Teste de Hipóteses para Duas Amostras - Guia Completo e Exemplos

Probabilidade Estatística Prof Douglas Moura Miranda Referência MONTGOMERY RUNGER Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 5ºEdição Capítulo 10 1 Teste de Hipótese para 2 amostras 2 População Métodos de amostragem coleta Conhecimento Análise Preliminar Conclusão Amostra Inferência estatística Estatística Descritiva Motivação e Contexto Análise Estatística Estatística Ciência de Dados Estatística Infe𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 Tirar conclusões da população a partir de uma amostra Teste de Hipóteses para 2 amostras comparar estatisticamente 2 amostras Auxiliar o engenheiro na tomada de decisões 4 Motivação e Contexto Ex Contaminação de água Um estudo está analisando uma possível contaminação da água por arsênio em 2 comunidades Foram coletadas 10 amostras em diferentes locais de cada uma das 2 comunidades e agora desejase descobrir se existe diferença nos níveis de concentração de arsênio entre as 2 comunidades Como fazer esta análise 5 Motivação e Contexto Ex Composição de tinta Um Eng Químico está analisando diferentes formulações de tinta em que a medida de desempenho é o tempo de secagem Foram coletadas 20 amostras para cada uma de 2 composições químicas e desejase saber qual delas é a melhor Como proceder Testes de Hipóteses para 2 amostras Testes de Médias para variâncias iguais Testes de Médias para variâncias diferentes Testes de Proporções Testes de Variâncias Teste de Médias de Duas Distribuições Normais Variâncias Conhecidas 𝑁𝜇1 𝜎1 2 𝑥 𝑁𝜇2 𝜎2 2 𝑥 𝑁𝜇1 𝜇2 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑥 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 Bilateral Unilateral à esquerda Unilateral à direita variâncias conhecidas ou amostras grandes 30 para que o TCL resulte numa distribuição de médias amostrais realmente Normal Unilateral unicaudal à direita Unilateral unicaudal à esquerda Bilateral Rejeição de H0 Rejeição de H0 Rejeição de H0 Rejeição de H0 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜇1 𝜇2 𝜇1 𝜇2 Assim como no capítulo anterior o objetivo é descobrir se o zobs está ou não na região de rejeição estabelecida pelo zcrit 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 Teste de Médias de Duas Distribuições Normais Variâncias Conhecidas 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐹𝛼 1 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐹𝛼 1 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐹𝛼2 1 Teste de Médias de Duas Distribuições Normais Variâncias Conhecidas 𝑧𝑜𝑏𝑠 ഥ𝑥 𝜇 𝜎 𝑛 𝑧𝑜𝑏𝑠 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 Para 1 amostra Para diferença de 2 amostras 𝜇 𝑚é𝑑𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 2 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 diferença média hipotetizadaespecificadadesejada 𝜎 ҧ𝑥 2𝜎 ҧ𝑥1 2 𝜎 ҧ𝑥2 2 𝜎 ҧ𝑥 𝑜𝑢 𝐸𝑃 Exemplo Um eng químico que desenvolve produtos está interessado em reduzir o tempo de secagem da tinta Duas formulações de tinta são testadas a formulação 1 tem uma química padrão e a formulação 2 tem um novo ingrediente para secagem que potencialmente reduz o tempo de