Prova Algebra Linear

4. (2,5 pontos) Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações, justificando cada resposta. Respostas sem justificativas não serão consideradas. a) Denote por \( A^T \) a matriz transposta de A. Se \( A = A^T \), e os vetores \( u \) e \( v \) satisfazem \( Au = 3u \) e \( Av = 4v \) então \( u \cdot v = 0 \). b) Para V vetor não nulo de forma \( 1 \), a matriz \( A = vv^T \) é simétrica, satisfaz \( A^t = A \) e suas colunas são linearmente independentes. a) Resposta: V \( A^T = A \) é simétrica, logo autovetores associados a autovalores diferentes são ortogonais (teorema). Como \( u \) é autovetor de \( \lambda = 4 \) e \( v \) é autovetor de \( \lambda = 3 \), \( u \cdot v = 0 \) são ortogonais, logo \( u \cdot v = 0 \). Afirmação verdadeira! b) Resposta: F \( v \neq 0 \), \( || v || = 1 \) \( A = vv^T \) Por um teorema, \( x, y \in \mathbb{R}^m \), \( A = vv^T \) é uma matriz quadrada de ordem \( m \) com posto (A) = 1. Pelo TMI, uma matriz não possui coluna LI pois posto (A) \( \neq \) m V \( \geq \) 2. Afirmação falsa!