² σ 𝑲𝒔 𝒈𝝅𝟐𝑫𝟒 A velocidade V pode ser relacionada com a vazão pela expressão 𝑉 = 𝑄 𝐴, levando em consideração um conduto circular de área igual a 𝜋𝐷² 4 , esta expressão toma a forma: 𝑽 = 𝟒𝑸 𝝅𝑫² - As perdas lineares são dadas por: ℎ𝑝𝐿 = 𝑓𝐿𝑉² 2𝑔𝐷 = 𝑓𝐿 𝟒𝑸 𝝅𝑫² 2 2𝑔𝐷 = 𝟖𝑸2𝒇𝑳 𝒈𝝅𝟐𝑫𝟓 - A carga fornecida pela bomba é expressa por: 𝐻𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 𝑃𝑜𝑡 𝛾𝑄 1 𝜂 = 𝑷𝒐𝒕.𝜼 𝜸𝑸 Utilizando as expressões acima, reescrevemos a equação da energia da seguinte forma: 𝒁𝟏 − 𝒁𝟐 − 𝟖𝑸² σ 𝑲𝒔𝟏 𝒈𝝅𝟐𝑫𝟏 𝟒 − 𝟖𝑸² σ 𝑲𝒔𝟐 𝒈𝝅𝟐𝑫𝟐 𝟒 − 𝟖𝑸𝟐𝒇𝟏𝑳𝟏 𝒈𝝅𝟐𝑫𝟏 𝟓 − 𝟖𝑸𝟐𝒇𝟐𝑳𝟐 𝒈𝝅𝟐𝑫𝟐 𝟓 + 𝑷𝒐𝒕. 𝜼 𝜸𝑸 = 𝟎 22 Colocando em evidência os termos comuns: 𝒁𝟏 − 𝒁𝟐 − 𝟖𝑸² 𝒈𝝅𝟐 σ 𝑲𝒔𝟏 𝑫𝟏 𝟒 + σ 𝑲𝒔𝟐 𝑫𝟐 𝟒 + 𝒇𝟏𝑳𝟏 𝑫𝟏 𝟓 + 𝒇𝟐𝑳𝟐 𝑫𝟐 𝟓 + 𝑷𝒐𝒕. 𝜼 𝜸𝑸 = 𝟎 Os valores de 𝒇𝟏e 𝒇𝟐 devem ser estimados utilizando-se o diagrama de Moody. Entretanto, não são conhecidas as velocidades dos condutos, o que impossibilita o cálculo do número de Reynolds de cada conduto. Sendo assim, admitimos como velocidade de referência para o cálculo um valor de 3 m/s (velocidade limite recomendada pela norma NBR para condutos forçados em situações usuais de operação). Dessa forma: 𝑅𝑢𝑔𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣.1 = 𝑅𝑢𝑔1 𝐷1 = 0,4 163 = 0,0025 𝑅𝑢𝑔𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣.2 = 𝑅𝑢𝑔2 𝐷2 = 0,3 142 = 0,0021 𝑅𝑒1 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑.1𝐷1 𝜈 = 3.0,163 10−6 = 489000 ≈ 5. 105 𝑅𝑒2 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑.2𝐷2 𝜈 = 3.0,142 10−6 = 426000 ≈ 4. 105 Valores respectivos do conduto 1 a serem utilizados no diagrama de Moody Valores respectivos do conduto 2 a serem utilizados no diagrama de Moody 23 CURVA APROXIMADA para as rugosidades equivalentes de 0,0025 e 0,0021 𝒇𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟔 24 Entrando com os valores conhecidos na equação... Za (m) -2 Zb (m) 22 g (m/s²) 9,81 ks1 15 ks2 13 f1 0,026 f2 0,026 L1 (m) 8 L2 (m) 400 D1 (m) 0,163 D2 (m) 0,142 Rendim. 0,7 Pot (W) 10000 ϒ (N/m3) 9810 𝒁𝟏 − 𝒁𝟐 − 𝟖𝑸² 𝒈𝝅𝟐 σ 𝑲𝒔𝟏 𝑫𝟏 𝟒 + σ 𝑲𝒔𝟐 𝑫𝟐 𝟒 + 𝒇𝟏𝑳𝟏 𝑫𝟏 𝟓 + 𝒇𝟐𝑳𝟐 𝑫𝟐 𝟓 + 𝑷𝒐𝒕. 𝜼 𝜸𝑸 = 𝟎 −𝟐𝟒 − 𝟏𝟗𝟒𝟑𝟎, 𝟕𝑸2 + 𝟎, 𝟕𝟏𝟑𝟔 𝑸 = 𝟎 Equação a ser solucionada... Esta equação pode ser resolvida facilmente pela calculadora Hp com o comando “Solver”(https://www.youtube.com/watch?v=0g4bFNYkKtw) 𝑸 ≈ 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟔 𝒎3/𝒔 25 A equação anterior também pode ser solucionada utilizando-se o método numérico do ponto fixo (visto nas aulas de