secagem Da experiência sabese que o desviopadrão do tempo de secagem é igual a 8 minutos e essa variabilidade inerente não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente 10 amostras são pintadas com a formulação 1 e outras 10 amostras com a formulação 2 Note que as 20 amostras são pintadas em uma ordem aleatória Os tempos médios de secagem das duas amostras são 121 minutos e 112 minutos respectivamente Quais as conclusões que o eng químico pode tirar sobre a eficiência do novo ingrediente usando α 005 Teste de Hipótese 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 0 𝐻1 𝜇1 𝜇2 0 0 Rejeição de H0 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜇1 𝜇2 1 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐹𝛼 1 𝐹005 1 1645 2 𝑧𝑜𝑏𝑠 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 121 112 0 82 10 82 10 252 Método de AceitaçãoRejeição Como 𝑧𝑜𝑏𝑠 está dentro da região de rejeição de H0 rejeitase H0 e assumese que de fato a média da formulação 1 é maior que da formulação 2 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑍 𝑧𝑜𝑏𝑠 𝑃 𝑍 252 00059 Método do pvalor Como 0 está fora do intervalo de confiança rejeitase H0 Como 𝑝 𝛼 rejeitase H0 e assumese que de fato a média da formulação 1 é menor que da formulação 2 𝐿𝐼 𝐼𝐶 95 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝑧𝛼 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 121 112 1645 3578 312 Método do Intervalo de Confiança 𝜇1𝜇2 312 Exemplo Baseado no exercício anterior com teste de hipótese bilateral Teste de Hipótese 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 0 𝐻1 𝜇1 𝜇2 0 0 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐹𝛼2 1 𝐹0025 1 196 𝑧𝑜𝑏𝑠 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 121 112 0 82 10 82 10 252 Método de AceitaçãoRejeição Como 𝑧𝑜𝑏𝑠 está dentro da região de rejeição de H0 rejeitase H0 e assumese que de fato a média da formulação 1 é diferente que da formulação 2 Rejeição de H0 Rejeição de H0 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜇1 𝜇2 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟2 𝑃𝑍 𝑧𝑜𝑏𝑠 𝑃 𝑍 252 00119 Método do pvalor Como 0 está fora do intervalo de confiança rejeitase H0 Como 𝑝 𝛼 rejeitase H0 e assumese que de fato a média da formulação 1 é menor que da formulação 2 𝐿𝐼𝐶 95 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝑧𝛼2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 121 112 196 3578 Método do Intervalo de Confiança 𝜇1𝜇2 199 1601 Ainda baseado no exercício anterior qual deve ser o tamanho da amostra para uma potência desejada de 90 detectar uma diferença verdadeira de 10 minutos ou mais Curvas CO para diferentes valores de n para o teste normal unilateral com um nível de significância de α 005 Tabela 7c do livro Montgomery 𝑑 𝜇1 𝜇2 𝜎1 2 𝜎2 2 10 82 82 𝑑 088 Aproximadamente n1n211 Caso precise de 𝑛1 𝑛2 pode usar equação abaixo 𝛽 𝜇1 𝜇2 diferença verdadeira mínima para detecção H1 Um outro critério para escolha do tamanho de amostras vem do Intervalo de Confiança Seja o caso bilateral 𝐼𝐶 ഥ𝒙𝟏 ഥ𝒙𝟐 𝑬 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝑧𝛼2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 𝐸 𝑧𝛼2 𝜎1 2 𝑛 𝜎2 2 𝑛 Para um erro