Intervalo de Confianca Estimacao de Parametros Populacionais Estatistica

Estimação por Intervalo Intervalos de confiança Parâmetros População Estimativas Amostra μ x σ² s² σ σ² p Dados Amostra Pop Normal μ σ Intervalos de Confiança As estimativas por ponto são em geral utilizadas quando necessitamos ao menos aproximadamente conhecer o valor do parâmetro para utilizálo em uma expressão Se a determinação do parâmetro é a meta final do estudo estatístico a estimação por ponto é insuficiente pois os estimadores são variáveis aleatórias Logo as estimativas obtidas quase certamente serão distintas do valor do parâmetro Intervalos de Confiança Daí surge a ideia de construir um intervalo em torno da estimativa por ponto de modo que esse intervalo tenha uma probabilidade conhecida de conter o verdadeiro valor do parâmetro Esses intervalos são chamados de intervalo de confiança À probabilidade 1α que um intervalo de confiança contenha o parâmetro chamamos de nível ou grau de confiança α será a probabilidade de erro na estimação por intervalo i é a probabilidade de errar ao afirmar que o valor do parâmetro está contido no intervalo de confiança Intervalos de confiança Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância conhecida Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância desconhecida Intervalo de confiança para a variância e desvio padrão da população Intervalo de confiança para a proporção da população I Intervalo de confiança para a média com a variância conhecida Vimos que uma boa aproximação para o valor esperado da população é dada pela média da amostra Queremos obter um intervalo com centro na média de tal modo que a probabilidade da média da população estar neste intervalo seja de 1α με με 1 α μ IC IC x ε x ε 1α μ Pμ ε x μ ε 1 α O que procuramos é Px ε μ x ε 1 α μ ε x μ ε x μ ε x ε μ μ x ε x μ ε x ε μ μ x ε x ε μ x ε Pμ ε x μ ε 1 α Px ε μ x ε 1 α Significado de zα2 IC para média com desviopadrão conhecido Lembrando as propriedades da distribuição Voltando ao calculo da probabilidade do intervalo με με 1 α Analisando a inequação με με με με Concluímos assim que P ε ε 1 α falta obter ε μ ε μ ε ε ε Obtendo ε P ε ε 1 α Para calcular essa probabilidade precisamos normalizar as variáveis Fazendo isso obtemos No text detected other than the one in image 13 Probabilidade de erro na estimação por intervalo α A probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional 1α é a área sob a curva normal padrão entre os valores críticos Valores críticos A área restante nas caudas é α Probabilidade de erro na estimação por intervalo α Se o nível de confiança é 90 isso significa que temos 90 de certeza que o intervalo contém a média populacional μ Consequentemente temos uma probabilidade de erro na estimação α 10 1 α 090 12α 005 12α 005 zα2 1645 z 0 zα2 1645 Os escores z correspondentes são 1645 Probabilidade de erro na estimação por intervalo α zα2 μ e0 μ σ n Semiamplitude do intervalo de confiança e0 zα2 σ n 1 α 12α 12α z μ e0 μ μ e0 P X zα2 σ n μ X zα2 σ n 1 α Exemplo 1 Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de anúncios do facebook A seguir representamos uma amostra aleatória do número de frases encontrado em 50 anúncios Encontre a estimativa pontual da média populacional 9 20 18 16 9 9 11 13 22 16 5 18 6 6 5 12 25 17 23 7 10 9 10 10 5 11 18 18 9 9 17 13 11 7 14 6 11 12 11 6 12 14 11 9 18 12 12 17 11 20 A média amostral dos dados é 620 124 50 x x n Então a estimativa pontual para a média do comprimento de todos os anúncios do facebook é 124 frases Exemplo 1 Use os dados das propagandas das revistas e um nível de confiança de 95 para encontrar a margem de erro do número de frases em todos os anúncios do facebook Assuma que o desvio padrão seja aproximadamente 50 Construa um intervalo de confiança de 95 para a média do número de frases em todos os anúncios de revista Exemplo 1 Primeiro encontre os valores críticos 0025 095 0025 zα2 196 z 0 zα2 196 95 da área sob a curva normal padrão cai dentro de 196 desvio padrão da média ε zα2 σ n ε 196 5 50 ε 139 1101 μ 1379 Extremo esquerdo Extremo direito 𝟎 𝟎 95 Solução construindo um intervalo de confiança 1101 μ 1379 Com 95 de confiança você pode dizer que o interval entre 1101 e 1379 contém a média populacional 1101 1379 Exercício 1 Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma população aproximadamente normal cujo desviopadrão é igual a 20kg forneceu média 356kg construir um intervalo de 95 de confiança para a média dessa população Com 95 de confiança podemos