Exercícios Resolvidos de Oscilações e MHS - Física

1 Considere uma partícula de massa 15 kg está presa a uma mola de constante elástica k e descreve um MHS conforme a função horária xt 3 cos4t 5 sen4t em que a posição é medida em metros e o tempo medido em segundos sobre uma superfície horizontal sem atrito a Qual a posição inicial da partícula b Qual a velocidade inicial da partícula c Qual o valor da constante elástica da mola 2 O sistema de suspensão de uma máquina é criticamente amortecido e seu período de oscilação livre sem amortecimento é de 2 s Se o sistema é inicialmente deslocado de uma posição inicial de 15 m e solto com uma velocidade inicial nula obtenha o deslocamento em t 05 s 3 Uma força F0 eat age sobre um oscilador harmônico de massa m constante elástica k e constante de amortecimento b Determine uma solução particular da equação de movimento partindo da suposição de que existe uma solução com a mesma dependência do tempo que a força aplicada Para resolver a equação de movimento do oscilador harmônico com a força externa descrita vamos considerar uma solução particular da forma xt Aeat Onde A é uma constante a ser determinada Substituindo essa solução na equação de movimento do oscilador harmônico obtemos m d2xdt2 b dxdt kx F0 eat Calculando as derivadas de xt dxdt a Aeat d2xdt2 a2 Aeat Substituindo as derivadas na equação de movimento ma2 Aeat ba Aeat kAeat F0 eat Simplificando ma2 ba k Aeat F0 eat Comparando os coeficientes de eat em ambos os lados da equação Isolando a constante A temos A F0ma2 ba k Portanto a solução particular da equação de movimento é xt F0ma2 ba k eat Essa solução particular representa o comportamento do oscilador harmônico sob a influência da força externa descrita Questão 1 a função horária do MHS é dada por xt A coswt B senwt a Neste caso específico temos xt 3 cos4t 5 sen4t em t 0 temos x0 3 cos40 5 sen40 x0 3 1 5 0 x0 3 m b vt dxtdt ddt 3 cos4t 5 sen4t vt 3 4 sen4t 5 4 cos4t vt 12 sen4t 20 cos4t em t 0 temos v0 12 sen0 20 cos0 v0 12 0 20 0 v0 20 ms c w sqrtkm w2 km k m w2 K 15 42 k 15 16 k 24 Nm Questão 2 A equação que descreve o movimento de um sistema criticamente amortecido é dada por xt A B t eζ w t O enunciado informa que T 2 π logo W 2 π T 2 π 2 π rads ζ é o coef de amortecimento O enunciado também diz que x0 15 m e v0 0 Devemos determinar A e B usando as condições iniciais vt dxtdt ζ W A ζ W B t B eζ W t v0 0 ζ W A B B ζ W A ζ π 15 x0 15 A A x0 15 m xt 15 15 ζ π t eζ π t x05 15 15 ζ π 05 eζ π 05