Funções de Variáveis Complexas: Limite e Continuidade - Aula 3

Terceira Aula de Funções de Variáveis Complexas Prof Leonardo de Amorim e Silva Limite e Continuidade Denição Seja z0 C um ponto de acumulação do domínio D de uma função f D C C Dizemos que f tem limite w C quando z tende a z0 e denotamos por lim zz0 f z w se dado ϵ 0 existe δ 0 tal que para todo z D se 0 z z0 δ f z w ϵ Quando z0 D e lim zz0 f z f z0 dizemos que f é uma função contínua em z0 Quando o limite de uma função f z existe em um ponto z0 então o limite é único De fato suponha que lim zz0 f z w1 e lim zz0 f z w2 Então dado ϵ 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que 0 z z0 δ1 f z w1 ϵ2 0 z z0 δ2 f z w2 ϵ2 Assim para 0 min01 62 se 0 z z 6 ento Ow2m fz wm Fz we Fz wal Fz 262 Como pode ser tomado arbitrariamente pequeno temos que Wo wy 0 isto é wy Wo Exemplos 3 1 Mostremos que lim zy er 1i z2i 2 Dado 0 queremos 6 0 tal que se 31 02n 72 a4i e Note que z3 Z3i22i z 2j SU fJF ew 7 MT Pee eas SS Assim tomando 6 2c temos que se 0 z 2 6 entdo z3i z2A 6 2 2 Mostremos que lim z 3z 4 6 zZ2i Dado 0 queremos 6 0 tal que se 0 z2i 5 z 3z 4 6 Note que z3z46 z 4 4 3z 2 z 2z 2 3z 2 z 2iz 21 3 z 2iz 27 3 z 2iz 3 2 z 2iz 5 Como z 2i podemos supor que z 2i 1 Assim z 2i z 2i 1 o que implica que z 3 e portanto z2 3z 46i z 2iz5 z 2i35 8z 2i Logo tomando δ minϵ8 1 temos que se 0 z 2i δ então z2 3z 4 6i 8z 2i 8δ 8ϵ8 ϵ Exercício Dada a função f z 2i z mostre que f é contínua em z 1 Exemplo Considere a função f z z z Observe que quando z x 0i com x 0 temos que f z 1 e que quando z 0 yi com y 0 temos que f z 1 Logo o limite lim z0 f z não existe pois lim z0 zx0i f z 1 e lim z0 z0yi f z 1 Proposição Sejam f e g duas funções com domínio D e z0 um ponto de acumulação de D Se lim zz0 f z w e lim zz0 f z v então 1 lim zz0f z gz w v lim zz0 f z lim zz0 gz 2 lim zz0f z gz w v lim zz0 f z lim zz0 gz 3 lim zz0 f z gz w v lim zz0 f z lim zz0 gz desde que lim zz0 gz v 0 Dem A demostração destas propriedades segue de maneira análoga ao estudado no Cálculo 1 e será deixada como exercício Observação 1 Segue também destas propriedades que se f e g são contínuas em z0 então f g f g e f g desde que gz0 0 são contínuas em z0 2 Se g é uma função contínua em z0 e f é uma função contínua em gz0 então f gz é contínua em z0 Teorema Suponha que f z ux y ivx y com z x yi é uma função com domínio D e z0 x0 y0i um ponto de acumulação de D Então lim zz0 f z u0 v0i lim xyx0y0 ux y u0 e lim xyx0y0 vx y v0 Dem Como lim zz0 f z u0 v0i dado ϵ 0 existe δ 0 tal que para todo z D se z z0 δ então f z u0 v0i ϵ Mas note que ux y u0 Ref z u0 v0i e vx y v0 Imf z u0 v0i Logo ux y u0 f z u0 v0i e vx y v0 f z u0 v0i Como z z0 x y x0 y0 segue que se x y x0 y0 z z0 δ então ux y u0 f z u0 v0i ϵ e vx y v0 f z u0 v0i ϵ Portanto lim xyx0y0 ux y u0 e lim xyx0y0 vx y v0 Suponha agora que lim xyx0y0 ux y u0 e lim xyx0y0 vx y v0 Então dado ϵ 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que x y x0 y0 δ1 então ux y u0 ϵ2 e se x y x0 y0 δ2 então vx y v0 ϵ2 Então tomando δ minδ1 δ2 temos que se z z0 x y x0 y0 δ então f z u0 v0i ux y u0 ivx y v0 ux y u0 vx y v0 ϵ 2 ϵ 2 ϵ Portanto lim zz0 f z u0 v0i Corolário Uma função f z ux y ivx y é