Oscilações Amortecidas: Análise do Movimento com Atrito

2 Visão geral A situação mais realista do movimento de oscilação de um objeto envolve a presença do atrito Muito embora em uma larga variedade de casos a força de atrito possa ser tratada como um pequeno efeito adicional no movimento do objeto em um certo intervalo de tempo E nesse regime de forças de atrito é possível fazer uso da ferramenta dos números complexos para encontrar as possíveis soluções de movimento do objeto De fato será visto que há três tipos de regime de amortecimento desde aquele em que há alguma oscilação até aquele em que não há qualquer oscilação Obtidas as soluções gerais aplicarseá as condições de contorno para cada caso bem como examinarseá o balanço energético do movimento em um caso de interesse Objetivos 1 Resolver a equação de movimento para oscilações amortecidas Oscilações Amortecidas Em todos os fenômenos mecânicos há a presença do atrito e esse também é o caso no movimento de oscilação de uma partícula Quanto em boa aproximação a força de atrito é relativamente pequena é possível modelá la como sendo proporcional à velocidade da partícula e desta maneira a equação de movimento da partícula que oscila de modo amortecido fica sendo Esta equação diferencial então descreve o movimento de oscilação amortecido de uma partícula 3 Dividindo toda a equação pela massa da partícula e introduzindo os parâmetros que é a frequência angular natural do oscilador e que é o coeficiente de amortecimento chegase a expressão Efetuando a extensão analítica dessa equação de movimento temse que em que é em princípio um número complexo Uma proposta de solução para essa equação diferencial é em que e são em geral ambos números complexos Calculandose as sucessivas derivadas de e substituindo os resultados na equação diferencial do movimento temse que Desde que seria a solução trivial que não é relevante para a solução desta equação de movimento então é necessário que que é a chamada equação característica para Tratase de uma equação de segundo grau em cuja solução é A partir das três possíveis situações envolvendo o radicando da solução de a saber e haverá três tipos de amortecimento envolvendo as oscilações amortecidas de uma partícula 4 SUBAMORTECIMENTO Esta é a situação em que a frequência angular natural do oscilador é maior do que o coeficiente de amortecimento isto é Neste caso podese reescrever a raiz quadrada de da seguinte maneira em que é a frequência angular efetiva de oscilação Com efeito Deste como a solução geral pode ser escrita como em que e Agora escolhendo as constantes e de forma conveniente e a solução tornase Logo a solução real é dada por Observe atentamente que a solução da equação de movimento para oscilações amortecidas possui duas constantes a saber e que dependem das condições iniciais do movimento Diferentemente do MHS aqui a amplitude de oscilação decresce exponencialmente De fato a exponencial evanescente gera uma envoltória em linha pontilhada sob a qual a amplitude decresce a cada oscilação a figura a seguir ilustra isso para o caso em que 5 A solução pode ser reescrita de uma forma mais conveniente para a aplicação das condições inicias a saber e utilizando se da propriedade de coma dos arcos para a função cosseno Assim em que se definiu e Desse modo é fácil verificar que as constantes e estão relacionadas com as constantes e pelas seguintes relações e Em a posição é dada por Para aplicar a condição inicial envolvendo a velocidade é necessário antes obter a velocidade instantânea 6 Logo para temse que ou seja Em termos das constantes e e Deste modo a solução que é dada como uma combinação das funções cosseno e seno pode ser escrita explicitamente em termos de e SUPERAMORTECIMENTO Esta é a situação em que a frequência angular natural do oscilador é menor do que o coeficiente de amortecimento isto é Neste caso as duas soluções para são reais e dadas por e tais que e sendo que e são duas quantidades negativas Além disso 7 Com efeito a solução geral para o caso do superamortecimento fica sendo em que as constantes e são determinadas de acordo com as condições iniciais Para tempos suficientemente grandes a solução se comporta como Interessantemente como a solução geral nesse caso é composta por duas exponenciais evanescentes o movimento de oscilação superamortecida na prática não oscila ou seja o movimento não é mais periódico Aplicando as condições iniciais e temse que Resolvendo esse sistema de duas equações lineares nãohomogêneo envolvendo as duas variáveis e chegase a e a solução geral fica sendo AMORTECIMENTO CRÍTICO Esta é a situação em que a frequência angular natural do oscilador é igual ao coeficiente de amortecimento isto é Com efeito a solução para é única pois e então Uma segunda solução independente necessária para a resolução da equação de movimento no caso do amortecimento crítico é dada por 8 Isso pode ser imediatamente constatado por substituir na equação diferencial do movimento de oscilação amortecido e verificar que esta solução a satisfaz completamente Logo no