afirmar que o intervalo 3520835992 contém a média dessa população Exercício 2 Fator de Correção Populacional De uma população de 1000 elementos com distribuição aproximadamente normal com σ²400 tirase uma amostra de 25 elementos obtendose x 150 Determine um intervalo de confiança com 95 de certeza também pode ser dito ao nível de 5 para a média dessa população N 1000 σ² 400 σ n 25 x 150 1 α 95 α 5 nivel de significância 95 z257 z251 196 196 E z12 σn N n N 1 E 196 20 25 1000 25 1000 1 E 775 Com 95 de confiança podemos afirmar que o intervalo 14225 15775 contém a média verdadeira da população Exercício 3 O reitor de uma universidade deseja estimar a idade média de todos os estudantes matriculados Em uma amostra aleatória de 20 estudantes a idade média encontrada é 229 anos Baseado em estudos anteriores o desvio padrão conhecido é 15 anos e a população é normalmente distribuída a Construa um intervalo de 90 de confiança para a média de idade da população b Construa um intervalo de 99 de confiança para a média de idade da população O que você observa quando compara com o intervalo do item a Com 90 de confiança podemos afirmar que a média da idade dos alunos está contida no intervalo 2235 2342 Com 99 de confiança podemos afirmar que a média da idade dos alunos está contida no intervalo 2203 2377 Seja como Como você interpreta esse IC Com 95 de probabilidade podemos garantir que está nesse intervalo OU Com 95 de confiança podemos garantir que esse intervalo contém Como uma breve reflexão podemos ver que a primeira interpretação não está correta A interpretação está em compreender que um IC é um intervalo aleatório Interpretando um Intervalo de Confiança Interpretando um Intervalo de Confiança Se um número infinito de amostras é coletado e um intervalo de de confiança é construído significa que deles contém μ Se esse fosse um intervalo de 95 de confiança apenas 5 dos intervalos falharia em conter μ Número do intervalo de confiança Interpretando um Intervalo de Confiança Porém como na prática selecionamos apenas uma amostra não para construir um IC não sabemos se μ vai ou não estar nesse intervalo logo não é razoável vincular um nível de probabilidade a esse evento específico A afirmação apropriada é que o intervalo envolve o valor verdadeiro μ com confiança de Precisão de um Intervalo de Confiança é a precisão do intervalo de confiança Se quisermos diminuir a precisão ou seja ter um intervalo mais apertado basta aumentarmos o erro α ou seja diminuir a confiança 1α α Precisão de um Intervalo de Confiança Se quisermos aumentar a confiança 1α basta diminuirmos o erro e consequentemente aumentar a precisão α Precisão de um Intervalo de Confiança Se quisermos ao mesmo tempo aumentar a confiança 1α ou seja diminuir o erro e ao mesmo tempo apertar ou intervalo ou seja diminuir a precisão a única forma é aumentando n pois quanto maior é a amostra mais representativa ela é da população α n Tamanho de amostra para estimar a média populacional μ Dado um nível de confiança e uma margem de erro precisão o tamanho amostral mínimo n necessário para estimar a média populacional μ é Limites Unilaterais de Confiança para µ com conhecido O limite superior com de confiança para µ é O limite inferior com de confiança para µ é Em que II Intervalo de confiança para a média da população quando a variância é desconhecida Precisamos saber qual é a distribuição amostral para a média populacional quando não conhecemos a variância da população Temos que a variável t de Student não utiliza o desviopadrão da população e sim da amostra A distribuição t Quando o desvio padrão da população é desconhecido o tamanho da amostra é menor que 30 e a variável x é normalmente distribuída ela segue uma distribuição t Tratase de uma aproximação na normal quando ao invés de utilizarmos o desviopadrão da população utilizamos o da amostra x t s n Propriedades da distribuição t 1 A distribuição t tem formato de sino e é simétrica em relação à média A distribuição t é uma família de curvas cada uma determinada por um parâmetro chamado de graus de liberdade Os graus de liberdade estão relacionados com o tamanho da amostra e representam o erro entre a distribuição t e a distribuição normal Quando usamos a distribuição t para estimar a média da população os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um df n 1 Graus de liberdade 2 A área total sob a curva t é 1 ou 100 3 A média a mediana e a moda da distribuição t são iguais a zero 4 Conforme os graus de liberdade aumentam a distribuição