contínua num ponto z0 x0 iy0 se e somente se suas partes real e imaginária forem contínuas nesse ponto Exercício Calcule os limites 1 lim z3i z2 5z 2 lim zi 4z i z 1 3 lim z2i 2x y2 Podemos também denir limites innitos e limites no innito Denição Dizemos que f z tem limite w quando z tende ao innito e escrevemos lim z f z w se dado ϵ 0 existe M 0 tal que para todo z Df se z M então f z w ϵ Denição Dizemos que f z tende ao innito quando z tende a z0 e escrevemos lim zz0 f z se para qualquer K 0 existe δ 0 tal que para todo z Df se z z0 δ então f z K Denição Dizemos que f z tende ao innito quando z tende ao innito e escrevemos lim z f z se dado qualquer K 0 existe M 0 tal que para todo z Df se z M então f z K Teorema 1 lim fz w lim 2 w zZ 00 z0 Z 1 ee fz a Fz 0 1 lim Mz 00 lim Fae 9 Dem 1 Note que se lim fz w ento dado 0 existe ZC M 0 tal que para todo z Dy se z M entdo fz w e Assim trocando z por 1z teremos que f1z w sempre que 1z M isto é z 1M Assim tomando 6 1M temos que se z 0 0 entdo f1z w e Portanto 1 lim f w z0 Z 2 Como lim fz 00 ento dado qualquer K 0 existe 5 0 tal ZZo que para todo z Dr se z zo 6 entdo fz K isto é 1 1 1 1K ou ainda 5 o Entdo parae 1K If z fz K temos que jim Fz 0 3 Note que lim fz oo se dado qualquer K 0 existe Zz co M 0 tal que para todo z Dr se z M entdo fz K Assim trocando z por 1z temos que se 1z M entao f1z K a qual pode ser reescrito da seguinte forma 1 1 1 0 entao 0 se z qq entto ars j ou seja para 1K basta tomarmos 6 1M que teremos que 1 lim 0 250 F1z Exemplos Calcule 1 lim z1 iz 3 z 1 Observe que lim z1 z 1 iz 3 0 3 i 0 logo lim z1 iz 3 z 1 2 lim z 2z i z 1 Observe que lim z0 21z i 1z 1 lim z0 2 iz 1 z 2 logo lim z 2z i z 1 2 3 lim z z2 i 3z 5 Observe que lim z0 31z 5 1z2 i lim z0 3z 5z2 1 iz2 0 logo lim z z2 i 3z 5 Exercício Calcule lim z 3iz 5 2z i e lim z4i 5z 2z 8i Derivadas A denição de derivada de uma função de variável complexa é formalmente a mesma que no caso de uma função de variável real Denição Seja f A C C uma função denida sobre um conjunto aberto e conexo A e seja z0 A Dizemos que f é derivável em z0 se existe o limite lim zz0 f z f z0 z z0 f z0 ou lim h0 f z0 h f z0 h f z0 Quando este limite existe ele dene uma nova função de z a derivada de f denotada por f e dada por f z lim h0 f z h f z h Exemplo 1 A função f z z2 é derivável em z0 C De fato pois lim zz0 f z f z0 z z0 lim zz0 z2 z2 0 z z0 lim zz0 z z0z z0 z z0 lim zz0 z z0 2z0 Exemplo 2 Considere a função f z zn com n N Então a derivada de f em z0 é f z0 lim zz0 f z f z0 z z0 lim zz0 zn zn 0 z z0 lim zz0zn1 zn2z0 zn3z2 0 zzn2 0 zn1 0 nzn1 0 Exemplo 3 A função f z z não é derivável em C De fato pois lim h0 f z h f z h lim h0 z h z h lim h0 z h z h lim h0 h h Como h C então h x yi x y no plano complexo e assim se h se aproxima de 0 0 0 no plano complexo pelos pontos da forma x 0 então h x 0i x 0i h e portanto lim h0 hx0i f z h f z h lim h0 h h lim h0 h h 1 Por outro lado se h se aproxima de 0 0 0 no plano complexo pelos pontos da forma 0 y então h 0 yi 0 yi 0 yi h e portanto lim h0 h0yi f z h f z h lim h0 h h lim h0 h h 1 Portanto este limite não existe e logo f não é derivável em C Proposicado Se uma funcado f é derivdvel em um ponto zo entdo f