Prova Algebra Linear

3. (2,5 pontos) Considere a elipse de equação 5x1² - 4x1x2 + 5x2² = 48. Encontre uma mudança de variável que remova o termo cruzado. Escreva a nova expressão da elipse nesse novo sistema. Q(x) = xᵀAx = 5x1² - 4x1x2 + 5x2² = 48 A = [5 -2] [-2 5] Diagonalizar A equivale a eliminar o termo cruzado no forma quadrática. Buscando autovalores, det(A - λI ) = 0 det([5 - λ -2] [-2 5] - λ) = 0 (5-λ)² - 4 = 0 25 - 10λ + λ² - 4 = 0 λ² - 10λ + 21 = 0 λ₁, λ₂ = 2, 1 λ₁ + λ₂ = 10 Matriz de Girard p/ polinômio de grau 2. λ₁ = 3 λ₂ = 7 Agora basta encontrar P, que será a mudança de variável no qual a forma quadrática é dado por matriz diagonal. S₁ λ = 3 (A - λ I)[3]ᵤ₁ = 0 ([5 -2] - λ [3 0]) [0] ᵤ₁ = 0 [-2 5]-3[0 3] [2 -2] [3 0] [0] [0]ᵤ₁ [-2 2] [0 3] [3] = [0] v1 λ=3 = [1] [√2] uλ=3 = [1/√2] [1/√2] Sw λ = 7 [-2 -2] [0] [-2 -2] [0] v λ = 0 -1 1 [01] 4 - v₀ λ=2 = [1] [0] E λ -2 2 0 vj v=0 v₁ λ = 2 E=y uλ=2=[-1/√2] [1/√2]