revisão de cálculo). Dessa maneira, reescrevemos a equação anterior no formato f(Q) = Q para aplicar o método: −24 − 19430,7𝑄2 + 0,7136 𝑄 = 0 0,7136 𝑄 = 24 + 19430,7𝑄2 𝟎, 𝟕𝟏𝟑𝟔 𝟐𝟒 + 𝟏𝟗𝟒𝟑𝟎, 𝟕𝑸𝟐 = 𝑸 Sendo assim, a função de recorrência é 𝒇 𝑸 = 𝟎,𝟕𝟏𝟑𝟔 𝟐𝟒+𝟏𝟗𝟒𝟑𝟎,𝟕 𝑸𝒊 𝟐 Utilizamos uma estimativa inicial para Qi e calculamos f(Q), na próxima iteração, utilizamos o valor encontrado anteriormente para f(Q) como o novo Qi, obtendo um novo valor de f(Q). Este processo continua até obtermos um valor de f(Q) muito próximo de Qi, o qual corresponderá à solução da equação. Um valor inicial de Qi, adequado a este caso, é adotado como 0 m³/s... 26 Valor inicial adotado para Qi Percebemos que na 15ª iteração a solução se aproxima do valor de Q = 0,0216 m³/s 27 Com o valor de Q descoberto podemos calcular as velocidades adquiridas nos condutos 1 e 2: 𝑽 = 𝟒𝑸 𝝅𝑫² 𝑉1 = 4𝑄 𝜋𝐷1² = 4.0,0216 𝜋 0,163 2 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟓 𝒎/𝒔 𝑉2 = 4𝑄 𝜋𝐷1² = 4.0,0216 𝜋 0,142 2 = 𝟏, 𝟑𝟔𝟒 𝒎/𝒔 Estes valores de velocidade permitem calcular as perdas de carga nos condutos 1 e 2: ℎ𝑝2 = ℎ𝑝𝑠2 + ℎ𝑝𝐿2 = σ 𝐾𝑠2 𝑉2 2 2𝑔 + 𝑓2𝐿2𝑉2 2 2𝑔𝐷2 = 𝟖, 𝟐 𝒎 ℎ𝑝1 = ℎ𝑝𝑠1 + ℎ𝑝𝐿1 = σ 𝐾𝑠1 𝑉1 2 2𝑔 + 𝑓1𝐿1𝑉1 2 2𝑔𝐷1 = 𝟎, 𝟖𝟗 𝒎 28 A pressão no ponto A (imediatamente antes da bomba) pode ser determinada aplicando-se a equação da energia entre os pontos 1 e A: A 𝑍1 + 𝑉1 2 2𝑔 + 𝑃1 𝛾 − ℎ𝑝𝑐𝑜𝑛𝑑.1 = 𝑍𝐴 + 𝑉𝐴 2 2𝑔 + 𝑃𝐴 𝛾 -2 m 0,89 m 1,035 m/s 𝑷𝑨 = −𝟐𝟖𝟖𝟖𝟔, 𝟓𝟏 𝑷𝒂 A pressão na entrada de uma bomba é sempre negativa (em termos relativos)! O resultado está condizente. 29 B A A pressão no ponto B (na tomada de água) pode ser determinada aplicando-se a equação da energia entre os pontos B e A: Obs: não é recomendado utilizar uma relação de energias entre 1 e B, pois muitas vezes este cálculo poderá “mascarar” o valor da pressão. 𝑍𝐵 + 𝑉𝐵 2 2𝑔 + 𝑃𝐵 𝛾 − ℎ𝑝𝑐𝑜𝑛𝑑.1 = 𝑍𝐴 + 𝑉𝐴 2 2𝑔 + 𝑃𝐴 𝛾 -6 m A área dos condutos em A e B é a mesma, logo estes pontos possuem a mesma velocidade! −𝟐𝟖𝟖𝟖𝟔, 𝟓𝟏 𝑷𝒂 0,89 m 𝑷𝑩 = 𝟑𝟖𝟕𝟎𝟒, 𝟑𝟗 𝑷𝒂 Note que a coluna de água em B é de 4 m. Isto ocasiona uma pressão hidrostática em B de: 𝑃𝐻𝑖𝑑𝑟𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎𝐵 = ℎ𝐵. 𝛾 = 4.9810 = 39240 𝑃𝑎 Isto nos mostra que a pressão em B não é hidrostática! Aula 13 – Equação integral da conservação da energia (parte 2) e considerações importantes sobre a análise integral Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. Em Recursos Hídricos) Email: enggfv.aulas@gmail.com