é continua em Zo DemDevemos mostrar que lim fz fz Como f é derivavel ZZo fzf em Zo temos fz lim Fz f20 existe Logo ZZo ZZO 4 f2 fl20 Jim fz Jim ea Zo Fz fz f fim PD 20 ins 2 29 20 ZZo ZZ ZZo fz0 Fz Fz0 Portanto f continua em Zo Exemplo A recíproca deste resultado não é verdadeira Pois para a função f z z vimos no exemplo anterior que f não é derivável em z0 C Mas f é continua em z0 x0 y0i pois supondo f z ux y vx yi temos que ux y x e vx y y e logo lim xyx0y0 ux y x0 e lim xyx0y0 vx y y0 Então do Teorema 9 temos que lim zz0 f z x0 y0i z0 f z0 As regras básicas de derivação para funções de variáveis reais permanecem válidas para funções de variáveis complexas Proposição Seja f e g duas funções deriváveis em z0 e c C Então 1 f g é derivável em em z0 e f gz0 f z0 gz0 2 cf é derivável em em z0 e c f z0 c f z0 3 f g é derivável em em z0 e f gz0 f z0gz0 f z0gz0 4 Quando gz0 0 f g é derivável em em z0 e f gz0 f z0gz0 f z0gz0 gz02 Dem Segue de maneira análoga ao visto no Cálculo 1 exercício Exemplos 1 Se f z anzn an1zn1 a2z2 a1z a0 então f z nanzn1 n 1an1zn2 2a2z a1 2 Para z 0 se f z 1 zn zn então f z 1zn 1zn zn2 nzn1 z2n nzn1 Exercício Derive as funções f z z iz2 2iz 3 e f z z2 iz z 2 Proposicao Regra da Cadeia Sejaf ACegBC fungées tais que gB C A Entdo se g éderivavel em z ef é derivavel em gz entéo fog é derivavel em zo e f 0 gzo fgz0e zo Dem Segue de maneira analoga ao visto no Calculo 1 Exemplo Seja fz 2z iz entao fz 32z iz4z i 2 Exercicio Determine a derivada da funcdo fz As equações de CauchyRiemann Proposição Seja f A C e representemos f em termos de suas partes real e imaginária como uma função de duas variáveis f x y ux y ivx y Se f é diferenciável em um ponto z0 então as derivadas parciais das funções ux y e vx y existem neste ponto e satisfazem as equações u x z0 v y z0 e u y z0 v x z0 As equações acima são chamadas equações de CauchyRiemann Além disso temos f z0 f x z0 i f y z0 Dem Suponha que z0 x0 iy0 Como f é diferenciável em z0 temos f z0 lim zz0 f z f z0 z z0 Como neste limite não há qualquer restrição sobre a maneira como z se aproxima de z0 no plano complexo faremos z se aproximar de z0 ao longo da reta y y0 Neste caso f z f z0 ux y0 ivx y0 ux0 y0 ivx0 y0 ux y0 ux0 y0 ivx y0 vx0 y0 e f z0 lim zz0 f z f z0 z z0 lim xx0 ux y0 ux0 y0 x x0 i lim xx0 vx y0 vx0 y0 x x0 u x x0 y0 i v x x0 y0 f x z0 Por outro lado fazendo z se aproximar de z0 ao longo da reta x x0 teremos f z f z0 ux0 y ivx0 y ux0 y0 ivx0 y0 ux0 y ux0 y ivx0 y0 vx0 y0 e f z0 lim zz0 f z f z0 z z0 lim yy0 ux0 y ux0 y0 iy iy0 i lim yy0 vx0 y vx0 y0 iy iy0 lim yy0 vx0 y vx0 y0 y y0 i lim yy0 ux0 y ux0 y0 y y0 v y x0 y0 i u y x0 y0 i f y z0 Logo f z0 u x x0 y0 i v x x0 y0 v y x0 y0 i u y x0 y0 e portanto u x x0 y0 v y x0 y0 e v x x0 y0 u y x0 y0 Exemplo 1 Considere a função f z z então para z x yi temos ux y x e vx y y Como u x x y 1 1 v y x y vemos que em todos os pontos de C as equações de CauchyRiemann não são satisfeitas e logo f não é diferenciável em C Exemplo 2 Considere a funcdo fz z x y 2xyi Entao ux y x y e vx y 2xy e Ou Ov Ou Ov ax XY 2x Dy oY e ay oY 2y 9x Y Logo as equacdes de CauchyRiemann sAo satisfeitas e assim 0 O Fz Sy 15 xy 2x 2yi 22 Obs A proposicado anterior