t aproximase da distribuição normal Depois de 30 gl a distribuição t está muito próxima da distribuição normal padrão z t 0 Curva normal padrão As caudas na distribuição t são mais grossas que aquelas da distribuição normal padrão df 5 df 2 Solução valores de t 95 da área sob a curva da distribuição t com 14 graus de liberdade está entre t 2145 t t 2145 t 2145 1α 095 Distribuição tStudent t14 51 Grau de liberdade Prob pl frente PT14 t1451 5 Pt49 1761 5 t1551 1761 PZ z 5 751 z 90 t1011 9 98 11 t1011 2764 t1011 2764 P T10 2764 1 População de onde saiu a amostra é Normal σ é desonconhido n 30 E t n1 i2 s n Intervalo de confiança para a média da população quando σ é desconhecido Semiamplitude do intervalo de confiança e0 za2 σSx Sxn e0 tn1 α2 Sxn 1α ½α ½α μ e0 μ μ e0 z PX tn1 α2 Sxn μ X tn1 α2 Sxn 1 α Exercício 4 Considerando que uma amostra de quatro elementos extraída de uma população com distribuição normal forneceu média 820 e desviopadrão 040 desvio padrão da amostra construir um intervalo de 99 de confiança para a média dessa população Com 99 de confiança podemos afirmar que o intervalo 703 937 contém a média verdadeira da população Exercício 5 Você seleciona aleatoriamente 16 cafeterias e mede a temperatura do café vendido em cada uma delas A média de temperatura da amostra é 1620ºF com desvio padrão da amostra de 100ºF Encontre um intervalo de confiança de 95 para a temperatura média Assuma que as temperaturas são normalmente distribuídas Com 95 de confiança podemos afirmar que o intervalo 15667 16733 contém a média da temperatura do café vendido em cafeterias da cidade Tamanho de amostra para estimar a média populacional μ Não se conhecendo o σ população usase sua estimativa s e t de student Para estimar s será necessário uma amostra piloto de n elementos n tn1 α2 s ε2 Retomando o Exercício 5 Você seleciona aleatoriamente 16 cafeterias e mede a temperatura do café vendido em cada uma delas A média de temperatura da amostra é 1620ºF com desvio padrão da amostra de 100ºF Encontre um intervalo de confiança de 95 para a temperatura média Assuma que as temperaturas são normalmente distribuídas A Qual deve ser o tamanho da amostra selecionada para a obtenção de um intervalo de 99 de confiança que tenha a mesma amplitude do interval de 95 de confiança Portanto o tamanho da amostra deve ser 31 Limites Unilaterais de Confiança para µ com desconhecido O limite superior com de confiança para µ é O limite inferior com de confiança para µ é Em que Exercício 6 Considere uma pesquisa que investiga resistência do concreto à compressão quando misturado com cinza uma mistura de sílica alumina ferro óxido de magnésio e outros ingredientes A resistência à compressão em megapascals encontrada para nove amostras secas em 28 dias é 402 304 289 305 224 258 184 142 153 a Fornecido o seguinte gráfico de probabilidade dos dados qual é a suposição lógica acerca da distribuição básica dos dados Resistência Porcentagem b Encontre um intervalo unilateral inferior de 99 de confiança para a resistência média à compressão Forneça um interpretação prática para esse intervalo Com 99 de certeza podemos afirmar que a média da resistência à compressão para esse novo concreto está no intervalo 1699 infinito Se pegarmos 100 amostras em 99 delas vamos ter uma resistência à compressão de no mínimo 17 megapascal c Encontre um intervalo bilateral de 98 de confiança para a resistência média à compressão Forneça um interpretação prática para esse intervalo e explique por que o ponto final inferior do intervalo é ou não o mesmo do item b Com 98 de confiança podemos afirmar que o intervalo 1699 3325 contém a resistência média à compressão no novo cimento Intervalo de Confiança para μ Amostras Grandes Seja X1 X2 Xn uma amostra aleatória proveniente de uma população qualquer com média μ e variância σ2 desconhecidas Se o tamanho da amostra n é grande o TLC implica que X tem aproximadamente uma distribuição normal com média μ e variância σ2 n Em geral σ2 é desconhecida mas a troca de σ pelo desviopadrão S da amostra tem pouco efeito na distribuição de Z Intervalo de Confiança para Amostras Grandes Quando é grande a grandeza tem uma distribuição normal padrão aproximada Consequentemente é um intervalo de confiança para para amostras grandes com nível de confiança de Exercício 7 Uma pesquisa reportou os resultados de um estudo para investigar a contaminação por mercúrio em um peixe de boca grande Uma amostra de peixes foi selecionada proveniente de 53 lagos da Flórida e mediuse a