máximo desejado 𝐸 e assumindo amostras de tamanhos iguais é possível isolar 𝑛 Então temos 𝑛 𝑧𝛼2 𝐸 2 𝜎1 2 𝜎2 2 Teste para a diferença de médias variâncias desconhecidas e iguais Usar distribuição de Student Premissa checar se Curtose e Assimetria estão entre 0 e 1 variâncias desconhecidas ou amostras pequenas 30 para que o TCL resulte numa distribuição de médias amostrais pelo menos próxima a uma Normal 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 2 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝒕𝒐𝒃𝒔 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝜎2 𝑛1 𝜎2 𝑛2 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝜎 1 𝑛1 1 𝑛2 𝜎2 𝑆𝑝 2 𝑘1𝑆1 2 𝑘2𝑆2 2 𝑘1 𝑘2 𝑘1 𝑘2 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 Variância ponderada 𝑘 𝑘1 𝑘2 Ao calcular t crítico Exemplo Duas substancias catalisadoras estão sendo analisadas para determinar como elas afetam o rendimento médio de um processo químico Especificamente o catalisador 1 está correntemente em uso mas o catalisador 2 é aceitável Uma vez que o catalisador 2 é mais barato ele deve ser adotado desde que não mude o rendimento do processo Um teste é feito em uma planta piloto resultando nos dados mostrados na tabela Há alguma diferença entre os rendimentos médios Use α 005 e considere variâncias iguais i Catalisador 1 Catalisador 2 1 915 8919 2 9418 9095 3 9218 9046 4 9539 9321 5 9179 9719 6 8907 9704 7 9472 9107 8 8921 9275 média 92255 92733 desviop 2385 2983 Com base no enunciado teste de hipótese bilateral Teste de Hipótese 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 0 𝐻1 𝜇1 𝜇2 0 0 𝒕𝒄𝒓𝒊𝒕 𝐹𝛼2𝑘 1 𝐹002514 1 2145 𝒕𝒐𝒃𝒔 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝑆𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 92255 92733 0 27 1 8 1 8 035 Método de AceitaçãoRejeição Como 𝑡𝑜𝑏𝑠 está fora da região de rejeição de H0 não rejeitase H0 Rej de H0 Rej de H0 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑆𝑝 2 𝑘1𝑆1 2 𝑘2𝑆2 2 𝑘1 𝑘2 8 1 2392 8 1 2982 8 1 8 1 730 𝑆𝑝 730 27 𝑛1 𝑛2 8 Método do pvalor Como 0 está dentro do intervalo de confiança não rejeitase H0 Como 𝑝 𝛼 não rejeitase H0 e assumese que de fato as médias dos catalisadores não são diferentes 𝐿𝐼𝐶 95 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝑡𝛼 22𝑛2 𝑆𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 92255 92733 2145 135 Método do Intervalo de Confiança 𝜇1𝜇2 337 242 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 2 𝑃 𝑇 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑃𝑇 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑃 𝑇 035 03642 𝑝 07286 Teste para a diferença de médias variâncias desconhecidas e diferentes Usar distribuição de Student Premissa checar se Curtose e Assimetria estão entre 0 e 1 variâncias desconhecidas ou amostras pequenas 30 para que o TCL resulte numa distribuição de médias amostrais pelo menos próxima a uma Normal 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 2 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝒕𝒐𝒃𝒔 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 𝑘 𝑠1 2 𝑛1 𝑠2 2 𝑛2 2 𝑠1 2 𝑛1 2 𝑘1 𝑠2 2 𝑛2 2 𝑘2 Ao calcular o valor crítico 𝒕𝒄𝒓𝒊𝒕 devese estimar um número total de