Prova Algebra Linear

2. (2,5 pontos) Lembre que a distância de um ponto y em R^n a um subespaço W é definido como sendo a distância do y ao ponto mais próximo de W. Encontre a distância de y a W = span{u_1, u_2}, onde y = [-1 5 10], u_1 = [5 -2 1], u_2 = [1 2 -1] u_1, u_2, 0 base ortogonal para W Projeção (não necessariamente completa) Podemos decompor y na forma: y = proj_w y + (y - proj_w y) onde ||y - proj_w y|| é a distância de y ao W. proj_u1 u_2 = u_2 - (u_2 . u_1) u_1/ (u_1 . u_1) u_2 . u_1 = 5 - 4 + 1 = 2 u_1 . u_1 = 25 + 4 + 1 = 30 = 11/30[5 -2 1] = (2/1) [2 6] = [5/2 2] proj_w y = y - proj_w y proj_w y = [1 -2 -4] [y - proj_w y]|| ||[5 3]|| (5^2 + 3^3)^(1/2) ||[2 5] 9 + 36 3 3 1 3^3 = ||y - proj_w y|| = distância de y a W ||y - proj_w y|| = 3√5 = distância de y ao W