Prova Algebra Linear

4. (2,5 pontos) Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações, justificando cada resposta. Respostas sem justificativa não serão consideradas. a) Denote por A^t a matriz transposta de A. Se A = A^t, e se vetores u e v satisfazem Au = 3u e Av = 4v então u ⋅ v = 0. b) Para V vetor não nulo de norma 1, a matriz A = vv^t é simétrica, satisfaz A^t = A e suas colunas são linearmente independentes. a) Suponha: A^t é simétrica, logo autovetores associados a autovalores diferentes são ortogonais (teorema). Como u é autovetor de λ = 4 e v é autovetor de λ = 3, u e v são ortogonais, logo u ⋅ v = 0 Afirmação verdadeira! b) Resposta: ∃x ≠ 0 ||x||=1 A = vv^t Por um teorema, x, v ⊆ R^m, A = vv^t é matriz quadrada de ordem m com posto(A) = 1. Pelo TMI, uma matriz não possui coluna LI pois ponto (A) ≠ m ∀ m ≥ 2 Afirmação falsa!