nos mostra que uma condicdo necessaria para que uma funcdo f u iv seja diferenciavel em um ponto Zo que u e v satisfacam as equacdes de CauchyRiemann neste ponto Contudo em geral esta condicdo nao é suficiente para garantir a diferenciabilidade de f em zo Por exemplo considere a funcdo fz xy para z x yi Entdo ux y Vxy e vx y 0 Ov Ov L 00 00 0 0g0 5 00 500 0 Ou ux0 u00 00 lim ax 50 x 0 Oe 00 lim u0 y u00 0 Oy y0 yr 0 Logo as equacdes de CauchyRiemann so satisfeitas em Zp 0 Mas f nao é diferenciavel em zp 0 pois fazendo z se aproximar de z 0 pela reta y x temos f f y x lim O0 F000 VIX kL dy Ie z70 0 x ix 0 x30 xX1K x90xix 1 x50 x e este Ultimo limite ndo existe Assim uma condição necessária e suciente para a diferenciabilidade de uma função é dada a seguir Teorema Seja f z ux y ivx y uma função denida num conjunto aberto A de C e suponha que as derivadas parciais das funções ux y e vx y existem em todo ponto de A Se as derivadas parciais de ux y e vx y forem contínuas em ponto z0 A e se as equações de CauchyRiemann são satisfeitas por u e v em z0 então f é diferenciável em z0 Dem Suponha z0 x0 y0i Como as derivadas parciais das funções ux y e vx y existem suponha que a u x x0 y0 v y x0 y0 e b v x x0 y0 u y x0 y0 Seja c a bi Mostremos que fz f fz f z fz lfz Fz ez 2 9 ZZ Z Z quando z zp Seja r 0 tal que B Bzr CA Seja zxyi B com z z Quando restringimos a funcdo ux y a um segmento horizontal em B u se reduz a uma funcao real x com derivada OuOx ja que a mesma existe em todos os pontos de B Portanto segue do TVM que existe J y no segmento de reta que liga xp yi a x yi tal que Ou ux y uo y Bx Or VX x0 1 De forma analoga do TVM existem a y no segmento de reta que liga xo yi a x yi e x07 x0 3 no segmento de reta que liga xo yol a xo yi tais que Ou uxo Y ux Yo Dy POY yo 2 vx y vx0 y v x α yx x0 3 vx0 y vx0 y0 v y x0 βy y0 4 Note que δ y x0 η α y e x0 β tendem a x0 y0 quando z tende a z0 Assim de 1 e 2 temos ux y ux0 y0 ux y ux0 y ux0 y ux0 y0 u x δ yx x0 u y x0 ηy y0 e de 3 e 4 temos vx y vx0 y0 vx y vx0 y vx0 y vx0 y0 v x α yx x0 v y βzy y0 Entao fz Fz0 ez 20 ulx y vx y uxo yo iv yo a biLx yi x0 yor ux y uo yo ilvx y vx0 yo a bix x0 ily yo ux y uxo yo ax xo by yo ivx y vxo yo ay yo bx xo S600 20 00 7 v0 2 00 90 70 22600 y0y 90 ox Oy Ox oy Ov Ov Ov Ov ston 006 0 F000 8y yo 0 soly vo 5 0 Yo 0 Zon 0 0 iSay 0 0 x xo Ou Ou Ov Ov Gacuw Sao 0 i 5609 500 0 vy yo X xo yo Como k ol le ly yol 1 segue que z 2 z fz fz cez a Ou Ou Ov Ov Fe ea ey E20 30 aay 22 6090 z zo Ox Ox Ox Ox Ou Ou Ov Ov x0 oe 030 8 09 Como as derivadas parciais de u e v são contínuas em z0 então o lado direito da desigualdade acima tende a zero quando z tende a z0 já que δ y x0 η α y e x0 β tendem a x0 y0 Logo f é diferenciável em z0 e f z0 c Exercícios 1 Use os teoremas anteriores para mostrar que f x não existe em nenhum ponto a f z z b f z z z c f z 2x ixy2 d f z exeiy 2 Use os teoremas anteriores para mostra que f z e f z existem em todo ponto e encontre f z quando a f z iz 2 b f z exeiy c f z z3 3 Use os teoremas anteriores para encontrar onde f z existe e determine seu valor a f z 1 z b f z x2 iy2 c f z zImz 4 Mostre que se f z x3 i1 y3 é correto escrever que f z 3x2 somente quando z i