concentração em ppm de mercúrio no tecido muscular Os valores de concentração de mercúrio foram Com base nas estatísticas descritivas no histograma e no gráfico de probabilidade desses dados construa um intervalo de 95 de confiança para a média de concentração de mercúrio no tecido muscular desses peixes Faça uma interpretação prática sobre o intervalo encontrado Com 95 de confiança podemos afirmar que a média de concentração de mercúrio ppm no tecido muscular do peixe de boca grande está contida no intervalo 0431 0619 Quando usar Normal e Quando usar tStudent População cuja média µ será estimada Desviopadrão da população Intervalo de Confiança Normal Conhecido Z Arbitraria qualquer com n grande n30 mas preferível n40 Desconhecido Z usando Normal Desconhecido n 30 t Student III Intervalo de confiança para a variância e desviopadrão populacional Você pode usar uma distribuição quiquadrado para construir um intervalo de confiança para a variância e desvio padrão Se a variável aleatória x tem distribuição normal então a distribuição de forma uma distribuição quiquadrado para amostras de qualquer tamanho n 1 2 2 2 n 1 s σ Propriedades da distribuição quiquadrado 1 Todos valores quiquadrado χ2 são maiores ou iguais a zero 2 A distribuição quiquadrado é uma família de curvas cada uma determinada pelos graus de liberdade Para formar um intervalo de confiança para use a distribuição com graus de liberdade iguais a um a menos do que o tamanho da amostra gl n 1 Graus de liberdade 3 A área abaixo da curva da distribuição quiquadrado é igual a um 4 As distribuições quiquadrado são assimétricas positivas Propriedades da distribuição quiquadrado Há dois valores críticos para cada nível de confiança O valor χ2 R χ2 representa o valor crítico da cauda direita O valor χ2 L χ2 representa o valor crítico da cauda esquerda Valores críticos de χ2 A área entre os valores críticos esquerdo e direito é 1α χ2 1α 2 L 2 R χ χ χ 1 Encontre os valores críticos e para um intervalo de confiança de 90 quando o tamanho da amostra for 20 Solução gl n 1 20 1 19 gl Área à direita de χ2 R Área à esquerda de χ2 L 2 L 2 R Cada área na tabela representa a região sob a curva quiquadrado à direita do valor crítico Exemplo encontrando valores críticos para χ2 90 da área abaixo da curva está entre 10117 e 30144 Pela Tabela Variável χ² χ²c n1 δ² σ² Pχ²L χ² χ²R 1 α Pχ²L n1 δ² σ² χ²R 1 α P1 χ²L σ² n1 δ² 1 χ²R 1 α P1 χ²R σ² n1 δ² 1 χ²L α Pn1 δ² χ²R σ² n1 δ² χ²L 1 α Intervalo de confiança para Intervalos de confiança para 2 e 2 2 2 2 1 1 R L n s n s 2 σ A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha σ2 ou σ é Intervalo de confiança para 2 2 2 2 2 1 1 R L n s n s σ χ χ χ 1 2 2 2 n 1 s σ Limites Unilaterais de Confiança para a Variância O limite inferior de confiança de confiança para é χ O limite superior de confiança de confiança para é χ Exercício 8 Uma amostra de onze elementos extraída de uma população com distribuição normal forneceu variância 708 Construir um intervalo de 90 de confiança para a variância dessa população Exercício 9 Uma máquina automática de enchimento é usada para encher garrafas com detergente líquido Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância amostral de s² 04525 ml Se a variância do volume de enchimento for muito grande existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo e cujo enchimento foi em demasia Considere que o volume de enchimentos seja distribuído de forma aproximadamente normal Construa um intervalo superior de confiança para a variância de enchimento dessa máquina Qual a interpretação prática para esse intervalo n 20 s² 04525 σ² σ² n1 s² χ²L σ² 19 04525 1018 σ² 08496 Com 95 de confiança podemos afirmar a variância dessa produção está limitada por 08496 IV Intervalo de confiança para a proporção populacional Qual a distribuição de probabilidade que estuda a proporção da população Usamos a distribuição f e p para determinar o intervalo para a proporção da população Intervalo de confiança para a proporção populacional Intervalos de confiança para p Um intervalo de confiança 1α para a proporção populacional p p ε p p ε sendo ε zα2 p1pn A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha p é 1α Pp zα2 p1pn p p zα2 p1pn 1α Exercício 10 Retirada uma amostra de 1000 peças da produção de uma máquina verificouse que 35 eram defeituosas Obtenha um intervalo de confiança de 95 para a proporção de defeitos produzidos pela máquina Com 95 de confiança podemos afirmar que o intervalo 236 464 contém a proporção de peças defeituosas