graus de liberdade arredondar para menor inteiro Exemplo A concentração de arsênio em suprimentos públicos de água potável é um risco potencial de saúde Um artigo reportou as concentrações em partes por bilhão ppb de arsênio em água potável para 10 comunidades metropolitanas e 10 comunidades rurais Dados Comunidade Média Desviopadrão Assimetria Curtose Metropolitanas 125 39 05 07 Rurais 158 24 01 04 Desejase saber se as concentrações diferem para um α 005 Com base no enunciado teste de hipótese bilateral Teste de Hipótese 𝐻0 𝜇1 𝜇2 𝐻1 𝜇1 𝜇2 𝐻0 𝜇1 𝜇2 0 𝐻1 𝜇1 𝜇2 0 0 𝒕𝒐𝒃𝒔 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 125 158 0 392 10 242 10 2279 Método de AceitaçãoRejeição Como 𝑡𝑜𝑏𝑠 está dentro da região de rejeição de H0 rejeitase H0 Rej de H0 Rej de H0 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝒕𝒄𝒓𝒊𝒕 𝐹𝛼2𝑘 1 𝐹002514 1 214 𝑘 149 14 Graus de Liberdade Total da fórmula 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟2 𝑃𝑇 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑃 𝑇 2279 00194 𝑝 00388 Método do pvalor Como 0 está fora do intervalo de confiança rejeitase H0 Como 𝑝 𝛼 rejeitase H0 e assumese que as médias dos níveis de contaminação são diferentes 𝐿𝐼𝐶 95 ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 𝑡𝛼 2𝑘 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 125 158 2140 1448 Método do Intervalo de Confiança 𝜇1𝜇2 64 019 Teste t emparelhado Usa a distribuição de Student Num teste emparelhado pareado diferentes medidas são tomadas na mesma unidade amostral elemento em dois pontos distintos no tempo Ao fazer 2 medições sob diferentes condições num mesmo indivíduo tenta se controlar fontes de variação que poderiam influenciar os resultados da comparação Exemplo Ao testar a eficácia de um remédio para colesterol pode medir o colesterol em 𝑛 indivíduos antes do remédio e nos mesmos 𝑛 indivíduos após o remédio Assim a única variável influenciando a diferença entre o antes e o depois é o remédio Se os 𝑛 indivíduos antes fossem diferentes dos 𝑛 indivíduos depois pode ser que um grupo tivesse uma maior proporção de obesos que o outro influenciando os resultados Basicamente calculase a diferença entre os 2 elementos dos respectivos pares e fazse um teste equivalente ao de 1 amostra para a diferença Teste de Hipótese Pareado 𝐻0 𝜇𝑑 𝐻1 𝜇𝑑 𝒕𝒐𝒃𝒔 ҧ𝑥𝑑 𝑠𝑑 𝑛 Rej de H0 Rej de H0 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝒕𝒄𝒓𝒊𝒕 𝐹𝛼 2𝑛1 1 Elemento Antes Depois Diferença 1 x1 y1 x1y1 2 x2 y2 x2y2 3 x3 y3 x2y2 n xn yn xnyn ҧ𝑥𝑑 média da diferença 𝑠𝑑 desviopadrão da diferença 𝐻1 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑑 𝜇𝑑 Exemplo Um artigo compara vários métodos para prever a resistência ao cisalhamento em vigas planas de aço Dados para 2 desses métodos os procedimentos de Karlsruhe e Lehigh quando aplicados a 9 vigas específicas são mostrados na tabela Desejamos determinar se há qualquer diferença na média entre os dois métodos Corpo de prova i Método de Karlsruhe Método de Lehigh Diferença dj 1 1186 1061 0125 2 1151 0992 0159 3 1322 1063 0259 4 1339 1062 0277 5 1200 1065 0135 6 1402 1178 0224 7 1365 1037 0328 8 1537 1086 0451 9 1559 1052 0507 Estatística Descritiva