caso do amortecimento crítico a solução geral é dada por A fim de se aplicar as condições iniciais necessárias para a determinação das constantes e calculase Assim para e para Deste modo a solução geral para o amortecimento crítico fica sendo O amortecimento crítico e o superamortecimento são soluções apropriadas para sistemas que eventualmente podem oscilar mas que não se quer que isso aconteça Por exemplo o sistema de mola aérea hidráulica visto na figura abaixo é responsável por amortecer o fechamento da porta após esta ser aberta Nesse caso não se quer que a porta oscile de modo subamortecido como ocorre com uma porta de ambulatório ou restaurante mas apenas que ela 9 volte para a posição inicial sem bater Conforme visto na figura que inicia esse Tópico o retorno da porta para sua posição inicial será mais rápido se o amortecimento for crítico Já a suspensão de um automóvel é um sistema de amortecimento contra os impactos que o carro sofre nas vias de rolagem Ele é composto basicamente por uma mola e um amortecedor conforme visto na figura abaixo Nesse caso um amortecimento subcrítico seria inconveniente pois faria o carro oscilar após passar por exemplo por um buraco o que poderia prejudicar a condução do motorista Posto isto é interessante que a composição entre a mola e o amortecedor garanta um amortecimento crítico a fim de que a condução do automóvel não seja prejudicada Note que a prática de cortar as molas para rebaixar os veículos prejudica sobremaneira o efeito esperado do sistema de suspensão uma vez que essa prática não é em geral acompanhada de uma recalibração do amortecedor do veículo 10 EXEMPLO 1 O sistema de suspensão de um automóvel é criticamente amortecido e seu período de oscilação livre sem amortecimento é de Se o sistema é inicialmente deslocado de uma posição inicial e solto com uma velocidade inicial nula obtenha o deslocamento em em função da posição inicial Resolução Foi dado que e que ou seja Além disso se tratando de um amortecimento crítico sabese que Portanto a solução para será Quando temse que é o deslocamento após como uma função da posição inicial A EXEMPLO 2 Considere uma partícula Resolução Energia do Oscilador Amortecido Para um oscilador subamortecido cujo amortecimento seja fraco ou seja a energia média de oscilação pode ser obtida em um primeiro momento como uma adaptação simples da energia mecânica do MHS que é dada por 11 em que é a amplitude do movimento Assim fazendo a seguinte transformação a energia do oscilador subamortecido ficaria evidentemente esse resultado é respaldado por um cálculo mais rigoroso que faz uso do teorema do valor médio para integrais Com efeito o valor médio da energia instantânea durante um período é dado por em que é o período do movimento e Desde que e então a energia do oscilador como uma função do tempo pode ser escrita como Para um amortecimento fraco o termo varia muito pouco durante um período de oscilação ou mesmo durante vários períodos Deste modo ao calcular a média temporal da energia esse termo pode ser considerado como constante Assim 12 Agora a média temporal das funções trigonométricas que aparecem na expressão acima são dadas por Veja o Apêndice 4 para mais detalhes sobre as médias de funções trigonométricas Com efeito a média temporal para o oscilador subamortecido e fracamente amortecido será que é o mesmo resultado anteriormente obtido EXERCÍCIOS 1 Escreva a solução do oscilador subamortecido para e mostre que nesse caso é proporcional a 2 Mostre que a taxa instantânea de variação da energia mecânica do oscilador amortecido é igual à potência dissipada dada por 3 Um vagão de carga pesando rola livremente e chega ao final de sua linha à velocidade de No final existe um batente que consiste de uma mola com O vagão comprime a mola Considerando que a força de atrito seja proporcional à velocidade determine a constante de amortecimento para o amortecimento crítico Calcule e encontre a distância máxima que a mola é comprimida 13 4 Um sistema de amortecimento é concebido para funcionar como um oscilador amortecido criticamente Em um teste o sistema recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial Verificase então que o sistema passa por seu deslocamento máximo igual a após a Qual o valor de b Se o sistema tivesse um deslocamento inicial com a mesma velocidade inicial qual seria o valor de 5 Um oscilador subamortecido é composto de um bloco de massa e uma mola ideal de constante elástica Inicialmente ele oscila com amplitude de Contudo em razão do amortecimento a amplitude cai a três quartos deste valor inicial após ele completar oscilações a Qual o valor da constante de amortecimento b quanta energia foi dissipada durante essas quatro oscilações Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física Edgard Blücher vol I 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Mecânica Editora Edgard Blücher Ltda vol 1 3ª edição São Paulo 1996 K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972 K Watari Mecânica Clássica Livraria da Física vol I 2ª edição São Paulo 2004