Média 0274 Erro Padrão 0045 Mediana 0259 Moda NA Desvio padrão 0135 Variância 0018 Curtose 0560 Assimetria 0701 Intervalo 0382 Min 0125 Max 0507 Soma 2465 Quantidade 9000 𝐻0 𝜇𝑑 0 𝐻1 𝜇𝑑 0 𝒕𝒐𝒃𝒔 ҧ𝑥𝑑 𝑠𝑑 𝑛 02739 0 01350 9 608 𝒕𝒄𝒓𝒊𝒕 𝐹𝛼 2𝑛1 1 𝐹 00258 1 2306 Rej de H0 Rej de H0 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 2306 2306 Decisão Rejeitar H0 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟2 𝑃𝑇 𝑡𝑜𝑏𝑠 𝑃 𝑇 608 000015 𝑝 00003 Método do pvalor Como 0 está fora do intervalo de confiança rejeitase H0 Como 𝑝 𝛼 rejeitase H0 e assumese que existe diferença 𝐿𝐼𝐶 95 ҧ𝑥𝑑 𝑡𝛼 2𝑛1 𝑠𝑑 𝑛 0274 2306 0045 Método do Intervalo de Confiança 𝜇1𝜇2 0170 0378 Note que num teste t não emparelhado em que assumese variâncias diferentes o número de graus de liberdade é menor do quando assumese variância iguais então a perda de graus de liberdade para o emparelhado não é tão grande n1n2 Graus Lib variâncias iguais não Emp Graus Lib variâncias diferentes não Emp Graus Lib Emparelhado 5 8 5 4 10 18 11 9 15 28 17 14 20 38 23 19 25 48 29 24 30 58 35 29 𝑘 𝑠1 2 𝑛1 𝑠2 2 𝑛2 2 𝑠1 2 𝑛1 2 𝑘1 𝑠2 2 𝑛2 2 𝑘2 𝑘 2𝑛 2 𝑘 𝑛 1 para o exemplo do cisalhamento em vigas Inferência para as Variâncias de Duas Distribuições Normais Usa a distribuição F A variável aleatória F é definida como a razão de duas variáveis aleatórias independentes quiquadrado cada uma dividida pelo seu número de graus de liberdade Assume que as 2 populações em análise são Normais 𝐹 𝑊 𝑢 𝑌 𝑣 𝑓1𝛼𝑢𝑣 1 𝑓𝛼𝑣𝑢 Note que ao calcular o inverso também inverte graus de liberdade 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 Rej H0 Rej H0 𝐻0 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑓𝛼2 𝑢 𝑣 𝑓1𝛼2 𝑢 𝑣 Obter valores críticos Para o Teste de Hipótese 𝑓𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑𝑖𝑟 𝑓𝛼2 𝑢 𝑣 𝐹𝑑𝑖𝑟00595 1 477 𝑓𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑒𝑠𝑞 𝑓1𝛼2 𝑢 𝑣 1 𝑓𝛼𝑣𝑢 1 𝐹𝑑𝑖𝑟00559 1 1 348 029 Ver tabela F n1 10 n2 6 NC90 𝑷𝑭 𝒇𝜶𝒖𝒗 𝟎 𝟎𝟓 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 Rej H0 Rej H0 Rej H0 Rej H0 𝐻0 𝜎1 2 𝜎2 2 𝒇𝒐𝒃𝒔 𝑆1 2 𝑆2 2 𝑓𝛼2 𝑢 𝑣 𝑓1𝛼2 𝑢 𝑣 𝑓𝛼 𝑢 𝑣 𝑓1𝛼 𝑢 𝑣 Teste de Hipótese 𝒇𝒄𝒓𝒊𝒕 Exemplo Camadas de óxidos em pastilhas de semicondutores são atacadas com uma mistura de gases de modo a atingir a espessura apropriada A variabilidade na espessura dessas camadas de óxidos é uma característica crítica da pastilha Uma baixa variabilidade é desejada para as etapas subsequentes do processo Duas misturas diferentes de gases estão sendo estudadas para determinar se uma delas é superior na redução da variabilidade de espessura das camadas de óxido Amostra são atacadas com cada gás Tamanho de amotra desviospadrões da espessura de óxido são n1 16 s1 196 angstroms e n2 11 s2 213 angstroms respectivamente Há qualquer evidência que indique ser um gás diferente em relação ao outro Use um teste com α 005 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 Rej H0 Rej H0 𝐻0 𝜎1 2 𝜎2 2 𝒇𝒐𝒃𝒔 𝑆1 2 𝑆2 2 1962 2132 085 𝑓𝛼2 𝑢 𝑣 𝑓1𝛼2 𝑢 𝑣 Teste de Hipótese 𝑓𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑𝑖𝑟 𝑓𝛼2 𝑢 𝑣 𝐹𝑑𝑖𝑟00251510 1 352 𝑓𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑒𝑠𝑞 𝑓1𝛼2 𝑢 𝑣 1 𝑓𝛼𝑣𝑢 1 𝐹𝑑𝑖𝑟00251015 1 1 306 0327 Região de não rejeição 0327 352 Como o valor observado 085 está dentro desta região não rejeitar H0 Ver tabela F n1 16 s1 196 n2 11 s2 213 𝑷𝑭 𝒇𝜶𝒖𝒗 𝟎 𝟎𝟐𝟓 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 Rej H0 Rej H0 𝐻0 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑓𝛼2 𝑢 𝑣 𝑓1𝛼2 𝑢 𝑣 No Excel 𝑓𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑𝑖𝑟 𝑓𝛼2 𝑢 𝑣 𝑓𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑒𝑠𝑞 𝑓1𝛼2 𝑢 𝑣 n1 16 s1 196 n2 11 s2 213 𝐼𝑁𝑉 𝐹 𝐶𝐷 0025 15 10 35217 𝐼𝑁𝑉 𝐹 𝐶𝐷 0975 15 10 03268 𝐼𝑁𝑉 𝐹 0025 15 10 03268 ou 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟2 𝐦𝐢𝐧𝑷 𝑭 𝒇𝒐𝒃𝒔 𝑷 𝑭 𝒇𝒐𝒃𝒔 min0376 062 𝑝 0752 Método do pvalor Como o valor 1 pertence ao intervalo de confiança não rejeitase H0 Como 𝑝 𝛼 não rejeitase H0 e assumese que não existe diferença 𝑆1 2 𝑆2 2 𝑓1𝛼 2𝑣𝑢 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑆1 2 𝑆2 2 𝑓𝛼 2𝑣𝑢 Método do Intervalo de Confiança 𝜎1 2 𝜎2 2 024 259 Ainda no exemplo 1962 2132 0284 𝜎1 2 𝜎2 2 1962 2132 306 Note que se 𝜎12 𝜎22 1 então 𝜎1 2 𝜎2 2 Para IC usar os graus de liberdade invertidos 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑙 𝑃 𝐹 𝑓𝑜𝑏𝑠 𝐷𝐼𝑆𝑇 𝐹 𝐶𝐷 085 15 10 062 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 Método do pvalor 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑆1 2 𝑆2 2 𝑓1𝛼𝑣𝑢 Método do Intervalo de Confiança Em casos unilaterais 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 𝐻1 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑃 𝐹 𝑓𝑜𝑏𝑠 𝑃 𝐹 𝑓𝑜𝑏𝑠 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑆1 2 𝑆2 2 𝑓𝛼𝑣𝑢 Inferência de Proporções de Duas Populações Análogo ao teste de proporção para 1 amostra utilizase a distribuição Z quando possível aproximar a binomial pela Normal Exemplo Extratos de ervadesãojoão são largamente usados para tratar depressão Um artigo comparou a eficácia de um extratopadrão de erva com um placebo em 200 pacientes diagnosticados com depressão unipolar Pacientes foram designados aleatoriamente em dois grupos um grupo recebeu a ervadesãojoão e o outro recebeu placebo Depois de oito semanas 19 dos pacientes tratados com placebo mostraram melhoria enquanto 27 daqueles tratados com a ervadesãojoão melhoraram Há alguma razão para acreditar que a ervadesãojoão seja efetiva no tratamento de depressão unipolar Use α 005 Com base no enunciado teste de hipótese bilateral Teste de Hipótese 𝐻0 𝑝1 𝑝2 𝐻1 𝑝1 𝑝2 𝐻0 𝑝1 𝑝2 0 𝐻1 𝑝1 𝑝2 0 0 𝒛𝒄𝒓𝒊𝒕 𝐹𝛼2 1 𝐹0025 1 196 𝒛𝒐𝒃𝒔 Ƹ𝑝1 Ƹ𝑝2 Ƹ𝑝1 Ƹ𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 027 019 0 023077 1 100 1 100 134 Método de AceitaçãoRejeição Como 𝑧𝑜𝑏𝑠 134 está fora da região de rejeição de H0 não rejeitase H0 Rej de H0 Rej de H0 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 Ƹ𝑝1 Τ 27 100 027 Ƹ𝑝2 Τ 19 100 019 Ƹ𝑝 27 19 100 100 023 196 196 Amostra 1 extrato da erva Amostra 2 placebo 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟2 𝑃𝑍 𝑧𝑜𝑏𝑠 𝑃 𝑍 134 0090 𝑝 0180 Método do pvalor Como 0 está dentro do intervalo de confiança não rejeitase H0 Como 𝑝 𝛼 não rejeitase H0 e assumese que as proporções não são diferentes 𝐼𝐶 95 Ƹ𝑝1 Ƹ𝑝2 𝑧𝛼 2 Ƹ𝑝1 1 Ƹ𝑝1 𝑛1 Ƹ𝑝2 1 Ƹ𝑝2 𝑛2 Método do Intervalo de Confiança Ƹ𝑝1 Ƹ𝑝2 0036 0196 027 019 196 0059